INTRODUCCIÓN

En este trabajo se propone abordar un problema de investigación en torno a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel secundario argentino, particularmente en el último año de la escolaridad (estudiantes de 16-17 años). Esta problemática ha sido y es el foco de interés de gran parte de los investigadores en Educación Matemática (^{Artigue, 2004}; ^{Brousseau, 1986}; ^{Barallobres, 2016}; ^{Barquero, 2011}; ^{Chevallard, 2002}, ²⁰⁰⁴; ^{Gascón, 2002}; ^{Otero et al., 2013}; ^{Quiroz Rivera y Rodríguez Gallegos, 2015}; ^{Trigueros, 2009}). En nuestro caso, describiremos este problema a partir del referente que sirve de marco teórico a nuestro trabajo: el enfoque antropológico de ^{Chevallard (2004}, ²⁰⁰⁹, ^2013a, ^2013b, ²⁰¹⁴⁾, denominado la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD).

La TAD caracteriza un fenómeno identificado en los sistemas de enseñanza y denominado monumentalización de los saberes (^{Chevallard, 2013a}). Este fenómeno se describe a partir de una analogía con la visita a un museo: se invita y guía a los estudiantes a “visitar” las obras propuestas en los programas oficiales como un guía conduce a una persona a admirar los monumentos dentro de un museo. Allí, las obras expuestas solo se pueden mirar y venerar, sin tocarlas ni manipularlas y manteniendo cierta distancia. Análogamente, en los sistemas de enseñanza las matemáticas son estudiadas como si fuesen un monumento para honrar, admirar, y que no tiene más que raros usos. Este fenómeno nace, vive y se desarrolla en el paradigma de enseñanza dominante en las instituciones escolares, denominado paradigma monumentalista o de inventariar los saberes (^{Chevallard, 2013a}). En este paradigma la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se limitan a un inventario de obras “muertas”, carentes de sentido, sin razones de ser, transparentes e incuestionables (^{Chevallard, 2004}).

En contraposición al paradigma monumentalista, ^{Chevallard (2004)} propone la gestación del paradigma de la investigación y del cuestionamiento del mundo (PICM), incorporando el dispositivo didáctico de los Recorridos de Estudio e Investigación (REI). Los REI son considerados un potencial generador de procesos funcionales, posicionando las preguntas como punto de partida de los procesos de estudio. Preguntas en sentido fuerte, es decir, tales que su respuesta no represente una simple búsqueda de información, sino que sea necesaria la construcción o reconstrucción de una praxeología o un conjunto de ellas. Preguntas con este potencial son denominadas preguntas generatrices. Con la introducción de los REI se recuperaría el sentido y las razones de ser -o al menos una razón de ser- de las obras matemáticas propuestas a estudiar en los programas oficiales. Según ^{Chevallard (2014)}, lanzar y conducir un REI es pilotear un sistema didáctico formado, por ejemplo en una clase de matemáticas, por un grupo de estudiantes, un profesor o un conjunto de profesores y una pregunta Q generatriz. Este sistema didáctico construye un medio de estudio que permite “fabricar” la respuesta R a la pregunta Q. En este proceso de construcción de respuestas, la comunidad de estudio desarrolla ciertas praxeologías consustanciales a la situación de estudiar e investigar, denominadas “dialécticas” (^{Chevallard, 2012}). El desarrollo de estas dialécticas será el que permita pilotear el REI.

Centrándonos en el funcionamiento de las dialécticas, entendidas como gestos clave para concretar una enseñanza mediante el REI, este trabajo se propone abordar el problema de la monumentalización de saberes con un objetivo particular: presentar una metodología de análisis que permita identificar y describir una serie de indicadores didáctico-matemáticos de cada una de las dialécticas, a partir del análisis de datos obtenidos al implementar un REI en el último año del nivel secundario argentino. El objetivo de este trabajo no consiste en describir detalladamente la dinámica del proceso de estudio del REI, sino que corresponde a una fase posterior de análisis. Es decir, luego de la descripción, análisis y evaluación de la implementación del REI -resultados que ya han sido publicados (^{Parra, Otero, Fanaro, 2013}, ²⁰¹⁴, ²⁰¹⁵)- hemos identificado una serie de indicadores didáctico-matemáticos que permitirían determinar el funcionamiento de cada una de las dialécticas y, al mismo tiempo, el poder generador de las preguntas generatrices y sus derivadas. Así, la pregunta de investigación de este trabajo puede formularse de la siguiente manera: ¿Cómo determinar, a partir de los resultados de la implementación de un REI, un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos para cada una de las dialécticas? ¿Qué condiciones (y restricciones) nos aporta el análisis de las dialécticas sobre el funcionamiento de los REI? Nos proponemos entonces realizar no solamente un aporte desde la perspectiva metodológica, sino también desde el enfoque teórico. Consideramos aportes en los siguientes términos: por un lado, contribuir con una metodología de análisis de resultados de la implementación de un REI a partir de indicadores de las dialécticas, especificando un conjunto de indicadores para cada una de ellas. Diversos trabajos abordan enseñanzas por REI (ver sección siguiente), pero pocos se centran en las dialécticas y, menos aún, en especificar un conjunto de indicadores. Por otro lado, aportar en aspectos teóricos desde el punto de vista de la relación entre el funcionamiento del dispositivo REI, sus preguntas generatrices y el conjunto de indicadores.

Para aportar respuestas a esta pregunta, presentamos en primer lugar la definición y características más importantes de los REI. Luego, sintetizamos los antecedentes de la enseñanza por REI que resultan relevantes para nuestro trabajo, en términos de contextos de implementación y análisis de resultados. Posteriormente describimos las nueve dialécticas propuestas en el marco de la TAD. Esta descripción se elabora segmentando cada una de las dialécticas para efectos de facilitar la identificación de los indicadores, pero esto no significa que exista esa separación entre cada una de ellas. De hecho, todas las dialécticas están interrelacionadas entre sí y, por consiguiente, esta delimitación se realiza sólo para efectos del análisis. Después presentamos la metodología de la investigación, dando algunas características centrales de la dinámica del REI implementado. Inmediatamente presentamos los resultados en términos de identificación y descripción de este posible conjunto de indicadores didáctico-matemáticos y, por último, los aportes y conclusiones. A continuación se proponen la definición y las características más importantes de los REI.

DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS REI

El estudio de una pregunta Q como punto de partida del saber supone la emergencia de sistemas didácticos de la forma S (X; Y; Q). Por ejemplo, en una clase de matemática, esto significa que un grupo de alumnos (X) con la ayuda del profesor (Y) construirá una respuesta R a la pregunta Q. El funcionamiento de este sistema responde a lo que ^{Chevallard (2013b)} denomina esquema herbartiano. En su forma reducida, se escribe de la siguiente manera: S (X; Y; Q)R^♥. El símbolo ♥ colocado en el exponente de la respuesta R indica que la respuesta a la pregunta Q fue producida bajo ciertas limitaciones y “funciona” como respuesta a esa pregunta bajo esas limitaciones (^{Chevallard, 2009}). La elaboración de R^♥ a partir de Q supone la “fabricación” de un medio didáctico M. Esto se expresa en el esquema herbartiano semi-desarrollado

O sea, el sistema didáctico construye y organiza () el medio M, con el cual engendrará o producirá () una respuesta R^♥. Este esquema indica que la elaboración del medio M se articula de modo complejo con la elaboración de la respuesta R^♥. Esta observación se aplica en el esquema herbartiano desarrollado (^{Chevallard, 2009}), que se escribe así:

Donde M = {R₁^◊, R₂^◊, R₃^◊, …, R_n^◊, Q_{n + 1}, …, Q_m , O_{m + 1}, …, O_p} es el medio didáctico o medio para el estudio (de Q). Las respuestas disponibles R^◊_i , las preguntas derivadas Q_j y las otras obras O _l son instrumentos potenciales para el estudio de Q, instrumentos a estudiar convenientemente -en “calidad” y en “cantidad”, para ser utilizados en el momento oportuno, de manera efectiva y eficaz en el estudio de Q y entonces en la construcción y validación de R^♥ (^{Chevallard, 2009})-. Los objetos notados por R_i^◊ para i = 1, …, n son respuestas “hechas”, disponibles -por ejemplo, un libro, una página Web, el curso de un profesor, etc.-; las entidades O _l para l = m + 1, …, p son otras obras -teorías, montajes experimentales, praxeologías, etc.- consideradas útiles para deconstruir las respuestas R^◊ y extraer lo necesario que hay allí para construir la respuesta R^♥ (ibid). Con la introducción del esquema herbartiano desarrollado, ^{Chevallard (2012)} precisa lo que puede ser visto como un Recorrido de Estudio y de Investigación (REI).

Una vez definidos los REI, sintetizamos a continuación sus características esenciales:

En la sección siguiente presentamos el estado actual de la cuestión en torno a enseñanzas por REI, con el propósito de mostrar en qué contribuiría, de forma novedosa, nuestro trabajo.

ANTECEDENTES DE ENSEÑANZAS POR REI

En esta sección describiremos los 14 trabajos más recientes que han sido desarrollados en el contexto de enseñanzas por REI, o propuestas abiertas de REI. Describiremos, en primer lugar, los trabajos según su codisciplinaridad, ya sea con la Economía y/o Ciencias Económicas y empresariales y/o Administración y dirección de empresas, al igual que con la Biología, la Física o la Medicina. Luego pasamos a los recorridos monodisciplinares (cuyas cuestiones son intra-matemáticas), y un recorrido propuesto para estudiar cuestiones de la Didáctica de la Matemática.

^{Fonseca (2010)} implementó un REI cuya cuestión generatriz corresponde a la movilidad del personal de una empresa, planteando hipótesis respecto no solo de las políticas de movilidad, sino también sobre la repartición de los trabajadores. La implementación de recorrido se realizó en un taller-seminario con estudiantes de una facultad de ciencias económicas y empresariales. El REI provocó la emergencia de la diagonalización y multiplicación de matrices, así como la resolución de sistemas de ecuaciones. El análisis y descripción de resultados se centró en las organizaciones matemáticas desarrolladas y en la determinación y descripción de los momentos del estudio. Continuando con el estudio de la diagonalización de matrices, ^{Fonseca (2011c)} diseñó e implementó un REI en un taller de matemáticas con alumnos de una escuela de ingeniería industrial, cuya pregunta de partida se refiere a la fabricación de tres modelos de motos. Para cada fábrica se especifican los índices de producción, los costos, ingresos, precio de venta y forma de trabajo, construyendo modelos matriciales lineales y utilizando el software Mathematica. El análisis y descripción de resultados se elabora en términos de los momentos del estudio y de las técnicas matemáticas propuestas.

^{Serrano, Bosch y Gascón (2010)} diseñaron un taller de modelización y lo implementaron en cuatro grupos de primer año de una carrera de administración y dirección de empresas. Proponen iniciar el taller con una cuestión generatriz vinculada a la previsión de ventas. El taller, que funcionó de forma paralela al desarrollo del curso, tuvo una duración de 5 sesiones de clases. Previo a la concreción del taller, se llevaron a cabo cuatro “clases teóricas” para que los estudiantes tuvieran conocimientos sobre ciertas familias de funciones ya estudiadas en secundaria, tales como función afín, función cuadrática, función cúbica, función hiperbólica y funciones exponenciales. Se realizó un análisis a priori de las posibles cuestiones derivadas y se evaluó la experimentación según las restricciones identificadas y la dialéctica de los medias y medio.

^{Donvito, Otero, Sureda (2014)} diseñaron, implementaron y analizaron la viabilidad de un REI cuya pregunta generatriz se refiere a los planes de ahorro. Se efectuaron implementaciones en cursos habituales de matemáticas de tres instituciones con características diferentes: una secundaria estatal (estudiantes de 16-17 años), una privada (estudiantes de 16-17 años) y una secundaria para adultos (estudiantes de 16-60 años). El REI suscita el estudio de funciones, funciones lineales, funciones exponenciales, logaritmos, límites y el número e, sucesiones y series, capitalización, amortización (constantes y variables). El análisis de resultados fue elaborado a partir de las actitudes de la PICM: herbartiana, procognitiva, exotérica, de problematización y enciclopedista ordinario.

^{Ruiz-Munzón (2010)} y ^{Ruiz,Bosch, y Gascón (2007)} proponen el diseño y la experimentación de un taller de modelización matemática cuya pregunta generatriz corresponde a los beneficios, la producción y venta de camisetas. La experimentación se efectuó en tres grupos de estudiantes del nivel secundario durante el tercer trimestre 2004/2005. Se propone la utilización de la Calculadora Simbólica Wiris (CSW) para facilitar la creación, representación gráfica y manipulación de diferentes expresiones algebraicas. Se distinguen, a lo largo del trabajo, dos casos en relación a la función costes (costes lineales y costes cuadráticos), suponiendo que la función de ingresos es igual al producto entre las cantidades vendidas y el precio de venta por unidad del producto. Se propone una caracterización del desarrollo hipotético de la modelización funcional, en tres niveles caracterizados mediante praxeologías matemáticas de complejidad y completitud crecientes. Además, el análisis de datos fue elaborado a partir de las cuestiones derivadas y los modelos construidos para dar respuesta.

