El contexto

Como disciplina autónoma y con orientación sistemática hacia la investigación, la educación matemática en México tuvo sus orígenes en la década de 1970. Varias acciones generaron el contexto propicio para ello. Una de las primeras fue la creación de una maestría en ciencias con especialidad en matemática educativa, impulsada por un grupo de colegas de la Sección de Matemática Educativa del Cinvestav (cf.^{Block y Waldegg, coords., 1995}).

La maestría inició en 1975, aunque sería hasta 1980 cuando se propuso la formación de especialistas en educación matemática con orientación hacia la investigación. De cualquier manera, con esta maestría se preparó el terreno para la creación del campo de la educación matemática.

Poco después se abrió el doctorado, y las primeras tesis para obtener este grado se presentaron a finales de 1980. Entre esas tesis se contaban las de Teresa Rojano, Guillermina Waldegg, Olimpia Figueras y Ricardo Cantoral.

En ese tiempo también aparecieron las primeras publicaciones mexicanas en educación matemática. Hacia 1984 se inició la difusión de trabajos de investigación por medio de los Cuadernos de Investigación del Programa Nacional de Formación de Profesores de Matemáticas, impulsada por la Sección de Matemática Educativa del Cinvestav. En 1986 fueron publicados los primeros Cuadernos del Laboratorio de Psicomatemáticas del Departamento de Investigaciones Educativas, también del Cinvestav. La Primera Memoria de las Reuniones Centroamericanas y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa apareció en 1987. Con la revista Educación Matemática, creada en 1989, dio inicio la publicación periódica, en español, de investigaciones en este campo.

Desde aquel entonces, la actividad de investigación fue alimentada por el vínculo con colegas extranjeros, cuyos intercambios se efectuaron mediante convenios institucionales, principalmente los que celebró la Sección de Matemática Educativa con el King's College de la Universidad de Londres, o con el Institut de Recherche pour L´Enseignement des Mathematiques (IREM) de París, y el de Estrasburgo en Francia.

La investigación en el periodo inicial

Hace más de 25 años un grupo de colegas encabezado por Guillermina Waldegg, y a petición del Consejo Mexicano de Investigación Educativa, nos dimos a la tarea de hacer el recuento de la investigación llevada a cabo en el período 1980-1990. Fue la primera oportunidad de explorar, organizar y tratar de entender el conjunto de la producción de una comunidad que entonces estaba en vías de constitución.

La intención específica para cumplir el encargo fue considerar artículos publicados en el rubro de investigación, así como tesis de maestría y doctorado elaboradas en instituciones mexicanas. Conforme tal intención, inicialmente se eligieron los trabajos de investigación en donde se explicitaban claramente los objetivos, la metodología utilizada y los resultados obtenidos con base en dicha metodología; sin embargo (y cito a Guillermina Waldegg, 1995): "Puesto que estos trabajos eran muy escasos se incluyeron otros aun cuando carecieran de algunos de estos elementos".

En tal sentido es conveniente aclarar que una parte importante de la producción de aquella época estuvo directamente vinculada al Sistema Educativo Nacional y se concretó en productos de desarrollo fundamentados en resultados de investigación, tales como propuestas curriculares, libros de texto y guías para maestros. Puesto que una parte importante del trabajo se tradujo en este tipo de publicaciones, estas fueron incluidas también en el recuento de la investigación.

En aquel periodo la comunidad compartía ya dos hipótesis, una de ellas era que:

Conocer las concepciones de los estudiantes, sus dificultades en el aprendizaje y los errores que cometen al tratar de aprender, constituye un punto de apoyo esencial para la construcción de propuestas de enseñanza productoras de aprendizajes significativos.

Esta hipótesis dio lugar a estudios de tipo cognoscitivo, generalmente llevados a cabo con un número pequeño de sujetos y basados en:

Un gran número de estas investigaciones se enfocaron en la educación básica y estaban centradas en los alumnos y sus procesos cognitivos.

La segunda hipótesis, asumida principalmente por quienes trabajaban en el nivel medio y superior, fue la siguiente:

La historia de la construcción de los conceptos matemáticos arroja luz sobre los procesos de construcción de dichos conceptos en los estudiantes y por lo tanto es útil para definir propuestas didácticas.

