5.1 Campos de problemas

En nuestro marco teórico, los problemas son el origen o razón de ser de la actividad matemática; se postula que el resto de objetos matemático emergen de las prácticas, personales o institucionales, realizadas para resolverlos (ver, por ejemplo, ^{Godino, 2002}; ^{Godino y Batanero, 1994}). Al analizar la actividad matemática interesan, más que ejemplos particulares de problemas, clases o campos de problemas, relacionados con cada objeto matemático. El concepto de "problema" es amplio, pues incluye cualquier situación o tarea que requiera actividad matemática. Por ello, en el análisis de los libros de texto, hemos englobado como "problemas", tanto los problemas en sí, como los ejercicios, tareas o actividades. El análisis de todos ellos sirvió para identificar dos clases o campos de problemas principales referidos a la regresión, que se ejemplifican en la Figura 1 y que se describen a continuación, asignando a cada uno de ellos un código: CP1 y CP2.

CP1. Ajuste de un modelo a los datos bivariantes. Los problemas que hemos incluido en esta categoría piden a los estudiantes ajustar una función a los datos bivariantes, obteniendo su expresión algebraica (pregunta (a) en la Figura 1). Otras veces se sugiere trazar en forma aproximada la recta de regresión sobre un diagrama de dispersión. En menor medida, encontramos algunas situaciones donde se pide comprobar propiedades del modelo de regresión lineal, asignar una recta entre varias dadas a un diagrama de dispersión, o determinar el ángulo que forman las dos rectas de regresión. En los textos analizados, estos problemas usualmente sólo proponen el modelo de regresión lineal, que es el más sencillo y asequible para los estudiantes.

CP2. Realizar estimaciones de un valor de la variable dependiente, a partir de un modelo de regresión. Una vez calculada la función de ajuste a la distribución bidimensional, los textos proponen problemas estimación; por ejemplo, el mostrado en el apartado (b) de la Figura 1. Son muchos los problemas donde, una vez calculada la función de ajuste, se pide realizar una estimación en valores de la variable independiente incluidos (interpolaciones) y excluidos (extrapolaciones) en el rango de los datos. ^{Sánchez Cobo (1999)} encontró en su análisis este mismo tipo de problemas. Al igual que ^{Lavalle, Micheli y Rubio (2006)}, algunos textos son imprecisos ([H6], [T6], [H4] y [T4]), porque no señalan que el valor estimado a partir de la ecuación de regresión es un valor esperado o promedio. Hemos incluido, en esta categoría, las tareas que piden al estudiante, analizar la bondad del ajuste del modelo de regresión (pregunta (c) en la Figura 1), que el alumno ha de resolver mediante el cálculo del coeficiente de determinación. Otro ejemplo de este campo de problemas, es la siguiente tarea: "¿Cuál sería la fiabilidad de un ajuste bidimensional con r = 0,7? ([T6]: 187).

Figura 1. Ajuste de un modelo a los datos y estimación mediante el modelo de regresión. ([H7]: 262) 

En la Tabla 1, se resume el análisis realizado de los campos de problemas. En todos los libros se presentan los dos campos de problemas descritos, que aunque con frecuencia similar, es algo más alta para el campo P1, que supone, aproximadamente el 52,6% del total de problemas presentados en los textos de Humanidades y Ciencias Sociales y el 52,7% en los de Ciencias y Tecnología. Estos porcentajes varían según los textos, pues unas editoriales proponen más problemas tipo CP1 (ajustar una recta a los datos): [H1], [H4], [H5], [H7], [H8], [T1], [T4], [T5], [T7], [T8], y el resto al contrario. No hay mucha diferencia entre los dos textos de la misma editorial.

5.2 Procedimientos

Los procedimientos que describen los textos para resolver los anteriores problemas de ajuste y predicción se describen a continuación, identificados por un código P1 a P6.

