Introducción

Usar teoremas y definiciones del sistema teórico de referencia como garantías al demostrar un enunciado condicional o al resolver teóricamente una situación específica es una acción imprescindible de la práctica matemática que debe tener un estudiante de nivel universitario (^{Selden, 2012}), habida cuenta de que se parte de la premisa según la cual, en alguna medida, el significado personal de un enunciado matemático (postulado, teorema o definición) se refina mediante su uso. En este artículo presentamos significados que los estudiantes dan al Teorema Localización de Puntos (TLP¹); los inferimos caracterizando el uso que ellos hacen del mismo en el marco de la justificación teórica de un procedimiento en el que el uso tal teorema no es acertado. Con esto, mostramos que los estudiantes tienen dificultad en usar de manera apropiada teoremas relevantes, particularmente, en verificar si las propiedades mencionadas en las hipótesis de un teorema se satisfacen bajo las condiciones de una situación específica (^{Selden, 2012}). Pretendemos destacar el error al que esta falencia conlleva, como un camino usado deliberadamente por el profesor para favorecer una semiosis relacionada con el significado del TLP; exponemos cómo el profesor reconoce la importancia de este suceso y abre el espacio para que ellos expliciten los significados, posible génesis de tal dificultad, buscando que se acerquen al significado compartido deseado de dicho teorema.

En primera instancia, presentamos la perspectiva teórica a la luz de la propuesta de signo tríadico de Charles S. Peirce (^{Sáenz-Ludlow y Zellweger, 2012}), que fundamenta el análisis realizado; enseguida, nos referimos a asuntos metodológicos para lo cual contextualizamos y presentamos el episodio que es objeto de análisis, aludimos a la identificación de los ciclos de interpretación que constituyen el episodio, y establecemos una comparación, desde un punto de vista matemático, de los enunciados de los hechos geométricos involucrados en el episodio. Luego se presenta un análisis de la interacción verbal con base en los referentes teóricos expuestos. Por último, exponemos las conclusiones que son producto de tal análisis.

PERSPECTIVA SEMIÓTICA DE LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

La interacción social entre profesor y estudiantes que tiene lugar en el aula para construir significado matemático es una actividad semiótica. Para describir e interpretar dicha actividad tomamos la perspectiva semiótica de la enseñanza y el aprendizaje que desarrollan ^{Sáenz-Ludlow y Zellweger (2012)}, basada en la teoría del signo triádico de Charles S. Peirce. Para Peirce, la semiosis es la actividad comunicativa o de pensamiento en la que se crean o se usan "signos". El "signo" de Peirce, denotado SIGNO por Sáenz-Ludlow y Zellweger, consiste en la relación triádica que resulta de la integración inseparable de tres relaciones diádicas entre un objeto, una representación del objeto (representamen o signo vehículo) y una interpretación del objeto representado (interpretante). En el siguiente diagrama (Figura 1), la "Y" invertida² permite plasmar los tres componentes del SIGNO y sus tres relaciones diádicas (i.e., objeto-signo vehículo, signo vehículo-interpretante y objeto-interpretante).

Figura 1. Diagrama de la estructura general del SIGNO 

Este modelo de la semiosis es esencialmente un modelo de comunicación basado en la idea de SIGNO y en la diferenciación que Peirce hace del objeto del SIGNO. Esta diferenciación se enfoca en los aspectos del objeto que son indicados y transportados en el signo vehículo y en las características del objeto que es construido por el intérprete una vez que recibe e interpreta el signo vehículo. Peirce hace referencia a tres objetos: el Objeto Real, el objeto dinámico, y el objeto inmediato. El Objeto Real (OR) es el objeto que acepta la comunidad de discurso dentro del cual tiene lugar el acto semiótico. En el caso que nos ocupa, nos referimos al Objeto Real Matemático (ORM); objeto que es de naturaleza social, cultural e histórica. El objeto dinámico (od) es una representación del Objeto Real, una interpretación idiosincrática generada en la mente del intérprete cuando recibe un signo vehículo y lo interpreta. El objeto inmediato (oi) es una representación del Objeto Real que refiere a uno o más aspectos específicos de este, y que se codifican y se expresan en un signo vehículo. El aporte distintivo de Peirce a la noción tradicional de "signo" está en la inclusión fundamental de la mente que interpreta. Esta inclusión pone de relieve que la comunicación no es un proceso inmediato que permita pasar de manera directa un determinado mensaje de una persona a otra con significados supuestamente "objetivos" y asociados a aquellos objetos en los que se enfocan los signos vehículos que median la comunicación. En cambio, es un proceso mediato e indirecto en el que la construcción de interpretantes de las personas involucradas es imprescindible y desempeña un papel preponderante.

