I. El modelo

Consideramos un mercado oligopólico en el que una empresa pública (empresa P) compite con dos empresas privadas, una local (empresa L) y una extranjera (empresa E). Estas tres empresas fabrican un producto homogéneo con una función de demanda inversa:

1

en que q_i, i = P, L, E representa la producción de la empresa i.

A la manera de ^{White (2001)}, suponemos que las empresas tienen costos marginales constantes y que la empresa pública es menos eficiente que las empresas privadas. Esta suposición evita resultados triviales, como se hará evidente líneas abajo. Además, para centramos en la diferencia entre los comportamientos de las empresas privadas que proviene únicamente de sus distintas nacionalidades, suponemos que las dos empresas privadas son igualmente eficientes. Dejemos que c_i denote el costo marginal de la empresa i. El costo marginal de las empresas privadas, c_L = c_E = c₁, es menor que el de la empresa pública, c_P :0 < c₁ < c_P.

Dejemos ahora que las ganancias de la empresa i, i = P, L, E, se denoten como

2

Los dueños de las empresas privadas, L y E, desean maximizar las ganancias de sus empresas, π_L y π_E, respectivamente. En contraste, los dueños de la empresa pública maximizan el bienestar social (B), definido como la suma de: i) el excedente del consumidor, ii) los beneficios de la empresa pública y iii) las ganancias de la empresa privada local:

3

Los dueños de la empresa i, i = P, L, E, pueden contratar a un ad ministrador para que, a su nombre, tome las decisiones de producción de la empresa i. De acuer do con la bibliografía de la contratación es tratégica de administradores, suponemos que cuando esto sucede el administrador de la empresa i intenta maximizar una función línea O_i de las ganancias de la empresa i, π_i, y de los ingresos (ventas) de la empresa i, I_i = pq_i:

4

Los dueños de la empresa i pueden optar por el parámetro decisivo de incentivos β_i mediante el contrato que le ofrezcan a su administrador. Si eligen β_i< 1, su administrador recibirá una compensación con base en el volumen de ventas y se comportará más activamente que una empresa maximizadora de ganancias, mientras que optar por β_i> 1 penalizará las ventas e inducirá al administrador a comportarse menos activamente que una empresa maximizadora de ganancias.

Consideramos el siguiente juego de tres etapas, que también se examina en ^{White (2001)}, ^{Bárcena Ruiz (2007)} y ^{Fernández Ruiz (2009)}. En la primera etapa, los dueños de cada una de las empresas deciden si contratar o no a un administrador para que dirija su empresa. En la segunda etapa, los dueños de las empresas que contrataron administradores eligen sus parámetros de incentivos. En la tercera etapa, cada empresa elige su monto de producción. Esta elección la hacen el administrador de la empresa - en caso de que la empresa haya contratado a un administrador - o los dueños -en caso de que la empresa no haya contratado a un administrador.

Líneas abajo mostraremos que cuando sólo la empresa pública y la local contratan administradores, la producción pública es estrictamente positiva si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

5

La condición (5) [que puede expresarse como (c_P - c₁) < 1/4(ɑ - c_P)] implica que la producción pública es no negativa para las ocho combinaciones posibles de la decisión de contratación en la primera etapa. Nos dice que la empresa pública no es demasiado ineficiente en relación con las empresas privadas y una medida de la demanda del mercado. A lo largo de este artículo, supondremos que la condición (5) se cumple.

II. Decisiones de la contratación de administradores y sus consecuencias

Hay ocho combinaciones posibles para las decisiones de contratar un administrador en la primera etapa, ya que cada empresa i, i = P, L, E, puede optar por contratar a un administrador (h_i = S) o no contratarlo (h_i = N). Ahora examinaremos los comportamientos de las empresas después de cada una de es tas combinaciones, como un primer paso para encontrar el equilibrio perfecto en el subjuego de todo el juego.

1. Las empresas P, L y E contratan administradores

Cuando todas las empresas contratan administradores, en la etapa tres, el administrador de la empresa i, i = P, L, E, maximiza la función objetivo O_i como se establece en (4). La maximización simultánea de estas tres funciones objetivo conduce a la siguiente opción de producción:

6

en la que el exponente SSS denota que las tres empresas contratan administradores, (h_P, h_L, h_E ) = (S, S, S). De manera más general, el exponente xwz, con x, w y z ∈{S, N}, denota que (h_P, h_L, h_E) = (x, w, z).