^{Barquero (2009}, ²⁰¹¹⁾ diseño e implementó un REI cuyas preguntas generatrices corresponden a la dinámica de poblaciones. La implementación se llevó a cabo en un curso denominado “taller de modelización matemática”, con alumnos de ingeniería técnica química industrial de la Universidad Autónoma de Barcelona. Este taller fue desarrollado de forma paralela al curso tradicional de matemáticas. El recorrido propuso estudiar la evolución de una población cuyo tamaño varía con el tiempo. La pregunta generatriz condujo al diseño de tres REI que permitieron cubrir parte de las organizaciones matemáticas propuestas para estudiar en el programa de estudio de los primeros cursos universitarios de Ciencias Experimentales: por ejemplo, cuestiones de álgebra lineal y cálculo diferencial en una variable. El análisis y descripción de las experimentaciones fue realizado en términos de cuestiones generatrices, cuestiones derivadas, modelos poblaciones y organizaciones matemáticas, construidos para dar respuesta a tales cuestiones.

^{Ruiz-Higueras y García García (2011)} describieron las praxeologías que surgen al desarrollar tareas de modelización matemática a partir de un sistema configurado por una colección de gusanos de seda que se transformará (metamorfosis) a lo largo del tiempo. En la propuesta participaron una maestra y un grupo de alumnos (3 a 6 años) de la educación infantil. Los niños trabajaron en un taller de matemáticas que permitió abordar no únicamente las diferentes cantidades de magnitudes discretas, sino también la necesidad de medirlas y de formular esta medida. La descripción de los resultados fue realizada a partir de la determinación de las praxeologías matemáticas construidas, y de la caracterización de la praxis y logos didáctico de la profesora.

^{Costa, Arlego y Otero (2014)} diseñaron e implementaron un REI codisciplinar a la Física en un curso habitual de matemáticas de una facultad de ingeniería. La pregunta generatriz se refiere a la construcción de edificaciones sustentables. Esta pregunta y sus derivadas permiten emerger las razones de ser del Cálculo Vectorial, integrando campos como la Termodinámica, la Mecánica de los Fluidos, la Hidrodinámica, la Electricidad y el Magnetismo. El análisis de datos se hizo a partir de la escala de niveles de codeterminación didáctica y de las dialécticas, concluyendo con una serie de condicionamientos en las diferentes escalas que dificultan el desarrollo del REI.

^{Otero, Gazzola, Llanos y Arlego (2016)} diseñaron, implementaron y evaluaron un REI a partir de la pregunta generatriz ¿Por qué se cayó la Piedra Movediza de Tandil? Se llevaron a cabo implementaciones en cursos de los últimos años del nivel secundario, en cursos de formación de profesores de matemáticas y con investigadores en formación. Fueron estudiadas cuestiones referidas a los sistemas oscilantes, movimiento armónico simple, ecuaciones del movimiento, funciones armónicas, oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancia, nociones de periodo, frecuencia, ciclo en una oscilación, funciones seno y coseno. Analizaron los resultados en términos de preguntas derivadas, de las organizaciones matemáticas y físicas desarrolladas y de los modelos construidos.

^{Oliveira Lucas (2015)} describe la experimentación y evaluación de recorridos de estudio e investigación diseñados para la enseñanza del cálculo diferencial elemental en un primer curso de una licenciatura de Medicina Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa. Estos recorridos partieron de datos concretos y se basaban en problemas vinculados a la propagación de epidemias y a la variación de la concentración de un medicamento. Efectuaron la construcción y descripción de los posibles recorridos matemáticos a priori y cada sesión de clase fue analizada en términos de las cuestiones, actividades y técnicas.

^{Llanos y Otero (2015)} diseñaron, implementaron y evaluaron un REI cuya pregunta generatriz corresponde a la multiplicación de curvas. El REI fue implementado en dos cursos en paralelo por cada año, durante tres años consecutivos, con estudiantes de cuarto año (14-15 años) del nivel secundario argentino. El recorrido permite estudiar varias organizaciones matemáticas, según las curvas que se elijan y las operaciones, entre ellas: funciones polinómicas, funciones racionales, funciones homográficas, funciones potenciales, funciones radicales, funciones trascendentes. “La generatividad de la cuestión inicial propuesta en el REI, planteada en los dominios geométrico, gráfico y funcional; da sentido a los puntos notables de las curvas y a las características generales de la representación gráfica de dicha función” (^{Llanos y Otero, 2015: 270}). Se hizo un análisis detallado de acuerdo con las funciones didácticas (mesogénesis, topogénesis y cronogénesis).

^{Fonseca, Pereira y Casas (2010)} diseñaron e implementaron, en un “taller de problemas”, un recorrido para estudiantes de Ingeniería Química cuya pregunta de partida se refiere a la optimización de funciones. Otorgaron un rol fundamental al software GeoGebra y al software Máxima. Construyeron un primer modelo algebraico identificando sus componentes, relaciones y expresión. El análisis de la experimentación se hizo en términos de las modificaciones posibles de realizar a la cuestión inicial para lograr transponerla de la institución secundaria a la universidad, en función de los momentos del estudio y determinando los grados de completitud de las organizaciones matemáticas reconstruidas.

^{Fonseca (2011a}, ^2011b) diseñó un REI en torno al “diseño y fabricación de un contenedor que tenga el mayor volumen posible” (^{Fonseca 2011b: 16}). Su objetivo fue promover una continuidad en el proceso de estudio desde el nivel secundario hacia los primeros años de la universidad, a partir de la ampliación de una misma cuestión generatriz. El REI no fue implementado en la escuela secundaria y sí en la universidad, en la Escuela de Ingeniería Industrial (electrónica y química) durante tres sesiones de un “taller de matemática”. En este nivel, se propone estudiar unidades relativas al Cálculo y Álgebra Lineal. El objetivo particular de este recorrido es abordar el estudio de la derivada introduciendo la optimización de funciones como respuesta a la pregunta generatriz y sus derivadas, recuperando tareas que abarcan, por ejemplo, el estudio de la monotonía de la primera y segunda derivada, los extremos de una función y la interpretación de derivadas. Los datos fueron analizados a partir de la determinación de los grados de completitud de las organizaciones matemáticas reconstruidas.