La siguiente es una descripción somera de cómo ocurre la semiosis en torno a un determinado Objeto Real, en un intercambio verbal constituido por dos turnos (ver Figura 2). En un acto de interpretación-intra (interacción consigo mismo), la persona A genera un objeto inmediato (oi) seleccionando, de su interpretante (i) relativo al Objeto Real, algún aspecto específico sobre el que quiere enfocar su comunicación, lo codifica y lo expresa en un signo vehículo dirigido a la persona B. En un acto de interpretación-inter (interacción con otros) que tiene lugar en el contexto de su conocimiento y experiencia, B decodifica el signo vehículo emitido por A y genera un interpretante que determina un objeto dinámico (od) que puede estar en mayor o menor consonancia con el objeto inmediato de A. Luego, en un acto de interpretación-intra, B genera un objeto inmediato, lo codifica en un signo vehículo dirigido a A, quien a su vez lo decodifica y así se forma un interpretante en la mente de A de donde podría provenir otro objeto dinámico. Obsérvese que la relación mediante la cual comparamos el objeto dinámico del intérprete con el objeto inmediato del emisor del signo vehículo no es de igualdad sino de consonancia. Es prácticamente imposible que en algún momento sean idénticos dada la naturaleza provisional y, por tanto, cambiante de los objetos dinámicos, y debido a que ellos están influidos por la experiencia previa y el conocimiento del intérprete.

Figura 2. Modelo del curso de una semiosis en un intercambio de dos turnos 

En una interacción dialógica de varios turnos en el aula de matemáticas, cuyo propósito es el aprendizaje de los estudiantes con el apoyo del profesor que representa a la comunidad del discurso matemático, tiene lugar una semiosis colectiva con la intención de construir significado de un Objeto Real Matemático situado, es decir, inmerso en una situación didáctica específica; lo denominamos Objeto Real Matemático del profesor. Por ejemplo, en una determinada semiosis, el Objeto Real Matemático podría ser el elemento teórico Teorema Localización de Puntos (TLP) mientras que el Objeto Real Matemático del profesor bien podría ser el TLP como herramienta para construir un segmento congruente a otro dado.

En el aula de clase, la mayoría de los objetos dinámicos que construye el profesor no son objetos dinámicos matemáticos "genuinos". Más bien, estos objetos dinámicos, fundamentales en la actividad semiótica del aula, tienen naturaleza didáctica, razón por la cual los distinguimos y los denominamos objetos dinámicos didácticos (odd) (^{Perry, Camargo, Samper, Sáenz-Ludlow y Molina, 2014}). El calificativo "didáctico" alude a que estos son el resultado de decisiones didácticas tomadas para facilitar la evolución de los objetos dinámicos de los estudiantes hacia objetos inmediatos que se aproximan al objeto inmediato pretendido. Como se ha sugerido ya, el profesor, en cuanto representante de la comunidad de discurso matemático, desempeña un papel especial en la construcción de significado.

Para el caso de la educación matemática, la noción de construcción de significado ha sido entendida por diversos autores (^{Godino y Llinares, 2000}; ^{Radford, 2000}) como la búsqueda de compatibilidad entre las ideas de un individuo acerca de un objeto matemático, significado personal, y las de la comunidad cultural de referencia, significado objetivo o institucional. Desde la perspectiva planteada en este texto, procuramos operacionalizar tal noción. Entendemos por construcción de significado el proceso de interpretación a través del cual se busca la convergencia de los objetos dinámicos de los estudiantes hacia objetos inmediatos pretendidos del profesor, convergencia de la cual se puede tener alguna noticia durante la comunicación con base en los objetos inmediatos que los estudiantes acarrean en sus signos vehículos. Los significados pretendidos del profesor, se espera que tengan como referencia significados objetivos o institucionales de algún Objeto Real Matemático. Un significado objetivo es la integración de consensos de significados que se ha construido históricamente en el seno de la comunidad profesional de discurso matemático. El significado subjetivo o personal que da un estudiante a un Objeto Real Matemático es la integración de significados personales parciales y provisionales que se han constituido principalmente de manera colectiva en el aula de clase con la mediación semiótica del profesor (i.e., acciones interpretativas y deliberadas que él realiza con el propósito de lograr la convergencia de los objetos dinámicos de los estudiantes hacia los objetos inmediatos pretendidos del profesor). Cuando una persona interpreta un signo vehículo que acarrea algún aspecto de un Objeto Real, es decir, cuando hace una lectura de un signo vehículo para tratar de entender lo que su proferente expresó, se genera un interpretante y un objeto dinámico. Tras el surgimiento de tal interpretante del signo vehículo y de tal objeto dinámico, se pone en juego la subjetividad del intérprete, quien se esfuerza en ir construyendo su propio significado del Objeto Real, probablemente influido por las interpretaciones anteriormente mencionadas. Es decir, el significado personal está conformado por los objetos dinámicos que el intérprete ha ido construyendo a lo largo de su interacción con otros, pero no coincide con tales objetos dinámicos, tampoco con los interpretantes. El significado provisional que una persona va atribuyendo a un determinado Objeto Real, en un proceso semiótico que podría no terminar en la medida que siga trabajando al respecto, está constituido por todas las ideas que va formando, reformando, precisando, modificando al respecto, y los usos que pueda hacer tanto de la definición del objeto como del objeto mismo.

