INTRODUCCIÓN

Durante el proceso colectivo de producción de una demostración en un aula universitaria de geometría plana, para la formación inicial de profesores, la interpretación que el profesor hace de las verbalizaciones de los estudiantes lo impulsa a realizar ciertas acciones tangibles. A partir de ellas, es posible inferir diferentes intenciones relativas a la construcción de significado de elementos teóricos³ y procesos involucrados en la actividad que se está realizando. El esfuerzo analítico de diferenciar esas intenciones posibilita la identificación de los mensajes que el profesor pretende comunicar en su interacción con los estudiantes. Esto resulta útil para entender la actividad semiótica en el aula.

En el marco de una investigación⁴, cuyo objetivo era ver cómo evolucionaban los significados de los estudiantes relativos a un cierto objeto matemático, se estudió un episodio que tuvo lugar en una clase de geometría de nivel universitario. Con el análisis se pretendía obtener información sobre el aprendizaje de los estudiantes, y así determinar si se debía modificar la propuesta didáctica. Para dicho análisis se adoptó la perspectiva semiótica de la enseñanza y el aprendizaje propuesta por ^{Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012)}, que tiene como base la idea de signo tríadico formulada por Charles S. Peirce. A partir del análisis, reconocimos que el profesor daba mensajes de diferentes tipos durante el proceso de apoyo a los estudiantes para la construcción de significado de algún objeto matemático.

En este artículo caracterizamos tres tipos de mensajes que el profesor da para favorecer la participación eficaz de sus estudiantes, y propiciar que construyan con significado la demostración de un teorema. Específicamente, los mensajes buscan: favorecer la construcción de significado respecto al uso de elementos teóricos; promover la comprensión de la estrategia o del plan para producir la demostración; y propiciar la previsión o la determinación de las consecuencias que puede tener, en el desarrollo de la demostración, una u otra acción teórica. En primera instancia, exponemos, de manera somera, los referentes teóricos que fundamentan el análisis semiótico de la comunicación en el aula. En segundo lugar, presentamos e ilustramos la tipología emergente de los mensajes del profesor, generada a partir del análisis de su interacción con los estudiantes. En tercer lugar, describimos el contexto y la metodología de la investigación, y hacemos un análisis usando las categorías diseñadas. Finalmente, se exponen algunos comentarios.

REFERENTES TEÓRICOS

La interacción de profesor y estudiantes se analizó bajo la perspectiva semiótica propuesta por ^{Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012)}, la cual tiene sus raíces en el signo triádico peirceano. Peirce concibe la semiosis como la actividad comunicativa o de pensamiento en la que se crean o se usan “signos”. El “signo” de Peirce, denotado SIGNO por Sáenz-Ludlow y Zellweger, consiste en la relación triádica que resulta de la integración inseparable de tres relaciones diádicas entre un signo-objeto, aquello a lo que se alude ya sea en la comunicación o en el pensamiento; un signo-vehículo, una representación del objeto (e. g., palabra, gesto, gráfica o combinación de estas); y el signo-interpretante, aquello producido en la mente de quien percibe e interpreta el signo-vehículo. Peirce descompone el signo-objeto en tres objetos: el Objeto Real, en este caso matemático, el objeto-dinámico, y el objeto-inmediato. El Objeto Real Matemático (ORM) es el objeto que acepta la comunidad de discurso matemático; el objeto-dinámico es una representación del ORM, generada en la mente del intérprete cuando recibe un signo vehículo y lo interpreta. El objeto-inmediato es una representación de uno o más aspectos específicos del ORM que se codifican y se expresan en un signo vehículo.

La siguiente es una descripción somera de cómo ocurre la semiosis en torno a un determinado ORM, en un intercambio verbal. En un acto de interpretación-inter (interacción con otros), la persona A (profesor o alumno) genera un objeto-inmediato seleccionando de su interpretante algún aspecto específico del ORM sobre el que quiere enfocar su comunicación, lo codifica y lo expresa en un signo vehículo dirigido a la persona B (profesor o alumno). En un acto de interpretación-intra (interacción consigo mismo) que tiene lugar en el contexto de su conocimiento y experiencia, B decodifica el signo vehículo emitido por A y genera un interpretante que determina un objeto-dinámico que puede estar en mayor o menor consonancia con el objeto-inmediato de A. En ese momento, B escoge un aspecto de su signo-objeto recién construido y el proceso se repite, siendo B el que emite y A el que recibe.

