2.1 La participación en ambientes online

La participación ha sido objeto central en los estudios de ^{Álvarez (2010)}, ^{Malinen (2015)}, ^{Parra-Zapata y Villa-Ochoa (2016)}, ^{Amichai-Hamburger et al. (2016)} y ^{Parra-Zapata et al. (2017)}, entre otros. ^{Malinen (2015)} resalta que en la investigación internacional la participación online se ha enfocado típicamente en analizar la cantidad de veces que los usuarios aportan a las discusiones online (visibilidad) y propone que, en lugar de centrarse en dicho criterio, se preste atención a la calidad de la actividad en términos de su relevancia para la comunidad. La autora pone de relieve la necesidad de trascender la noción de participación activa -entendida como la cantidad de conexiones- y recomienda que en los ambientes online se recurra a diseños que posibiliten interacción de los participantes.

En coherencia con el trabajo de ^{Parra-Zapata et al. (2017)}, y con el ánimo de identificar y promover factores para la formación de profesores en ambientes online, en este estudio se identifica y caracteriza la participación a partir de cuatro componentes, a saber: la visibilidad (^{Malinen, 2015}), la interactividad (^{Rost, 2004}), las interacciones y las contribuciones (^{Parra-Zapata y Villa-Ochoa, 2016}). Se describen a continuación las cuatro componentes de la participación, las cuales no son disjuntas, es decir, en un ambiente escolar se presentan articuladas y simultáneamente, e incluso, en algunos casos, los límites entre ellas son difusos.

La visibilidad se reconoce en la cantidad de veces que el usuario se conecta, la duración de las mismas y la motivación que presenta para realizar las intervenciones (^{Malinen, 2015}). Sin embargo, es importante concebir la visibilidad en términos de la calidad y el contenido de la participación, es decir, de los aportes o las reflexiones que dan cuenta de apropiaciones teóricas o prácticas que, a la vez, posibilitan el surgimiento de otras ideas.

La interactividad se entiende como la relación que establecen una o varias personas con el entorno digital (^{Rost, 2004}). En este sentido, el emisor es el sujeto y el receptor es la máquina o plataforma que media y hace posible el proceso formativo. Esta componente de la participación se percibe en el papel activo del usuario cuando selecciona las informaciones requeridas. Al mismo tiempo, se reconoce como la capacidad técnica de conceder el máximo de posibilidades de comunicación, intervención y actuación con los recursos del entorno digital, de tal manera que se incrementen las intervenciones del usuario en el desarrollo del conocimiento y en el entorno mismo (^{Danvers, 1994}). De acuerdo con ello, la interactividad se reconoce en las posibilidades que enmarquen las características de los contenidos y las propiedades del medio o recurso tecnológico para generar diálogos, reflexiones y aportes.

Las interacciones se asumen como una acción social que un sujeto lleva a cabo con otro u otros sujetos. En tal sentido, es el acto de comunicar, discutir y compartir con los demás puntos de vista, ideas, conocimientos, reflexiones, sentimientos, hallazgos y posturas con respecto a un objeto de estudio. No consiste simplemente en ofrecer un mensaje o una respuesta, sino en una serie de discusiones coherentes entre estudiantes, con o sin la participación del profesor, para lo cual es necesario que la actividad esté orientada a fomentar el análisis de diversos puntos de vista y la toma de posición al respecto (^{Parra-Zapata y Villa-Ochoa, 2016}). En las interacciones se detectan las relaciones entre los sujetos, la reflexión acerca del conocimiento, la manifestación de sentimientos, las discusiones con relación a la respuesta de los compañeros, la toma de posición respecto a una temática de debate, la relación con el otro, o el intercambio de información. Como se argumentará más adelante, cuando se pone la atención en las relaciones sujeto-contenido, también se reconocen otras maneras de interacción; principalmente, aquellas en las que se produce conocimiento acerca del contenido.

Las contribuciones son los aportes a las discusiones y a la actividad realizada. Los aportes van más allá de “estoy de acuerdo” o “no me parece” y se vinculan con los argumentos y demás participantes, la ayuda o colaboración con los otros, la exploración de saberes y la construcción colectiva de significados. Dichas acciones agregan valor a lo discutido, ayudan a otros a expresar sus pensamientos y a explorar nuevas áreas (^{Parra-Zapata y Villa-Ochoa, 2016}).