De esta hipótesis derivaron estudios orientados al análisis del saber en varias modalidades:

Habiendo esbozado el contexto de la producción de aquella etapa inicial, me enfoco enseguida en la investigación elaborada en cada uno de los niveles educativos mencionados al inicio del escrito; lo anterior en concordancia con la organización adoptada en los "estados del conocimiento". De esta manera procederé a lo largo del escrito.

El nivel medio superior y superior

Las cosas iban por otros caminos en este nivel educativo. El cálculo fue la espina dorsal de la indagación; los trabajos en esta temática, según ^{Block y Waldegg (1995}, coords.) se orientaron a estudiar los procesos de construcción de ideas y conocimientos por parte de los estudiantes, realizándose investigaciones basadas en la teoría piagetana (estadios en la construcción de las ideas y mecanismos de tránsito de un estadio a otro) o en los planteamientos de Tall y Vinner (que buscan determinar las imágenes que los alumnos tienen sobre los conceptos, y los obstáculos que enfrentan al elaborarlos).

El interés por el cálculo también estuvo orientado al análisis del saber en las modalidades antes anotadas: se estudió la génesis histórica de ciertos conceptos y la forma en que fueron plasmados en textos antiguos; fueron examinadas las maneras en que son presentados en textos modernos, o se identificaron obstáculos epistemológicos propios de las nociones examinadas.⁸ Todo lo anterior fue considerado un recurso para la comprensión y explicación de los mecanismos de apropiación y construcción del conocimiento matemático y la creación de opciones de enseñanza, por lo que también se realizaron estudios tendientes a desarrollos alternativos de los contenidos; un ejemplo notable de ello, según señalaron quienes hicieron el recuento de estas investigaciones, fue un curso de cálculo con base en cantidades infinitamente pequeñas, propuesto por Carlos ^{Imaz (1985}) (cf.^{Block y Waldegg, coords., 1995}).

La geometría tuvo un lugar más modesto en las investigaciones de la época. Aunque se inició la discusión acerca de su lugar en el currículum, la demostración en esta rama de las matemáticas, y también se diseñaron situaciones para contribuir a desarrollar este tipo de pensamiento, los investigadores ocupados en el tema fueron pocos,⁹ y predominaron las ponencias y las tesis de maestría como formas de elaboración y difusión de los trabajos. El caso de la probabilidad fue similar, aunque aquí el número de investigadores fue aún menor.

Un punto que conviene destacar es que, en general, en todos los niveles educativos se reportaba escasa comprensión de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes. Sin embargo, la investigación de esos tiempos aportó mucho más que el conocimiento de esta escasa comprensión. Además de ciertos desarrollos experimentales o curriculares, se identificaron las estrategias, aproximaciones y recursos personales con que los niños de primaria y jóvenes de secundaria o de niveles superiores de escolaridad, así como las personas no escolarizadas, trataban de enfrentar las tareas matemáticas que se les proponían. Es decir, se documentó el otro pensamiento matemático, que hasta entonces nos era desconocido. Considero que este fue el gran aporte de aquel periodo.¹⁰

Para dar una panorámica del número y tipo de trabajos producidos en aquellos años (287), se inserta la Tabla 1, que resume la producción por temas y tipo de publicación.

Tabla 1: Producción de investigación, por tema matemático, 1980-1990. 

Puede verse que la aritmética, el cálculo, el álgebra y la pre-álgebra, así como la geometría, fueron los temas dilectos de los investigadores, y también que dichos temas se estudiaron con distintos niveles de profundidad.

Educación preescolar y primaria

La línea de investigación centrada en los aprendizajes y procesos cognitivos de los estudiantes permaneció vigente en estos niveles educativos Esta vertiente, siempre centrada en la aritmética, informó, entre otras cosas, que las fracciones persistían como el gran reto de la educación primaria.