En la actividad semiótica del aula de matemática, dos o más personas (profesor-alumno o alumno-alumno) se comunican e interpretan SIGNOS de distintos sistemas semióticos (lingüístico, matemático y gráfico, principalmente). El modelo que proponen Sáenz-Ludlow y Zellweger concibe la enseñanza-aprendizaje de la matemática como actos semióticos de interpretación en el aula, siendo ello un proceso cambiante y progresivo de construcción de significados. En dicho proceso, bajo la guía de un profesor, los estudiantes forman sus concepciones y significados de conceptos matemáticos. El modelo enfatiza que el profesor debe ser consciente de la naturaleza evolutiva de tanto su proceso de interpretación como el de los estudiantes, para mantener una práctica dinámica y colaborativa de enseñanza y aprendizaje. Bajo este panorama, la mediación semiótica del profesor son las acciones interpretativas y deliberadas que él realiza con el propósito de lograr la convergencia de los objetos-dinámicos de los estudiantes hacia los objetos-inmediatos pretendidos del profesor.

Es importante notar que en el aula, los individuos que mantienen una conversación matemática tienen distintos niveles de conocimiento respecto al ORM. Así mismo, sus metas difieren: la del profesor es apoyar el proceso de construcción de significado de los alumnos; la del estudiante debe ser participar genuinamente en su proceso de construcción de significado. En cada acto de interpretación del profesor, en donde se enlazan las metas de enseñanza y de aprendizaje, él debe contemplar el 𝑂𝑅𝑀 desde dos perspectivas: desde la matemática porque evoca los significados, que posee, de ciertos aspectos del ORM para usarlos como referencia para acciones específicas; desde la didáctica, dado que el objeto matemático que se está construyendo emerge de las acciones intencionadas del profesor y de los estudiantes. ¿Cuáles pueden ser los efectos en la mente del profesor, durante la interacción en el aula? Respecto a lo matemático: a) reconocer que la comprensión que tiene de un aspecto específico del ORM puede/debe mejorar; b) evocar el significado que tiene de algunos aspectos del ORM en discusión, o de otros que puedan apoyar el proceso de construcción de ese significado. Respecto a lo didáctico: a) evocar el significado que posee de ciertos aspectos del ORM, foco de la conversación, para usarlos como referencia de acciones específicas que pueden ayudar a sus estudiantes a lograr mayor compatibilidad con el concepto correspondiente que tiene la comunidad de discurso matemático; b) producir hipótesis respecto a la construcción de significado de sus alumnos; c) determinar si esta construcción está desarrollándose de manera aceptable; d) decidir cómo guiar la conversación con un propósito didáctico específico. Todas estas acciones están influidas por las creencias, el conocimiento y las experiencias previas del profesor. Por todo lo anterior y teniendo en cuenta que todo surge a partir del conocimiento que tiene el profesor del ORM, los interpretantes y los objetos dinámicos del profesor son más de naturaleza didáctica que matemática. Sus acciones de mediación tienen en cuenta sus interpretaciones de los objetos dinámicos de los alumnos respecto a aspectos particulares del ORM que está en juego. A partir de ello, genera un objeto-dinámico con la intención de facilitar la evolución de los objetos-dinámicos de los estudiantes. Denominamos este objeto-dinámico del profesor, emergente y que evoluciona, como objeto-dinámico-didáctico ^{(Perry, Camargo, Samper, Sáenz-Ludlow y Molina, 2014)}.

Con el siguiente ejemplo hipotético se pretende ilustrar lo anterior. Supóngase que en una clase se está trabajando el concepto de triángulo isósceles. Este sería el ORM. Imagínese que surge el siguiente diálogo entre el profesor y los estudiantes. Aunque el objeto-inmediato está presente (implícita o explícitamente) en el signo vehículo, tanto el signo-interpretante como el objeto-dinámico se infieren a partir del objeto-inmediato, porque ellos están presentes en la mente de la persona y no se manifiestan directamente. Por eso, es posible que existan otras interpretaciones diferentes a las aquí expresadas (Tabla 1).