^{Corica y Otero (2016)} diseñaron, implementaron y evaluaron un REI para la formación de profesores. El recorrido se desarrolló en un curso del tercer año de la carrera de profesora en matemáticas, en una universidad pública argentina. Se propuso a los futuros docentes la cuestión generatriz ¿Cómo diseñar e implementar dispositivos didácticos para el estudio de la matemática? El análisis fue realizado a partir de la categorización de las preguntas derivadas según el género de tarea al que remite su estudio, la identificación de los tipos de tareas asociados a los mismos y las actitudes que pueden describirse en términos de las dialécticas.

La caracterización y clasificación de estos trabajos están resumidas en la Tabla 1. La primera columna contiene el(los) autor(es) de los trabajos y el año de publicación; la segunda, el tipo de propuesta; la tercera incluye las nociones, temas y disciplina en torno a los cuales han sido formuladas las preguntas generatrices de cada REI; la cuarta columna presenta el nivel educativo y/o la carrera en la cual ha sido propuesto y/o implementado el REI; la quinta, el espacio de implementación (un taller de matemáticas, un seminario o el curso habitual de matemáticas) y, finalmente, la última columna contiene el foco de análisis de cada trabajo.

Lo novedoso de nuestro trabajo es la propuesta, desarrollo y uso de una nueva metodología de análisis para estudiar la dinámica de los REI, una metodología antes no usada y propuesta por primera vez en este trabajo. Nuestro REI se vincula a cuestiones de la microeconomía, específicamente los modelos de oferta y demanda de un único bien. El REI fue implementado en dos cursos de matemáticas del nivel secundario argentino, en las clases habituales, no en cursos tipo “Taller” ni en clases paralelas al curso habitual. Este recorrido tuvo una implementación extendida en el tiempo (36 sesiones), marcando allí una diferencia con las implementaciones de otros diseños. Además, se describió el proceso de estudio en términos de los gestos didácticos denominados “dialécticas”. Aquí reside la contribución más importante y novedosa: la metodología de análisis que presentamos en este trabajo corresponde a la construcción de un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos potencialmente útiles para determinar la operatividad de cada una de las dialécticas. Nos ubicamos en una fase superior de análisis: nos centramos no en describir el proceso de estudio producto de la implementación del REI (resultados ya publicados en ^{Parra, Otero y Fanaro, 2013}, ²⁰¹⁴, ²⁰¹⁵), sino en cómo generar un conjunto de indicadores de las dialécticas, con base en los datos obtenidos al implementar el REI. Estos indicadores se encuentran en una primera etapa de formulación y, por consiguiente, serán ampliados a partir no solo de futuras implementaciones propias, sino de otros colegas que trabajen en enseñanzas por REI. El trabajo de ^{Salgado, Otero y Parra (2017)} aporta en este sentido y corresponde a una tesis en vías de desarrollo. Aquí se ha implementado un REI en la universidad, en dos cursos de Cálculo con estudiantes de Economía y Administración de empresas. La pregunta generatriz se refiere a los costos de un microemprendimiento. Para el análisis del proceso de estudio, el trabajo ha tomado como punto de partida la construcción de los indicadores aquí descritos. Antes de presentar los indicadores construidos, incluimos una breve descripción de cada una de las nueve dialécticas. Esta descripción se realiza de manera independiente no para indicar la no relación entre ellas, sino para manipular la construcción de los indicadores de cada una de las dialécticas.

DIALÉCTICAS O SABERES-HACER DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS

Existen diferentes acepciones del concepto “dialéctica”, una de ellas es interpretarla como “la ciencia del movimiento”; esta concepción es muy indeterminada y subraya la movilidad o carácter dinámico de todo. Otra es definir la dialéctica como concepción de la “diversidad de relaciones” implicadas en cualquier proceso: significa que todo está interconectado y que hay un proceso continuo de cambio en esta interrelación (^{Bueno, 1972}). La tercera acepción de dialéctica es definirla como concepción que subraya la estructura de “retroalimentación negativa” de ciertos sistemas, llamados precisamente por este motivo, dialécticos (^{Olleta, 1997}). La cuarta acepción, que fundamenta la noción de dialéctica en una enseñanza por REI, es la de dialéctica definida en función de las contradicciones implicadas en los procesos analizados, en este caso, en los procesos de estudio. Esta concepción acepta los cambios originados en las contradicciones, a partir del conflicto o del enfrentamiento. Aquí, en un aula de clase, en una comunidad de estudio provista con las intenciones de responder una pregunta generatriz y sus derivadas.

Tabla 1 Caracterización y clasificación de los trabajos referidos a enseñanzas por REI 

Adhiriéndonos a la noción de dialéctica como una “teoría de las contradicciones”, y considerando el carácter metafórico de la ciencia en general y de la didáctica en particular, asumimos que las acciones ocurridas en el desarrollo de una clase pueden encuadrarse en diferentes gestos dialécticos: del estudio y de la investigación; del individuo y del colectivo; del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didáctica; del tema y fuera-de-tema; del paracaidista y de las trufas; de las cajas negras y cajas claras; media-medio; de la lectura y de la escritura, y de la difusión y de la recepción (^{Chevallard, 2002}, ^2013b). Es importante destacar que no hay dualidad en una dialéctica sino un proceso interactivo, una interrelación entre los polos de la misma que generan “algo nuevo”. Por ejemplo: entrar o salir del tema son acciones contrapuestas, no duales, una acción llama a la otra. Dentro de esta dialéctica, si se comenzó a estudiar un asunto, habrá también que decidir cuándo dejar de hacerlo, pero esta dinámica produce el estudio de un asunto de una manera “nueva”, dirigida por el interés de responder a un cuestionamiento.

A continuación presentamos la metodología de la investigación. Resulta indispensable mencionar, además, en esta sección las características de la dinámica del REI implementado, para ubicar al lector en el proceso de construcción de los indicadores. Por cuestiones de espacio -y debido a que el objetivo de este trabajo no es describir las implementaciones del REI, sino presentar los indicadores didáctico-matemáticos de las dialécticas- solamente describiremos brevemente la dinámica y estructura del REI experimentado. Una descripción detallada de esta dinámica se encuentra en ^{Parra,Otero y Fanaro (2013)}.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

La implementación del REI fue llevada a cabo en el último año del nivel secundario argentino desde el primer día del ciclo lectivo, y estuvo a cargo del investigador. Comenzar con la implementación desde el primer día de clases fue una decisión tomada durante la etapa de diseño del REI pues, de esta forma, no se realizó un “entrenamiento” previo en las praxeologías que permitirían dar respuesta a las preguntas, es decir, los estudiantes no sabrían qué nociones matemáticas permitirían aportar las respuestas. La implementación de mayor duración se desarrolló durante 36 sesiones de clases en un grupo de alumnos del último año de los niveles secundarios argentinos (16-17años), distribuidos (a elección de ellos) en 6 grupos de trabajo ubicados, por decisión institucional, en mesas redondas. Las 36 clases se desarrollaron a lo largo de siete meses. Los encuentros se concretaban dos veces por semana, con duración de 2 horas cada sesión. Se realizó observación participante, se tomaron notas de campo que permitieron registrar en un diario de clase las intervenciones, dificultades, sensaciones, acontecimientos, etc. Fue registrado el desarrollo de las clases en audios generales, para facilitar su registro cronológico, y principalmente se recolectaron las producciones de los estudiantes de todas y cada una de las sesiones de clase. Estas producciones eran escaneadas y devueltas la sesión siguiente.