2.2 La formación de profesores en y para la modelación matemática en ambientes online

Los ambientes online son espacios que promueven la producción de conocimiento en y para la Educación Matemática, a partir de diferentes maneras de participación, de unos propósitos de formación para profesores y reflexiones acerca de sus prácticas. En correspondencia con ello, se asume una visión de formación en la que es importante que los estudiantes se enfrenten a experiencias en las cuales produzcan conocimientos y establezcan acciones para integrarlas a sus contextos de desempeño profesional.

Considerar las prácticas de los docentes en ambientes online pone de manifiesto, entre otros asuntos, el reconocimiento de las posibilidades o alternativas metodológicas e investigativas que hacen parte de la formación matemática. En este artículo se consideró la modelación matemática como una alternativa para promover, en los profesores, maneras distintas de participación; desarrollar actitudes creativas y críticas, así como capacidades hacia la resolución de problemas alrededor de las matemáticas. El diseño del ambiente online tuvo en cuenta que el conocimiento del docente, para la integración de la modelación matemática en sus prácticas escolares, no se agota en las clásicas características de un conocimiento del contenido matemático, de las estrategias pedagógicas y la multiplicidad de maneras en que se puede desarrollar el pensamiento de los estudiantes sino que, más allá de ello, deben considerarse las acciones en correspondencia con sus prácticas y las maneras en que las interpretan (^{Doerr y Lesh, 2011}).

La modelación matemática ha sido uno de los ejes fundamentales de las investigaciones en educación online en Brasil (^{Galleguillos, 2016}; ^{Borba et al., 2014}). ^{Borba et al. (2014)} reportaron que en las experiencias de formación online debe generarse como un medio para promover la comunicación entre los participantes y posibilitar maneras de experimentación. La experiencia de los autores evidencia que la educación online trasciende las aulas y que en el desarrollo de repositorios y plataformas, los profesores, estudiantes e investigadores pueden interactuar, con el fin de desarrollar productos en el área. Por su parte, ^{Galleguillos (2016)} presenta los avances de un estudio realizado con docentes en ejercicio en un curso de extensión; entre las temáticas del curso está la modelación matemática. Los participantes se enfrentaron a un problema de modelación relacionado con un tema que fue de interés para el grupo.

Con base en las experiencias mencionadas, en este artículo se describe una sesión de trabajo de cuatro horas en la cual se discutió y reflexionó en torno a la modelación matemática, con el fin de promover la participación de los profesores. En el siguiente apartado se presentan los aspectos metodológicos de la investigación, al igual que las estrategias y métodos utilizados en el curso.

3.1 La metodología y el contexto

Conforme se mencionó, esta investigación se fundamentó en el análisis de la participación de un colectivo de docentes en un ambiente online. Poner la atención en este tipo de fenómenos requiere que los investigadores centren su mirada en las actuaciones y diálogos de cada participante, y el rol que juegan en cada momento de la experiencia; por esta razón se adoptó una metodología cualitativa. En relación con los ambientes online, la investigación cualitativa en educación y en ciencias sociales impone nuevos desafíos frente a la naturaleza y maneras de obtención de los datos, condiciones éticas y los métodos mismos de investigación (^{Gerber et al., 2016}; ^{Andrews y Haythornthwaite, 2007}).

En el estudio participaron 17 profesores que, a su vez, eran estudiantes de posgrado en Educación Matemática de dos universidades en Brasil y Colombia (nueve brasileños y ocho colombianos). Los docentes formaban parte de un curso diseñado en colaboración por dos grupos de investigación de los respectivos países. Dado que la ubicación geográfica y la lengua materna de los participantes eran diferentes, se consolidaron cinco grupos de trabajo para el desarrollo de tareas de modelación de manera sincrónica y asincrónica. En las sesiones asincrónicas, la conformación de estos grupos cumplió un rol fundamental para el uso y la preparación previa en herramientas participativas (Google Drive, Skype, Google Hangout, etc.), así como para proporcionar un primer acercamiento al desarrollo y críticas de tareas de modelación matemática. Los grupos estuvieron configurados de tal manera que cada equipo tuviera participantes de ambas nacionalidades. Asimismo, las dinámicas de cada equipo atendieron a las observaciones de ^{Gerber et al. (2016)} en el sentido de considerar los aspectos que emergían de los cuestionamientos y las necesidades de los participantes, y no para atender a una estructura rígida y prescrita por los profesores orientadores del curso.