Hacia finales de los años ochenta e inicios de los noventa, se multiplicaron las publicaciones sobre la resolución de problemas y las que reflejaban la preo­cupación por conocer qué tanto los niños comprendían las fracciones y las expresiones con las cuales estas se representan, o los distintos significados de estos números según el modelo de Thomas Kieren.

Reflejo de un cambio en nuestras concepciones sobre el papel del profesor en los aprendizajes de los alumnos, se abrió en este periodo una vertiente de investigación interesada en el pensamiento docente. Gracias a los pocos estudios efectuados entonces sobre el tema, se comenzó a saber acerca de las limitadas concepciones que tienen los docentes sobre la geometría y el volumen, o de su escaso manejo de la proporcionalidad (cf.^{Avila, Block y Carvajal, 2003}).

Con base en los aportes de la línea experimental, iniciada en la etapa anterior, se ofrecieron a los docentes de educación primaria recursos para apoyar la enseñanza, y a los niños situaciones y materiales interesantes para aprender. Varias de las situaciones experimentadas fueron incluidas en los programas y libros escolares introducidos con la reforma curricular de 1993.

Aunque no se indagó con suficiencia sobre el funcionamiento de dichas situaciones cuando pasaron a manos de los profesores, el análisis de las prácticas escolares en matemáticas constituyó una novedad en esta etapa. Gracias a este tipo de investigaciones supimos acerca de distancias importantes entre el hacer magisterial y las intenciones oficiales concretadas en los materiales educativos, de la poca comprensión de las propuestas por parte de muchos profesores, o de las transformaciones -a veces radicales- que operaban sobre las innovaciones; también supimos de su resistencia a aceptar que, como lo sugerían los nuevos lineamientos, los niños podrían aprender, interactuando con las situaciones y problemas y con los compañeros, lo que sus profesores no les habían enseñado. Junto con lo anterior, la investigación nos permitió saber que los aprendizajes escolares seguían siendo muy modestos, no obstante las ambiciosas intenciones de mejora introducidas con la reforma.¹⁴

La secundaria

La reforma a las matemáticas instrumentada en 1993 no fue motivo de investigación en la secundaria. En este nivel educativo, el enfoque en el alumno como sujeto cognoscente continuó siendo el eje del quehacer investigativo. El álgebra y la pre-álgebra se mantuvieron como temas privilegiados por parte de los investigadores; sólo la aritmética registró un número considerable, aunque menor, de investigaciones, y emergió la probabilidad como tema de indagación en secundaria.¹⁵

La orientación cognoscitiva centrada en el álgebra, sin duda derivó en importantes beneficios: permitió re-conceptualizar el aprendizaje de un tema nodal de la educación secundaria, e incorporar a planes y programas de estudio nuevas propuestas de enseñanza. La investigación proporcionó, además, abundantes evidencias de cómo ciertos instrumentos -principalmente la computadora o las calculadoras graficadoras- pueden contribuir a mejorar el aprendizaje de los estudiantes.

Empero, el hecho de que los resultados fueran logrados generalmente en situaciones experimentales, apartadas de las condiciones reales de nuestras escuelas, dejó pendiente el estudio de los eventuales beneficios de estos recursos en el seno de las condicionantes que imponen el sistema educativo y sus actores. Quedaría para el futuro el estudio de la transposición que los profesores habrían operado sobre las propuestas oficiales, o sus reacciones a la incorporación de las innovaciones tecnológicas cuyas bondades, por lo general, habían sido examinadas en situaciones controladas.

El nivel medio superior

En este nivel también se mantuvo el predominio del enfoque cognitivo. Entre 61 investigaciones analizadas, 44 se dedicaron a examinar los niveles de conocimientos matemáticos que poseen los estudiantes, o a detectar y caracterizar las estrategias que utilizan para resolver los problemas que los investigadores les presentan (cf.^{Aguayo, 2003}).

Otra característica de la investigación desarrollada en este nivel educativo durante el periodo es que el cálculo se mantuvo como el contenido matemático más abordado: a él se dedicaron casi la mitad de las investigaciones identificadas.

