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Clasificación JEL: G1, G13.
Introducción
En los años recientes la industria financiera ha experimentado grandes transformaciones debido, fundamentalmente, a los avances de las tecnologías de información, el aumento en la competencia global y el desarrollo de la ingeniería financiera por medio de nuevos productos. Estos últimos elaborados para satisfacer diversas necesidades de inversionistas y emisores, entre los que destacan los productos derivados y las notas estructuradas.
En México, recientemente, las notas estructuradas han cobrado particular interés en los mercados financieros. En términos generales, las notas estructuradas, comparadas con los instrumentos de deuda, pueden producir mejores opciones de inversión para los fondos de pensiones, tesorerías de corporativos e inversionistas institucionales, ya que en dichas notas los pagos asociados a un instrumento de renta fija se vinculan a un índice bursátil o tipo de cambio, lo cual genera opciones de inversión con rendimientos potencialmente superiores a los que prevalecen en el mercado de dinero, sobre todo cuando las tasas de interés se mantienen bajas, o a la baja, durante periodos prolongados. En México existe un mercado creciente de certificados de depósito (Cede) estructurados con derivados, entre los que destacan: Cede call spread; Cede put spread; Cede dual; Cede gana si sube; Cede gana si baja; Cede TIIE collar; Cede TIIE floor; Cede cap; Cede knock out, down and out; Cede knock out, up and out; Cede knock out, up and out, down and out (no touch); Cede doble barrera (al hit acumulable); Cede extendible, y Cede swaption.
A diferencia de los productos derivados, cuyo valor depende sólo de un subyacente, las notas estructuradas son esencialmente combinaciones, o híbridos, de instrumentos de deuda y productos derivados. Por lo regular, el instrumento de deuda de que se trate es un bono cuponado flotante. Cada año aparecen en el mercado decenas de notas estructuradas que atienden necesidades específicas tanto de emisores como de inversionistas. Un ejemplo sencillo de una nota estructurada es la emisión de un bono cuponado flotante acompañado de la opción de recomprarlo en una fecha futura. La opción puede ser un techo (cap), un piso (floor) o un collar (collar). En esta caso, las opciones inmersas en las notas estructuradas determinan el vencimiento del instrumento. También es posible que los pagos de las notas estructuradas estén vinculados a un índice o a un tipo de cambio.
Desde principios del decenio de los noventa el mercado estadunidense de notas estructuradas ha mostrado un importante crecimiento debido a varias de sus características. Por ejemplo, cuando las tasas de interés no son atractivas a los inversionistas, las notas estructuradas cuyos pagos están vinculados a algún índice bursátil o un tipo de cambio constituyen opciones de inversión con rendimientos por encima del mercado de dinero. Asimismo, muchas de las notas estructuradas en el mercado son emitidas por empresas patrocinadas por gobiernos (con líneas de crédito abiertas por parte de alguna institución gubernamental), por lo que tienen calidad crediticia alta y, en consecuencia, el riesgo-crédito es mínimo. En conclusión, los mercados de notas estructuradas son atractivos para los inversionistas por sus potenciales rendimientos y su alta calidad crediticia. Por otro lado, el tamaño considerable que han alcanzado los mercados de notas estructuradas en los Estados Unidos y el Reino Unido se debe en gran medida a la flexibilidad que estos instrumentos proporcionan a sus usuarios para entrar o salir rápidamente del mercado debido al producto derivado inmerso, el cual determina el vencimiento de la nota. Es también relevante subrayar que las notas estructuradas ofrecen al emisor y a los inversionistas un medio para aislar y redistribuir riesgos. En realidad, una de las causas de su creciente demanda es su capacidad para generar justamente la exposición al riesgo que el cliente esté dispuesto a tolerar y que, al mismo tiempo, se mantengan sus objetivos de inversión.1
Algunos ejemplos de emisores estadunidenses, calificados AAA, de notas estructuradas son: Federal Home Loan Bank of Dallas, Federal National Mortgage Association, Student Loan Marketing Association. En particular, el Federal Home Loan Bank of Dallas, uno de los principales emisores de notas estructuradas del mercado estadunidense, tiene más de 175 índices o combinaciones de índices con los cuales se calculan los pagos. Vale también la pena destacar que el Banco Mundial (el Banco Internacional de Reconstrucción y Fomento) es un importante emisor de notas estructuradas, entre las que destacan: i) bonos cuponados flotantes llamables (redimibles) o con opción de recompra por el emisor (callable bonds); ii) bonos cuponados flotantes colocables o con opción de reventa por el emisor (putable bonds); iii) bonos cuponados flotantes con pisos, techos o collares; iv) bonos cuponados flotantes step-up y step-down; v) bonos cuponados flotantes vinculados a índices; vi) bonos cuponados flotantes duales de tipo de cambio; vii) bonos cuponados flotantes con opcionalidad de tipo de cambio.
Como era de esperarse, las características de estos instrumentos introducen varias complicaciones técnicas para su evaluación. La evaluación de una nota estructurada tiene un nivel de complejidad que requiere no únicamente entender el comportamiento del mercado, sino también del conocimiento de instrumentos y técnicas especializadas de evaluación.