Aspectos metodológicos de la investigación

El episodio que analizamos hace parte de una sesión de clase en la que se estudian procedimientos realizados por los estudiantes para construir un ángulo congruente a uno dado. Esto en el marco de un curso de geometría euclidiana plana del programa de formación inicial de profesores de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia). El curso tiene como propósito que los estudiantes aprendan a demostrar, participando en la resolución de problemas geométricos abiertos, a partir de lo cual deben formular conjeturas y demostrarlas en el sistema teórico que gradualmente se conforma en el curso. Los estudiantes usan el programa de geometría dinámica Cabri para resolver los problemas. El grupo estuvo constituido por 14 estudiantes. El profesor, coautor de este artículo, tiene amplia experiencia en el respectivo desarrollo curricular. A continuación contextualizamos y presentamos el episodio que se analiza en el artículo, identificamos los ciclos de interpretación, y aportamos un análisis comparativo del TLP y el Postulado rayos - números reales PRYN³ para tener en cuenta en el análisis del episodio.

CONTEXTUALIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DEL EPISODIO QUE SE ANALIZA

En esta clase se estudian los procedimientos de construcción realizados por los estudiantes para resolver el problema

Construir, en el software Cabri, un ángulo congruente a ∠BAC dado. Justificar, con el sistema teórico disponible, el procedimiento.

El problema se les plantea con el propósito de motivar la necesidad de usar el PRYN y de introducir al sistema el Teorema Construcción de Ángulos (TCA⁴).

El profesor propone abordar el procedimiento, realizado por varios grupos, que recurre al uso de la herramienta "rotación" de Cabri -conocida ya en el curso anterior de geometría. Pretende que los estudiantes participen en la tarea de justificar teóricamente cada uno de los pasos de tal procedimiento. Los pasos del procedimiento son: i) construir AC⃡ y AB→; ii) construir AC→ y D tal que D - A - C; iii) construir AD→; iv) tomar la medida de ∠BAC y usar la herramienta "rotación" para rotar AD→ con medida de ∠BAC respecto a A, siendo AE→ el producto de tal acción; v) tomar la medida de ∠EAD y constatar que m ∠EAD= m ∠BAC (Gráfico 1).

Gráfico 1. Representación gráfica producto del procedimiento de construcción 

Estando en el proceso de justificación de los pasos de construcción, al llegar a validar la existencia del AE→ que junto con el rayo opuesto a AC→ permite construir un ángulo congruente al ángulo ∠BAC, ocurre el episodio que motiva el análisis que presentamos en este capítulo. Una estudiante, Dina,⁵ menciona como garantía el TLP y no el PRYN. Ante esta respuesta inesperada, el profesor emprende la siguiente tarea no explícita inicialmente para los estudiantes:

Producción colectiva de una argumentación que explique por qué el TLP no es pertinente para garantizar la construcción de un rayo.

Comienza por preguntar a los estudiantes su opinión sobre la aseveración de Dina, con el objetivo de cuestionarla. Dan respuesta al profesor María, Antonio y Juan; producto de la interacción se logra una aproximación a la idea pretendida por el profesor y es este quien complementa la idea. Dice entonces, una vez más, en qué circunstancias es pertinente usar el TLP y en cuáles el PRYN. Hecha la aclaración, el profesor vuelve a preguntar cómo justificar la existencia del rayo en cuestión. Camilo responde acertadamente aludiendo al ítem ii del PRYN y explica cómo lo usa en el contexto en que se encuentran.

REGISTRO DE INFORMACIÓN

La información sobre la actividad semiótica provino de cinco fuentes: (i) video grabaciones de todas las clases de un curso de geometría plana, hechas con dos cámaras; se accionaban para enfocar al profesor, el tablero, los computadores o a los estudiantes, de acuerdo con el interés de capturar la interacción comunicativa y poderla reproducir lo más fielmente posible; (ii) grabaciones de audio tomadas con dos dispositivos: uno de ellos situado muy cerca del profesor y el otro cerca a los estudiantes; (iii) notas de clase elaboradas por los estudiantes, como una tarea cotidiana en la clase; distribuidos por grupos, los estudiantes se turnaban diariamente para reconstruir los principales aspectos tratados en la clase y enviar las notas al profesor; él las revisaba y las ubicaba en una carpeta virtual en la web para uso de todo el grupo; (iv) notas tomadas por algún miembro del equipo de investigación que acompañaba las clases y hacía observaciones in situ de los aspectos de la interacción que le parecía oportuno registrar y comentar en las reuniones de investigación; (v) reconstrucción narrativa hecha por el profesor en las reuniones de investigación realizadas semanalmente para evaluar los sucesos de la clase y definir el rumbo de nuevas acciones.