En este ejemplo, en el cual el ORM es el concepto de triángulo isósceles, el objeto-inmediato pretendido del profesor es la definición económica de esta figura geométrica. Parece que sus objetos-dinámicos-didácticos se relacionan con la necesidad de que los estudiantes noten dos asuntos: (I) si se decide que la congruencia de dos ángulos es una propiedad que debe incluirse en la definición de triángulo isósceles, también se requiere incluir en esta la identificación de los ángulos que son congruentes, y (II) la dependencia que existe entre esa propiedad y la congruencia de dos lados del triángulo permite eliminarla de la definición. Además, se evidencia la evolución del objeto-dinámico de triángulo isósceles de por lo menos un estudiante cuando él se da cuenta de que es suficiente construir un triángulo con dos lados congruentes para que sea isósceles porque necesariamente los ángulos opuestos a esos lados serán congruentes.

TIPOLOGÍA Y EJEMPLOS

El uso del marco teórico de ^{Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012)} para realizar el análisis de la interacción en el aula, nos obligó a tener mayor minuciosidad cuando estudiamos el signo-vehículo, tanto del profesor como de los alumnos, lo que llevó a imaginar posibles interpretantes del profesor que pudieran tener relación con el signo-vehículo que emite inmediatamente. Gracias a esto se logró determinar que el profesor trató de comunicar mensajes de diferente tipo, que incluyen signos-dinámicos-didácticos. Se identificaron tres tipos de mensajes en términos de su foco, que pueden ser: el uso experto de elementos teóricos, el plan para construir la demostración, o la previsión que se requiere cuando se sugiere el uso de algún elemento teórico en la demostración. Este último foco tiene que ver con la conveniencia de atender necesidades futuras en el proceso de demostración. Presentamos a continuación una descripción de la tipología de mensajes del profesor que emergió en este análisis.

ASPECTOS METODOLÓGICOS DE LA INVESTIGACIÓN

El estudio del que surgieron los elementos que dieron lugar a la tipología que presentamos en este artículo forma parte de la investigación Conjeturas y organización del contenido matemático en clase, esta tuvo como escenario el curso Geometría Plana impartido durante el segundo semestre de 2013. Se analizó la interacción entre los miembros de la comunidad de clase (profesor y alumnos), durante dos sesiones de clase consecutivas en las cuales se enuncia y se demuestra, ajustado al sistema teórico que se ha conformado, el Teorema Localización de Puntos (TLP)⁷. Este hecho geométrico permite localizar un punto en un rayo a una distancia dada del extremo del rayo. En esas sesiones de clase, el Objeto Real Matemático fue la demostración del TLP. Enfocamos la atención en la interacción en torno a los núcleos y pilares que dan soporte a la demostración del TLP, en la estrategia principal para su demostración, y en la previsión de las decisiones teóricas tomadas en el trascurso de la producción de la misma.

La selección de fragmentos significativos para el análisis se hizo a partir de la trascripción completa de dos clases. En el análisis retrospectivo de esa trascripción se evidenció que en la construcción colectiva de la demostración de un teorema, el profesor emite mensajes de los diferentes tipos descritos. Los núcleos y los pilares de la demostración determinaron los diferentes fragmentos en los que se separó la transcripción, teniendo siempre buen cuidado de incluir en cada uno de ellos lo necesario para hacerlos autosuficientes.

CONTEXTUALIZACIÓN

Geometría Plana es un curso del segundo semestre del programa de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria⁸, en la Universidad Pedagógica Nacional. Tiene como fin que los estudiantes aprendan a demostrar y entender un teorema, al participar en la conformación de un sistema teórico de geometría plana euclidiana, lo cual implica entender los teoremas, concibiendo teorema como la tripla formada por el enunciado, el sistema teórico que lo sustenta y la demostración ^{(Mariotti, Bartolini Bussi, Boero, Ferri, y Garuti, 1997)}. Específicamente “entender un teorema”, según ^{Molina (2014)}, es tener un significado amplio que incluye comprender: (I) la estructura y el contenido del enunciado, (II) la demostración, (III) su relación con otros elementos teóricos (comparación de enunciados de postulados u otros teoremas y sus respectivas demostraciones) y (IV) el uso experto del teorema en diversos contextos.