El REI fue implementado dentro de las clases usuales de matemáticas. El profesor y los estudiantes acordaron que el proceso de estudio a desarrollar diferiría de la forma en que estaban habituados a trabajar. Este grupo de jóvenes ha realizado toda su escolaridad con una enseñanza enmarcada en el paradigma tradicional, donde el docente de matemáticas explica un “tema” del programa y los alumnos resuelven actividades de aplicación del “tema” previamente expuesto. En esta oportunidad, el profesor les propuso trabajar de forma diferente: estudiarían matemáticas a partir de preguntas que cada grupo debería responder y luego comunicar y defender. No se redactó un contrato de trabajo, pero sí se mencionaron algunas “cláusulas” respecto a:

Las preguntas generatrices del REI se refieren a la microeconomía, específicamente al comportamiento de las leyes de oferta y la demanda de mercado. Desarrollamos un REI cuyas preguntas e hipótesis de partida (H₀, H₁ y H₂) permiten construir y analizar las variaciones de un modelo lineal de oferta y demanda, donde las ecuaciones dependen únicamente del precio del bien (p) y de las cantidades del mismo (cantidad demanda y cantidad ofrecida). Estas hipótesis no se explicitaron al grupo de alumnos como tales, sino que fueron consideradas durante las primeras fases de la ingeniería didáctica, específicamente cuando se diseñó el recorrido implementado. Las hipótesis son las siguientes:

H₀: Existe el estado de equilibrio y es accesible.

H ₁: El equilibrio en el mercado se alcanza si y sólo si la demanda excedente es cero: C _d - C _o = 0, siendo C _d la función de demanda y C _o la función de oferta.

H ₂: Las funciones C _o y C _d son lineales y dependen de una única mercancía.

Bajo estas hipótesis, las preguntas generatrices, tal cual fueron presentadas a los estudiantes por parte del profesor, fueron las siguientes:

Q ₁ : Supongamos que se está elaborando un producto con la intención de venderlo. De un ensayo de ventas previo se obtuvo la información ofrecida en las tablas siguientes:

¿Cómo determinar a qué precio por unidad todo lo producido se vende y no queda demanda insatisfecha? ¿Qué modelo lineal permitiría estudiar el comportamiento de la oferta y demanda en este mercado?

Q₂: ¿Cómo se podría estudiar el comportamiento de las leyes de oferta y la demanda para cualquier par de funciones lineales de oferta y de demanda? ¿Cómo podría hallarse en este caso el punto de equilibrio?

Q₃: Supongamos que la función de oferta de un mercado está dada por la función C_o (p) = 3p - 2 y que la función de demanda, por C_d (p) =-4p + 6 ¿Cómo describir la variación del punto de equilibrio si solo se modifica el valor de la cantidad inicial demandada? ¿Y si se modifica el valor de la cantidad inicial ofrecida?

Q₄: ¿Cómo describir la variación del punto de equilibrio si solo se modifica el valor de las pendientes?

Q₅: ¿Cuánto varía exactamente el punto de equilibrio en cada caso?

Es importante mencionar que estas preguntas fueron presentadas en el orden indicado. O sea, fue una sucesión de preguntas donde cada una de ellas fue propuesta por el profesor en los momentos donde lo creía conveniente. Cada grupo de alumnos tenía la tarea de aportar una respuesta, comunicarla y defenderla ante el resto. Las preguntas que surgían en los distintos grupos de alumnos eran consideradas por la comunidad de estudio y también debían responderse. Cada grupo debía aportar respuestas, utilizando las sesiones de clases necesarias y los recursos disponibles. El profesor recorría los grupos para seguir el trabajo de cada uno y gestionaba las puestas en común, ayudando pero sin aportar las respuestas a las preguntas planteadas, permitiendo que los estudiantes asumieran su papel en la construcción de respuestas y en el planteo de nuevas preguntas. Los alumnos debían hacerse cargo de las preguntas y comprometerse con la elaboración de respuestas genuinas, y no simplemente buscando información.

El REI experimentado permitió estudiar organizaciones matemáticas en torno a rectas del plano en diversos momentos del proceso de estudio, a la derivada de funciones que condujo al estudio del límite de funciones (invirtiendo así el orden “habitual”, que en general se efectúa a la inversa, primero se estudia el límite y luego la derivada), a la continuidad y al análisis de algunas funciones sencillas. Respecto a las obras de la microeconomía, fue posible estudiar el esquema de funcionamiento de un modelo económico, el análisis de los mercados, concepto, clases, funcionamiento, equilibrio y la determinación de precios.

Cada pregunta permitió a los grupos (con la ayuda del docente) formular una serie de preguntas derivadas, que por razones de espacio no detallaremos aquí. Conviene mencionar que las preguntas derivadas emergieron durante el proceso de estudio. Como ya lo indicamos anteriormente, el profesor propuso a los estudiantes las preguntas que presentamos bajo el rótulo Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ y Q₅. Estas preguntas no se dividieron a priori en cada una de sus derivadas, sino que las derivadas emergieron a lo largo del proceso de búsqueda de respuestas a las Q_i, i = 1, …, 5. Es decir, el profesor no dividió a priori las cuestiones Q_i, i = 1, …, 5 en sus derivadas -por ejemplo, el profesor no dividió a priori la cuestión Q₅ en 13 sub-cuestiones, sino que estas 13 sub-cuestiones fueron emergiendo a lo largo del proceso de estudio en los diferentes grupos de la clase, bajo su dirección-. Una descripción detallada del funcionamiento de la dialéctica del estudio y la investigación centrada precisamente en la generación de las sub-cuestiones ha sido el foco de un trabajo ya publicado (^{Parra, Otero y Fanaro, 2015}). Aquí solamente presentamos el esquema que resume las preguntas.