El desarrollo del presente trabajo es como sigue. En la sección I se analiza algunos de los aspectos regulatorios de las notas estructuradas. En las secciones II y III se revisa brevemente los elementos necesarios de evaluación de bonos cuponados con tasa cupón flotante y productos derivados de tasas de interés para un mejor entendimiento de muchas de las notas estructuradas disponibles en el mercado financiero mexicano. En la sección IV se valúa diversos certificados de depósito estructurados. En las secciones V-VIII se analiza la evaluación de opciones sobre bonos. En la sección IX se estudia los swaps de tasas de interés con un índice de amortización, swaps step-up y step-down, los cuales representan una de las notas estructuradas de mayor demanda en el mercado. En el transcurso de la sección X se analiza las notas de un rango en la tasa de interés (range notes). En la sección XI se revisa las notas estructuradas formadas por bonos cupón cero con pagos vinculados a un tipo de cambio. A lo largo de la sección XII se estudia las notas estructuradas formadas por un bono cuponado llamable y un esquema step-up de tasas cupón. En la sección XIII se analiza las notas estructuradas formadas por opciones para modificar el índice de amortización cuando las tasas de interés cambian. En la sección XIV se estudia las notas estructuradas de índices duales. En la sección XV se analiza las notas estructuradas con tasas flotantes apalancadas y contraapalancadas. En la sección XVI se investiga las notas estructuradas de flotación inversa. Por último, se presenta las conclusiones, así como las limitaciones y sugerencias para futuras investigaciones.
I. Aspectos regulatorios de las notas estructuradas
En los mercados financieros estadunidenses las notas estructuradas recibieron particular atención por parte de los reguladores financieros a partir del primer semestre de 1994. Como resultado de los aumentos en las tasas de interés de la Reserva Federal, las notas estructuradas vinculadas a las tasas de interés experimentaron cambios radicales afectando su calendario de pagos y originando grandes e imprevistas pérdidas para los tenedores de estas notas. Los valores de mercado de estos instrumentos cayeron bajo par y sus cupones se redujeron comparados con los de otros instrumentos de deuda disponibles en el mercado. Estas pérdidas se realizaron aun cuando las notas estructuradas estaban calificadas AAA. Así, aunque el riesgo de crédito es mínimo en las notas estructuradas, los riesgos de mercado y liquidez prevalecen.
Durante el primer semestre de 1994 muchos fondos de inversión obtuvieron grandes pérdidas en notas estructuradas. Los reguladores entonces empezaron a normar el funcionamiento del mercado. La SEC (Securities and Exchange Comission) advirtió a los administradores (particularmente bancos) respecto a la adecuada cuantificación y administración de los riesgos de algunos tipos de notas estructuradas. En particular, notas con flotación inversa, flotación Cofi (Cost of Funds Index), flotación CMT (Constant Maturity Treasury), flotación dual de índices y flotación de rango.
Por otro lado, en el segundo semestre de 1994 la Reserva Federal emitió una circular en la cual se destaca el papel que desempeñan las notas estructuradas en la administración de riesgos y acentúa el cuidado que deben tener los bancos para la adecuada evaluación de sus carteras cuando contienen notas estructuradas. Por esas mismas fechas la Office of Thrift Supervision (OTS) emitió un boletín en el que reconoce que las notas estructuradas pueden ser un magnífico vehículo de inversión y puntualizó la importancia de realizar su evaluación con distintos panoramas en la tasa de interés. En dicho boletín, la OTS recomendó que las pruebas de estrés se efectuaran cada trimestre tomando en cuenta movimientos en las tasas de interés hasta de ± 400 puntos base.
A partir de 2002 la regulación en los mercados de notas estructuradas de los Estados Unidos y del Reino Unido se ha intensificado notoriamente. Las exigencias en las medidas prudenciales para administrar los riesgos de mercado de dichos instrumentos se han incrementado y los métodos para cuantificar riesgos se han hecho más confiables con el desarrollo de modelos en tiempo real.
En el caso mexicano, la regulación de un mercado naciente de notas estructuradas es todavía incipiente. Por supuesto, la experiencia del caso estadunidense, explicado brevemente líneas arriba, contiene varios elementos que las autoridades financieras mexicanas (Secretaría de Hacienda, Banco Central y la Comisión Reguladora de Valores) deben tomar en cuenta en la generación de recomendaciones en materia de administración del riesgo de mercado de dichas notas.
II. Conceptos básicos sobre bonos cuponados con tasa cupón flotante
Antes de entrar de lleno en el estudio de notas estructuradas vale la pena hacer una breve revisión de los aspectos centrales del proceso de evaluación de un bono cuponado con tasa cupón flotante o bono cuponado flotante (también llamado FRN por sus siglas en inglés, Forward Rate Note). considérese un bono que se coloca en
en los que
y
son, respectivamente, las tasas forward en
en que
y
Por tanto,
y
Si se sustituyen (5) y (6) en (4), se infiere que
Es decir, un bono cuponado con tasa cupón flotante se negocia a la par. Obsérvese que aunque el ejercicio anterior toma en cuenta tres periodos, el mismo resultado se obtiene para cualquier número de periodos. Es evidente que si se evalúa el bono inmediatamente después del primer pago y se conoce la curva de rendimiento
Así,
Tasa interna de rendimiento asociada a un bono cuponado flotante con pagos anuales
En esta sección se establece la relación entre el concepto de tasa interna de rendimiento y el precio de un bono cuponado flotante. Obsérvese primero que a partir de la ecuación (4), se tiene que
o
Si se supone que los pagos son anuales y
Es decir,
III. Opciones respecto a las tasas de interés
En esta sección se revisa algunos de los modelos más comunes para evaluar una opción de un bono cupón cero. Una característica que comparten estos modelos es su similitud con la fórmula de evaluación de opciones de acciones de Black-Scholes (1973).