En coherencia con las consideraciones de ^{Gerber et al. (2016)}, los recursos disponibles para el curso promovieron diferentes maneras de participación de los docentes, es decir, no fueron usados de una manera domesticada para replicar metodologías transmisionistas ni expositivas en donde la comunicación se ofrece únicamente en la vía profesor-estudiante, sino que se utilizaron todos los recursos disponibles para promover multidiálogos e interacciones en pequeños grupos, y de éstos con los coordinadores del curso y el colectivo en general. Como recursos adicionales se dispuso de WizIQ, Moodle, Google Drive y Youtube.

3.2 El curso y el diseño de la sesión de modelación

El curso se implementó a lo largo del segundo semestre de 2015 y estuvo dedicado al estudio de las temáticas: educación a distancia online, tecnologías digitales, visualización, formación de profesores, modelación matemática y evaluación en matemáticas. Para este artículo se estudió el diseño y desarrollo de la temática modelación matemática, la cual contó con una sesión sincrónica (4 horas) y dos sesiones asincrónicas (una previa y otra posterior a la sesión sincrónica).

El diseño de la sesión de modelación se fundamentó en el trabajo de ^{Parra-Zapata et al. (2017)} y, conforme sugieren estos autores, en la sesión asincrónica previa los estudiantes analizaron experiencias de modelación reportadas en dos videos. Las reflexiones y las críticas de estos videos se convirtieron en insumo para alimentar el debate en torno a la temática de la sesión; para ello se dispuso de un foro y dos Wikis, una para los participantes interesados en la modelación matemática como un recurso en sus prácticas de profesores y otra para los interesados en la investigación en modelación en Educación Matemática.

En la sesión asincrónica previa también se propuso una tarea de modelación para cada grupo de trabajo. La tarea contenía un conjunto de cuestionamientos acerca de las características de la modelación, las posibilidades, las limitaciones y ajustes que podría recibir en caso de que se pudiera implementar; además, cuestionaba la propia práctica en relación con el uso de la modelación. En este trabajo asincrónico cada equipo de trabajo contó con el acompañamiento de un profesor orientador. Una semana después de realizar la tarea de modelación matemática se desarrolló la sesión sincrónica, la cual se diseñó para que los estudiantes lograran tener una visión acerca de las diferentes maneras de hacer modelación.

La sesión sincrónica se fundamentó en tres ejes temáticos. El primero se relacionó con aspectos teóricos de la modelación matemática (como práctica, perspectiva metodológica y ambiente de investigación, entre otros). Asimismo, para promover la reflexión frente a las tareas previamente desarrolladas de manera asincrónica y para analizar características en relación con la adaptabilidad al trabajo, se buscó la empatía entre los estudiantes, el liderazgo y el trabajo en colectivo.

En el segundo eje temático se estudió el papel de los contextos en la modelación matemática. Para propiciar dicha discusión se retomaron las tareas de modelación que realizó cada grupo de trabajo de manera asincrónica en documentos de Google Drive. Los docentes estuvieron en “actividad matemática”, es decir, tuvieron una experiencia de creación, uso o análisis de modelos de fenómenos “reales” en la que su participación se manifestó en la exploración de ciertas estructuras subyacentes al modelo estudiado.

El tercer eje temático se relacionó con la modelación matemática y su convergencia con otras líneas de trabajo. Con el propósito de propiciar la discusión, los docentes atendieron una serie de preguntas de una situación de crecimiento fetal. La actividad se consolidó en documentos de Google Drive y los equipos hicieron uso de herramientas como el software Geogebra, chat de Google Drive, comentarios y hojas de cálculo para plantear su solución. El uso de las diferentes herramientas propició un espacio para discutir y buscar soluciones. Una de las profesoras participantes tomó el liderazgo de la discusión y para ello presentó sus aportes en tablas de Excel, que ilustraron sus ideas de solución a la situación. Su intervención generó controversia dentro del grupo: algunos apoyaron sus apreciaciones, mientras que otros presentaron argumentos para enriquecer las ideas mediante la herramienta del chat de Google Drive.

3.3 Los datos y su análisis

Para analizar la participación de los profesores se obtuvieron los datos a partir de la videograbación de la sesión sincrónica. Esta grabación fue proporcionada por la plataforma WizIQ; la grabación también aportó información relacionada con la participación de los estudiantes en el chat de la sesión. Otras fuentes de información fueron las anotaciones elaboradas por los estudiantes en el pizarrón, los chats de la plataforma Moodle, documentos de Google Drive y notas de campo de los investigadores. En la comunicación que sostuvieron los estudiantes a lo largo del semestre usaron también otros medios como el WhatsApp o Skype, sin embargo la información en esos medios no fue usada para este análisis.

