3.1. La clase de matemáticas como objeto de análisis - ¿Qué dimensiones de la clase estudiar?

Entre las múltiples dimensiones de la clase de matemáticas (su planificación, el diseño de las tareas, la evaluación, las interacciones del docente con los estudiantes y de estos entre sí, el conocimiento matemático del profesor, sus creencias y concepciones), en esta investigación optamos por el análisis de las interacciones que los EPM participantes desarrollaban en las clases observadas. Lo hicimos desde la premisa de que en las interacciones de la clase se pone en acción lo que el docente planificó y pensó en relación con la misma. Consideramos que así nos sería posible observar aquellos elementos que nos permitirían analizar la problemática considerada: el rol, tanto del EPM como profesor como el de los estudiantes, las normas que se establecen en la clase, el valor que el EPM da a las intervenciones de los alumnos y si las ve como manifestación de lo que los estudiantes piensan, o como partes de una respuesta esperada por el EPM, entre otros aspectos que se desarrollan más adelante.

En ^{Radford (2010: 102)} encontramos una reseña de la consideración de la interacción en la clase de matemáticas como constructo dentro de la Matemática Educativa, desde su origen. Este autor señala que el concepto de interacción apareció como objeto de estudio en la disciplina luego de un cambio drástico en la conceptualización de la enseñanza y el aprendizaje. Cita su origen en el desarrollo del marco del Interaccionismo Social (que aquí llamamos Aproximación Interaccionista en Educación Matemática).

Junto con la interacción como materia de estudio aparece el concepto de negociación de significado, ya que se pasa a considerar la construcción social del mismo a través de la interacción humana. De este modo, las ideas de interacción social y negociación de significados están íntimamente ligadas, ya que la consideración de la primera supone, en el proceso comunicativo de la clase, la interpretación de las intervenciones de cada participante por parte de los demás y, a partir de ella, la necesidad de negociar un significado entre los múltiples atribuidos por los distintos participantes a los objetos matemáticos (^{Radford, 2010}).

Consideramos, por tanto, que la elección de las interacciones de la clase como objeto de estudio e investigación resulta pertinente, por la información que nos permite obtener en relación con las dificultades observadas en los EPM durante sus prácticas docentes, vinculadas con los distintos aspectos de la clase. A continuación describimos los elementos principales de esta aproximación.

3.2. LA APROXIMACIÓN INTERACCIONISTA - LOS PATRONES DE INTERACCIÓN

La aproximación interaccionista en Educación Matemática está influenciada de forma particular por el Interaccionismo Simbólico (Blumer, 1969 y Mead, 1934, citados por ^{Voigt, 1995}) y por la etnometodología (Garfinkel, 1967; Mehan, 1979, citados por ^{Voigt, 1995}).

^{Bauersfeld et al. (1985)} adaptaron los conceptos sociológicos del Interaccionismo Simbólico a los de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, dando surgimiento así a la Aproximación Interaccionista en Educación Matemática. Esta considera que la evolución del conocimiento matemático, al igual que sus fuentes, tienen una gran influencia sociocultural (^{Sierpinska y Lerman, 1996}). Las matemáticas son consideradas resultado de los procesos sociales (Lakatos, 1976; Wittgenstein, 1967, citados por ^{Voigt, 1995}) y no como un conjunto de relaciones verdaderas, objetivas e inmutables entre objetos, como lo establecen las teorías platónicas o intuicionistas.

Desde la Aproximación Interaccionista en Educación Matemática se sostiene que, al contrario de lo que se cree popularmente, los objetos de la clase de matemáticas (los conceptos, símbolos, las tareas que se plantean, lo que se dice) no tienen significado único. Cada clase es considerada una micro cultura, y cada participante de ella interpreta estos objetos de acuerdo con sus conocimientos y experiencias anteriores, los que constituyen un contexto para la interpretación que hace de ellos. Es decir, estos objetos son ambiguos, lo cual trae consigo la necesidad de negociar los significados que se tomarán por compartidos en la clase. Dicha negociación solo se produce a través de la interacción social, entendida como un conjunto de interpretaciones de las expectativas de los demás y de los significados atribuidos a los objetos, así como un conjunto de acciones determinadas por esas interpretaciones. (^{Bauersfeld et al., 1985}; ^{Voigt, 1995}).