En la etapa dos los dueños de la empresa pública se deciden por la opción β_p para maximizar el bienestar social, como se establece en (3), mientras que los dueños de las empresas privadas, las empresas L y E, optan por β_L y β_E para maximizar las ganancias de sus empresas, π_L y π_E, respectivamente. Al hacer estas elecciones, los dueños esperan las cantidades de producción de la etapa tres, como se establecen en (6). La maximización simultánea de estas funciones objetivo conduce a la siguiente elección de parámetros de incentivos:

7

Al remplazar los parámetros de incentivos dados en la ecuación (7) en las funciones de producción (ecuación 6) obtenemos:

Nótese que cuando c_P = c₁ se obtiene el siguiente resultado (trivial): las dos empresas privadas no producen nada, la empresa pública alcanza la producción socialmente óptima,qPSSS= (a - c₀), yel precio es igual al costo marginal p = c_P = c₁. Esta es la razón por la que adoptamos el supuesto de ^{White (2001)} de que 0 < c₁ < c_P.

La condición de que la producción pública qPSSS es estrictamente positiva está dada por:

8

que se cumple con la condición (5).

2. Las empresas P y L contratan administradores

En este caso, en la etapa tres el administrador de la empresa pública maximiza O_P, el administrador de la empresa local maximiza O_L -en la que funciones objetivo de estos administradores están dadas por la ecuación (4) - y los dueños de la empresa extranjera maximizan las ganancias de esta empresa, π_E, como se da en la ecuación (2). Estos problemas de maximización conducen a:

9

en que el exponente SSN indica, como se explicó anteriormente, que la empresa pública y la empresa local contratan administradores, mientras que la empresa extranjera no lo hace: (h_P, h_L, h_E) = (S, S, N).

En la etapa dos los dueños de la empresa pública eligen el parámetro de incentivos β_P para maximizar el bienestar social y los dueños de la empresa privada local eligen el parámetro de incentivos β_L para maximizar las ganancias de la empresa, π_L. La solución simultánea de estos problemas de maximización con du ce a que:

10

Al remplazar estos parámetros de incentivos en las funciones de producción en la condición (9), obtenemos:

Nótese que qPSSN> 0 si y sólo si

11

lo cual equivale a la condición (5) que se supuso líneas arriba.

3. Las empresas P y E contratan administradores

En este caso, en la etapa tres el administrador de la empresa pública maximiza O_P, los dueños de la empresa local maximizan las ganancias de esta empresa, π_L, y el administrador de la empresa extranjera maximiza O_E. Estos problemas de maximización conducen a:

12

En la etapa dos los dueños de la empresa pública eligen el parámetro de incentivos β_P para maximizar el bienestar social y los dueños de la empresa privada extranjera eligen el parámetro de incentivos β_E para maximizar las ganancias de la empresa, π_E. La solución simultánea de estos problemas de maximización conduce a:

13

Al remplazar estos parámetros de incentivos en las funciones de producción dadas en la opción (12), obtenemos:

Nótese que qPSNS>0 si y sólo si (c_P - c₂)< 1/2(a - c_P), lo cual está implícito en la condición (5).

4. La empresa P contrata a un administrador

Cuando sólo la empresa pública contrata a un administrador, en la etapa tres, el administrador de esta empresa maximiza la función objetivo dada en la ecuación (4), mientras que los dueños de las empresas privadas, la empresa L y la empresa E, maximizan las ganancias de sus empresas, π_L y π_E, respectivamente. Esto conduce a las funciones de producción:

14

En la segunda etapa los dueños de la empresa pública eligen el parámetro de incentivos β_P para maximizar el bienestar social. Esta maximización produce el siguiente resultado:

15

Al remplazar estos parámetros de incentivos en las funciones de producción dadas en la opción (14) obtenemos:

Nótese que qPSNN> 0 equivaleaque (c_P - c₁)< 1/2(ɑ - c_P ), lo que está implícito en la condición (5).

5. Las empresas L y E contratan administradores

En este caso, en la etapa tres, los dueños de la empresa pública maximizan el bienestar social y los administradores de las dos empresas privadas maximizan las funciones objetivo dadas en la ecuación (4). La solución simultánea de es tos problemas produce:

16

En la segunda etapa los dueños de las empresas privadas eligen, respectivamente, el parámetro de incentivos β_E y β_L para maximizar las ganancias de las empresas, π_E y π_L. La solución simultánea de estos problemas de maximización conduce a:

17

El hecho de que βENSS =1 implica que a pesar de que la empresa extranjera contrate a un administrador, esta contratación resulta ser irrelevante, ya que este administrador simplemente maximiza las ganancias y, por tanto, toma las mismas decisiones que tomarían los dueños.