P1. Ajuste de la recta de mínimos cuadrados. El modelo de regresión, usualmente presentado, es el ajuste lineal, utilizando el criterio de mínimos cuadrados (es decir, la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados de la variable bidimensional y los estimados por la recta). Se presentan dos procedimientos de cálculo, que requieren el cálculo previo de las medias, varianzas, desviaciones típicas y covarianza. El primer procedimiento es la ecuación punto-pendiente, o ecuación de la recta que pasa por el centro de gravedad y tiene como pendiente el coeficiente de regresión de Y sobre X (análogamente para la recta de regresión de X sobre Y):

Coeficiente de regresión de Y sobre X: byx = σyxσx2=rσyσx

Recta de regresión de Y sobre X: y - ӯ = b_yx • (x - x̅)

Otros textos, plantean la ecuación de la recta a partir de la ordenada en el origen (análogamente para la recta de regresión de X sobre Y):

Ordenada en el origen a = ӯ - b_yx • x̅ ;

Recta de regresión de Y sobre X: ŷ = a + b_yx • x

P2. Ajuste de otros modelos de regresión. Tan sólo [H8] y [T8] incluyen procedimientos para ajustar otros modelos de regresión. En primer lugar, mediante un ejercicio resuelto, explican el procedimiento desarrollado por Tukey para ajustar la recta de regresión respecto a la mediana, que se utiliza cuando los datos muestran una tendencia lineal fuerte y aparecen datos atípicos. También, mediante un ejercicio resuelto, introducen el método de cambio de variable para ajustar una función no lineal a los datos (en [H8] los datos presentan una dependencia exponencial y en [T8] una parabólica). Asimismo se pide comparar estos modelos de ajuste con el lineal y justificar la elección del mejor modelo, tarea que ayudará al estudiante a comprender mejor la regresión.

P3. Cálculo del coeficiente de determinación R². Pocos textos incluyen el procedimiento de cálculo del coeficiente de determinación, que en el caso de la regresión lineal coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación. Este coeficiente mide el porcentaje de la varianza de la variable dependiente que es explicada por el modelo de regresión. En caso de tomar su valor máximo (1) los datos de la variable dependiente se ajustarían perfectamente al modelo, siendo la relación entre las variables de tipo funcional. A pesar de su importancia, sólo en [H5] y [T5] se define este coeficiente y el método de cálculo, que es un complemento al estudio de la correlación, al permitir valorar la bondad del ajuste. Como vemos, en la presentación, se explican las propiedades de este coeficiente:

Si multiplicamos r² por 100, se obtiene el porcentaje de cambio de Y explicado por X. Así, si r = 0, los cambios en la variable X explican el 0% de los cambios en la Y, o sea, las variables X e Y son linealmente independientes. Y si r = 1 (o r = -1), la variación en la Y se explica al 100%, por la variación de la X; en este caso, las variables X e Y son linealmente dependientes. Fuera de estos casos límite, el porcentaje explicado es 100-r² ([T5]: 363).

P4. Valorar la bondad del ajuste del modelo de regresión. El coeficiente de determinación permite valorar la bondad del ajuste del modelo de regresión, es decir el grado en que los puntos se aproximan al modelo (función) de regresión. Habrá un buen ajuste cuando los puntos estén próximos a la función elegida de ajuste. En algunos textos se valora el ajuste interpretando únicamente el coeficiente de determinación como proporción de la varianza, como hemos visto en el ejemplo anterior, pero no se indica si los puntos se aproximan o no a la función de ajuste.

P5. Determinar una predicción. En todos los textos se plantean procedimientos de estimación, utilizando la recta de regresión, que se reducen a la sustitución de valores en su ecuación. En su mayoría no se explicita de modo formal, sino mediante un ejercicio resuelto. En algunos textos, como [H1], [H2], [T1] y [T2], se indica que, si el coeficiente de correlación es alto, podría utilizarse una sola recta para establecer predicciones (las pendientes de las rectas de regresión son prácticamente las mismas, y poseen un punto en común: el centro de gravedad) pero, aunque esta propiedad sea cierta, se debe tener cuidado en que el estudiante no generalice indebidamente.