Bajo los supuestos recién descritos, el interés del investigador (para el caso de la aproximación en Educación Matemática) se focaliza en cómo se aprenden matemáticas en las interacciones de la clase, para lo que se consideran apropiados los métodos microetnográficos. A través de observaciones de clases video grabadas, el observador accede a la información buscada por medio de la interpretación de reconstrucciones (Cicourel, 1973, citado en ^{Bauersfeld et al., 1985}). Estas interpretaciones persiguen el objetivo de comprender las acciones como se ven desde la perspectiva de un sujeto, o interpretadas por reglas de interacción.

^{Bauersfeld et al. (1985)} señalan, apoyados en las observaciones de clase realizadas, que la negociación de significado producida en la clase no siempre es la más adecuada para generar riqueza en los conocimientos que se terminan compartiendo. La preocupación del docente por presentar el tema planificado, o llegar a la solución del problema que ha planteado, como forma de cumplir con su tarea, y la interpretación que los estudiantes hacen de las expectativas docentes, van formando rutinas y patrones de trabajo que, si bien ayudan a disminuir la complejidad de la clase, muchas veces se vuelven estereotipadas y terminan siendo una ficción de negociación de significados por la que se llega a la “solución oficial” de la tarea.

Comenzamos por explicar lo que estos autores entienden por patrón de interacción.

Un patrón de interacción es una estructura de interacción cara a cara entre dos o más sujetos, tal que:

Dichos autores describen cuatro patrones de interacción: el extractivo y el de discusión (^{Voigt, 1985}), por un lado, y el de embudo y el de focalización (^{Wood, 1994}) por otro.

En la siguiente tabla presentamos las fases que caracterizan a cada uno de ellos.

Las fases establecidas en la descripción de cada patrón se establecen desde un punto de vista analítico, pero pueden solaparse entre ellas en la práctica. Los patrones de embudo y de focalización, si bien pueden parecer similares, contienen interacciones que difieren en los significados que se negocian, así como en el rol que el docente asume y el rol que le otorga al estudiante. ^{Wood (1994}, ¹⁹⁹⁸⁾ ejemplifica el patrón de embudo con el siguiente episodio:

En la configuración del patrón de embudo parece, inicialmente, que el docente toma la respuesta incorrecta del estudiante, e inicia un diálogo en que intenta que el mismo alumno pueda corregirse, desarrollando su pensamiento. Pero el conjunto de preguntas que le va haciendo incluyen solamente lugares en blanco para que dé la respuesta, de modo que puede responder solo “sumando de a uno”, siguiendo las indicaciones del maestro, pero el estudiante no está considerando ninguna propiedad de las operaciones por sí mismo. Más bien, quien está considerando cognitivamente estas propiedades es el docente, y el final de la interacción se da con la respuesta esperada. Según ^{Wood (1998)}, este es un ejemplo de interacción unívoca (Wertsch y Toma, 1995, citado en ^{Wood, 1998}), descrita como aquella que enfatiza el aspecto transmisivo de la comunicación.

^{Wood (1994}, ¹⁹⁹⁸⁾ también describe el patrón de focalización. La autora parte de un episodio que se inicia con una explicación, dada por un estudiante, de su forma de restar 66 menos 28. Esto forma parte de una tarea en la que los alumnos desarrollan sus propios métodos de cálculo, trabajando en pequeños grupos (en la clase no se enseñaban los algoritmos tradicionales de las operaciones).