El resultado de que la producción pública qPNSS sea igual a0esel mismo que ^{White (2001)} obtiene en equilibrio cuando todas las empresas privadas son locales -aunque en el caso de White todas las empresas privadas eligen el mismo monto de producción-. White interpreta este resultado como una manera de regulación del mercado en la que la empresa pública induce un mayor monto de producción en las empresas privadas -relativo al nivel oligopólico normal- sin tener que generar una producción pública positiva que sería ineficiente dado el costo marginal más alto de la empresa pública.

6. La empresa L contrata a un administrador

Cuando sólo la empresa local contrata a un administrador, en la etapa tres, el administrador maximiza la función objetivo O_L dada por la ecuación (4), los dueños de la empresa pública maximizan el bienestar social y los dueños de la empresa extranjera maximizan las ganancias de su empresa. La maximización simultánea de estas funciones objetivo produce:

18

En la segunda etapa, los dueños de la empresa local eligen el parámetro de incentivos β_L para maximizar las ganancias de la empresa local, π_L. Esta maximización conduce a:

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20

21

Nótese que los montos de producción, las ganancias y el bienestar social son iguales a los que se obtienen en el caso anterior, cuando las dos empresas privadas contratan administradores. Esto sucede porque aunque la empresa extranjera contrató a un administrador en ese caso, el administrador simplemente maximizó las ganancias. Nótese en particular que de nuevo obtenemos el resultado de que qPNSN = 0, con la misma interpretación que se le dio líneas arriba.

7. La empresa E contrata a un administrador

En este caso, en la etapa tres, el administrador de la empresa extranjera maximizará la función objetivo O_E, los dueños de la empresa pública maximi-zarán el bienestar social y los dueños de la empresa local maximizarán las ganancias de su empresa. La solución simultánea de estos problemas de maximización arroja el siguiente resultado:

22

En la segunda etapa los dueños de la empresa extranjera eligen el parámetro de incentivos β_E para maximizar las ganancias de la empresa π_E. Esta maximización conduce a que:

23

Nótese que qPNNS> 0 si y sólo si

que se cumple con la condición (5).

8. Ninguna de las empresas contrata a un administrador

En este caso, en la etapa tres los dueños de las empresas privadas maximizan las ganancias mientras que los dueños de la empresa pública maximizan el bienestar social. La solución simultánea de es tos problemas produce:

24

Nótese que, nuevamente, la condición (5) implica que qPNNN> 0.

III. La solución al juego de los administradores

Ahora podemos examinar las decisiones de los dueños respecto a contratar o no a un administrador en la primera etapa. Estas decisiones se representan en la matriz del Cuadro 1, en el que cada una de las tres empresas puede elegir si contratar a un administrador (h_i = S)ono hacerlo (h_i = N).La empresapú-blica elige entre la fila superior y la inferior, la empresa local elige entre la columna izquierda y la derecha, y la empresa extranjera elige entre el recuadro izquierdo y el derecho. Los beneficios que cada empresa recibe por cada una de las ocho combinaciones posibles de las decisiones sobre si contratar o no a un administrador en la primera etapa -que ya obtuvimos - , son las que se representan en las celdas correspondientes.

Para buscar un equilibrio perfecto en el subjuego del juego entero consideramos posibles desviaciones de cada una de las ocho combinaciones de decisiones. Un análisis del Cuadro 1 conduce a la siguiente proposición:

Cuadro 1 

Confirmación

i) No hay equilibrio cuando todas las empresas contratan a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (S, S, S)). Supongamos lo contrario, en cuyo caso la empresa pública se desviaría y no contrataría a un administrador, debido a que B^SSS< B^NSS. Esta última desigualdad se cumple porque equivale -como se demuestra mediante el álgebra- a que (c_P - c₁)< 200/463(ɑ - c_P), que se cumple si qPSSS> 0.

ii) No hay equilibrio cuando sólo la empresa pública y la empresa extranjera contratan a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (S, N, S)). En este caso, la empresa local tendría un incentivo para desviarse y también contratar a un administrador, debido a que πLSNS<πLSSS. Esto es así debido a que πLSSS- πLSNS= 18/25(c_P - c₁)²>0.

iii) No hay equilibrio cuando sólo la empresa extranjera contrata a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (N, N, S)), ya que en ese caso la empresa local se desviaría y contrataría a un administrador también, debido a que πLNNS < πLNSS, en que esta última desigualdad se deduce del hecho de que equival e a que (c_P - c₁)< 2(ɑ - c_P ), lo que a su vez equivale a que qPSSN> 0.