1. Modelo de Black para evaluar opciones de tasas forward
El modelo de Black (1976) es uno de los más utilizados en la evaluación de opciones europeas de bonos cupón cero (una referencia básica que complementa en varios sentidos los conceptos que a continuación se presentan es Hull, 2005). El supuesto principal del modelo es que el subyacente, es decir, la tasa de interés, sigue una distribución lognormal, lo cual no es muy realista sobre todo cerca de la fecha de vencimiento. El modelo de Black es muy popular para evaluar caps y floors. Este tipo de derivados de tasas de interés son muy populares en los mercados de mostrador y usualmente la tasa flotante de referencia es la LIBOR.
Originalmente, el modelo de Black es formulado para evaluar una opción del precio futuro de una acción. Si el precio,
en el que
en que
y
Obsérvese que el precio futuro de la acción,
Si el precio futuro de la acción,
en el que
y
considérese ahora
Supóngase que un agente contratará un crédito, de monto
en el que
en que
y
El factor de descuento
2. Caps, caplets
Supóngase, como antes, que un agente recibirá un crédito, de monto
y el precio que se tendría que pagar por la opción, en condiciones de equilibrio, es
Este tipo de contrato de opción recibe el nombre de cap de tasa de interés. Supóngase ahora que en lugar de comparar el valor de la tasa forward de mercado con la tasa cap en un solo periodo, se compara en dos periodos,
Es frecuente llamar a cada opción caplet y a la suma de las ellas cap. En equilibrio, las tasas forward,
y
en que
también se cumple que
y
3. Evaluación de caps con el supuesto tasa forward lognormal
Cada caplet puede evaluarse, en
En general, si
Con el supuesto de que la tasa forward tiene una distribución lognormal, se infiere que
en que
y
Obsérvese también que
Es decir,
Si se denota
De esta manera un caplet puede verse también como un put sobre
4. Floors y floorlets
De manera similar a un cap un floor es una opción de venta que cubre al propietario de pérdidas cuando la tasa de interés es menor que un cierto piso,
en que
y
5. Paridad cap-floor
En esta sección se establece la relación entre caps, floors y swaps, la paridad cap-floor. Considérese una cartera consistente de una posición larga de un cap con tasa cap
y
lo que implica que
Al sumar sobre
o
en que
6. Collares
En un contrato de collar se establece una cota inferior,
7. Swaptions, captions y floortions
Con un call swaption el propietario tiene el derecho de cambiar pagos de tasa flotante a pagos de tasa fija. Mientras que en un put swaption el propietario tiene el derecho de cambiar pagos de tasa fija a pagos de tasa flotante. Captions y floortions son opciones de caps y floors, respectivamente.
IV. Certificados de depósitos estructurados
Entre las notas estructuradas que más se operan en el mercado financiero mexicano se encuentran los certificados de depósito estructurados que ofrecen al vencimiento una garantía del capital inicialmente invertido. Los certificados de depósito estructurados (Cedes) son instrumentos de deuda emitidos principalmente por la banca comercial, cuyo rendimiento está en función del valor de mercado del derivado inmerso y cuyas características varían dependiendo del subyacente y de la estrategia vinculada al Cede. Las características generales de estos instrumentos se presentan en el cuadro 1.
Cuadro 1 Características generales de los Cedes
| Emisor | Instituciones bancarias |
| Tipo de mercado | Mercado de dinero |
| Mercados donde cotiza | BMV y OTC |
| Fuentes de información | BMV, Indeval, Bloomberg y Reuters |
| Tipo de valor | F, certificado de depósito |
| Valor nominal | 100 pesos |
| Curva utilizada en la evaluación | Curva nominal bancaria asociada al riesgo emisor Curva nominal libre de riesgo de tasa bruta Curvas internacionales libres de riesgo Curva de tasa de interés interbancaria de equilibrio |
| Subyacentes de referencia | Tipo de cambio Tasas de interés Índices accionarios Acciones inscritas en la BMV |
| Rendimiento | Variable |
| Volatilidad | Para opciones de índices accionarios y acciones se usa la superficie de volatilidades de opciones listadas Para tipos de cambio se usa la volatilidad de opciones at the money tomadas de Bloomberg y/o Reuters Para tasas de interés se usa la superficie de volatilidades o volatilidad dinámica calculada con una ventana de 252 días y una λ = 0.90 |
Estos certificados se estructuran con opciones europeas tanto plain vanilla como exóticas. Por ejemplo, entre las primeras se encuentran: put spreads, call spreads, collars y floors. Entre las exóticas se tienen: knock outs, doble barrera y cash or nothing. Los subyacentes empleados en este tipo de certificados de depósito son, principalmente, índices accionarios, acciones registradas en bolsa, tipo de cambio, generalmente FIX, y tasas de interés (Cetes 28 y TIIE 28). Dependiendo de las características específicas de cada una de las notas estructuradas, los modelos de evaluación y los insumos son diferentes como se muestra en el cuadro 2.