El episodio transcurre así:

John: (Está escribiendo en el proyector). Pusimos el 28 debajo del 66. (Mientras habla, escribe 66 menos 28 en un formato vertical). Y nos llevamos … nosotros … yo quité … el 6 y el 8. Y dijimos que había 60 y 20 allí. (Pone su dedo sobre el 60 y luego sobre el 40). Y si restas 20 de 60, te da 40. (Levanta su puño). Y todavía tengo que restar 8. Entonces sacamos … hay 46 todavía. Si devuelves esos 6, y quitas ese 6 (señala el 6 en el 46), y eso … um … vuelves a 40 y todavía tienes que quitar 2, entonces son 39 (levanta un dedo), entonces 38 (escribe 38). (^{Wood, 1998: 172-173}, traducción de los autores).

(La maestra reconoce que John ha desarrollado un nuevo y exitoso procedimiento para lidiar con la dificultad de la resta, usando abordajes que habían surgido para efectuar sumas. Pero en lugar de explicar nuevamente para la clase, pregunta si tienen alguna pregunta. Un alumno dice que no entiende, y la maestra pide a John que vuelva a explicar. El episodio continúa).

El episodio culmina cuando John explica la razón de los últimos pasos. Al pedir al estudiante que vuelva a explicar, la maestra está permitiéndole que clarifique su pensamiento a los compañeros. Y formula preguntas para mantener el foco de la atención en aquellos aspectos que ha notado que muchos estudiantes no comprendieron. La cuestión directiva de la maestra es un intento de mantener la discusión en torno a los aspectos distintivos de la resolución de John. Este es un patrón diferente del de embudo, en tanto la pregunta se dirige a generar la reflexión sobre una forma de pensamiento. No guía al alumno, sino que le da la responsabilidad de explicar. En relación con los aspectos señalados por Wertsch y Toma (1995), diríamos que el énfasis está puesto en los aspectos dialógicos de la comunicación.

Los patrones no son entendidos como la suma de las acciones de cada participante, sino como un conjunto de interpretaciones y obligaciones mutuas entre ellos. Por esto, a través de la interacción se van generando condicionamientos y expectativas que orientan el desarrollo del propio patrón. Por ejemplo, en la primera fase del patrón extractivo el estudiante tiene la obligación implícita de responder la pregunta del docente u ofrecer soluciones posibles. En la segunda fase, en la que el profesor espera llegar a la respuesta esperada, su esfuerzo interpretativo consiste en detectar aquellas respuestas que le pueden ser útiles para ese fin. Los estudiantes tienen el compromiso de ir respondiendo, y no demostrar que no están comprendiendo. En la tercera fase, el docente tiene la obligación de relacionar las ideas de los alumnos con la solución a la que se llegó, explicando el camino hacia ella.

Los patrones también reflejan ciertas creencias sobre la naturaleza de las matemáticas, y de las relaciones entre los estudiantes y el docente. El patrón de embudo deja translucir que las matemáticas que se van a aprender solo des-cansan en la autoridad del profesor (^{Wood, 1998}). En el patrón de focalización, en cambio, se parte de una forma de trabajo generada por las acciones de los alumnos, y en la que el docente focaliza aquellos aspectos que le parece importante destacar.

Otro de los conceptos importantes de este marco son las normas sociales y sociomatemáticas establecidas en la clase, y que se conectan con preguntas como: ¿quién puede hacer preguntas en la clase?, ¿quién puede responder preguntas?, ¿cuándo una explicación se considera correcta?, ¿quién determina si una resolución es correcta o no?, etc. De las distintas normas que se establezcan, así como de las rutinas y patrones configurados, dependerán las características de la cultura de la clase, y es a través de ellas que esta será creada.

3.3. REORGANIZACIÓN DE LOS PATRONES PARA EL ESTUDIO REALIZADO

Hemos encontrado similitudes entre algunos de los patrones descritos por la Aproximación Interaccionista en Educación Matemática, que nos llevan a agruparlos. A continuación explicamos las razones de este agrupamiento.