El análisis de los datos se configuró a partir de un proceso de reducción, focalización, organización e interpretación de los mismos. La ruta de análisis comenzó con la recolección y organización de los datos en matrices. Continuó con la codificación de los diálogos y las conversaciones, de acuerdo con las manifestaciones de la participación. Enseguida, fueron contrastados los referentes conceptuales con las interpretaciones de los autores. Finalmente, se caracterizaron las maneras de participación de un grupo de docentes en ambientes online, las cuales permitieron reconocer como componentes de la misma: la visibilidad, la interactividad, las interacciones y las contribuciones. Para identificar tales componentes se efectuó un análisis de contenido, el cual se enfocó en datos que mostraran cómo y de qué maneras participaron los profesores. Para aumentar la confiabilidad de los resultados se realizó una triangulación de datos, de literatura de investigadores.

4.1 La visibilidad

La visibilidad fue necesaria para caracterizar la participación. Por su naturaleza no pudo desligarse de las demás componentes, es decir, en las interacciones, la interactividad y las contribuciones los participantes también se hicieron visibles. Para dar cuenta de las características de la visibilidad, la atención se centró en su contenido (^{Malinen, 2015}). La visibilidad se reconoció cuando los estudiantes reaccionaron a los comentarios o preguntas que formularon los orientadores o participantes de la sesión. Asimismo, cuando solicitaron ampliación o aclaración de alguna temática, o formularon cuestionamientos y comentarios articulados a la temática.

La visibilidad se observó también cuando los participantes solo se hacían notar en el chat a través de palabras como “hola”, “sí”, “no”, “de acuerdo”, pero no hubo aportes de la temática desarrollada; a esta manera de hacerse visible se le denominó simple. Otras dos maneras de visibilidad fueron identificadas: visibilidad como ampliación y visibilidad como aporte de contenido. En la Tabla 1 ² para cada una de las características de la visibilidad se presenta una descripción, un ejemplo y una valoración de las veces (presencia-Pres) que ocurrió en la sesión.

La visibilidad simple fue una característica recurrente en varios de los participantes (Tatiana, Dilan, Paty, Lilo y Orlando). Al reconocerla, se implementaron tres estrategias para promover el paso de una visibilidad simple a una con aporte de contenido.

La primera de las estrategias estuvo enfocada en asignar un rol dinamizador a una de las orientadoras de la sesión (Andrew). La dinamizadora preguntaba a los participantes con visibilidad simple acerca de su presencia en la sesión, sus opiniones o conocimientos del contenido que se trabajaba. Por ejemplo, Andrew llama la atención de Paty, quien en la primera parte de la sesión tuvo poca visibilidad, y le pregunta: “Paty está em aula? [¿Paty está en clase?]”, ello genera una reacción de alerta en algunos participantes, como Dilan, que pregunta “Hola Andrew, estás llamando a lista?”, o Andi, que comenta: “si, eso estaba pensando, Andrew toma asistencia”, frente a lo que la dinamizadora contesta: “Sí Dilan”, “Exacto Andi”, “miramos quiénes están activos en la sesión”. A partir de ese momento Paty se hace más activa y visible con el contenido desarrollado en la sesión. Lo anterior evidencia cómo a partir de la estrategia se facilita pasar de la visibilidad simple al aporte de contenido.

La segunda estrategia fue convocar a los estudiantes con menos visibilidad o visibilidad simple a realizar aportes en relación con la discusión, o para problematizar algo que se había dicho o hecho. La tercera estrategia consistió en promover la visibilidad a partir de las interacciones y la interactividad. El profesor orientador usó las herramientas interactivas de la plataforma para comprometer a los estudiantes con el contenido de la sesión. En diferentes momentos los orientadores trascendieron el chat y promovieron el uso de herramientas como “compartir voz”, “transferir imágenes o archivos” o “escritura individual o colectiva en la pizarra”, las cuales -de acuerdo con ^{Borba et al. (2014)} - promovieron la comunicación y posibilitaron que los participantes se tornaran más activos en la sesión y que, además, los compañeros pudieran visualizar, confrontar, complementar y discutir los aportes que hizo cada uno.

La visibilidad como ampliación se detectó cuando los participantes solicitaron ampliaciones o aclaraciones asociadas con los comentarios activos de los estudiantes y las explicaciones del profesor orientador; con esta visibilidad buscaron ilustrar ideas y conceptos que se proponían. A lo largo de la sesión esta visibilidad se dio como reacción a la situación que se presentaba, en la cual el estudiante actúa solamente como un receptor de la información, pero no aborda los comentarios para generar discusiones o reflexiones. Sin embargo, los profesores orientadores de la sesión, además de ofrecer las aclaraciones, cuestionaban y problematizaban sus opiniones continuamente, con el fin de promover en estos participantes una visibilidad con mayor contenido.