Los estudios basados en el uso de la tecnología realizados entonces en bachillerato, que aún eran pocos, se ocuparon principalmente de valorar las potencialidades de la calculadora graficadora o de algún software, como el Cactusplot, si bien se iniciaba ya la experimentación con el Cabri-Géomètre.¹⁶ Estos estudios se llevaron a cabo en condiciones experimentales, sin la participación de profesores ordinarios, sino con profesores que colaboraron bajo orientación y supervisión de los investigadores. Al igual que en secundaria, quedó para el futuro estudiar el traslado de dichas experiencias al ámbito natural de las escuelas públicas del país.

Por otra parte, las pocas veces que se estudió a los profesores de bachillerato en esta etapa, se exploraron los conocimientos que poseen (principalmente sobre el cálculo) y muy escasamente fueron estudiados los procesos de enseñanza o la interacción establecida con los estudiantes.

La educación superior comparte un rasgo con la realizada en el nivel medio superior durante esta década: el enfoque en el cálculo. Empero, la orientación predominante diferencia los trabajos de uno y otro nivel; en el superior, el principal interés sería el análisis del saber, tal como se describió en el apartado La investigación en el periodo inicial; los estudios sobre los procesos de adquisición o el dominio de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes fueron menos que en el bachillerato. Esta disminución numérica se observa también en las investigaciones sobre los profesores, que -al igual que las que refieren al bachillerato- tienden a destacar los limitados conocimientos con que cuentan para impartir sus clases.

La enseñanza en la educación superior fue abordada a través de la experimentación: fueron exploradas las bondades de las nuevas tecnologías, o se plantearon propuestas de organización de contenidos en situaciones controladas. Las condiciones en las que se lleva a cabo la enseñanza común, como nos fue posible constatar, no constituyeron tema en este nivel educativo.

Educación primaria

Durante el periodo, el enfoque en lo cognitivo se vio muy disminuido en este nivel educativo. Sin embargo, continuaron las indagaciones con este enfoque en las fracciones y algunas propuestas para su enseñanza, así como sobre el sistema decimal de numeración y los problemas aritméticos con números naturales. La novedad en esta vertiente la constituyó el acercamiento a los números decimales y la interpretación de gráficas, así como la profundización en torno a la proporcionalidad. Continuaron siendo escasos los trabajos sobre probabilidad, geometría y medición.

Una nueva vía de indagación en este nivel educativo la constituyeron las investigaciones orientadas a ponderar lo que se ha dado en llamar el logro educativo en matemáticas, realizadas con grandes muestras de estudiantes, a partir de pruebas estandarizadas elaboradas y aplicadas por instituciones gubernamentales dedicadas a dicha tarea.¹⁸

El análisis de las prácticas de enseñanza, aún con el impulso del interés generado por la introducción de la reforma a las matemáticas en 1993 (vigente hasta 2009), alcanzó cierta robustez en esta etapa. Además de estudiarse los procesos de apropiación de la reforma, se analizó la enseñanza de algunos contenidos específicos. Aquí lo que llama la atención es el hecho de que sólo una investigación se ocupó de las prácticas de formación inicial de los docentes, la cual se efectuó tomando como tema las fracciones. Los escritos de A. Thompson, G. Brousseau e Y. Chevallard fueron útiles como marcos conceptuales de todos estos trabajos.

De manera distinta a como ocurrió con la calculadora en los años noventa -que mereció muy escasa atención como objeto de indagación (cf. ^{Avila, Block y Carvajal, 2003})-, la introducción masiva de otra innovación tecnológica en el sexenio presidencial 2000-2006 -la plataforma informática Enciclomedia¹⁹- generó varias investigaciones en la educación primaria. Estos estudios fueron principalmente realizados con la intención de construir situaciones y actividades de aprendizaje de las matemáticas, cuya eficacia se probara antes de su implementación en las escuelas.²⁰

Otra vertiente que se vio fortalecida en el periodo fue la dedicada a la educación matemática elemental de jóvenes y adultos, y saberes no escolares. Después de un impasse en los años noventa, se avanzó tanto cuantitativa como cualitativamente, pues al crecimiento en el número de investigadores en el tema, lo acompañó una ampliación de las miradas y los objetos de investigación. Al estudio de los saberes no escolares propio de la fase inicial se agregan otros temas: el vínculo entre estos saberes y los de la escuela, los procesos de estudio de las matemáticas en el servicio educativo, los contratos didáctico-institucionales que rigen estos procesos, la aplicación de propuestas didácticas y, finalmente, la indagación sobre la forma en que los saberes "viven" fuera de la escuela, en los contextos de su producción.²¹