El patrón de embudo muestra una idea sobre las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje. Los estudiantes no necesitan involucrarse cognitivamente en la actividad para responder correctamente las preguntas, sino que es el docente quien lo hace, y sabe a qué respuesta quiere llegar. Algunas de estas características son comunes con el patrón extractivo.

En el patrón de focalización se establecen formas de trabajo propias del patrón de discusión, como el trabajo de los alumnos y la responsabilidad que el docente les otorga en la explicación y justificación, el objetivo del profesor en cuanto al desarrollo del pensamiento de los estudiantes y la finalidad de las tareas, entre otras.

Las consideraciones anteriores nos llevaron a agrupar los patrones en dos categorías. En la primera incluimos el patrón extractivo, y como posible fase, el desenlace hacia el patrón de embudo. En la segunda categoría ubicamos el patrón de discusión y, en cierto momento dentro del mismo, el de focalización. A continuación presentamos dos tablas donde se muestran las categorías mencionadas.

La diferencia entre la configuración del patrón extractivo y su desenlace al patrón de embudo tiene que ver con que, cuando este último se configura, generalmente ante una respuesta incorrecta, disminuye drásticamente el involucramiento cognitivo del alumno con la resolución de la tarea. Es el docente quien dirige la misma, dejando al estudiante un pequeñísimo lugar para la respuesta esperada.

El patrón de discusión se caracteriza, en su Fase 4, por la intervención del docente haciendo preguntas aclaratorias, o agregando comentarios que permitan llegar a una solución conjunta. En cambio, en el de focalización, el profesor apunta más a que los estudiantes clarifiquen su pensamiento al tener que explicitarlo a sus compañeros.

5.1. El caso del EPM1

El EPM1 plantea en el pizarrón la tarea que se transcribe a continuación.

Comienza pidiendo atención a los alumnos y señalando la expresión analítica, pregunta qué es, esperando que le digan “expresión analítica”. Una vez que lo logra, les pregunta si recuerdan la definición de raíz de una función. Luego se revisa cuál era la ordenada en el origen, se determina esta y se representa gráficamente la función. Se revisan conceptos como: crecimiento, decrecimiento, los elementos de la expresión analítica de los que dependen. Finalmente, se analiza en discusión de toda la clase, la parte c) de la actividad.

Al inicio de la resolución ocurre la siguiente interacción entre el EPM1 y los estudiantes:

Durante la primera parte de la tarea, el EPM1 parece tener interés en que los alumnos recuperen el concepto de raíz de una función como el número cuya imagen en la función es cero y, a partir de esta definición, recuerden que tienen que resolver la ecuación f(x) = 0 (interpretamos esto por los rechazos sucesivos de conceptos correctos expresados por los estudiantes), tomando otro contexto de representación. Además, porque en el episodio siguiente, que aquí no analizamos, se realiza la tarea de hallar la raíz de la función resolviendo la ecuación f(x) = 0). Al inicio del episodio los alumnos dan respuestas erróneas (por ejemplo “la ordenada en el origen”) y el EPM1 no propone discutir el error, sino que continúa esforzándose por obtener al menos una parte de la respuesta que espera. En las líneas que siguen, los estudiantes encuentran elementos en el cuaderno y proponen definiciones que son correctas, en diferentes registros de representación, y el EPM1 no parece aceptar ninguna de ellas.

Podemos ver, durante este episodio, el desarrollo de la Fase 1 e inicio de la Fase 2 del patrón que hemos llamado extractivo-embudo. El EPM1 realiza una pregunta, y recibe propuestas de respuesta de parte de los alumnos. Las mismas son rechazadas con distintas frases del EPM1, hasta que toma (parcialmente) la respuesta de la línea 14, la enuncia corrigiéndola, dando así inicio a la Fase 2 (que no se analiza en este episodio, en la cual se realiza la resolución guiada de la tarea de hallar la raíz de la función).