La visibilidad como aportes de contenido es una de las características en la que se generan intersecciones entre las componentes: visibilidad y contribuciones. Esta visibilidad ocurrió durante la sesión en momentos en los cuales los orientadores pidieron a los estudiantes que dieran respuesta a algunas preguntas planteadas para el desarrollo de las temáticas propuestas. En repetidas oportunidades los participantes respondieron a los cuestionamientos sin apoyarse o considerar las apreciaciones de los demás. Por ejemplo, al confrontar la lectura de los textos de apoyo teórico para la sesión, con las experiencias desarrolladas en la sesión previa Leidy indicó: “yo pienso que las actividades propuestas, permiten los propósitos de la modelación, ya que se dio la participación, el análisis de diversas situaciones” (imprecisiones ortográficas en el original), y Diego añadió: “Según lo que proponen los autores, la modelación permite involucrar de forma directa al estudiante”. Los profesores orientadores lograron reconocer este hecho como una posibilidad de transformación del ambiente (^{Gerber et al., 2016}) y propusieron a los participantes escribir en simultáneo en la pizarra o trabajar en Google Drive como una manera de generar interacciones entre los integrantes del colectivo.

4.2 La interactividad

La interactividad es una componente de la participación en la que la relación usuario-sistema cobra especial sentido (^{Schultz, 2000}). En este estudio se reconoció esta relación como punto y clave para promover maneras distintas de comprometer a los estudiantes en las actividades propuestas, en otras palabras, promover la participación acorde a la naturaleza online del ambiente en el que se desarrolló el curso.

En la relación usuario-sistema, más que una comprensión concatenada de la información, se tuvo en cuenta la capacidad de los participantes para intervenir en el desarrollo de las actividades. Los participantes mejoraron sus posibilidades de trabajo y de aprendizaje al proponer acciones comunicativas y actuar con diferentes recursos del entorno digital. En este estudio se lograron reconocer dos características complementarias de la interactividad: i) Actuaciones con los recursos del entorno digital, ii). Las posibilidades de comunicación. La Tabla 2 presenta una descripción, valoración de la presencia y un ejemplo para cada una de estas características.

La interactividad se reconoció en las posibilidades que ofrecen las herramientas disponibles en la plataforma y los usos educativos que se les dio; por tanto, se buscó trascender usos tecnicistas o domesticados de los medios (^{Borba y Villarreal, 2005}). En ese sentido, las actuaciones con los recursos del entorno digital cobran un especial sentido, no solo en relación con los procesos comunicativos que se establecen, sino también con la posibilidad de aprovechar la naturaleza del ambiente online para promover aprendizajes acerca de la modelación. Un aspecto relevante es que los recursos que se habían privilegiado en las sesiones previas del curso eran: la transferencia de voz del profesor, la proyección de diapositivas en la pizarra y el chat. En el análisis de los videos de algunas sesiones previas del curso, el diseño parecía obedecer a un modelo expositivo, transmisionista y con participación poco activa de los estudiantes.

En la sesión de modelación matemática, el uso de herramientas como escribir en la pizarra y compartir voz tuvo un rol especial. Así, por ejemplo, la posibilidad de escribir directamente en la pantalla, permitió superar las limitaciones del chat en cuanto a la disponibilidad simultánea de los aportes de los participantes, la realización de análisis, confrontaciones y discusiones a la luz del contenido de cada contribución (^{Chang y Fisher, 2003}). En la Figura 1 se observa que los participantes manipularon en la pizarra las contribuciones de sus compañeros, con el fin de relacionar las tareas de modelación estudiadas con algunas palabras clave que dieran cuenta de la interpretación de la tarea y la apropiación de los conceptos discutidos en la sesión de trabajo.

Figura 1 Relación tareas de modelación. 

De acuerdo con ^{De Wever et al. (2006)} el uso y el aprovechamiento de este tipo de recursos para promover diálogo y otras interacciones es una característica de la interactividad. Dicho aprovechamiento está en coherencia con los planteamientos de ^{Chang y Fisher (2003)}, quienes sugieren que en ambientes online, los estudiantes deben involucrarse en las discusiones, estar preparados para hablar, desarrollar soluciones y trabajar en colaboración, para una mayor comprensión de los conocimientos que se involucran en el ambiente.