Para analizar los registros obtenidos fue diseñada la Tabla 2. En la primera columna se coloca el número de clase (desde la clase 1 a la 36); la segunda contiene las preguntas estudiadas; la tercera, dividida en 9 sub-columnas, contiene las dialécticas; aquí se coloca un 1 para indicar que esa dialéctica fue identificada y un 0 para indicar que no. Finalmente, la cuarta columna contiene el indicador del funcionamiento de la dialéctica correspondiente.

Tabla 2 Funcionamiento de las dialécticas 

Esquema 1 Resumen de preguntas formuladas durante las 36 sesiones de clases. 

PRINCIPALES RESULTADOS: INDICADORES DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS DE LAS DIALÉCTICAS

D_E-I: del estudio y de la investigación: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica cuando en algún momento de la clase se produce:

D_I-C: del individuo y del colectivo: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica cuando se detectan las siguientes acciones:

D_ASP-ASD: del análisis (síntesis) praxeológica y del análisis (síntesis) didáctico: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica cuando se observa alguna acción del siguiente tipo:

D_T-FDT: del tema y fuera-de-tema: previo a enumerar los indicadores, diremos que la separación entre matemática y microeconomía se efectúa en términos de la exploración de ámbitos que no parecían tener mucha relación directa con la cuestión considerada. Por ejemplo, el estudio del límite de funciones se produjo a partir de la pregunta sobre las variaciones del precio y cantidad de equilibrio. Esta exploración no fue evidente al considerar la pregunta Q₄. Así, detectamos que esta dialéctica funciona por acciones tales como:

D_P-T: del paracaidista y de las trufas: esta dialéctica se pone en funcionamiento cuando es introducida por primera vez una pregunta “nueva”, alguna pregunta derivada, alguna R ^◊ y/o cualquier obra que, habiendo realizado una búsqueda en diferentes media y sin un análisis exhaustivo, pareciera ser útil a la construcción de la respuesta R ^♥. El funcionamiento de esta dialéctica es identificado cuando en algún momento de la clase observamos que:

D_CN-CC: de las cajas negras y cajas claras: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica si en algún momento de la clase se produce un estudio “incompleto”, parcial, de una obra. Es decir, cuando ocurre un estudio en un “nivel de gris”. Por ejemplo, acciones pertenecientes a este nivel de “gris” son las siguientes:

D_M-M: media-medo (o la de la conjetura y de la prueba): esta dialéctica es detectada cuando en algún momento de la clase:

D_L-E: de la lectura y de la escritura: detectamos el funcionamiento de esta dialéctica si en aquellos momentos de la clase los estudiantes:

D_{D - R}: de la difusión y de la recepción: es identificada cuando en algún momento de la clase los grupos de estudio comunican y defienden cada una de las respuestas construidas. Es decir, al compartir las producciones realizadas.

A continuación se propone, a modo de ejemplo, la tabla generada a partir de los datos de la clase 5. Durante la sesión de clase número 5, la pregunta estudiada fue Q ₂ : ¿Cómo podría hallarse en este caso (haciendo referencia a datos específicos) el punto de equilibrio? Durante la búsqueda de respuestas a esta pregunta se activaron los siguientes gestos, indicando la puesta en marcha de las dialécticas señaladas en la tabla:

Tabla 3 Indicadores didáctico-matemáticos de la sesión cinco 

Enseguida, los indicadores didáctico-matemáticos identificados en esta clase, espacio correspondiente a la última columna de la Tabla 2:

INDICADORES DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS

D_E-I: los grupos de trabajo investigan y estudian qué relación existe entre los signos de los parámetros del modelo que lograron construir (ver siguiente figura) y los postulados de la oferta y la demanda en microeconomía.

D_I-C: primero al interior de cada grupo y luego con el grupo en general, los estudiantes y el profesor deciden los signos de los parámetros del modelo, según las distintas formulaciones. Existe aquí una toma de decisiones intra e inter grupal.

D_ASP-SD: analizar la praxeología “función lineal”. Se analiza lo que ya se “conoce” de funciones lineales, determinando lo que puede servir para la construcción de respuesta. Luego, se procede a realizar una síntesis respecto a funciones crecientes y funciones decrecientes.

D_{T- FDT}: salir a la microeconomía para interpretar los signos de los parámetros y su razón de ser en los modelos de oferta y de demanda. Salir a la praxeología, funciones crecientes y funciones decrecientes, y una salida más prolongada en el tiempo a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (generada por la búsqueda del punto de equilibrio en el modelo general).

D_CN-CC: establecer que el saber pertinente en este caso corresponde al (de) crecimiento de una función lineal, cuándo y por qué.

D_M-M: los alumnos, junto con el profesor, realizan cuestionamientos, en términos de validación, sobre la consideración del precio en el eje horizontal: Se formulan preguntas tales como: ¿Por qué la pendiente de la demanda debe ser negativa? ¿Por qué su ordenada debe ser positiva? ¿Por qué la pendiente de la oferta debe ser positiva? ¿Por qué su ordenada negativa?

D_{L- E}: los estudiantes y el profesor interpretan y reescriben lo que encontraron de funciones afines crecientes y decrecientes, para justificar los signos de los parámetros del modelo. Se “lee” de apuntes del profesor y se “reinterpreta” en el contexto de los modelos de oferta y de demanda.

Durante esta clase no se han detectado indicadores de D_P-T ni de D_{D -R} . El análisis realizado aquí con la sesión número 5 fue también efectuado con las 35 sesiones restantes, obteniendo la frecuencia con que se ha desarrollado una cierta dialéctica (Tabla 4). Conviene destacar que esta tabla no corresponde a un análisis estadístico, sino que la codificación en 0 o 1 nos permite rotular y diferenciar los gestos que consideramos propios de una dialéctica y no de otra. Es una rotulación desarrollada para interpretar lo ocurrido en clase en términos de las dialécticas, considerando que estos gestos no pueden determinarse directamente sino a través de indicadores.

Reagrupando la ocurrencia de 0 y 1 en función de cada pregunta y cada dialéctica, resumimos esta información en el esquema 2:

La pregunta 5 presenta mayor ocurrencia de indicadores en todas las dialécticas, especialmente las del estudio y la investigación, del tema y fuera-de-tema, y del individuo y el colectivo. Esto indica mayor ocurrencia de búsqueda de información y desarrollo de investigaciones, mayor presencia de acuerdos al interior de cada grupo y mayor salida-ingresos a otros temas (tanto de las matemáticas como de la microeconomía). Se observa una diferencia significativa con las restantes preguntas, posiblemente porque Q₅ ha permitido generar el mayor número de preguntas derivadas, característica no determinada de antemano. La cuestión Q₅ fue produciendo, a lo largo de todo el proceso de estudio, una variedad de preguntas, que además generó un estudio sostenido en el tiempo. Es decir, se destinaron más sesiones de clase a la construcción de respuestas para Q₅ y sus derivadas que al resto de las cuestiones. Esta particularidad podría influenciar en la aparición de las dialécticas, así como también el hecho de que Q₅ permitió abordar aspectos del programa no estudiados previamente por el grupo de clase, y el hecho de que gran parte de las preguntas derivadas fuesen formuladas por los propios grupos de estudiantes.