En las intervenciones de los estudiantes y en las reacciones del EPM1 ante ellas podemos apreciar las características señaladas en la Tabla 2 para el patrón extractivo-embudo. La pregunta del EPM1 busca una respuesta útil para realizar la tarea. Los estudiantes dan respuestas que divergen de lo que el EPM1 espera (L2: la ordenada en el origen; L5: la preimagen). Estas respuestas son breves e incompletas, y los alumnos las van completando a partir de frases del EPM1 (L6: La preimagen me gusta un poquito más pero sola no me dice nada la preimagen). Hay algunas respuestas que el EPM1 no considera (L8: la imagen; L10: es el opuesto).

Además, la tarea se resuelve desde el inicio entre el EPM1 y los alumnos, no habiendo lugar para la búsqueda real de la definición de raíz de una función, ya que cada respuesta es evaluada por el docente en forma inmediata. La intención de las preguntas parece ser que los estudiantes digan la respuesta adecuada para realizar la tarea (hallar la raíz de la función). No hay un fundamento para los rechazos de respuestas correctas (la preimagen de cero, la abscisa del punto del corte de la representación gráfica de la función con el eje x) y, por tanto, no existe esfuerzo cognitivo para los alumnos. Ellos dan respuestas, el EPM1 las rechaza o acepta. Además, los estudiantes no conocen la intención de la pregunta del docente.

A partir del análisis anterior podemos inferir que el desarrollo del episodio analizado coincide con la descripción del patrón extractivo-embudo. La intervención docente aparece a primera vista como una forma de sostener el aprendizaje de los alumnos. Pero esto no sucede finalmente. En efecto, el EPM1 no evalúa las respuestas de manera definitiva, diciendo “está mal”, sino que sigue el intercambio e intenta guiar hacia la definición esperada, para este caso. A pesar de que puede parecer que el estudiante está involucrado en una estrategia de pensamiento, quien lo está realmente es el EPM1, que conoce la respuesta a la que quiere llegar. Esta forma de interacción disminuye el campo para la actividad significativa, tanto grupal como del alumno.

5.2. EL CASO DEL EPM3

El EPM3, en la clase cuyo análisis presentamos a continuación, propone la primera parte de la siguiente actividad como introducción al teorema de Pitágoras.

La clase comienza con la lectura de la consigna que pide el armado del rompecabezas. Una vez leída, se explica a los alumnos qué les pide la tarea. Luego de esto, los alumnos trabajan en pequeños grupos, completando el armado. Al cabo de un tiempo, se produce una interacción grupal en la que se discuten las partes a, b y c de la actividad. En la ficha que tienen los estudiantes figura también la parte 2). Una vez completadas las partes a, b y c, el EPM3 les dicta lo que pondrán en el recuadro de la parte 2 de la actividad.

Los estudiantes trabajan recortando las piezas para armar el rompecabezas, haciéndolo de manera bastante autónoma, en pequeños grupos. Una vez terminado esto, se resuelven las partes a) y b) de forma grupal.

A continuación mostramos el episodio en el que se discute grupalmente la parte b). El EPM3 ha realizado la pregunta de la parte 1b) de la actividad, y E3 responde: Esos dos juntos son iguales. Luego se da la siguiente interacción:

En la resolución de la parte b) el EPM3 muestra una intención dialógica con los estudiantes, en el sentido de que, por ejemplo, cuando uno de ellos dice son equivalentes, refiriéndose a las áreas de los cuadrados, el docente pregunta ¿las de cuáles?, con la intención de que el estudiante complete su respuesta (L4 - L6). Sin embargo, podemos establecer varias fases dentro de la interacción que nos muestran elementos correspondientes al patrón extractivo-embudo. Lo esquematizamos a continuación.

Podemos observar, entonces, características propias del patrón extractivo-embudo, aunque no ocurre de forma tan clara como en el caso del EPM1.