Cuadro 2 Características específicas de los Cedes
| Nota | Tipo de certificado de depósito | Derivado inmerso | Subyacente |
| 1 | Cede call spread | Opciones call tipo europeas | Índices bursátiles accionarios |
| 2 | Cede put spread | Opciones put tipo europeas | Índices bursátiles accionarios |
| 3 | Cede collar (spread de tasas de interés) | Caps de tasas de interés | TIIE 28 |
| 4 | Cede floor | Floorlets de tasas de interés | TIIE 28 |
| 5 | Cede gana si sube y Cede gana si baja | Opción binaria: cash or nothing no dependiente de la trayectoria del subyacente | FIX MXP/USD, subasta Cetes 28 |
| 6 | Cede knock out, down out y Cede knock out, up and out | Opción binaria con barreras dependiente de la trayectoria del subyacente | FIX MXP/USD |
| 7 | Cede dual tipo de cambio | Opción de tasa de interés | Tipo de cambio |
1. Cede call spread
El rendimiento de este instrumento depende del spread que exista al vencimiento entre el valor del subyacente y su nivel inicial determinado al momento de pactar la operación. Esta nota se estructura con: i) un bono cuyo valor al vencimiento es igual a 100% del capital invertido y ii) una cartera de opciones: un call largo y otro corto, en los que la condición es que el precio de ejercicio del call largo,
en que
en que
La evaluación de cada uno de los componentes del Cede se lleva a cabo de la siguiente manera: se calcula, primero, el precio del bono, el cual es con capital protegido al vencimiento (con valor nominal establecido en el prospecto) mediante:
en el que:
Posteriormente, el valor de la prima de ambas opciones se obtiene mediante la fórmula de Black y Scholes (1973):
en la que:
y
|
prima de la opción tipo call con precio de ejercicio |
|
precio spot del subyacente |
|
precio de ejercicio de la opción, |
|
tasa de interés libre de riesgo continuamente capitalizable |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
|
|
2. Cede put spread
Los certificados Cede put spread comprenden una estrategia bear spread integrada con dos opciones tipo put europeas. Para el caso de los puts incorporados en el Cede, el precio de ejercicio de la posición larga,
en el que
en las que
Los valores tanto del bono cupón cero como de los puts incorporados en el Cede se determinan de la siguiente manera. Primero, se calcula el precio del bono cupón cero mediante:
Posteriormente, se determina el valor de las primas de ambos puts con la fórmula de Black y Scholes:
en la que
|
prima de la opción tipo put con precio de ejercicio |
|
precio spot del subyacente |
|
precio de ejercicio de la opción, |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar, 𝒩(0, 1) |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
| |
|
|
3. Cede collar (spread de tasas de interés)
Esta estructura considera una estrategia de opciones con tasas de interés. Esta estrategia se forma con un collar limitado a una tasa piso y otra techo y se estructura con dos caps de tasas de interés. Como ya se dijo líneas arriba los caps de tasas de interés consisten en una serie de opciones europeas tipo call llamados individualmente caplets. El número de caplets que se utiliza para estructurar esta nota es igual al número de cupones
Por lo anterior, si
Cuadro 3 Condiciones en la fecha de vencimiento
| Rango | Tasa cupón |
| R ≤ K 1 | K 1 + κ |
| K 1 < R < K 2 | R + κ |
| R ≥ K 2 | K 2 + κ |
Este tipo de instrumento está integrado por: i) un bono flotante con pagos periódicos de interés; ii) una posición larga sobre un cap integrado por una serie de caplets con precio de ejercicio igual a la tasa piso y plazo igual al de los cupones que componen el bono, y iii) una posición corta sobre un cap integrado por una serie de caplets, con precio de ejercicio igual a la tasa techo y plazo igual al de los cupones del bono. El precio de evaluación del Cede collar es:
en el que
en la que
La evaluación de cada uno de los componentes del Cede se efectúa de la siguiente manera. Primero, se obtiene el precio del bono, después se determinan los flujos del bono flotante. El primer flujo pendiente de pago se calcula con la tasa cupón vigente; mientras que los siguientes flujos se calculan con la tasa de mercado al día de la evaluación (en caso de que lo especifique el prospecto se agrega la sobretasa). En el último flujo se agrega el valor nominal de acuerdo con:
en los que:
|
flujo correspondiente al periodo |
|
valor nominal |
|
número de días, como proporción de año, del i-ésimo cupón |
|
tasa del cupón vigente, ésta es conocida desde el último corte de cupón |
|
tasa cupón de mercado, que corresponde a la tasa de referencia del bono en el día de evaluación más la sobretasa especificada en el prospecto |
Posteriormente, se calcula el precio del bono flotante con el valor presente de sus flujos:
en el que
|
número de días del cupón |
|
número de cupones pendientes de pago, incluyendo al vigente |
|
periodo del cupón |
|
estructura de plazos obtenida a partir de |
para descontar los flujos, capitalizable al plazo del cupón;
|
sobretasa especificada en el prospecto de la emisión |
|
tasa de referencia asociada al periodo cupón del bono |
Después, el valor de la prima para cada caplet se obtiene mediante la fórmula de Black (1976). En este caso, el valor de cada caplet es:
en el que
|
prima del i-ésimo caplet con precio de ejercicio igual a |
|
valor nominal del bono flotante |
|
plazo forward asociado, como proporción de año, a la tasa forward |
|
tasa forward, obtenida a partir de la curva cupón cero correspondiente al subyacente en el día de la evaluación que va de |
|
tasa libre de riesgo continuamente capitalizable |
|
número de días al vencimiento del caplet, como proporción de año |
|
probabilidad acumulada de una variable normal estándar |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
En consecuencia, el precio limpio de evaluación del Cede está dado por la siguiente expresión:
en la que
4. Cede floor
