Introducción

Un aspecto de la macroeconomía moderna es la simulación numérica de modelos de equilibrio general dinámicos estocásticos (DSGE, por sus siglas en inglés). Estos modelos se desarrollan principalmente como respuesta a la ‘crítica de Lucas’, por lo que ahora, la macroeconomía moderna descansa en la microeconomía inter temporal. Entre los primeros modelos DSGE, está el de ciclos reales de ^{Kydland-Prescott (1982)} y ^{Long-Plosser (1983)}. El modelo de ciclos reales sostiene que las fluctuaciones de la economía agregada son la respuesta eficiente a los choques tecnológicos exógenos e inciertos¹. Actualmente, académicos y economistas profesionales en centros de investigación y organismos oficiales usan extensamente la metodología DSGE². Además, los modelos DSGE empiezan a integrarse en la enseñanza de la macroeconomía a nivel pregrado, lo que exige tiempo, esfuerzo y astucia para doblegar los escollos inherentes del proceso de enseñanza-aprendizaje³. La instrucción en los modelos DSGE es valiosa por su trascendencia en la macroeconomía.

Este artículo es una contribución pedagógica porque su pretensión es ilustrar la resolución numérica de una versión log-linealizada de un modelo neokeynesiano, situado entre los paradigmas IS-LM y DSGE. Su análisis descansa en un experimento provisto de un elemento generador de fluctuaciones y materializado en un proceso estocástico exógeno para el producto natural. De modo que el sistema económico reacciona a los disturbios conforme a sus ecuaciones y expectativas de las variables. En especial, admitimos que el sistema está en su senda de equilibrio en el período 0, pero experimenta un choque de oferta agregada en el período 1. En los períodos 2, 3, ⋯, n, el sistema se aleja de su senda de equilibrio, pero después retorna a su estado estacionario (en los períodos n+1, n+2, ⋯). La convergencia del sistema es inevitable porque los valores de sus parámetros son seleccionados de modo que existe una solución estable (condición Blanchard-Khan). El experimento no requiere del acopio de datos, sino de la aceptación de un impulso exógeno (de una sola vez) para trazar la senda temporal de las variables desde la perturbación hasta su retorno al equilibrio.

La dificultad de estos modelos reside precisamente en la manipulación de los términos de expectativas de las principales relaciones agregadas. La aplicación del método de coeficientes indeterminados no siempre nos permite encontrar el ‘punto fijo’ del sistema lineal de expectativas racionales. El método de iteración de expectativas es idóneo para una simple ecuación en diferencias estocástica. Así mismo, la solución de los modelos DSGE es insuperable en tanto mayor sea el número de ecuaciones no-lineales. Si bien podemos transformar el modelo DSGE y obtener un sistema lineal de ecuaciones en diferencias estocásticas no significa que sea posible conseguir una solución cerrada, de manera que tarde o temprano debemos buscar una solución numérica.

Los métodos de ^{Blanchard-Khan (1980)}) y ^{Klein (2000)} son dos procedimientos numéricos idóneos para la resolución de sistemas lineales de expectativas racionales⁴. Las dos técnicas nos permiten desacoplar la porción ‘estable’ de las variables de estado de la parte ‘inestable’ de las variables de control⁵. Los métodos de estimación de parámetros son muy variados, mientras que la calibración es una técnica de valoración de parámetros. Con todo, en la calibración no siempre se asignan valores a los parámetros para ajustarse a los datos observados. Siguiendo a ^{Franke (2017)}, más bien, los valores de los parámetros se toman de fuentes externas para simular las sendas temporales de las ‘variables de control’. La estimación estadística y la calibración de los parámetros son aspectos que están más allá de este escrito.

El artículo está organizado en cuatro secciones. En la primera sección se esboza el modelo neokeynesiano de expectativas racionales. En la segunda y tercera secciones se desarrolla el álgebra matricial de los métodos de ^{Blanchard-Khan (1980)} y ^{Klein (2000)}, respectivamente. Además, se muestra cómo desacoplar el sistema lineal de expectativas racionales en función de sus valores propios. En la cuarta sección se expone la solución numérica del sistema mediante la forma canónica de Jordan y la descomposición de Schur. Las particiones de estas matrices permiten después calcular las funciones impulso-respuesta para trazar la dinámica de las variables endógenas. Por último, se presentan las conclusiones.