Identificación de ciclos de interpretación

La identificación de los ciclos para el análisis se hizo a partir de la trascripción completa de la grabación de video de la clase en la que ocurrió el episodio. La información del video enfocado en el profesor se complementó con la del video enfocado en el grupo de estudiantes. La transcripción se hizo procurando una reproducción fiel de la interacción comunicativa.⁶ Sobre la transcripción, se hizo un primer ejercicio de análisis en el que un miembro del equipo de investigación resaltó los signos vehículos del profesor y de los estudiantes relevantes para la reconstrucción de la semiosis correspondiente al significado del TLP; en los signos vehículos identificó los objetos inmediatos, y propuso inferencias acerca de los interpretantes, objetos dinámicos y objetos dinámicos didácticos del profesor. Este ejercicio dio lugar a la identificación de cinco ciclos de actividad semiótica, es decir, fragmentos que tienen en sí mismos un sentido completo. Estos ciclos son: (i) Propuesta de uso del TLP para justificar teóricamente la rotación de un rayo. (ii) ¿Están de acuerdo con la propuesta de Dina? -Respuesta de María. (iii) ¿Por qué no es pertinente el TLP? -Respuesta de Antonio. (iv) ¿Por qué no es pertinente el TLP? -Respuesta de Juan, y (v) Significado esperado del TLP según su uso.

ANÁLISIS COMPARATIVO DEL TLP Y EL PRYN

Buscando recursos para analizar la situación que centra nuestra atención en este artículo, vemos útil comparar el TLP con el PRYN atendiendo a dos aspectos: sus enunciados y las situaciones en las que es pertinente su uso. Así que, a continuación, explicitamos los enunciados, resaltando en cada caso las respectivas hipótesis y consecuencias necesarias de estas; luego precisamos las respectivas situaciones genéricas de uso pertinente. Estas dos acciones están relacionadas estrechamente en el sentido de que la primera prepara el terreno para la segunda.

El enunciado del TLP es:

Dado CT→ y z > 0, entonces existe un único punto X tal que X Є CT→ y CX = z.

El enunciado del PRYN es:

Dada AB⃡, punto C tal que C ∉ AB⃡, y el conjunto de los números reales entre 0 y 180, se puede establecer una correspondencia de todos los rayos de extremo A y un punto en SAB⃡ C con el mencionado conjunto de números, tal que:

El texto subrayado en cada enunciado reporta las condiciones de la hipótesis del respectivo hecho geométrico. Aunque ambos antecedentes aluden al mismo objeto geométrico (rayo) y a números reales, los antecedentes tienen condiciones diferentes. En el TLP, el objeto geométrico es un único rayo cualquiera, mientras que en el PRYN se alude a todos los rayos contenidos en un mismo semiplano, determinado por una recta, y extremo en dicha recta (i.e., tienen una condición específica). En cuanto a las condiciones del número, algo similar ocurre: en el TLP se alude a un sólo número real con la única condición de ser positivo, mientras que el PRYN alude a todos los números reales positivos menores que 180. En resumen, el PRYN es mucho más exigente que el TLP en lo que tiene que ver con las condiciones de los objetos involucrados en el antecedente. Un asunto implícito en la enunciación del PRYN lo constituye la descripción analítica que esconde la generación de ángulos tras la mención de rayos cuyo origen (A) pertenece a la recta dada (AB⃡) y sus demás puntos en un semiplano (e.g., AD→).

Ahora, con respecto a las consecuencias necesarias (lo no subrayado en los enunciados) de las condiciones de los antecedentes antes descritos, precisamos lo siguiente: el TLP garantiza la determinación de un único punto (e.g., X) en un objeto muy bien determinado (un rayo -e.g., CT→) con una condición de distancia (e.g., z) dada a un punto previamente establecido (el extremo del rayo). Por su lado, el PRYN provee una consecuencia más rica por cuanto precisa las relaciones que pueden presentarse entre los números y los rayos a los que hace referencia el respectivo antecedente. Así, plantea que a cada rayo (con las condiciones específicas) se le puede asignar un único número entre 0 y 180, que a cada uno de tales números se le puede asignar uno de dichos rayos, y que a los rayos que conforman la recta se les asigna 0 y 180, según el caso. En síntesis, precisando un rayo (e.g., AD→) con puntos en el semiplano mencionado en el antecedente (e.g. el determinado por AB⃡), se puede garantizar la existencia de un único número entre 0 y 180 que le corresponde (e.g., s). En el otro caso, especificando un número entre 0 y 180 (e.g., s), se puede garantizar la existencia de un único rayo (e.g., AD→) con puntos en el semiplano mencionado en el antecedente (el determinado por AB⃡) al cual le corresponde ese número especificado (s).⁷ En cualquiera de los dos casos, ese número s se convierte en la medida del ∠DAB.