Generalmente, la metodología de trabajo que usa el profesor en el curso consiste en proponer un problema geométrico abierto de conjeturación, para que a partir de las conjeturas propuestas por los estudiantes, se extraigan los elementos teóricos que se quieren abordar en esa sesión de clase. Un problema abierto es una tarea en la cual se hace una pregunta sin revelar o sugerir la respuesta pretendida (Arsac et al., 1999; Silver, 1995, citados en ^{Baccaglini-Frank y Mariotti, 2010)} y es de conjeturación cuando se debe expresar la relación de dependencia entre dos conjuntos de propiedades como proposición condicional, que se constituye en la conjetura ^{(Baccaglini-Frank y Mariotti, 2010)}. Los problemas propuestos generalmente requieren del uso de software de geometría dinámica para representar y explorar la situación correspondiente, de tal forma que se pueda llegar a formular una conjetura como solución al problema. Estas conjeturas dan lugar a una actividad de verificación de lo propuesto y a la modificación de los enunciados formulados (si se requiere) para establecer una sola conjetura, ya sea para que ésta se convierta, después de demostrarla, en un elemento más del sistema teórico, o para que en el proceso de justificarla surja la necesidad de introducir válidamente un elemento al sistema teórico.

El sistema teórico que se va conformando es, en esencia, el que propone Euclides. Sin embargo, en este curso, se introducen dos postulados siguiendo la propuesta de ^{Birkhoff (1932)} de hacer tangibles la regla y el transportador, cuestiones que Euclides no considera. Se escogió esta propuesta porque permite el uso de un software de geometría dinámica como herramienta para construir y explorar situaciones, con la intención de descubrir hechos geométricos. Este tipo de software está esencialmente regido por los postulados de la geometría euclidiana y, por tanto, modelan sustancialmente dicha geometría. Los postulados que se introducen son: Puntos de Recta- Número Reales (PPR-NR)⁹ y Rayos - Número¹⁰. Estos permiten validar de manera formal algunas de las ideas que están inmersas en la teoría de Euclides, pero que no se abordan en ella de manera explícita, como la infinitud de puntos en la recta, existencia del punto medio, entre otros. Particularmente, en el caso del TLP, el primer postulado juega un papel central en su demostración. El TLP permite prescindir del PPR-NR para desarrollar el resto del sistema axiomático.

Para poder seguir comprensivamente los trozos de la interacción entre profesor y estudiantes, presentamos los elementos claves en el desarrollo de la demostración (Tabla 2).

ANÁLISIS DE UN EPISODIO DE CLASE

A continuación se presenta un ejemplo real donde se evidenciaron mensajes de cada tipo, cuando se institucionalizó el enunciado del TLP y se demostró con el fin de incorporarlo al sistema teórico que se estaba conformando. En clases anteriores, se había propuesto un problema cuya solución requería el uso de un software de geometría dinámica. A partir de las soluciones propuestas por los estudiantes surgió el enunciado. Posiblemente, también emergieron ideas para la justificación del teorema (Tabla 3).

Por medio de sus preguntas 1, el profesor busca que los estudiantes propongan un plan, es decir que establezcan los dos núcleos de la demostración. A partir de las propuestas de Laura 2,4 y las preguntas del profesor 3,6, queda establecido el primer núcleo de la demostración y desarrollado parcialmente, hasta usar la primera parte del PPR-NR. En lo que ha transcurrido hasta el momento, parece que lo que interpretan los estudiantes de los mensajes del profesor concuerda con el objeto-inmediato del profesor, el cual parece ser el uso experto del PPR-NR para iniciar el desarrollo del primer núcleo. Los objetos directos de los estudiantes son aspectos del Objeto Real Matemático. Sin embargo, ese no es siempre el caso en una clase.

A continuación se evidencia cómo la propuesta de un estudiante modifica el desarrollo del primer núcleo y, por ende, cómo ello trastoca el plan para la demostración. El profesor permite que se desarrolle la idea, posiblemente con la intención de que los estudiantes se den cuenta del efecto que tiene en el plan utilizar lo propuesto (Tabla 4).