I. Un modelo neokeynesiano de expectativas racionales

Los modelos neokeynesianos han probado su utilidad en el análisis de la dinámica macroeconómica y diseño de reglas de política monetaria⁶. Esta clase de modelos constan principalmente de tres ecuaciones: (1) una ecuación de demanda agregada, en la forma de una ecuación IS inter temporal; (2) una ecuación de inflación asociada a la nueva curva de Phillips; y (3) una regla de Taylor, que describe el proceso de conducción de la política monetaria del banco central⁷.

El modelo neokeynesiano de expectativas racionales podría incorporar especificaciones híbridas de las curvas IS y Phillips debido a la persistencia de algunas series de tiempo. Sin embargo, es práctico lidiar directamente con las variables no-predeterminadas (variables de control). Pero, por otro lado, los métodos de solución para esta clase de modelos no son de conocimiento de todos, por lo que es necesario una ilustración numérica del problema. Por tal motivo, consideremos el siguiente modelo neokeynesiano de expectativas racionales⁸:

Antes de proseguir, es provechoso tomar en cuenta la simbología de las variables de acuerdo con el Cuadro 1.

En su mayoría las diferentes variables son transformaciones logarítmicas de las variables originales. La excepción es la tasa de interés nominal, la cual se mide de la forma tradicional.

Además, el significado de los seis parámetros se anota en el Cuadro 2.

La ecuación (1) es la nueva curva de Phillips de expectativas aumentadas. Esta expresión establece que la tasa de inflación es una función positiva de las expectativas de inflación futura y acepta la existencia de una relación positiva entre la tasa de inflación y la brecha de la producción (medido por la diferencia entre el producto actual y natural).

La ecuación (2) denota a la nueva ecuación IS caracterizada por su dependencia positiva de las expectativas de producción futura y por su relación inversa con la tasa de interés real. Esta última es la diferencia de la tasa de interés nominal y las expectativas de inflación futura. La ecuación (3) es la regla monetaria que sigue el banco central para conducir su política económica. Para que se cumpla el ‘principio de Taylor’, el banco central ajusta la tasa de interés nominal más que proporcionalmente con la tasa de inflación corriente. La ecuación (4) describe el comportamiento exógeno de la única variable de estado y establece que el producto potencial es un proceso autorregresivo estacionario, donde ϵt+1 es un proceso ruido blanco⁹. De esta manera, la economía está sujeta a cambios recurrentes producidos por la presencia de esta variable exógena estocástica.

Por último, las ecuaciones (5) y (6) son las hipótesis de las expectativas racionales para el producto real y la tasa de inflación, respectivamente¹⁰. La expectativa subjetiva es igual a la expectativa condicional, donde Ωt es el conjunto de información. Es decir, los agentes tienen la información suficiente para tomar decisiones consecuentes.

El Cuadro 3 contiene la clasificación de las variables endógenas y exógenas. Esta es una etapa imprescindible en el análisis económico, ya que, muchas veces, se cometen errores trascendentales por no clasificar a las variables del modelo adecuadamente.

La segunda etapa del análisis consiste en la deducción de las formas reducidas para las variables endógenas. Sin embargo, a diferencia de los modelos tradicionales, en este modelo macroeconómico, existen dos tipos de variables endógenas: las predeterminadas (variables de estado) y las no-predeterminadas (variables de control)¹¹.

A fin de identificar estas dos clases de variables es útil representar matricialmente el modelo en la forma de un sistema lineal de expectativas racionales. En consecuencia, sustituimos (3) en (2), y el resultado junto a las ecuaciones (1) y (4), implican un sistema lineal de ecuaciones en diferencias estocástico.