Esta estructura comprende una estrategia formada por un floor, con lo que se garantiza que la tasa de interés del bono flotante no sea inferior a cierto nivel acotado por una tasa piso. El número de floorlets que componen un certificado de depósito TIIE-floor, será igual al total de cupones del bono menos uno, dado que para el primer cupón la tasa se conoce al inicio de la emisión. De esta manera, si
En virtud de que este instrumento representa la estructuración de una nota integrada por: i) un bono flotante con pagos periódicos de interés y ii) una posición larga sobre un floor integrado por una serie de floorets con precio de ejercicio igual a la tasa piso y plazo igual al de los cupones que componen el bono, el precio de evaluación del Cede TIIE-floor está dado por:
en el que
La evaluación por separado de cada uno de los componentes del Cede se realiza de la siguiente manera. Obsérvese primero que el precio del bono flotante se calcula de la misma manera que el Cede collar, visto en la sección anterior. El valor de la prima de la opción se obtiene mediante la fórmula de Black (1976). Las siguientes expresiones determinan el valor de la prima para el floor que conforma la estructura del certificado de depósito:
en la que el valor del i-ésimo floorlet es determinado por:
en que
con:
|
valor nominal del bono flotante |
|
tasa forward, obtenida a partir de la curva cupón cero correspondiente al subyacente en el día de evaluación que va de |
|
tasa libre de riesgo continuamente capitalizable |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
Finalmente, el precio limpio de evaluación del Cede está dado por:
en el que, como antes:
5. Cede gana si sube y Cede gana si baja
Este tipo de instrumentos comprende una opción de tipo binaria cash or nothing, cuyo subyacente es regularmente el tipo de cambio FIX determinado por el Banco de México o bien la tasa de subasta de Cetes a 28 días. No obstante, la característica binaria del pago al vencimiento de la opción incorporada en esta nota no es dependiente de la trayectoria del subyacente. En este sentido, una opción cash or nothing paga un monto preestablecido
en el que
La evaluación por separado de cada componente del Cede se determina de la siguiente manera. En primer lugar, el valor del bono cupón cero en la fecha de la evaluación está determinado por:
Después, el valor de la prima de la opción puede obtenerse mediante la fórmula de Rubinstein y Reiner (1991) para la evaluación de opciones binarias cash or nothing. Las siguientes expresiones determinan, respectivamente, el valor de la prima de la opción inmersa en un Cede gana si sube (call) y para un Cede gana si baja (put):
en que
en que:
|
prima de la opción call cash or nothing (gana si sube) |
|
prima de la opción put cash or nothing (gana si baja) |
|
monto preestablecido desde la emisión si la opción expira in the money representado por la tasa de interés máxima (TIM) |
|
valor del subyacente |
|
precio de ejercicio |
|
tasa libre de riesgo compuesta de manera continua |
|
tasa libre de riesgo extranjera compuesta de manera continua |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
|
número de días al vencimiento de la opción, como proporción de año |
|
plazo de la emisión |
|
tasa de interés máxima establecida en el prospecto de la emisión |
6. Cede knock out down and out y Cede knock out up and out
Los Cedes knock out son certificados de depósito que llevan inmersa una opción binaria de barrera, la cual por lo regular se encuentra vinculada al comportamiento de la paridad cambiaria peso-dólar. La principal característica de este tipo de notas estructuradas es que el rendimiento que pueden generarse paga al vencimiento y depende de si el subyacente alcanza o no la barrera especificada en los términos del contrato. El perfil de pago de un Cede knock out del tipo down and out es:
Mientras que para un Cede knock out del tipo up and out, el perfil de pago es:
en que:
|
valor del subyacente |
|
valor nominal del Cede |
|
flujo generado por el rendimiento establecido en el contrato |
|
barrera inferior del subyacente que se especifica para un Cede down and out |
|
barrera superior del subyacente que se especifica para un Cede up and out |
La barrera para cada uno de los Cedes (
Dado que este tipo de instrumentos representa la estructuración de una nota integrada por: i) un bono cuyo valor al vencimiento es igual a 100% del capital invertido y ii) una opción binaria down and out (up and out), en la que el subyacente es la paridad cambiara FIX MXP/USD con plazo igual al del bono, el precio de evaluación del Cede está dado por:
en que
en la que
La evaluación de cada componente del Cede se determina de la siguiente manera. El valor del bono cupón cero en la fecha de la evaluación se calcula mediante:
El precio de las opciones down and out y up and out utiliza el modelo propuesto por Rubinstein y Reiner (1991):
en el que
con
en los que
|
monto preestablecido desde la emisión si la opción expira in the money representado por la tasa de interés máxima (TIM) |
|
1 + tasa libre de riesgo |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar |
|
barrera |
|
precio del subyacente |
|
1 + tasa de rendimiento del activo subyacente asociada al plazo anualizado |
7. Cede dual tipo de cambio
La estructura de este Cede considera una opción de tasas de interés. Este instrumento agrega a la tasa de rendimiento mínima garantizada (TMG) un rendimiento que está en función de la paridad cambiaria MXP/USD. Esta nota tiene estructurado un bullet bond con una tasa mínima garantizada fija, la cual se determina al inicio de la emisión.
El subyacente de estos certificados de depósito es el rendimiento del tipo de cambio FIX que se obtenga en una fecha específica, respecto a un nivel inicial de tipo de cambio MXP/USD establecido por el emisor al inicio del certificado de depósito.
Este instrumento se integra por: i) un bono (bullet bond) cuyo único cupón se paga al vencimiento, junto con el principal 100% garantizado, y ii) una opción europea de tasas de interés, con precio de ejercicio igual a la tasa mínima garantizada establecida en el prospecto de la emisión.