Con la descripción de los consecuentes hecha, es posible concluir que el TLP se usa en contextos de distancia entre puntos (necesaria para determinar la medida de longitud de segmentos); de manera general, se usa en casos en los que sea necesario construir un segmento congruente a uno dado mediante la localización de un punto que será uno de sus extremos. El PRYN se usa en contextos donde interviene la medida de amplitud de ángulos; de manera general, en situaciones en las cuales es necesario construir un ángulo congruente a uno dado mediante la determinación de un rayo que será uno de sus lados.

Es de esperar que los estudiantes reconozcan los contextos respectivos donde el uso de los hechos geométricos es pertinente, pues una descripción similar debe conformar parte de su interpretante relacionado con cada hecho geométrico. Como el contexto de la clase se enfoca en la justificación teórica del procedimiento de construcción de un ángulo congruente a uno dado, específicamente en la existencia de un rayo que en el software surgió como rotación de otro, claramente el uso del TLP no es pertinente; sí el del PRYN.

ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN VERBAL

El análisis del episodio nos permitirá tener indicios del significado que al TLP dan tres estudiantes en aquel momento, en su reacción a la propuesta de Dina. Para el fragmento de diálogo que vamos a analizar, se identifica como OR(M) el TLP, y como OR del profesor, el significado del TLP a partir de la caracterización del uso (i.e., identificación de las situaciones en las cuales es pertinente usarlo y uso adecuado del mismo en tales situaciones).

Para efectos de la lectura de la trascripción analizada, los sv del profesor sobre los que concentramos la atención son expresiones del profesor en sus intervenciones donde alude al uso del TLP. En relación con los sv de los estudiantes, se presentan expresiones de una intervención de un estudiante en la que podemos reconocer algo relacionado con el pretendido uso del TLP.

Ciclo 1. Propuesta de uso del tlp para justificar teóricamente la rotación de un rayo

El profesor ha emprendido la tarea antes mencionada junto con los estudiantes. La atención se enfoca en la justificación del paso iv de tal procedimiento, específicamente en la justificación de la existencia de AE→ producto de la rotación del AD→ en torno a A con medida de ∠BAC. En este sentido, el profesor, con una pregunta, pretende que los estudiantes precisen la garantía teórica que valida la construcción de un rayo a partir de la rotación de otro y de la medida de un ángulo, que se ha hecho en el software Cabri. Dina le responde.

1. Profesor: [...] ¿Cómo aparece ese rayo? [...] ¿Listo? Ya sé que en los computadores aparecen, pero ahora teóricamente, ¿cómo hago para que aparezca el rayo AE? ¿Cómo hacemos?

2. Dina: Por Teorema Localización de Puntos, ¿no?

Ante el sv⁸ del profesor [1],⁹ cuyo oi₁-p es la garantía teórica solicitada que permite justificar teóricamente la existencia del AE→, Dina responde: "Por Teorema Localización de Puntos"(sv-D). El profesor no deja que pase inadvertida esta respuesta no apropiada y hace que el oi₁-D acarreado por sv-D sea el que tome el protagonismo en la clase; esto es: el Teorema Localización de Puntos permite justificar teóricamente la existencia del rayo. El objeto inmediato de Dina está en concordancia con el objeto inmediato del profesor; claro, ella provee una garantía teórica para justificar la rotación del rayo. No obstante, el profesor no pretendía que se aludiera a tal garantía (i.e., TLP), sino al PRYN.

Algunos posibles interpretantes que motivaron a Dina a mencionar aquel sv-D son:

• Para construir el nuevo rayo primero se debe "localizar" un punto con ubicación especial, lo cual se garantiza con el TLP.

• La aplicación del TLP requiere de un rayo y una medida. El TLP se usa para transferir medidas. Aquí tengo un rayo y una medida que debo transferir, entonces el TLP me sirve.

• En los últimos problemas que se ha abordado en clase, el TLP siempre surge como justificación de un paso de un procedimiento. Este caso no debe ser la excepción.

En cualquiera de los dos primeros interpretantes, habría indicios para inferir que el significado que Dina da al TLP no corresponde al pretendido por el profesor. El primer interpretante implicaría no contar inicialmente con un rayo sino más bien generarlo con la aplicación del supuesto teorema, es decir, estaría intercambiando, en cierta medida, las condiciones suficientes y necesarias del TLP, por ende, usando como garantía un enunciado que no corresponde a un hecho geométrico verdadero en el sistema teórico disponible.