Tabla 4 Resumen de las sesiones de clase 

Esquema 2 Ocurrencia de cada dialéctica según cada pregunta. 

La búsqueda de respuestas a la Q₄ no presenta indicadores de la dialéctica del estudio y la investigación ni de la dialéctica de la lectura y escritura, posiblemente porque Q₄ no generó preguntas derivadas y, en consecuencia, no fue necesario buscar e investigar en diferentes fuentes de información, por lo cual no hubo lecturas con posteriores re-escrituras e interpretaciones por parte de los alumnos.

En Q₃ no se determinaron indicadores de la dialéctica de la lectura y escritura, pero sí del estudio e investigación, posiblemente porque Q₃ generó algunas preguntas derivadas -relativas a rectas paralelas, al uso del GeoGebra® y a la intersección de dos rectas- específicas de una matemática que los estudiantes conocían y sabían utilizar. De manera general, la ocurrencia de indicadores fue similar para Q₂ y Q ₁, detectándose un número inferior a los correspondientes a Q₅, pero superior a Q₃ y Q₄.

La formulación de las preguntas en términos de “Cómo” ha limitado la generación de preguntas derivadas. Así, las cuestiones desde Q₁ a Q₄ formuladas en términos de “Cómo” generaron un menor número de preguntas derivadas que la cuestión Q₅, formuladas en términos de “Cuánto varía (exactamente)”, permitiendo activar las distintas dialécticas. A su vez, estas diferencias, respecto a las apariciones de una dialéctica en detrimento de otras, podrían vincularse a que las preguntas hagan o no referencia a aspectos ya estudiados o no por los alumnos. Diferencia que podríamos asociar a la pregunta Q₅ respecto a las restantes. Otro aspecto a considerar es que Q₅ ha favorecido en mayor medida la formulación de sub-cuestiones por parte de los propios estudiantes.

DISCUSIÓN Y CONSIDERACIONES FINALES

El proceso de estudio llevado a cabo a partir de la implementación del REI permitió poner en funcionamiento las dialécticas del estudio y la investigación. Varias de ellas pueden operar a la vez, y el funcionamiento de una llama a la puesta en marcha de las otras. La búsqueda de respuestas a las distintas preguntas pone en juego la dialéctica del “estudio y de la investigación”, pues no sólo es necesario estudiar sobre microeconomía y matemáticas, sino también investigar en torno a ambas disciplinas. Para estudiar e investigar sobre una pregunta, es necesario decidir dónde (por ejemplo, Internet, libros de microeconomía, economía, matemáticas, profesores de economía y matemáticas, entre otros) realizar las búsquedas y luego determinar cuáles de esos medias serán incorporados al medio (dialéctica de los medias y medio), y qué saberes extraídos de dichos medias serán puestos a prueba, o sea, no creídos bajo palabra o por el principio de autoridad. A su vez, esta búsqueda en diferentes fuentes de información requiere determinar qué saberes son pertinentes y funcionales para la construcción de la respuesta R^♥, o sea, cuál es el nivel de “gris” más adecuado. Asimismo, la decisión del nivel de “gris” de las distintas R^◊ y de otras obras encontradas en los diferentes medias conducen a decidir de qué forma se incluirán estos saberes en la construcción de la respuesta R^♥, para lo cual será necesario analizarlos, interpretarlos y reescribirlos sin elaborar una copia textual (dialéctica de la lectura y de la escritura).

Por otra parte, la respuesta R^♥ desarrollada por cada grupo de alumnos debe ser el producto de un consenso entre todos los integrantes del mismo. Si bien cada integrante puede realizar un estudio e investigación individual, llega un momento en el cual debe contribuir a la respuesta colectiva, incluyendo a cada actor del proceso de estudio, estudiantes y profesor (dialéctica del individuo y del colectivo). Una vez construida R^♥ al interior de cada grupo, éstos la difunden y defienden para con el resto de la clase (dialéctica de la difusión y recepción). El estudio y la investigación de diferentes obras, la puesta a prueba de los saberes encontrados en los distintos medias, la decisión de su pertinencia y funcionalidad, la identificación del nivel de “gris” adecuado, la lectura y escritura no textual de esas obras y la difusión y defensa de la respuesta R^♥ implican que en diferentes momentos del proceso de estudio se realicen “salidas” y “entradas” a ámbitos inesperados o que no parecían, en principio, tener relación directa con la cuestión considerada. Por ejemplo, la praxeología en torno al límite de funciones estaba disponible en el equipamiento praxeológico de los estudiantes, pero fue necesario llevar a cabo un “reencuentro” con tal praxeología. En otras palabras, se requirió “volver a estudiarla”, a partir del análisis de sus tipos de tareas, sus técnicas, tecnologías y teorías. Así ocurrió una “salida” al límite de funciones, que se prolongó en el tiempo pero que recuperó al menos un sentido al concepto “límite”. Con posterioridad a este estudio fue necesario volver a ingresar, “entrar”, a la organización relativa a la derivada, pues es la que permitía aportar una respuesta a la cuestión sobre las variaciones en el punto de equilibrio. La dialéctica del análisis (y síntesis) didáctica y análisis (síntesis) praxeológica opera no solamente en el desarrollo del REI, sino también en la ingeniería didáctica del mismo. El investigador analiza las acciones didácticas y praxeológicas que cada pregunta puede poner en juego.

Respecto a las preguntas derivadas, las correspondientes a las matemáticas han sido superiores al número de sub-preguntas relativas a la microeconomía, y las mayores dificultades corresponden al análisis cuantitativo de las variaciones en el modelo de mercado. La dialéctica con mayores dificultades de puesta en marcha fue la de la lectura y escritura, lo cual podría relacionarse con una restricción institucional: el retroceso de las prácticas de lectura y escritura por parte de los alumnos, que opera de hecho en la escuela secundaria y que no pueden circunscribirse solo a las clases de matemáticas ni resolverse en su seno. Su número de ocurrencia es el más bajo. Las dialécticas de la difusión y recepción del paracaidista y de las trufas presentan también un menor número de ocurrencia que las restantes. En esta última, si bien los estudiantes no sabían con qué nociones podrían responderse las preguntas, una vez que identificaron que se refería a modelos de oferta y de demanda, los enfoques para hallar las “pepitas” fueron cada vez menos frecuentes.