iv) No hay equilibrio cuando sólo la empresa pública y la local contratan a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (S, S, N)). Esto es así porque la empresa pública se desviaría y no contrataría a un administrador, ya que B^SSN< B^NSN,una desigualdad que se efectúa porque equivale a que (c_P - c₁)< 8/23(ɑ - c_P ), que se cumple si qPSSN>0.

v) No hay equilibrio cuando sólo la empresa pública contrata a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (S, N, N)).Esto es así debido a que entonces la empresa local también contrataría a un administrador, ya que πLSNN<πLSSN, una desigualdad que se cumple debido a que πLSSN -πLSNN = 2( c_P - c₁)²> 0.

vi) No hay equilibrio cuando ninguna de las tres empresas contrata a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (N, N, N)). Esto es así debido a que entonces la empresa local también contrataría a un administrador, debido a que πLNNN<πLNSN, como se puede observar si mostramos que esta desigualdad equivale a que (c_P - c₁)< 2(ɑ - c_P ), lo que a su vez equivale a que qPNNN> 0.

vii) Hay equilibrio cuando sólo las dos empresas privadas contratan a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (N, S, S)), dado que en ese caso ninguna de las empresas tiene un incentivo para desviarse: πLNNS< πLNSS, como se mostró en el inciso iii), por lo que la empresa local no se desvía: B^SSS< B^NSS, mostró en el inciso i), por lo que la empresa pública tampoco se desvía; πENSN= πENSS, de modo que la empresa extranjera tampoco tiene un incentivo para desviarse.

viii) También hay equilibrio cuando sólo la empresa local contrata a un administrador ((h_P, h_L, h_E) = (N, S, N)). Nuevamente, ninguna de las empresas tiene un incentivo para desviarse: πLNNN<πLNSN, se comprobó en el inciso vi), por tanto, la empresa local no se desvía; B^SSN< B^NSN, se comprobó en el inciso iv), por tanto, la empresa pública tampoco se desvía; πENSN= πENSS, de modo que la empresa extranjera no tiene un incentivo para desviarse del equilibrio propuesto, exactamente como las otras dos empresas.

IV. Análisis del bienestar

En esta sección presentamos dos tipos de análisis del bienestar. Primero, analizamos los efectos en el bienestar de la delegación administrativa en un oligopolio mixto con una empresa local y una extranjera. Segundo, examinamos las consecuencias de introducir una empresa pública en un contexto en el que una empresa local y una extranjera están dirigidas por administradores y compiten entre sí.

Confirmación

B^NSN- B^NNN = (c_P - c₁)[( ɑ - c_P ) -1/2(c_P - c₁)] > 0 si qPSSS> 0.Nótese que las ganancias de la empresa local que está en equilibrio también son más altas que cuando ninguna de las empresas contrata a un administrador, mientras que las ganancias de la empresa extranjera no cambian. Esto se debe a que, en comparación con una situación en la que ninguna de las empresas contrata a un administrador, hay un aumento en la producción de la empresa local que se compensa con la reducción correspondiente en la producción de la empresa pública, lo que hace que la producción y el precio permanezcan sin cambios. Dado que la empresa privada local es más eficiente que la empresa pública, esta transferencia de la producción de la segunda empresa hacia la primera da por resultado una ganancia en términos de eficiencia que mejora el superávit del productor sin afectar el superávit del consumidor. Es por eso que el bienestar social aumenta.

Ahora comparamos el resultado del juego que produce equilibrio con el que se obtiene en ausencia de la empresa pública. Cuando consideramos el caso en el que las dos empresas privadas compiten entre sí sin la presencia de una empresa pública, suponemos que las dos están dirigidas por administradores debido a que -como se conoce gracias a investigaciones anteriores y lo que se puede demostrar formalmente en nuestro contexto- , efectivamente, sí tienen incentivos para contratar administradores para que éstos tomen decisiones a su nombre.