La interactividad también se caracterizó por las posibilidades de comunicación que tuvieron lugar en el ambiente online. La comunicación dentro de la interactividad reveló un flujo bidireccional y multidireccional en los mensajes, condición que posibilitó la expresión de ideas y de conceptos involucrados en la sesión (^{Rost, 2004}). En la sesión se pudieron reconocer las siguientes intenciones de la comunicación:

La comunicación cobró sentido en el momento en que el receptor y el emisor compartieron un código para la comprensión de referentes y reformularon sus palabras habladas y escritas para poner en diálogo las percepciones de todos los participantes y consolidar significados. Otro ejemplo de esta característica de la interactividad fue percibido en el chat de la sesión sincrónica cuando los participantes ofrecieron sus reflexiones las actividades de modelación que elaboraron en colectivos de trabajo, y de la confrontación con sus posibilidades de acción en el aula.

Lidy: yo pienso que las actividades propuestas [en la sesión asincrónica], permiten los propósitos de la modelación, ya que se dio la participación, el análisis de diversas situaciones.

Dilan: Según lo que proponen los autores [que hemos leído], la modelación permite involucrar de forma directa al estudiante en su aprendizaje.

George: A mí las situaciones me parecen interesantes, sin embargo con la que nos correspondió al equipo número 4, yo no estoy muy de acuerdo con que el profesor le muestre dónde está el error usando el mismo instrumento... considero que también es importante que los profesores nos enseñen a preguntar.

Andy: precisamente este es el reto. Pienso que involucrar a los estudiantes plantea un gran reto para los profesores.

George: También quiero decir que para lograr los propósitos, dichas situaciones pueden estar aún más ajustadas a las realidades que viven los estudiantes propuestos en el proceso de modelación (Sesión 5, Chat en la plataforma WizIQ).

Como se señala en el chat, los participantes realizaron aportes y algunos se fundamentaron en las respuestas de los compañeros para dar cuenta de reflexiones, consideraciones y puntos de vista; por tanto, superaron la interactividad como una acción entre emisor-receptor, para lograr reformulaciones y realimentaciones de las ideas que posibilitan la producción y comprensión en el acto comunicativo, lo que modifica las concepciones y dinámicas de los ambientes online (^{Amichai-Hamburger et al., 2016}). Dichas intervenciones fomentan en los participantes acuerdos y desacuerdos acerca de los temas tratados, así como la clarificación de las ideas concebidas (^{Gros y Silva, 2006}), asunto que permite reconocer la comunicación por medio de la construcción de significados producidos conjuntamente (^{Schultz, 2000}).

4.3 Las interacciones

Como se indicó en los referentes teóricos, las interacciones se relacionan con las discusiones, reflexiones, posturas y acciones efectuadas entre los participantes de la sesión, es decir, docentes (estudiantes de maestría) y profesores orientadores de la sesión. Las interacciones se reconocieron en aquellos episodios que generaron discusiones, reflexiones individuales y colectivas, la descripción e interpretación de ideas y el hecho de compartir puntos de vista respecto a conocimientos relacionados con la modelación matemática. A lo largo de la sesión, las interacciones se caracterizaron en las relaciones sujeto-sujeto, que se articularon con las relaciones sujeto-contenido. La Tabla 3 ofrece una descripción de cada una de ellas y proporciona ejemplos.

Al igual que en ^{Parra-Zapata y Villa-Ochoa (2016)}, los participantes de este estudio manifestaron diferentes maneras de interacción, entre ellas la que se origina como una reacción natural ante las preguntas presentadas a lo largo de la sesión (interacción inducida). Enfrentarse a una tarea de modelación generó un compromiso entre diferentes grupos de trabajo que interactuaron entre sí y con el contenido para reconocer relaciones entre cantidades, realizar simplificaciones y diseñar estrategias con el propósito de determinar modelos acordes a la situación planteada. Conforme reportaron los autores, relaciones del tipo sujetos-contenido (modelación) también estuvieron presentes en un ambiente face-to-face. Sin embargo, la naturaleza online del curso descrito en este artículo requirió de maneras de interactividad complementarias para que se promoviera el trabajo en equipo, por ejemplo Google Drive y Skype.