El mensaje del profesor en 16,18 motiva la continuación del desarrollo del Núcleo 1 del plan para la demostración; eso es su objeto-inmediato. Él espera que los estudiantes propongan el uso del PPR-NR (II) para localizar al punto 𝑋. Sin embargo, inicialmente 19,21, el signo-interpretante de Ernesto parece centrarse sólo en la posición del punto 𝑋 en la recta para que cumpla la pertenencia al rayo; por ello su objeto-inmediato es asegurarlo teóricamente. Su objeto-dinámico es que el uso del Teorema Punto a un Lado valida la creación del punto 𝑋. Coincide parcialmente con el objeto-inmediato del profesor en cuanto a que ambos están buscando la justificación teórica de la existencia del punto 𝑋, pero Ernesto ignora, en ese momento, que su propuesta no conducirá a la otra propiedad que debe satisfacer: la distancia al extremo del rayo debe ser 𝑧. El profesor reconoce que la propuesta de Ernesto, de tomar al azar cualquier punto 𝑋 del rayo, para cumplir con la interestancia, llevará a tener que forzar en él la propiedad de distancia requerida; esto sería parte de su signo interpretante. Lo que propone Ernesto es un procedimiento espontáneo que los estudiantes usan cuando deben demostrar la existencia de objetos geométricos especiales. Se requiere la intervención explícita del profesor para que ellos entiendan por qué no es válido ^{(Samper, Perry, Camargo, Saénz-Ludlow y Molina, 2016)}. Es por ello, posiblemente, que el profesor impulsa el desarrollo de la idea de Ernesto en sus siguientes mensajes 20,22, con los que busca que los estudiantes usen de manera experta el PPR-NR (II) y la definición de rayo (objeto-inmediato). Su objeto-dinámico didáctico es que los estudiantes deben reconocer la invalidez del procedimiento que sugiere Ernesto. Al constatar, por medio de la respuesta de Ernesto 21 que por lo menos el signo interpretante de este incluye una representación correcta de rayo, y que él es consciente de la condición de distancia que debe tener 𝑋, el siguiente mensaje del profesor tiene que ver con previsión. A través de sus preguntas 24, el profesor espera que el signo interpretante de los estudiantes incluya la definición de distancia y la consecuencia que acarrea tomar al azar el punto 𝑋, pues de manera esquemática en su intervención 27 lo expresa.

Creyendo que los estudiantes han reconocido que el camino elegido por Ernesto no es el adecuado, el profesor se esfuerza por encaminar nuevamente la demostración para completar el Núcleo 1, que se había desarrollado parcialmente, y para que propongan el Núcleo 2 (Tabla 5).

Por medio de su intervención 28, el profesor quiere que los estudiantes vuelvan al plan inicial, es decir trabajen con coordenadas. Interpretamos que su objeto-inmediato es el uso de la segunda parte del PPR-NR, cuestión que Ernesto 29 y Antonio perciben 35,37, al sugerir que 𝑋 es el punto que corresponde al número real 𝑧, y que Molly expresa explícitamente 39. En este caso, sus objetos dinámicos están en consonancia con el objeto-inmediato del profesor. En su mensaje, a través de las intervenciones 32,38, el profesor pretende que, en sus interpretantes, los estudiantes relacionen la decisión hecha anteriormente 15, respecto al signo de 𝑡, con la que están tomando en ese momento al asignar como 𝑋 al punto que corresponde al número 𝑧. Dado que desde el principio de la demostración 8,10,12,14, el profesor ha insinuado a los estudiantes prever que las decisiones acerca de las coordenadas tendrán un efecto perentorio en algún momento de la demostración, su expectativa no carece de fundamento. Él sabe que dicha información será esencial para desarrollar el Núcleo 2. Ese es el objeto-dinámico didáctico del profesor. En su signo vehículo 40, el objeto-inmediato del profesor es el Núcleo 2 de la demostración, cosa que expresa explícitamente, en su intervención 42. El objeto-inmediato en sus preguntas 44,46 es el uso experto de un teorema que es pilar del Núcleo 2: T. Interestancia-Orden. Los estudiantes interpretan parcialmente su objeto-inmediato, proveyendo la tesis del T. Tres Puntos 45 que debe dar lugar a la introducción del T. Interestancia-Orden, para justificar así la imposibilidad de que el punto 𝐶 esté entre 𝑇 y 𝑋 47. Sin embargo, como se vio, en lo que sigue de la construcción de la demostración, no fue tan evidente para los estudiantes la relación entre las coordenadas de los puntos; aunque fue establecida por ellos mismos, no parecen haber sido realmente conscientes de las consecuencias futuras respecto a la pertenencia de 𝑋 al rayo 𝐶𝑇.