La incorporación de enfoques socio-culturales hizo posible mirar de manera más comprehensiva todos estos fenómenos; en particular, las nociones de praxeología de Yves Chevallard (1999) y de cognición situada de Jean Lave (1991) fueron elementos clave en el desarrollo de estos trabajos.

Educación secundaria

En el transcurso de este periodo, en la secundaria continuó la preferencia por los procesos cognitivos, particularmente en lo referente a los procesos de desarrollo del pensamiento algebraico. Destacaron en esta década los trabajos sobre la comprensión de la variable y un número considerable de investigaciones acerca de las tic (Tecnologías de la Información y la Comunicación) como herramientas que favorecen el aprendizaje y desarrollo de conceptos. En esta línea se enfatizó la ampliación de los sistemas de representación que permiten las herramientas tecnológicas, así como la significación que logran los alumnos gracias a dicha ampliación. R. Duval y P. Rabardel se cuentan entre las referencias importantes (cf.^{Eudave, 2013}).

Un grupo de trabajos sobre las tic merecen comentario especial, porque en sus conclusiones aluden a las condiciones de la eventual aplicación de las innovaciones en las escuelas ordinarias. Se concluye que para obtener beneficios realmente importantes en el aprendizaje de las matemáticas es necesario que se cubran ciertas condiciones, como una cuidadosa planeación didáctica, el diseño y prueba de materiales de instrucción, estrategias de capacitación y seguimiento de los profesores, mantenimiento y actualización permanente de los equipos y el software, entre otras.

Emergió también una proporción reducida pero relevante de trabajos acerca del profesor de secundaria (cf.^{Eudave, 2013}). En general, se hace referencia a conocimientos endebles sobre los temas matemáticos que enseñan. Sin embargo, un dato que vale destacar aquí es que varios de los estudios buscaron modificar tal estado de cosas ofreciendo cursos, situaciones de aprendizaje y/o acompañamiento a los profesores.

Cantidad y calidad de las investigaciones

El número de publicaciones recopiladas a partir de 1980 (Tabla 3) refleja el avance logrado en el quehacer investigativo. Destaca, por ejemplo, que el número de tesis de doctorado se octuplicó entre la primera y la tercera década estudiadas, y el número de artículos se triplicó.

Tabla 3: Producción de investigación en educación matemática entre 1980 y 2012.* 

* En esta tabla no se incluyen ponencias porque en el periodo 2001-2012 no se consideraron, puesto que los artículos de investigación, tesis de doctorado, libros o capítulos de libro ya hacían muy robusto el corpus.

Aproximaciones metodológicas y poblaciones estudiadas

Como se habrá advertido, los objetos de estudio y las aproximaciones metodológicas son diversas, y sufren modificaciones de un nivel educativo a otro. La preocupación más psicopedagógica y social, propia de la investigación en educación preescolar y primaria -que ocasionalmente diluye el contenido matemático- se atenúa progresivamente hasta casi desaparecer en la educación superior, donde se privilegia el saber matemático como objeto de investigación, aunque -como se mencionó- en el último periodo analizado se observa cierta tendencia hacia la diversificación, principalmente en los estudios sobre la formación de profesionistas que utilizan matemáticas, el análisis (aún muy escaso) de la enseñanza y el interés de los estudiantes por las matemáticas.

Preeminencia de estudios cualitativos. Un rasgo relevante de la investigación en educación matemática es que, en su gran mayoría, los estudios con referente empírico son de tipo cualitativo, basados en la indagación con pequeños grupos de sujetos. También en la categoría de cualitativos se ubican los estudios sobre las prácticas de enseñanza, generalmente sustentados en análisis de registros de clases y entrevistas a profesores.