En relación con el segundo, Dina aludiría a hechos descriptivos relacionados con el TLP como: este se aplica para transferir medidas, o para aplicarlo se debe tener un rayo y un número. No habría una precisión sobre el tipo de medidas (asociadas a longitud de segmentos o amplitud de ángulos) ni sobre las condiciones específicas que deben tener los rayos y el número para poder aplicarlo.

En el caso del tercer interpretante posible, Dina estaría actuando en respuesta más al contrato didáctico de la clase (la respuesta a algo debe estar en el marco de lo que se ha venido estudiando), que a la evocación consciente del TLP en términos de su pertinencia para justificar el paso del procedimiento.

Ciclo 3. ¿Por qué no es pertinente el uso del TLP? -Respuesta de Antonio

Con la intervención de María, el profesor interpreta que ella se acerca a lo que él pretende: uso del PRYN para justificar el paso de construcción en cuestión y alusión a la no pertinencia del TLP en ese contexto. El profesor supone que ella tiene en mente a qué se quiere llegar y que la forma hipotética en cómo se usaría el TLP para "localizar" un punto no garantiza la posición del rayo requerido. Pese a esto, reconoce que a la respuesta de María le falta precisión y explicitación. Ella habla de medida de un rayo, pero no precisa a qué rayo se refiere (i.e., no especifica que el número debe ser la medida del ∠BAC, o aquel que le corresponda con el número asignado al rayo AB) ni explicita el hecho geométrico (PRYN) que permite relacionar el rayo con un número; además, aunque alude al uso hipotético del TLP (y con ello intenta referirse a la no pertinencia de su uso en este contexto), no menciona en qué situaciones genéricas se puede usar tal teorema.

De este interpretante se infiere como objeto dinámico del profesor el mismo odd₁ presentado antes, dado que el profesor espera la misma precisión en las respuestas de los estudiantes. Al ponerse en juego ese odd₁, tiene lugar la siguiente interacción entre el profesor y Antonio:

7. Profesor: Pero, ésa no es una razón muy buena, María. Hay algo más. ¿Por qué sí o no Teorema Localización de Puntos?

8. Antonio: No se puede.

9. Profesor: ¿Por qué no se puede?

10. Antonio: Porque el Teorema Localización de Puntos es ubicar un punto en un rayo que ya está, ubicar un punto con una medida, es darle a ese punto un número.

11. Profesor: ¿En dónde? Y ¿en dónde queda?

12. Antonio: En un rayo.

13. Profesor: En un rayo. Acá, ¿por qué la cosa no funciona?

14. Antonio: Porque todavía no tenemos el rayo. Tenemos que sacar el rayo. Por decir, si vamos a utilizarlo en ese caso (señala hacia el tablero donde se ve una figura como la que se presenta aquí). sería por decir: ubicar un punto E en el rayo AD o en el rayo AB, pero no podemos sacar de ahí...

Con el sv-p [7] se concreta el odd₁, y se vislumbra el respectivo objeto inmediato que, por el momento, no ha cambiado (i.e., sigue siendo oi₂-p). Como respuesta a esta pregunta, Antonio provee un signo vehículo [8 y 10]. Con ello, el estudiante profiere un objeto inmediato (oi₁-A) que en principio no se corresponde con oi₂-p: El consecuente del TLP. Posiblemente, Antonio tiene alguna de las siguientes dos interpretaciones de aquel teorema que, en cualquier caso, le sería suficiente para fundamentar su argumentación, pues, en esencia, ambas relacionan un punto (no un rayo) con un número. Específicamente, tales interpretaciones son: i) el TLP permite ubicar un punto en un rayo que ya se tiene, a partir de una medida [se infiere de lo subrayado en la intervención 10] y ii) el TLP permite asignar un número a un nuevo punto [se infiere de lo no subrayado en la intervención 10]. Con lo dicho, el objeto dinámico de Antonio (od₁-A) asociado, sería: El uso del TLP en la situación no permite argumentar la existencia del rayo deseado, puesto que tal Teorema provee un punto. Este od₁-A estaría en consonancia con oi₂-p.

De cada una de las dos posibles interpretaciones de Antonio, se vislumbra el significado que puede tener del TLP para ese momento: el Teorema o bien permite localizar un punto en un rayo dado, con base en un número, o bien permite asignar un número a un punto dado. Estos dos usos no son equivalentes. Ello sugiere una confusa comprensión del TLP en este punto de la interacción o una comunicación no adecuada de lo que Antonio quiere decir. Cabe comentar que el primer significado no es del todo acertado por cuanto no precisa las condiciones del número con el cual se ubica el punto (P) en el rayo dado y con respecto a qué punto (Q) ese número se establece como la distancia PQ; queda la duda de si ese número representa una distancia o sencillamente es un número sin alguna condición.