COMENTARIOS

Con sus mensajes, el profesor buscó mediar semióticamente para que los estudiantes construyeran, con significado, la demostración; es decir, para que propusieran un plan, desarrollaran y proveyeran argumentos para sustentar sus ideas, usaran de manera experta los elementos teóricos y lograran prever las consecuencias de sus propuestas. La meta del profesor era que los estudiantes adquirieran significado del teorema que se estaba estudiando. Para ello, promovió la construcción social del conocimiento, siendo él el experto que guiaba el proceso. No desarrolló la demostración completamente mientras los estudiantes escuchaban, como sucede con frecuencia.

Los estudiantes tenían que interpretar los mensajes del profesor, porque es así como evocan lo que saben para formar interpretantes relacionados con el objeto real matemático que se está tratando en clase. Fue a través de las interacciones con los estudiantes, la interpretación de los signos vehículo de ellos, y sus mensajes, como el profesor fue impulsando la generación de ideas y la participación activa. Las respuestas a sus preguntas le permitieron dilucidar si se acercaban al significado pretendido de los elementos teóricos involucrados en la demostración y del proceso de esta. En este caso, el uso experto de los elementos teóricos, en especial de las definiciones, fue el tipo de mensaje que más profirió el profesor. Estos deben apoyar la construcción de significado de cada uno de los elementos teóricos en juego y el papel del sistema teórico en la demostración. Los otros dos tipos de mensajes apuntan al proceso mismo de la demostración. Cobran suma importancia cuando se pretende que los estudiantes lleguen a construir demostraciones de manera autónoma, lo cual usualmente es uno de los objetivos en cursos universitarios de matemáticas. En este caso, los mensajes del profesor tuvieron que ver más con el plan para la demostración que con la previsión que se debe tener.

Según ^{Ben-Zvi y Sfard (2007)}, aprender matemáticas significa asimilar comprensivamente los objetos y procesos matemáticos involucrados, y modificar y extender el discurso propio acerca de ellos. Aseguran, además, que esto no se logra sin contar con la interacción con una persona competente. Acorde con esto, con sus distintos mensajes, el profesor buscó que: se establecieran los núcleos y sus respectivos pilares; se siguiera un plan propuesto por los estudiantes hasta determinar si era viable y útil; se explicitaran las razones para proponer el uso de un elemento teórico; utilizaran estos elementos adecuadamente; y se dilucidaran las consecuencias de su uso. También, buscó que los estudiantes entendieran la importancia de la previsión en la construcción de una demostración, específicamente, la conexión que existe entre la información dada en la hipótesis del teorema, 𝑧>0, y haber asignado cero y un número positivo como las respectivas coordenadas de los puntos 𝐶 y 𝑇. Sin embargo, se requería que el profesor directa y explícitamente expusiera en qué consiste la previsión, máxime porque esto era una cuestión nueva para los estudiantes. En este caso, eso no sucedió.

El análisis de los mensajes del profesor, nos muestra la importancia tanto de prever cuidadosamente las preguntas y la información que se quiere proveer (objeto-dinámico-didáctico), como de desentrañar lo que comunican los estudiantes en sus signos vehículo. Lo primero, porque no se trata de presentar la demostración sino de dar pautas para que sean los estudiantes quienes la generen; lo segundo, porque posiblemente debe modificar su siguiente objeto-dinámico-didáctico para favorecer la evolución y convergencia de los objetos dinámicos de los estudiantes hacia el aspecto del ORM que se está tratando. En ocasiones, ello implica dejar que los estudiantes prosigan con el desarrollo de una propuesta que el profesor sabe es errónea, para que sean ellos quienes descubran porque no es adecuada. Hay que resaltar que la mediación semiótica que se pretende requiere de mayor esfuerzo del profesor, de más preparación, tiempo y paciencia, pero es así como se puede asegurar construcción significativa de conocimiento.