P6. Valorar la bondad de la predicción. Cuando se calculan estimaciones utilizando el modelo de regresión, es importante que se razone sobre los resultados obtenidos, ya que para algunos valores de la variable independiente la predicción de la dependiente tendría un gran error. El procedimiento que se suele utilizar para analizar la fiabilidad de la estimación de valores es comprobar si los valores de la variable independiente que se utilizan para realizar la estimación son cercanos a la media, y si el valor del coeficiente de correlación está próximo a 1, en valor absoluto, como el ejemplo siguiente:

En la Tabla 2 observamos que en todos los textos se incluyen los procedimientos de ajuste de la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados, los relativos al cálculo de predicciones y la valoración de fiabilidad de predicción. En cuanto a otros procedimientos, encontramos diferencias, principalmente en los textos de cada editorial; por ejemplo, el texto [T8] presenta procedimientos relativos al cálculo del coeficiente de determinación y la bondad del ajuste del modelo de regresión, mientras que en [H8] no se incluyen.

La valoración de la bondad del ajuste del modelo, así como el cálculo del coeficiente de determinación no se suele incluir en los textos analizados. Tan sólo [H5], [T5] y [T8] tratan ambos procedimientos, y en [H6] y [T6] la bondad del ajuste del modelo, sin el cálculo del coeficiente de determinación. En la investigación de ^{Lavalle, Micheli y Rubio (2006)}, de siete libros analizados por estas autoras la ecuación de la recta de regresión aparece únicamente en cuatro, la estimación de valores en cinco y la valoración de la bondad de las mismas en tres. En cuanto a procedimientos de ajuste de otros modelos de regresión no lineales, los resultados son similares a los nuestros.

5.3 Conceptos

En primer lugar describiremos todos los conceptos implicados en el tratamiento de la regresión hallados en el tema, en cada uno de los textos analizados. Seguidamente analizaremos la forma en que se describe o presenta el concepto, que puede ser mediante ejemplos (E), usualmente utilizando implícitamente una definición operacional, o mediante una definición explícita formal; que de acuerdo a ^{Sfard (1991)} puede ser operacional (O), estructural (S), o bien mezclando varios de estos tipos de definiciones. Se ha tenido también en cuenta si los ejemplos se proponen antes de la definición, como es sugerido por ^{Skemp (1993)}. Cada concepto tendrá un código que va de C1 a C6.

C1. Variable dependiente e independiente. En la expresión Y = f(x), los valores de la variable independiente x serán fijados; la variable dependiente Y es la que tratamos de predecir mediante un modelo, por ejemplo, la recta de regresión. Su diferencia ocupa un lugar central en la regresión (^{Estepa, 1994}), con objeto de expresar una variable en función de otra. Una definición explícita se encuentra en [H8]: "La variable dependiente es aquella que se quiere estimar, y la variable que se utiliza para ello se denomina variable independiente" (p. 254). Implícitamente se describe este concepto al resaltar que existen dos rectas de regresión.

C2. Regresión. Se conoce como tal el método que permite elegir, dentro de una familia de funciones, la que mejor se ajusta a un conjunto de datos, siguiendo ciertos criterios; por ejemplo, la recta de regresión es, entre todas las funciones lineales, la que mejor se ajusta a los datos, cuando el criterio es minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos a la recta. Este concepto suele tratarse de modo implícito. Una definición explícita es: "Al análisis que pretende determinar la curva que mejor aproxima un diagrama de dispersión se le llama regresión" ([H3]: 226).

C3. Modelos de regresión. En regresión consideraremos un modelo a cualquier función de ajuste, pues, como todo modelo matemático permite representar en forma simplificada (mediante una ecuación) el fenómeno en estudio. El concepto de modelo es fundamental en el tratamiento de la regresión, pues permite diferenciar la función de ajuste (modelo) de los datos observados. Sin embargo, raramente aparece explicitado en los textos. En algunos casos, no se define pero queda implícito, por ejemplo:

Si existe una correlación fuerte entre las variables X e Y el análisis de la regresión permite encontrar la ecuación de la función matemática que mejor se ajusta a la nube de puntos. Esta puede ser una recta, una parábola, una exponencial, una cúbica, etc. ([H4]: 226).