Confirmación

Primero obtenemos el equilibrio del juego sin la empresa pública. En la etapa de las decisiones acerca de la producción, el administrador de la empresa i, i = L, E, maximiza la función objetivo O_i como se establece en (4). La maximización simultánea de estas dos funciones objetivo conduce a que:

25

La selección simultánea de los parámetros de incentivos β_L y β_E de la empresa local y la extranjera para maximizar las ganancias de sus empresas, π_L y π_E, respectivamente, conduce a que:

26

Al remplazar estos parámetros de incentivos en (25), obtenemos:

27

28

29

Ahora podemos comparar los resultados de (27)-(29) con los que obtuvimos en presencia de una empresa pública, como se presenta en la sección II.6, en (19)-(21): i) qENSN< qE* equivale a que (c_P - c₁)< 4/5(ɑ - c₁) y qL*< qENSN equivale a que (c_P - c₁)< 3/5(ɑ - c₁ ). Es fácil confirmar si las dos desigualdades se cumplen con la condición (5). ii) (qL*+qE*)< (qLNSN+qENSN equivale a que (c_P - c₁)< 2/3(ɑ - c_P ), lo que está implícito en la condición (5). iii) πLNSN< πL* equivale a que - (ɑ - c_P ) - (c_P - c₁) +17/4(ɑ - c_P )(c_P - c₁)< 0. Para confirmar que se cumple esta última desigualdad, adviértase que la maximización de su lado izquierdo respecto a (a - c_P ) > 0 y (c_P - c₁) > 0 sujeto a que (c_P - c₁) < 1/4(a - c_P ) [lo que equivale a la condición (5), a excepción de la desigualdad débil] , que conduce a un máximo de 0, que se logra cuando (c_P - c₁) = 1/4( a - c_P ). Por otra parte, πLNSN< πL* implica que πENSN< πE* porque πENSN< πLNSN y πL*= πE*. Por último, B* < B^NSN equivale a que -4(ɑ - c_P )² +11(c_P - c₁)² - 8(ɑ - c_P )( c_P - c₁) < 0. Para confirmar que se cumple esta desigualdad, nótese que la maximización de su lado izquierdo res pec to a(a - c_P ) > 0 y (c_P - c₁) ≥ 0 sujeto a(c_P - c₁) < 1 /4(a - c_P ) conduce a un máximo de 0 cuando ( c_P - c₁) = 0.

V. Extensiones

En esta sección examinamos dos extensiones del modelo. Primero, consideramos lo que su ce de cuando resulta costo so con tratar a un administrador. Esto es en particular pertinente en nuestro contexto en vista del resultado de que hay dos equilibrios que difieren sólo en el punto de si la empresa extranjera contrata a un administrador y le da instrucciones para que se comporte exactamente como los dueños de la empresa o si simplemente no se contrata a ningún administrador. Resulta que deja de haber equilibrio cuando la empresa extranjera contrata a un administrador. Cuando los costos de contratación son reducidos, la combinación en la que sólo la empresa local contrata a un administrador es el único equilibrio del juego y, cuando los costos de contratación son gran des, ninguna de las empresas con trata a un administrador.

Confirmación (véase el ^Apéndice)

Nuestra segunda extensión trata de un cambio en la manera en que se recompensa al administrador de la empresa pública. Con base en la bibliografía de la contratación de administradores suponemos que el administrador de la empresa pública maximiza una función lineal de las ganancias y los ingresos de la empresa. Sin embargo, sería interesante estudiar la posibilidad de que el administrador maximice una función lineal de las ganancias de la empresa y el bienestar social. Ya que la situación en la que sólo la empresa lo cal con trata a un administrador es el equilibrio más plausible del juego que estudiamos líneas arriba - como lo es el único equilibrio cuando la contratación de un administrador está asociada con costos positivos bajos - nos centramos en estudiar si permanece en equilibrio cuando la función objetivo del administrador de la empresa pública se cambia.

Supongamos entonces que en lugar de maximizar (4) para i = P, el administrador de la empresa pública maximiza:

30

mientras que el administrador de la empresa L sigue maximizando O_L como se define en (4) y los dueños de la empresa E maximizan π_E. La solución simultánea de estos problemas conduce a producciones de:

31

En la etapa dos los dueños de la empresa pública eligen β_P para maximizar el bienestar social y los dueños de la empresa local eligen β_L para maximizar las ganancias de su empresa. La maximización simultánea de estas funciones conduce a un sistema de dos ecuaciones no lineales en β_P y β_L. Resolvemos numéricamente este sistema para diferentes valores de los parámetros de c_P y ɑ (c₁ normalizador = 1). El Cuadro 2 muestra los valores del equilibrio del bienestar B^A en estos casos, junto con los valores de bienestar B^NSN que se obtuvieron anteriormente para la situación en la que sólo la empresa local contrata a un administrador. Dado que B^A < B^NSN, los dueños de la empresa pública prefieren no contratar a un administrador con una función objetivo como la que se define en (30). Por tanto, cuando las empresas locales contratan a un administrador y las otras dos empresas se abstienen de hacerlo el equilibrio se preserva en todos estos casos.

Cuadro 2 Comparación del bienestar (B^A, B^NSN) (c₁ = 1)