El precio sucio de la evaluación del Cede dual tipo de cambio es:
en el que
en la que
La evaluación de cada componente del Cede se obtiene a continuación: primero se calcula el precio del bullet bond, mismo que liquidará a su vencimiento 100% del capital invertido (valor nominal establecido en el prospecto), más los intereses devengados a la tasa mínima garantizada. De esta manera, el valor del bono está dado por:
en el que
|
valor nominal del Cede |
|
tasa mínima garantizada establecida en el prospecto de la emisión |
|
plazo de la emisión |
|
tasa de rendimiento asociada al número de días por vencer, que se obtiene de las curvas nominales bancarias |
|
días por vencer de la emisión a la fecha de la evaluación |
Posteriormente, la prima de la opción se obtiene a partir de la fórmula propuesta por Black (1976) para la evaluación de futuros de tasa. Sin embargo, existen algunas consideraciones que hay que tomar en cuenta en la evaluación de la opción de tasas de interés inmersa en este tipo de nota.
i) El pay-off de la opción inmersa en el Cede es ajustado mediante un factor o porcentaje de garantía establecido en el prospecto de la emisión, es decir, el tipo de cambio final debe ajustarse por dicho factor;
ii) El rendimiento adicional a la tasa mínima garantizada que puede pagar el certificado de depósito es liquidado justamente al vencimiento de la emisión junto con el valor al vencimiento del bullet bond con el cual fue estructurada la nota. Por esta razón el valor futuro de dicho rendimiento (en caso de que éste tenga valor en la fecha de la evaluación) es descontado desde la fecha de vencimiento del certificado de depósito;
iii) Dado que el prospecto de la emisión establece una fecha determinada para la observación del tipo de cambio final (FIX final) que será tomado como referencia a fin de obtener el valor de la opción al vencimiento. El valor del tipo de cambio de referencia para cada uno de los días que van desde la fecha de emisión hasta la fecha de la observación es calculado de la siguiente manera:
en el que
iv) Con el tipo de cambio de referencia obtenido a partir del inciso anterior, se calcula la tasa de rendimiento vinculada al tipo de cambio final
en la que:
|
tasa de rendimiento vinculada al tipo de cambio final |
|
tipo de cambio de referencia en la fecha de la evaluación |
|
factor establecido en el prospecto de la emisión (porcentaje de garantía) |
|
tipo de cambio inicial |
|
plazo de la emisión como proporción de año |
Según las consideraciones expuestas líneas arriba, la prima de la opción de tasas con la cual es estructurado el certificado de depósito se obtiene a partir de:
en que:
en que:
|
valor nominal del Cede |
|
plazo de la emisión del Cede |
|
tasa libre de riesgo compuesta de manera continua |
|
tasa de rendimiento vinculada al tipo de cambio final |
|
tasa mínima garantizada establecida en el prospecto de la emisión |
|
probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar |
|
volatilidad del rendimiento del subyacente |
|
número de días al vencimiento de la opción |
En consecuencia, el precio limpio de evaluación del Cede está dado por:
en el que, como antes,
V. Evaluación de opciones de bonos: enfoque de ecuaciones diferenciales parciales
Supóngase que la tasa corta o tasa instantánea,
en la que
junto con la condición final
Si el bono paga cupones de manera discreta
en las que
lo que conduce a
En conclusión, si se denota
entonces la tasa corta,
y
De esta manera las componentes estocásticas de (34) y (36) son idénticas. En este caso el teorema de Girsanov es un instrumento útil que garantiza que
sujeto a
en el que
con
De esta manera el precio de la opción en el bono
La ecuación diferencial parcial de un bono llamable (redimible)
Si la tasa corta sigue una dinámica conducida por
en la que
junto con las condiciones
y
Esta última condición reduce el precio del bono. Obsérvese que si la estructura de plazos
VI. Evaluación de opciones de bonos cuando la tasa corta sigue el modelo de Vasicek (modelo de Jamshidian)
En esta sección se revisa, brevemente, el modelo de Vasicek (1977) de tasa corta para evaluar un bono cupón cero y el modelo de Jamshidian (1989) para evaluar una opción sobre dicho cupón cero. Supóngase que la dinámica estocástica de la tasa corta sigue un proceso con reversión a la media dado por
en el que
Se puede verificar, fácilmente, que
De esta manera,
y varianza (condicional)
Debido a la propiedad de normalidad de la tasa corta en el modelo de Vasicek se cumple que
en que
y
Por último, la curva de rendimiento,
En este caso el precio de una opción que vence en
en que
El parámetro de volatilidad,
en el que
VII. Evaluación de opciones de bonos cuando la tasa corta sigue el modelo de Ho y Lee
En el modelo propuesto por Ho y Lee (1986) la tendencia de la tasa corta se calibra con base en los precios de mercado actuales, de manera que los precios del mercado coincidan con los precios teóricos. Es importante destacar que, al igual que en el modelo de Vasicek, el de Ho y Lee puede producir valores negativos de
en el que
La media y varianza de la tasa corta satisfacen, respectivamente,
y
en las que
y el precio de un bono cupón cero está dado por
en el que
En la práctica, se utiliza la aproximación
en la que
El precio de una opción que vence en
en que
Ahora, el parámetro de volatilidad,
Así,
VIII. Evaluación de opciones de bonos cuando la tasa corta sigue el modelo de Hull y White
El modelo de Hull y White (1990) extiende el modelo de Vasicek para incluir un parámetro dependiente del tiempo; específicamente se supone que
Si se supone que
equivalentemente
Si
en que
y
En la práctica, se utilizan en (8.20) las siguientes aproximaciones
con
Obsérvese también que
ya que
Es frecuente utilizar en esta aproximación un término cuadrático en
El precio de una opción que vence en
en que
En este caso, el parámetro de volatilidad,
IX. Swaps de tasas de interés con un índice de amortización, swaps step-up y step-down
Un swap de tasas de interés es un acuerdo entre dos partes para intercambiar intereses en un nominal
X. Notas respecto a un rango en la tasa de interés
Las notas de un rango en la tasa de interés (range notes) pagan al propietario intereses sobre un nocional,
en la que
con
XI. Notas estructuradas formadas por bonos cupón cero con pagos vinculados a un tipo de cambio
A continuación se estudia una de las notas estructuradas más comunes. Muchas de las notas estructuradas tienen opciones inmersas y su evaluación es todo un desafío. Asimismo, se analiza de manera intuitiva por qué para inversionistas, con determinadas expectativas en el mercado, ciertos tipos de notas estructuradas podrían ser atractivas.