La situación es parecida a la descrita por ^{Lavalle, Micheli y Rubio (2006)}, donde sólo dos de los siete textos incluyen esta idea. Otros textos plantean tareas donde el modelo de ajuste más indicado es no lineal, sin definir la idea de modelo, al igual que en cinco de los libros analizados por ^{Sánchez Cobo (1999)}.

C4. Coeficientes de regresión lineal. Una vez decidido utilizar el modelo lineal de regresión, es necesario determinar los parámetros de la recta de regresión, es decir, la ordenada en el origen y la pendiente. Las pendientes de las rectas de regresión se conocen como coeficientes de regresión lineal. Existen dos coeficientes de regresión que corresponden a las pendientes de las dos rectas de regresión asociadas a cada conjunto de datos. ^{Sánchez Cobo (1999)} no los analiza. En nuestro estudio, algunos libros los definen en forma parcialmente correcta pues sólo definen el coeficiente de regresión de Y sobre X:

La recta que hace mínima la suma ∑di2 tiene por ecuación: y = y-+σxyσx2x -x-

Se llama recta de regresión de Y xobre X. A la pendiente, ơyxơx2, se la llama coeficiente de regresión ([H1]: 230)

C5. Rectas de regresión. Todos los textos analizados la definen y describen el método de mínimos cuadrados. Se encuentran también enunciados imprecisos como el siguiente donde no se indica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente.

La tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y hacer algunas estimaciones ([H1]:231).

Tan sólo [H8] alude a la influencia de los datos atípicos sobre la recta de regresión y sugiere en estos casos usar la metodología de Tukey para obtener la recta de regresión respecto a la mediana. En cuanto a la utilidad predictiva de la recta de regresión, sólo la mitad de los textos analizados la resaltan. Estos resultados coinciden con los de ^{Sánchez Cobo (1999)}, quien señala que se suele incluir el procedimiento de ajuste a los datos (siete de los once textos), sin discutir su utilidad predictiva (tres de los once textos). Aparentemente, la finalidad de la recta de regresión es calcularla, sin utilizarla posteriormente.

C6. Bondad de ajuste. Coeficiente de determinación. Estas nociones, ya descritas, ayudan al estudiante a dotar de significado al análisis de regresión. A pesar de ello, los textos analizados no suelen definirlos; tan sólo encontramos estas definiciones en [H5] y [H6], siendo parcial en [H6], que define la bondad de ajuste, pero no el coeficiente de determinación. Por otro lado, se presenta en forma confusa la diferencia entre fiabilidad del modelo y fiabilidad, que no son nociones equivalentes. La primera se refiere a la fiabilidad global de la predicción y la segunda se reduce a la de un punto particular.

En la Tabla 3 se resume la forma de definición de estos conceptos, observando un predominio de definiciones acompañadas de ejemplos, siguiendo entonces las recomendaciones de ^{Skemp (1993)} y ^{Joyce y Weil (1996)}. Las excepciones son los conceptos de coeficiente de regresión y variable dependiente e independiente, cuya definición no se suele acompañar de ejemplos.

La recta de regresión se define en todos los libros, acompañada de ejemplos; en la mitad de los textos estos ejemplos se presentan antes de la definición y en el resto después de la misma. Generalmente se introduce de modo estructural, describiendo sus propiedades y características (^{Sfard, 1991}). Los ejemplos presentados se apoyan gráficamente en diagramas de dispersión, a los que se añade la recta de mínimos cuadrados y con algunas representaciones que resaltan la diferencia entre las coordenadas de los puntos observados y las estimadas por medio de la recta (Ver ejemplo en Figura 2). Estos gráficos permiten también mostrar la tendencia de la variación conjunta. Finalmente, se ofrece la definición operacional de la misma, introduciendo las ecuaciones de las rectas. Esta misma tendencia se observa en la investigación de ^{Sánchez Cobo (1999)}, donde por lo general, la recta de regresión se introduce mediante ejemplos en que el diagrama de dispersión muestra la recta de ajuste a los datos. Además, se muestran los dos tipos de definición, estructural y operacional, mientras en otros conceptos se limitan a uno de estos tipos de definiciones.