En la línea 9 el EPM3 pide a los alumnos que enuncien esa relación con sus palabras. Los alumnos realizan aportes (L10: los cuadrados menores; L11: poner letras a los cuadrados; L30: usando colores para distinguir los cuadrados; L40: numerando los cuadrados). Aunque los estudiantes han generado el enunciado que el EPM3 quiere establecer, el modo en que este pretende que lo hagan genera por momentos sugerencias propias del patrón extractivo-embudo. En efecto, el docente realiza tres intentos (L12, L16, L21-L29) de que los alumnos llamen a los cuadrados involucrados en la tarea cuadrados construidos sobre los catetos y cuadrado construido sobre la hipotenusa. De forma especial entre las líneas 21 y 29, el EPM1 va preguntándoles cuáles de los lados son los catetos del triángulo ABC, y cuál la hipotenusa, para preguntar nuevamente cómo pueden enunciar dicha relación. Sin embargo, en la línea 30, E9 propone usar colores para distinguir los cuadrados, cosa que el EPM3 parece aceptar, pero luego se inclina por la propuesta de numerar la mayoría de los cuadrados. La relación se establece en los siguientes términos: Si sumamos las áreas de las figuras numeradas del 1 al 5, se obtiene el área del cuadrado rojo. Una vez llegados a esta conclusión, para la que los estudiantes tienen adjudicado un significado originado en el rompecabezas que armaron, el EPM3 trabaja con ellos para que enuncien la misma relación usando las medidas de los lados del triángulo: a, b y c, que es la parte 1c) de la actividad. Guiados por sus preguntas, los alumnos van diciendo cuáles son las expresiones de las áreas de cada cuadrado, y finalmente se escribe en el pizarrón: a ² + b ² = c ². El EPM3 les dice que esta relación se conoce como el Teorema de Pitágoras. A partir de eso, el EPM3 dicta el enunciado del teorema.

El enunciado al que llega el EPM3 es el enunciado “oficial actual” del Teorema de Pitágoras (^{Millán, 2004}). Y es, también, el mismo que figura en el texto de donde tomó la actividad (^{Ochoviet y Olave, 2009}). Aunque muchas veces el Teorema de Pitágoras se enuncia en términos de áreas de cuadrados, el enunciado es ambiguo, ya que el cuadrado de un lado de un triángulo podría hacernos pensar en el área de un cuadrado con ese segmento como lado. Pero no hay una referencia explícita a las áreas de los cuadrados en el enunciado del teorema. Sí la hay en la demostración de Euclides, la que realiza en base a las áreas de los cuadrados. Y en los libros de texto, aunque en distinto grado se menciona la interpretación a través de las áreas de los cuadrados, la inmensa mayoría de las aplicaciones que se presentan se refieren al uso del teorema para el cálculo de longitudes. Sin embargo, pensamos que el inicio de la actividad, en la clase del EPM3, donde se pide que los alumnos concluyan el enunciado del teorema a partir de la manipulación de las figuras, introduce un contexto que será el que sostenga, para los estudiantes, el significado establecido para dicho teorema. Los alumnos establecieron el enunciado del Teorema de Pitágoras a partir de la manipulación de las representaciones de las figuras, las que posiblemente tuvieran para ellos un estatus de figuras. Al armar el rompecabezas comprobaron que la relación entre las áreas se verificaba. Luego de enunciada la relación en términos de áreas, a pesar de que el EPM3 establece oralmente que: O sea, en otras palabras, es lo que ustedes estaban diciendo hace un ratito en función de las áreas de esos cuadrados que estaban ahí, ahora eso está dicho en función de los lados del triángulo, no adquiere el mismo significado para los estudiantes. Además, el EPM3 no le dio estatus de teorema al enunciado expresado en términos de las áreas de los cuadrados numerados y del cuadrado rojo, tal vez respetando la actividad tal como fue planteada, o quizá porque vio que los alumnos no daban un enunciado en términos de cuadrados construidos sobre los lados del triángulo rectángulo. El hecho es que el enunciado del teorema como tal lo establece el EPM3, dejando de lado la relación que habían acordado antes, para pasar al contexto de las longitudes. Y además, diciendo que: es un juego de palabras que a veces es difícil de decir, pero no hay otra forma más sencilla de decirlo. Si bien no podemos decir que hay un empobrecimiento de significados, sí se produce un cambio de los significados establecidos en términos de áreas, para pasar al contexto de las longitudes. Y esto lleva a que, en las actividades de aplicación del teorema, el EPM3 se vea obligado a forzar a los estudiantes, que si bien entienden que tienen que usar la herramienta estudiada, pretenden hacerlo utilizando áreas y no longitudes.