Predominio de estudios realizados en la Ciudad de México y con profesores que asisten a eventos de formación. Las poblaciones o grupos estudiados se ubican, en su gran mayoría, en la Ciudad de México, especialmente en escuelas públicas del lugar. Son pocos los estudios que tienen como base poblaciones de otras entidades, o que se ocupan de las escuelas privadas. Así mismo, son excepcionales los trabajos que recopilan información de escuelas ubicadas en diversas regiones del país, o representativas de distintas franjas de la población. Por otra parte, en general, los datos aportados sobre profesores corresponden a docentes que, además de habitar en la Ciudad de México, acuden a eventos de formación o desarrollo profesional.

Incorporación reciente de estudios cuantitativos basados en pruebas estandarizadas y grandes muestras. Una forma de indagar, de reciente emergencia y que llama la atención hacia otras poblaciones fuera de la Ciudad de México, es la que se sustenta en los datos generados mediante aplicación de exámenes estandarizados, nacionales o internacionales, a grandes muestras de estudiantes. El análisis de estos exámenes documenta cómo en los sectores más vulnerables de la sociedad, los aprendizajes matemáticos escolares que es posible ponderar de esta manera son mucho más limitados que en el resto de la población.

Principales líneas de investigación

La investigación en educación matemática en México ha tenido un desarrollo sostenido, tanto en cantidad como en calidad. Algunas vertientes emergieron en los años ochenta y se han mantenido en constante producción, incluso se han fortalecido; tal es el caso de los estudios sobre el cálculo, el álgebra, las fracciones y la resolución de problemas aritméticos. Cabe abrir un paréntesis para señalar la necesidad de trabajar con más profusión la geometría y la medición, la probabilidad y la estadística, entre otros temas esenciales que hasta ahora han sido poco estudiados.

Ahora bien, las indagaciones en torno al uso de tecnologías computacionales en tanto herramientas para el aprendizaje matemático, especialmente en vinculación con el álgebra y la geometría dinámica, constituyen líneas de importante robustez.

Por otro lado, si consideramos el foco de las investigaciones, la educación de adultos y saberes no escolares, así como el saber de los docentes y sus prácticas, son vertientes que también muestran vigor en la primaria, aunque su número es aún insuficiente.

A lo largo de estas décadas se ha mantenido una línea de enseñanza experimental, cuyo objetivo ha sido la construcción de propuestas y situaciones didácticas, con el fin de analizar su potencial como promotoras de ciertos aprendizajes matemáticos. Este tipo de trabajos, más numerosos en la educación básica, han sido útiles para la concreción de propuestas curriculares promovidas por el Estado mexicano.

Varios de los trabajos de investigación realizados han alcanzado reconocimiento internacional, y algunos otros han ejercido influencia en las definiciones curriculares y los materiales que los estudiantes de nuestro país utilizan para aprender; la influencia también se ha sentido en los procesos de formación de profesores. Se trata, sin duda, de un campo de investigación maduro, condición que no elimina la existencia de debilidades y de huecos por colmar.

Equilibrios necesarios

México es tierra de contrastes, de diversidades y desigualdades. Los estudios sustentados en exámenes estandarizados y aplicados a grandes muestras de estudiantes constatan una y otra vez cómo en los sectores más vulnerables de la sociedad, los aprendizajes matemáticos escolares que logran los estudiantes son exiguos. Sin embargo, la diversidad y la desigualdad propias de nuestro país han ocupado poco a los investigadores de la educación matemática. Alienta al respecto la reciente publicación de algunos trabajos sobre la educación matemática inicial de jóvenes y adultos, la telesecundaria o la educación matemática de los niños indígenas.²³

Se hacen necesarias más y más profundas reflexiones sobre el tratamiento de éstas y otras diversidades en los salones de clase. Deben ocuparnos las modalidades educativas dirigidas a los sectores de población más marginados: la telesecundaria, los sistemas de escolarización tardía de jóvenes y adultos, o las escuelas multigrado e indígenas. Resulta indispensable delinear y probar propuestas de intervención educativa que contribuyan a paliar los efectos de las condiciones adversas en que aprenden matemáticas quienes asisten a estos servicios educativos.