Figura 2. Coordenadas observadas de los puntos en el diagrama de dispersión y valores estimados mediante la recta de regresión ([T5]: 364) 

El concepto general de regresión o la variable dependiente e independiente apenas se definen, en unos pocos textos. Igual ocurre con la bondad del ajuste y los coeficientes de regresión; estos últimos con un tratamiento meramente operacional de la regresión, pudiendo así olvidar la importancia de sus aspectos estructurales y con ello, un aprendizaje más significativo.

5.3 Propiedades

Los libros de texto suelen presentar atributos o propiedades de los conceptos definidos, cuya naturaleza es epistémica, y por tanto institucional. Se han encontrado las siguientes (designadas como P1 a P11):

P1. La recta de regresión hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de los puntos de la distribución bidimensional a la recta (diferencia de ordenadas o diferencia de abscisa, según la recta de regresión que se trate). Todos los textos la incluyen, generalizando así una propiedad de la media que los alumnos ya conocen (la media es el valor que minimiza la suma de desviaciones de los datos).

P2. Existen dos rectas de regresión diferentes. En todos los textos se indica implícitamente que hay dos rectas de regresión diferentes, aunque algunos lo hacen explícito. Como ^{Sánchez Cobo (1999)}, creemos que si se presenta esta propiedad se podría prevenir que los estudiantes obtuvieran una de las rectas despejando la variable de la otra recta calculada previamente, lo cual es un error. Se indica generalmente que la estimación de cada variable se realiza con su correspondiente recta de regresión. Algunos textos señalan que si el coeficiente de correlación es próximo a 1 o -1, se puede utilizar una única recta de regresión para predecir cualquiera de las variables del estudio. Un ejemplo de esta propiedad es:

Las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y son distintas, por eso hay que saber qué variable es la dependiente, pues X e Y no son intercambiables. (Es posible que tenga sentido deducir la variable Y a partir de la X, mientras que deducir la X a partir de la Y carezca de significado) ([H5]:.258).

P3. Propiedades del coeficiente de determinación y varianza explicada. La principal propiedad que se introduce es que el coeficiente de determinación informa de la fiabilidad del ajuste lineal. Otros textos analizan la relación del coeficiente de determinación con la proporción de varianza de la variable dependiente explicada por la recta:

En ocasiones, con el fin de calcular la calidad o bondad del ajuste realizado mediante la recta de regresión y, por tanto, la fiabilidad de las predicciones que con ella se puedan realizar, se utiliza la expresión ( ^r2 • 100) % que nos da el porcentaje en el que la variable Y se justifica por el valor de la variable X ([H6]: 185).

P4. La recta de regresión permite estimar valores de la variable dependiente a partir de la independiente. Las estimaciones obtenidas con la recta de regresión son aproximaciones, en términos de probabilidad, al valor real. No se suele resaltar el carácter aproximado de la estimación, aunque en la mayoría de los libros se usa de modo implícito, pues se indica que, al contrario que en la dependencia funcional, para cada valor de la variable independiente, corresponden varios valores de la dependiente, siendo el valor proporcionado por la recta de regresión el promedio de todos ellos. Así:

Las estimaciones siempre se realizan aproximadamente y en términos de probabilidad: es probable que si (x_i,y_i) entonces y valga, aproximadamente, ŷ(x₀) ([H1]:230).

P5. La recta de regresión pasa por el centro de gravedad de la distribución. Es decir, el punto que tiene como coordenadas las medias de las dos variables (x̅,ӯ) es un punto incluido en la recta y por tanto satisface su ecuación. En el estudio de ^{Sánchez Cobo (1999)}, siete de los once textos citan esta propiedad, aunque dos lo hacen de modo implícito. En nuestro estudio aparece en la mayoría de los textos.