Una de las notas estructuradas más sencillas en el mercado consiste en un bono cupón cero con pagos vinculados al tipo de cambio. Supóngase que una empresa local
Supóngase que el tipo de cambio
en el que
en la que
junto con las condiciones
y
Por supuesto, el planteamiento anterior puede extenderse al pago de cupones.
XII. Notas estructuradas formadas por un bono cuponado llamable y un esquema step-up de tasas cupón
Estas notas estructuradas son bonos cuponados llamables por el emisor que usualmente pagan cupones mayores que un bono gubernamental cuponado que tiene los mismos tiempos de pago y maduración. Los cupones de esta nota estructurada se incrementan en puntos predeterminados en el tiempo si el emisor no recompra. Como ejemplo considérese una nota a cinco años emitida por el FHLB en mayo de 1994 con un nominal de 10 mil dólares. La emisión es llamable en 2 años y los cupones se incrementan con base en el siguiente esquema:
6.25% para el año 1 (1 de mayo de 1994)
6.50% para el año 2 (1 de mayo de 1995)
7.00% para el año 3 (1 de mayo de 1996)
8.20% para el año 4 (1 de mayo de 1997)
9.25% para el año 5 (1 de mayo de 1998)
La primera fecha de llamada es mayo de 1996. Por tanto, únicamente los dos primeros cupones están garantizados para el inversionista. Esta nota tiene una opción call europea adquirida por el emisor para recomprar el bono el 1 de mayo de 1996, 1997 o 1998. Debido a que esta nota tiene tres fechas de llamada, tiene tres opciones de compra inmersas. De esta manera el emisor ha comprado tres opciones que le permitirán beneficiarse cuando las tasas de interés sean bajas al recomprar, a la par, la deuda antes del vencimiento y refinanciarse con tasas menores disponibles en el mercado. De la misma manera, si las tasas se mantienen estables, es muy probable que la nota sea llamada puesto que está pagando por encima del mercado. Por lo anterior, en lugar de considerar esta nota con vencimiento dentro de cinco años, tiene más sentido considerarla como una inversión a dos años, la cual puede extenderse otros tres años. Por último obsérvese que esta nota estructurada puede verse como un instrumento en el que el inversionista ha comprado una serie de pisos (floors) y vendido una serie de techos (caps) periódicos.
XIII. Notas estructuradas formadas por opciones para modificar el índice de amortización cuando las tasas de interés cambian
Una nota estructurada vinculada a un índice de amortización (Index-Amortization Notes o IAN por sus iniciales en inglés) es un acuerdo mediante el cual el principal se amortiza de acuerdo con un programa determinado. El programa de amortización está vinculado a un índice predeterminado (usualmente LIBOR). En estas notas, el emisor tiene la opción de modificar el esquema de amortización del principal a través de un cap.
En este tipo de notas, si el índice predeterminado (LIBOR) se eleva por encima de un cierto nivel
Como ilustración, considérese una nota estructurada vinculada a un índice de amortización emitida por la FHLB el 15 de septiembre de 1994 y con fecha de vencimiento el 15 de septiembre de 1999. La tasa cupón se calcula trimestralmente (LIBOR a 3 meses + 42 pb) aunque el pago de cupones es anual. Sin embargo, esta nota tiene una restricción, la diferencia entre dos cupones consecutivos trimestrales no puede ser mayor de 50 pb. De manera que la diferencia entre cupones anuales no puede ser mayor de 200 pb. Asimismo, se establece una tasa máxima (cap) de 9.5% durante la vida del instrumento. En el primer año el principal permanece sin cambio y, en consecuencia, el esquema de amortizaciones es irrelevante. El 15 de septiembre de 1994 la tasa LIBOR a tres meses fue de 5.0625%. Así, el cupón inicial fue de 5.4825% (5.0625 + 0.42). Observe también que en un ambiente sin cambios en la tasa de interés (LIBOR debajo de 6%), el 100% del principal estará intacto el primer año. El programa de amortización trimestral de la nota se muestra en el cuadro 5.
Cuadro 5 Programa de amortización trimestral de la nota. (Porcentaje)
| LIBOR a 3 meses | Principal remanente |
| 9.00 o más | 100.00 |
| 8.75 | 96.25 |
| 8.50 | 92.50 |
| 8.00 | 85.00 |
| 7.75 | 80.00 |
| 7.50 | 75.00 |
| 7.00 | 65.00 |
| 6.50 | 32.50 |
| 6.25 | 16.25 |
| 6.00 o menos | 0.00 |
Supóngase que el inversionista compra esta nota por 1 millón de dólares. Si el 15 de septiembre de 1995 la tasa LIBOR está en 7.50%, en virtud del cuadro 5 se observa que se devuelve 25% del principal (250 mil), dejando un saldo en el principal de 750 mil. De acuerdo con la fórmula se espera que el cupón del principal remanente sea de 7.92% (7.50% + 42 pb), sin embargo, debido a la restricción (cap) que tenemos en el tamaño del cupón, la cantidad por pagar será de 7.4825%. Esto se obtiene de lo siguiente. El 15 de septiembre de 1994 la tasa inicial del cupón fue de 5.4825%, pero el siguiente cupón no puede ser mayor en 50 pb que el cupón precedente, así que lo más que puede valer es 50 pb cada trimestre, lo que conduce a que en un año se tiene un total de 200 pb. Por tanto, si las tasas aumentan rápidamente el inversionista podría verse atado a un instrumento a cinco años con rendimientos no deseables.