Con respecto a la intervención de Antonio, el profesor genera un interpretante en el que posiblemente reconoce que el estudiante se aproxima a lo esperado: el TLP no es pertinente para justificar el paso del procedimiento en cuestión aludiendo al consecuente de este hecho (el Teorema permite ubicar un punto en un rayo que ya se tiene a partir de una distancia dada). No obstante, se percata también de que su respuesta acarrea la imprecisión mencionada. En relación con esto, el profesor genera un segundo objeto dinámico didáctico (odd₂), que específica el odd₁: precisión del antecedente y consecuente del TLP para decantar por qué no es pertinente su uso en este caso.

El odd₂ se intenta poner en juego con la pregunta (sv-p) que el profesor dirige a Antonio [13]. El objeto inmediato (oi₃-p) acarreado en ese signo es justificación (solicitada) de la no pertinencia del uso del TLP como garantía teórica de la existencia de un rayo, mediante rotación, que conforma un ángulo congruente a otro. Como se evidencia, el oi₃-p es una especificación del oi₂-p.

Ante tal pregunta, Antonio provee su segundo signo vehículo [14]. Él quiere precisar la no congruencia entre las condiciones del TLP y los datos de la situación, razón por la cual el TLP no es pertinente (oi₂-A), objeto inmediato que se corresponde con el del profesor (oi₃-p) y el odd₂. Para construir la justificación, probablemente Antonio ahora tiene en su interpretante parte de las condiciones del antecedente del TLP para poder usarlo: tener un rayo. Él parece decir que lo que se necesita en esta situación es construir un rayo, no partir de él, como exigiría el Teorema. Si este se usara, se localizaría un punto en los rayos que tiene a su disposición según la situación (AD→ o AB→ por ejemplo), razón por la cual no existiría un nuevo rayo. En síntesis, el od₂-A inferido se corresponde con los od₁-Ay od₁-M antes mencionados: un uso hipotético del TLP conllevaría a un resultado que no se corresponde con lo deseado, razón por la cual tal Teorema no permite argumentar la existencia de rayo.

Cabe resaltar que Antonio, al aludir parcialmente tanto a las condiciones del antecedente del TLP como a sus consecuencias necesarias (ubicar un punto en un rayo), da su significado de tal Teorema en este punto de la interacción, hecho que nos permite descartar la segunda interpretación inferida antes: el TLP permite asignar un número a un nuevo punto. Es probable que la insistencia del profesor con sus preguntas fuera exitosa en términos de la obtención de una precisión del significado del TLP por parte de Antonio.

Resultados del análisis y algunas conclusiones finales

Hemos analizado un episodio que nos resultó de interés porque ilustra un caso de rara ocurrencia en la clase que sirve de escenario a esta investigación. Por lo regular, la conversación instruccional pública a través de la cual participan los estudiantes en el desarrollo de los temas se da acorde con lo planeado por el profesor, es decir, las respuestas de los estudiantes van, en alguna medida, por el camino previsto por el profesor. En esta ocasión no fue así. La insólita respuesta de Dina lleva al profesor a guiar una semiosis colectiva enfocada en el TLP, teorema estudiado y utilizado en clases anteriores, y no en el PRYN, que es la garantía teórica de la justificación que estaban emprendiendo. El profesor ve en el error de Dina una oportunidad para indagar sobre el significado personal de los estudiantes relativo al TLP. En relación con esto último, de los objetos dinámicos y algunas veces de los interpretantes, inferimos distintos significados presentes en cierto momento de la interacción. En la siguiente tabla, resaltamos en negrilla tales significados; presentamos e odd y los oi del profesor, para intentar hacer comentarios respecto de la convergencia de los od de los estudiantes a estos oi.

Ciclo 1 

Ciclo 2 

Ciclo 3 

Ciclo 4 

Ciclo 5 

A continuación exponemos comentarios generales respecto de tales significados. En relación con los primeros cuatro ciclos, resaltamos que los estudiantes participantes en ellos, salvo Dina, tienen cierta afinidad en el significado del TLP. En el caso de Dina, no se evidencia una comprensión acertada del consecuente o antecedente del Teorema (ver interpretantes i y ii de Dina, respectivamente). Si nos valemos de tales interpretantes, podríamos esbozar dos posibles significados otorgados al TLP:

El TLP permite localizar primero un punto para luego determinar el rayo.

El TLP se aplica para transferir medidas, sin importar a qué objeto se le atribuirá la medida, y para aplicarlo se deben tener un rayo y un número.