La dialéctica más frecuente fue la del individuo y colectivo, lo cual podría deberse a la modalidad de trabajo del grupo de clase. La dialéctica del tema y fuera-de-tema es otra de las más frecuentes -esto se correspondería con la generatividad de las preguntas formuladas-, como también la del estudio y de la investigación, del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didáctica, y de las cajas negras y cajas claras. El trabajo en clase, desde el primer día del ciclo escolar, fue responder las preguntas relativas al punto de equilibrio. No se introdujo la pregunta como una “aplicación” de algo estudiado en clases anteriores. Esto provocó cierto desconcierto en los estudiantes, ya que no sabían con qué nociones matemáticas ni microeconómicas podrían responderse las preguntas. Esta “incertidumbre” conduce a buscar información útil y a formular preguntas sobre los saberes “matemáticos” y “microeconómicos” que son necesarios estudiar para responder las preguntas (dialéctica del estudio y de la investigación). La dialéctica del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didáctica, al igual que la de las cajas negras y cajas claras, fueron puestas en marcha en la gran mayoría de las clases. Ambas dialécticas están fuertemente asociadas, ya que la realización de un análisis y una síntesis requiere determinar un nivel de gris óptimo del estudio de las obras.

La dialéctica media-medio resulta en menor ocurrencia que las mencionadas anteriormente. Habría aquí un resultado llamativo, pues la dialéctica media-medio es considerada un elemento clave en la reforma epistemológica-didáctica basada en los REI (^{Bosch, Gascón, 2007}, ^{Barquero, Bosch, Gascón, 2011}). Consideramos que este resultado es producto de la clasificación disjunta de las dialécticas y que, en realidad, los indicadores de una de las dialécticas podrían ser también indicadores de otra. En cambio, la importancia de la dialéctica del estudio y la investigación (preguntas y respuestas), así como la del individuo y colectivo, resulta confirmarse en nuestros resultados, puesto que son dos de las dialécticas con mayor ocurrencia. Con esto es posible reconocer la interrelación entre las distintas dialécticas ya que, por ejemplo, toda propuesta de nuevas cuestiones o de búsqueda de respuestas externas o creación de nuevas soluciones son elementos que constantemente se incorporan en el medio de los estudiantes y de la comunidad. Así podemos aludir a que la menor ocurrencia de la dialéctica medio-media podría depender de la forma como se decida describir y medir la aparición de cada una de las dialécticas. En nuestro caso, el considerarlas independientemente podría correr el riesgo de simplificar su propia dinámica interna, estableciendo así cierta jerarquía entre cada una de las dialécticas y otorgándole a la dialéctica del estudio y de la investigación un papel primordial.

Como se ha mencionado, el objetivo de este trabajo no consistió en describir detalladamente la dinámica del proceso de estudio del REI, sino que se propuso avanzar hacia una fase posterior de análisis. Es decir, luego de la descripción, análisis y evaluación de la implementación del REI, nos propusimos identificar y describir un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos que permitirían establecer el funcionamiento de cada una de las dialécticas -no solo su descripción- y al mismo tiempo determinar el poder generador de la pregunta generatriz y sus derivadas. Conviene mencionar que el interés de este trabajo en contar las apariciones de las dialécticas radica en la posibilidad de cuantificar cada una de ellas, y que esto no implica un desprecio en un análisis cualitativo. Nos proponemos avanzar en este sentido, pues un análisis cualitativo nos permitiría evidenciar qué ha hecho posible o qué ha restringido la aparición o no de las diferentes dialécticas. Aunque hemos mencionado algunos aspectos en la sección anterior, sería deseable avanzar el análisis cualitativo con el objetivo de precisar qué particularidades de cada cuestión parecen influir en la aparición o no de las dialécticas, por ejemplo que las preguntas sean completa o parcialmente formuladas por el profesor o los alumnos, que hagan referencia al estudio de aspectos conocidos, poco o nada conocidos por los estudiantes, que sean preguntas fuertemente codisciplinares, etcétera.

Las preguntas de investigación que nos planteamos fue ¿cómo determinar, a partir de los resultados de la implementación de un REI, un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos para cada una de las dialécticas? y ¿qué condiciones (y restricciones) nos aporta el análisis de las dialécticas sobre el funcionamiento de los REI? Para responder nuestras preguntas de investigación, a los efectos del análisis de datos y con la intención de construir tales indicadores, las dialécticas fueron consideradas de forma independiente. Esta decisión, correspondiente al nivel de análisis, generó ciertas dificultades, ya que en algunos casos resultó difícil delimitar cuándo un indicador corresponde, por ejemplo, a la dialéctica del paracaidista y de las trufas o a la de las cajas negras y cajas claras. A su vez podría ser la razón por la cual la dialéctica media-medios, vital en una enseñanza por REI, tuvo menor ocurrencia que, por ejemplo, la de las preguntas y respuestas.

Consideramos que, además, estas dificultades pueden ser producto de la poca utilización de las dialécticas para describir y analizar este tipo de experimentaciones y aquí radica, entendemos, la aportación metodológica y teórica más importante de este trabajo: contribuir en una fase metodológica y de análisis poco explorada. Si bien los indicadores presentados en la sección de resultados corresponden a esta experimentación en particular, y han sido desarrollados bajo las condiciones y limitaciones del REI implementado, podemos concluir que la generatividad de una pregunta y la ocurrencia de los indicadores de las dialécticas están vinculados entre sí de forma directa: cuanto más generativa es una pregunta, es posible construir más indicadores de las dialécticas. Se espera avanzar en la construcción, amplitud y generatividad del conjunto de indicadores -los resultados aquí presentados corresponden a sus primeras formulaciones y en absoluto son definitivos-, extendiéndolos a partir de futuras implementaciones, propias y de otros investigadores. El trabajo de ^{Salgado, Otero y Parra (2017)} aporta en este sentido.

Por último, queremos indicar que el carácter exploratorio de esta investigación deja una variedad de preguntas que aún no poseen respuestas. Por ejemplo: ¿Cómo construir indicadores que permitan determinar dos o más dialécticas interrelacionadas entre sí? ¿Cómo ampliar este conjunto de indicadores incorporando las dimensiones topogénesis, mesogénesis y cronogénesis? ¿Cómo construir un conjunto de indicadores que permita describir cualquier enseñanza por REI?