Las principales interacciones ocurrieron en la relación estudiantes-orientadores, fundamentalmente inducidas. Pocas se dieron en la relación estudiante-estudiante, lo cual puede interpretarse como una manera de conservar el status quo del curso en general, pues en las sesiones previas a la de modelación, este tipo de interacciones fueron poco visibles. Las interacciones se caracterizaron en la relación sujeto-contenido; el contenido se refiere a todos aquellos saberes relacionados con la modelación matemática en el campo educativo. Esta característica es un punto de convergencia entre las interacciones y las contribuciones. Aunque la mayoría de las interacciones fueron dirigidas, se rescata el rol de los orientadores de la sesión en la capacidad para problematizar los avances de los participantes, lo cual promovió mayores reflexiones, orientaciones alternativas para analizar los modelos y reflexiones acerca del rol de las representaciones algebraicas en la descripción de algunos modelos matemáticos.

4.4 Las contribuciones

Este apartado presenta elementos adicionales que, articulados con las demás componentes, permiten caracterizar las contribuciones para una comprensión de la participación. Las contribuciones están vinculadas con los aprendizajes y los aportes que los docentes (estudiantes de maestría) ofrecieron y reflejan sus apropiaciones del conocimiento matemático y el conocimiento en su relación con su formación como profesionales. A partir de ello, se presentan dos características adicionales de las contribuciones, a través de reflexiones frente a la importancia de la sesión para el colectivo de estudiantes, la importancia de utilizar la modelación matemática en el aula y de qué manera puede implementarse.

Las contribuciones se caracterizaron a partir de los aportes de los profesores, partiendo de su conocimiento matemático hacia alguna situación que lo requiera, es decir, en momentos puntuales en los que evidenciaron aquellas comprensiones matemáticas y habilidades para modelar los problemas que se le plantearon. En diferentes momentos de los encuentros asincrónicos y sincrónicos, los estudiantes se involucraron en el estudio de fenómenos de modelación, particularmente en la tercera parte de la sesión sincrónica se consideró una tarea que posibilitó el estudio de algunas funciones cuadráticas a partir del análisis del modelo de crecimiento fetal (^{Villa-Ochoa, 2016}). Se pidió a los estudiantes observar los datos (Figura 2) y considerar si existía una función matemática que se ajustara al gráfico. Para responder a esta dinámica apelaron a sus conocimientos matemáticos y, en algunos casos, a software como Geogebra y Excel.

Figura 2 Gráfica del crecimiento fetal. Imagen tomada de http://www.papaenapuros.com/ evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/  

Un ejemplo de esta situación ocurrió cuando los participantes debatieron acerca de la forma de una función, de acuerdo con un modelo matemático propuesto por uno de los orientadores a partir del planteamiento de la gestación de un bebé. Sus contribuciones dieron cuenta de que su principal criterio para reconocer el tipo de modelo fue la apariencia de la gráfica. Por ejemplo, la siguiente transcripción del chat detalla algunos comentarios al respecto:

George: y no hay un decreciento del bebe.

Lilo: só considera o «dominio» positivo.

George: uno de los ejes simetricos por asi decirlo.

George: bn.

George: si.

Andy: pode ser uma função quadratica deslocada? [¿Puede ser una función cuadrática trasladada?]

George: no decia que a lo del dominio positivo.

George: estoy analizando la situacion.

George: los datos sobre todo.

Catherine: estou pensando.

En el desarrollo de la situación, la participante Sandy utilizó Excel para determinar si el modelo gráfico se ajustaba a una función cuadrática o exponencial; en ese momento, asumió un papel protagónico en la sesión. Ante sus acciones, la estudiante manifestó a través de un audio:

Inicialmente tomé una de las imágenes que estaba en la pantalla. Hice la primera gráfica y a esa gráfica se acerca a una cuadrática y todos los puntos se ajustaban a ella pero no. Eso fue lo primero que yo hice. Después volví a tomar los datos solamente hasta la semana 8. Esta fue la segunda actividad que hicimos, pero esa sí era una parábola. En tercer lugar, lo que hice fue volver a tomar los puntos pero de la semana 11 a semana 17 y con esos datos trazar la gráfica. Con herramientas de Excel reconocí la dispersión y busqué una curva que se ajustara a los puntos. La puse exponencial y se me ajustaron casi todos los puntos. No es exactamente pero se me ajusta a la mayoría de puntos. Es una gráfica muy aproximada y la expresión es y=0,0503e^ 0.4749x

Lo anterior permitió a sus compañeros considerar otros recursos, por ejemplo Geogebra. Al respecto, Paty manifestó que: “No geogebra temos essa funcionalidade de criar cônicas por cinco pontos, mas quando seleciono o intervalo da 9ª a 13ª semana, ele não identifica nenhuma quadrática possível. Encontrei essa função enquanto estávamos discutindo o primeiro exercício que vocês propuseram, foi uma forma geométrica de encontrar possíveis funções”. Las acciones realizadas por Sandy y Paty permitieron que otros compañeros se interesaran en participar y respondieran con la utilización de otros recursos. En la manera cómo se produjo la construcción de conocimiento matemático, las contribuciones de los participantes no quedaron supeditadas a la conectividad, sino que se relacionaron con la vinculación del contenido matemático, la capacidad de discusión que posibilitaron y el papel protagónico que asumieron los estudiantes al presentar sus producciones y usar recursos de la plataforma, como la pizarra interactiva y el micrófono.