Como ejemplo mostramos parte de la interacción que se produce en la discusión de una de las actividades de aplicación propuestas por el EPM3, que enunciamos a continuación.

Una caña de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro. Si la extremidad superior de la caña se coloca 6 unidades más abajo, ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la caña? (Una caña es un tallo cilíndrico, con nudos macizos y extremos huecos).

Se resuelve de forma grupal. En primer lugar, es discutido el enunciado, y con intervención de los estudiantes se realiza una figura de análisis, a partir de determinar que uno de los catetos del triángulo representado mide 24 unidades.

Figura 1 Copia de la figura de análisis realizada en el pizarrón. 

Al inicio, un estudiante propone calcular 30 al cuadrado más 24 al cuadrado, idea que el EPM3 toma, entendemos que porque le resulta útil para continuar hacia la resolución del problema. Entonces el EPM3 introduce la necesidad de comprobar si el triángulo es rectángulo. En ese momento E10 propone calcular 30 por 24 dividido 2. Se plantea que hay que aplicar lo que dieron antes. El EPM3 comienza a hacer preguntas en relación a cuáles son los datos, si lo son las longitudes de los catetos (como en la actividad anterior). Finalmente, el EPM3 pregunta: Pero en el Teorema de Pitágoras ¿aparece el área del triángulo en algún momento?, a lo que se da la siguiente interacción:

(Aquí sigue un diálogo para ver que el área no está bien calculada, no se trans cribe porque pensamos que no aporta al análisis que estamos realizando).

E10 continúa con su idea de hallar el área del triángulo, y corrige la expresión de la misma introduciendo la incógnita x. El EPM3 toma como útil esta idea de E10, aunque se ve obligado a sugerir de forma explícita el uso de la relación de Pitágoras. Los estudiantes, sin embargo, insisten en la no existencia de cuadrados en el marco de este problema. Esto nos hace pensar que siguen anclados en el significado original que adjudicaron a los cuadrados de las longitudes de los catetos y de la hipotenusa, como representantes de áreas de cuadrados. Nuevamente el EPM3 necesita explicitar que tendrán que usar la relación, y directamente les pregunta cómo sería plantear dicha igualdad en este caso, configurando así el patrón extractivo-embudo.

Una vez llegados a este punto, el problema se termina de resolver grupalmente.

En síntesis, creemos que el pasaje del contexto de las áreas al de las longitudes, al momento de enunciar el Teorema de Pitágoras, resultó falto de significado para los estudiantes. Incluso, el enunciado del teorema en términos de las áreas de los cuadrados numerados que dan los alumnos, no recibe de parte del EPM3 el título de Teorema de Pitágoras. Entendemos que el futuro docente se vio obligado a enunciar el teorema en los términos en que la tradición escolar lo señala y en los que se utiliza para aplicaciones, pero esto distanció dicho enunciado del que los alumnos habían generado, y para el que tenían construido un sentido. Entre un contexto y otro solo medió una frase del EPM3: O sea, en otras palabras, es lo que ustedes estaban diciendo hace un ratito en función de las áreas de esos cuadrados que estaban ahí, ahora eso está dicho en función de los lados del triángulo. Creemos que esto condiciona los siguientes episodios, en el sentido de promover la configuración de los patrones extractivo-embudo, disminuyendo notoriamente la intención dialógica del EPM3, así como la riqueza en la negociación de significados.