P6. Las estimaciones con la recta de regresión son mejores en valores cercanos a la media de la variable independiente. Un ejemplo es: "Las predicciones obtenidas para valores próximos al punto medio de la distribución son más fiables que las obtenidas para valores muy alejados ([H3]: 227). No suele aparecer en muchos textos ya que, por lo general, la fiabilidad de la predicción se juzga por la proximidad del coeficiente de correlación a 1 o -1, aunque esta condición es insuficiente.

P7. La fiabilidad de la predicción con la recta de regresión aumenta con el tamaño de muestra. Se presenta en pocos de los textos analizados a pesar de su utilidad. Un ejemplo es: "La fiabilidad aumenta al aumentar los datos. Una recta obtenida a partir de pocos datos genera grandes riesgos, aunque r sea muy alto". ([H5]: 260).

P8. Intensidad de correlación y ángulo de las rectas de regresión. Dependiendo de si las variables presentan dependencia funcional o independencia, las rectas de regresión son coincidentes o perpendiculares, respectivamente. No es muy habitual encontrar esta propiedad geométrica sobre el ángulo que forman las rectas en función del valor del coeficiente de correlación.

P9. Recta de regresión, covarianza y correlación. Se interpreta la covarianza según la proximidad de los puntos a la recta de regresión, se relaciona el signo y los coeficientes de regresión, o pendiente de las rectas de regresión. En el estudio de ^{Sánchez Cobo (1999)} ninguno de los textos los incluye:

Según donde esté situado (x_i,y_i ) respecto a (x̅,ӯ), el área (x_i - x̅) • (y_i - ӯ) será positiva o negativa. Si los puntos están próximos a una recta de pendiente positiva, los sumandos son casi todos positivos y la covarianza es grande ([H1]: 228).

De la pendiente de la recta de regresión se puede deducir igualmente el signo de la correlación:

Si la pendiente de la recta de regresión es positiva o negativa, la correlación se llama positiva o negativa, respectivamente ([H1]: 227).

P10. El producto de los dos coeficientes de regresión es r². Esta proposición se encuentra en la mayoría de los textos, así como en los de ^{Sánchez Cobo (1999)}.

P11. Relación entre las estimaciones con la recta de regresión y el coeficiente de correlación. La mayoría de los textos relacionan ambos conceptos, como por ejemplo:

La fiabilidad de los cálculos obtenidos mediante las rectas de regresión será tanto mayor cuanto mayor sea el valor absoluto del coeficiente de correlación lineal r.

Si r está muy próximo a cero, no tiene sentido realizar ninguna estimación o previsión.

Si r está próximo a 1 o a -1, los valores reales serán, probablemente, próximos a nuestras estimaciones.

Si r = 1 o r = -1, los valores reales coincidirán con las estimaciones efectuadas ([H4]: 226).

En la Tabla 4 presentamos un resumen de las propiedades que se incluyen en el tema. Todos los textos menos [H4] y [T4] incluyen la propiedad de que la recta de regresión es aquella que minimiza la suma de cuadrados, que igualmente se presenta en la investigación de ^{Sánchez Cobo (1999)} en diez de los once textos que analiza. Asimismo, la mayoría de los textos indican la posibilidad de realizar predicciones a partir de ella (sólo la omiten [H8] y [T8]), y la existencia de dos rectas diferentes de regresión se presenta en la mayoría. Observamos diferencia en los textos, desde algunos que incluyen casi todas las propiedades citadas (como [H3] y [T3]) hasta otros como [H4] y [T4] que presentan pocas. Son también estos dos textos los únicos que omiten que el centro de gravedad es un punto de la recta de regresión y la relación entre la fiabilidad y proximidad del punto a dicho centro de gravedad.

La relación que menos se establecen se refieren a la discusión de la importancia del tamaño de la muestra en el ajuste del modelo predictivo. El resto de propiedades también aparece con baja frecuencia.

No encontramos diferencias en los textos dirigidos a cada modalidad, salvo en [H8] y [T8], siendo este último mucho más completo en cuanto a las propiedades que incluye. La razón principal es que este texto define el coeficiente de determinación, por lo que incluye más propiedades referidas a la regresión.