4.5 CONCLUSIONES

La formación en ambientes online requiere de nuevas maneras de concebir el diseño del ambiente, además de la pertinencia y la incidencia de la temática que se discuta y la producción de conocimiento matemático que suscite. A diferencia de las sesiones online convencionales, la propuesta de ambiente online en esta investigación permitió prever distintas maneras de participar, lo cual incluye el uso de diferentes recursos, herramientas y entornos, pero que posibilita una construcción y reflexión colectiva en torno al tema discutido, asunto que provoca la diferencia con otras experiencias.

Es importante mencionar que se dan nuevas connotaciones a la participación en cuanto a la visibilidad, la interactividad, las interacciones y las contribuciones. De acuerdo con estas componentes, quedó en relieve que es urgente concebir la participación en dichos escenarios y procurar que sean requisitos, además de la visibilidad y la interacción, la interactividad y las contribuciones, de tal suerte que posibiliten transformaciones en la experiencia formativa de los participantes.

Si bien la intención de la investigación era identificar y caracterizar las maneras de participación, se logró recrear cómo la participación se convirtió en el medio para desarrollar el conocimiento matemático a partir de la modelación matemática, promover discusiones que aportan al proceso formativo de los profesores (^{Álvarez, 2010}) y cómo dichas situaciones pueden promover en los docentes nuevas visiones frente a conceptualizaciones matemáticas (^{Villa-Ochoa, 2016}).

Los resultados sugieren que los participantes (profesores en ejercicio y estudiantes de maestría en ambientes online) deben usar su experiencia con relación al conocimiento para dinamizar los espacios formativos, aportar, conjeturar, contra argumentar, discutir y proponer, entre otras acciones. En este sentido, el comportamiento adaptable a las situaciones que lograron los profesores es muestra de la versatilidad a la que están dispuestos los participantes cuando se asumen comprometidos en las dinámicas formativas.

Este tipo de ambientes exige de los participantes creatividad, planificación, diseño y producción de conocimiento, entre otros elementos. En este contexto, los estudiantes pueden dejar de ser vistos como receptores de la información y, por otro lado, el papel de los participantes-coordinadores adquiere otros sentidos. El coordinador es un orientador que aporta su experiencia y conocimientos con el fin de motivar espacios de interacción y discusión entre los participantes de la sesión por medio de preguntas y le da coherencia a las discusiones, además que sintetiza los puntos de vista de todos con respecto a los temas que emergen en las discusiones de clase (^{Salvat y Quiroz, 2005}).

Estos resultados indican una explicación de cómo las maneras en que se manifestó la participación se relacionan con las motivaciones e intereses de los estudiantes. Las acciones que efectuaron en las plataformas sugeridas y con recursos externos (Geogebra, Excel) indican que participaron en la construcción matemática asociada con la situación del control del crecimiento fetal; asimismo, relacionaron los procedimientos con otras dinámicas propuestas por el ambiente online.

Este estudio revela que la participación se manifestó a partir de la visibilidad, la interactividad, las interacciones y las contribuciones, pero no como elementos aislados, por el contrario, como componentes articulados que estructuran y dan sentido a la participación. En consonancia con ^{Graham y Misanchuk (2004)}, se concluye que las maneras de participar no quedan reducidas a la cantidad o duración de la sesión ni a una participación simple de hacerse notar, sino que existen evidencias en términos de que las búsquedas propias conllevan a unas actuaciones vinculadas que posibilitan a todos los participantes (profesor y estudiantes) formar parte activa del ambiente de aprendizaje.

De acuerdo con lo anterior, la participación en ambientes online no ocurre de manera espontánea, se requiere de múltiples estrategias y de la atención de los profesores para promover maneras de participación más profundas. En particular, en este estudio se utilizaron tres estrategias: el profesor asume el rol de dinamizador durante toda la sesión, las contribuciones de los estudiantes fueron presentadas en simultáneo para discutirlas, y lo que hace el estudiante es problematizado continuamente, para promover nuevas interacciones.