Después de esta amortización parcial del principal se ajusta el principal para el siguiente periodo. Si la tasa LIBOR aumenta a 8.0% para el siguiente trimestre, entonces en virtud del cuadro 5, se observa que se devuelve 15% del principal, dejando un principal remanente de 637 500 (750 000 × 85%). El pago del cupón sería de 8.42%, pero la restricción nos indica que el cupón es 7.9825%, en cuyo caso el inversionista estará obteniendo una ganancia un poco menor que la tasa LIBOR a 3 meses. Obsérvese que al bajar la tasa LIBOR, la nota se amortiza rápidamente. Si la tasa LIBOR permanece igual el inversionista recibe 100% del principal y habrá obtenido una tasa inferior a la del mercado.
XIV. Notas estructuradas de índices duales
Una nota de índice dual, o nota de spread de índices, es un instrumento cuyo cupón está vinculado a la diferencia (spread) entre dos índices de mercado. Los índices más comunes en este tipo de notas son:
Constant Maturity Treasury (CMT),
Treasury Bill (T-Bill),
12-Month Treasury Average (MTA),
Cost of Deposits Index (Codi),
11th District Cost of Funds Index (Cofi),
Cost of Savings Index (Cosi),
London Inter Bank Offering Rates (LIBOR),
Certificates of Deposit Indexes (CD),
Prime Rate,
Fannie Mae’s Required Net Yield (RNY).
De la enumeración anterior, los índices que utilizan con mayor frecuencia son CMT, Cofi y LIBOR. Este tipo de notas estructuradas intentan recompensar a los inversionistas que anticipan movimientos a la alza o a la baja de las curvas de rendimiento asociadas a índices. Estas notas pueden también estar vinculadas a otro tipo de índices como los bursátiles de precios de bienes.
Un ejemplo de una nota atractiva para un inversionista con expectativas de una curva de rendimiento plana, asociada a CMT, sería una tasa cupón que flota de la siguiente manera:
Con base en la fórmula anterior el cupón se incrementa, junto con la sobretasa, si la curva de rendimiento entre cinco y diez años es plana. Por otra parte, si el inversionista tiene expectativas de una curva de rendimiento creciente, una nota atractiva para él sería la que paga una tasa cupón de la siguiente forma:
Considérese, como ejemplo, una nota emitida en agosto de 1993 con un periodo de maduración de cinco años. Esta emisión paga una tasa cupón inicial de 5.00% para el primer año y para los cuatro años restantes la tasa cupón flota de acuerdo con:
Un año después de la emisión, el rendimiento de CMT a cinco años estaba en 4.70% y el rendimiento CMT a diez años estaba en 5.34%, lo que produjo una diferencia de −64 pb. La tasa cupón de la nota para los restantes cuatro años está dada por 3.68% = 4.70% − 5.34% + 4.32%. Por supuesto, los compradores de este instrumento tenían expectativas de una curva de rendimiento todavía más plana.
XV. Notas estructuradas con tasas flotantes apalancadas y contraapalancadas
Las notas estructuradas con tasa flotante apalancada ofrecen al inversionista la oportunidad de recibir un rendimiento inicial por encima del mercado y la tasa cupón se ajusta en una cantidad preestablecida
De la misma manera, en una nota estructurada con tasa flotante contraapalancada, la tasa cupón se ajusta en una fracción preestablecida
Los inversionistas de este tipo de notas anticipan estabilidad en la dinámica de las tasas de interés. Por supuesto, con base en estas notas sencillas se pueden construir otras más complicadas, por ejemplo, una nota que calcule la tasa cupón como
Es pertinente destacar que este tipo de notas se desempeña mal ante volatilidades en la tasa de interés, no importa la dirección de la volatilidad. Por tanto, los inversionistas que adquieren este tipo de productos pronostican que las tasas de interés serán estables en el horizonte de inversión.
XVI. Notas estructuradas de flotación inversa
Este tipo de notas estructuradas tienen una tasa cupón que varía inversamente a un índice preestablecido. Por ejemplo, si el índice preestablecido es LIBOR o Cofi y éste baja, la tasa cupón aumenta y viceversa. Existen en el mercado notas de flotación inversa de los índices enumerados en la sección XIII. El ejemplo siguiente ilustra una nota de flotación inversa emitida por la FNMA en 1992, en la cual la tasa cupón estaba vinculada al nivel del Cofi. La tasa cupón flotaba de la siguiente manera:
Esta tasa cupón se recalculaba mensualmente pero los pagos eran semestrales. Esta nota vencía el 16 de noviembre de 1995. De acuerdo con la fórmula anterior el cupón del instrumento aumentaba si el índice Cofi caía y viceversa. El nivel del cupón el 16 de septiembre de 1994 fue de 8.09%, momento en que el Cofi estaba en 3.86 por ciento.
Conclusiones
En México el tema de las notas estructuradas ha cobrado gran interés en los mercados financieros. Estos instrumentos pueden producir mejores opciones de inversión para los fondos de pensiones, ya que los pagos se vinculan a algún índice bursátil o a un tipo de cambio, lo cual genera opciones de inversión con rendimientos potencialmente superiores a los que proporciona el mercado de dinero.
En el presente trabajo se realizó una descripción detallada de las notas estructuradas más comunes en el mercado. Se destacó las dificultades técnicas en el proceso de evaluación de dichos instrumentos. En la mayoría de los casos estudiados se propuso un modelo teórico de evaluación y se desarrollaron varios ejemplos numéricos. Evidentemente, el modelado con supuestos más realistas será una tarea permanente en nuestro programa de investigación.