Resaltamos que aunque la respuesta de Dina no es la que el profesor espera (alusión al PRYN), ella responde al oi₁-p ya que provee una garantía teórica para validar la existencia del rayo en cuestión. Hay una correspondencia entre la respuesta dada y la pregunta del profesor en el sentido de proveer una garantía, pero no la hay en términos del contenido geométrico.

Para el caso de María, Antonio y Juan, sus objetos dinámicos (od₁-M, od₂-A y od₁-J) convergen entre sí y, de alguna forma, con los objetos inmediatos del profesor oi₂-p y oi₃-p. Decimos que convergen entre sí dado que todos aluden a la no pertinencia del TLP para justificar teóricamente la existencia de un rayo como rotación de otro; además, coinciden en que al suponer un uso del Teorema en la situación, se obtiene un resultado que contradice hechos ya establecidos en el sistema. Si se quiere determinar un significado del TLP a la luz de tales objetos dinámicos (y de los interpretantes), el mismo sería algo como lo que sigue:

El TLP no es útil para garantizar teóricamente la existencia de un rayo que surge por rotación de otro en Cabri, dado que el Teorema provee la existencia de un punto (María) en su consecuente y precisa de un rayo y un número en su antecedente (Antonio y Juan).

Mencionamos que existe cierta convergencia entre los objetos inmediatos del profesor con los objetos dinámicos de los estudiantes, puesto que ellos dan respuestas al sv del profesor, intentando precisar la no pertinencia del TLP para la existencia del rayo; sin embargo, estas no son lo suficientemente satisfactorias para el profesor.

En relación con el Ciclo 5, dilucidamos dos significados otorgados al TLP. Uno asociado a od₁-L y otro asociado al od-E (el cual fue construido con las interven ciones de varios estudiantes):

El TLP permite copiar medida de segmentos.

El TLP no es pertinente en una situación que involucra igualdad de medida de ángulos.

El primero de estos significados está en consonancia con el oi₄-p y oi₅-p, mientras que el segundo se corresponde parcialmente con el oi₆-p. Para el último caso, decimos que hay una correspondencia parcial dado que los estudiantes tímidamente aluden a que la situación en cuestión involucra medida de ángulos, pero es el profesor quien complementa la idea diciendo que el TLP se usa para otro tipo de medidas, movido por las respuestas de Laura en su intervención inmediatamente anterior. El profesor, quizá, no da espacio para que algún estudiante conjugue los significados 1, 2 y 3 de manera tal que se provea una respuesta completa, como la que él espera: que explique la no pertinencia del TLP en la situación. Probablemente supone que para todos, incluyendo Dina, el proceso previo es suficiente para dar claridad sobre el asunto y tener un significado más o menos completo de tal Teorema, a saber:

El TLP no es útil para garantizar teóricamente la existencia de un rayo que surge por rotación de otro en Cabri, dado que el Teorema exige un rayo y un número positivo en su antecedente y provee en su consecuente la existencia de un punto en el rayo cuya distancia al extremo del rayo es tal número. Así, en esencia, el TLP permite copiar medida de segmentos, razón por la cual su uso no es pertinente en una situación que involucra igualdad de medida de ángulos.

Resaltamos con letra negrilla elementos que nunca se precisaron en las intervenciones de los estudiantes y a la cuales el profesor aludió implícitamente en su intervención 31. Se resalta que aun cuando el profesor quiso involucrar en dos objetos dinámicos didácticos (odd₂ y odd₃) esas condiciones, los estudiantes no le correspondieron. A partir de este último hecho y con el ánimo de plantear un asunto para reflexión, hacemos un comentario final con respecto a la mediación del profesor. Si bien explotó el error cometido por Dina para indagar significados del TLP y en tal sentido, hay momentos en que los sv-p son afortunados (v.g., en el Ciclo 3, la insistencia del profesor con sus sv, condujo a precisar el significado que Antonio tenía del TLP en ese momento), hay otros episodios en los que tales sv no fueron completamente eficaces. Como dijimos, cuando el profesor intenta poner en juego su odd₃ en el Ciclo 4, definitivamente su sv parece no cumplir su objetivo, puesto que Juan sólo sigue la argumentación de Antonio y nunca precisa los antecedentes y consecuentes del TLP o PRYN, que era lo que el profesor pretendía. El hecho de que los sv-p no sean siempre eficaces, muestra un asunto interesante en la mediación de un profesor; nos referimos a la tensión que tiene cuando debe decantar qué tanto sugiere, en sus sv, las respuestas de los estudiantes, de manera tal que ellos, autónoma y genuinamente, aludan al aspecto del objeto que el profesor intenta poner en juego, así sea parcialmente. Queda la tarea de hacer un estudio que intente dar respuesta a la pregunta.