La separación de las variables predeterminadas de las variables no-predeterminadas es inmediata.

donde,

Es decir, en este sistema lineal de expectativas racionales xt1, representa a la única variable de estado o predeterminada (escalar) y-t, mientras que xt2 es un vector de dos entradas para variables de control o no-predeterminadas. La primera entrada es Etπt+1 y la segunda es Etyt+1. La inversa de la matriz A ₀ es

Al multiplicar, ambos lados de (8), por la inversa de matriz A ₀ obtenemos:

donde, A=A0-1A1 y B=A0-1A2, es decir

La estabilidad del sistema de ecuaciones depende de los valores propios de la matriz implicada. A este respecto, las raíces del polinomio característico vienen dados por la ecuación

Por lo tanto,

De este modo, una de las raíces es λ₁ = ρ, pero las otras dos se obtienen de la fórmula de la ecuación cuadrática.

Como una de las raíces es ρ, entonces al menos un valor propio (en valor absoluto) es inferior a la unidad. Sin embargo, no es fácil establecer analíticamente si las otras dos raíces son mayores o menores a la unidad. En consecuencia, es mejor proceder en términos numéricos a partir de valores de los parámetros. Entre los procedimientos de resolución numérica están los métodos ^{Blanchard-Khan (1980)} y ^{Klein (2000)}. El primero está cimentado en la formulación canónica de Jordan, mientras que el segundo descansa en la descomposición de Schur.

II. El método Blanchard-Khan

^{Blanchard y Kahn (1980)} desarrollan un método de solución para sistemas lineales de ecuaciones en diferencias estocásticas de primer orden. Como se mencionó más arriba, estas ecuaciones encajan con los ‘modelos lineales de expectativas racionales’.

donde,

Si la matriz A es de rango completo, podemos usar el método de la ‘forma canónica de Jordan’. A este respecto, siguiendo a ^{Weintraub (2009)}, acudimos a la siguiente proposición:

Proposición 1. Sea A una matriz cuadrada n × n invertible. Entonces existe una matriz J que es una forma canónica de Jordan, y una matriz P invertible, ambas n × n, tales que

donde, J es una matriz diagonal con los valores propios de la matriz A ordenados de forma creciente¹².

Los valores propios en J₁ están en el círculo unitario (valores propios estables) y los valores propios en J₂ están fuera el círculo unitario (valores propios inestables). La matriz P contiene a los vectores propios ordenados de forma conveniente (igual que la matriz o vector B).

Ahora bien, nos referimos a la proposición de ^{Blanchard-Khan (1980, p. 1308)}

Proposición 2. El sistema de ecuaciones en diferencias lineal estocástica de primer orden (10) tiene una solución única y de trayectoria ‘punto de silla’ estable, si el número de valores propios mayores a la unidad es igual al número de variables no-predeterminadas. Si el número de valores propios inestables excede el número de variables no-predeterminadas, no existe solución. Si el número de valores propios inestables es menor a la cantidad de variables no-predeterminadas, hay infinitas soluciones.

La proposición anterior se podría también reformular en términos de los valores propios inferiores a la unidad. Por ejemplo, se asegura la unicidad y estabilidad de una solución de expectativas racionales si el número de valores propios inestables es igual al número de variables predeterminadas.

Dados los dos teoremas anteriores, reescribimos (10) como

Al multiplicar por la matriz P tenemos

donde, por definición

Con esta transformación el sistema de ecuaciones se ‘desacopla’ en el sentido de que las variables no-predeterminadas están relacionadas únicamente con los valores propios inestables (superiores a la unidad) de la matriz J₂ y las variables predeterminadas están asociadas con los valores propios estables (inferiores a la unidad) de la matriz J₁.

En lo que sigue se mostrará que la solución de las variables no-predeterminadas se deduce por iteración hacia adelante y la solución de las variables predeterminadas se obtiene por iteración hacia atrás. Comencemos por el ‘bloque inferior’ de la ecuación (12), el cual contiene a las variables no-predeterminadas. Para proceder con los cálculos, es importante recordar que el vector B₂ tiene entradas igual a cero. Esto es una implicación de la especificación del modelo neokeynesiano. Bajo esta premisa, se obtiene la ecuación:

Se adelanta un período de tiempo esta ecuación.

Se calcula su esperanza matemática, y se recurre a la ley de expectativas iteradas, a sabiendas de que ϵt+2 es un proceso ruido blanco.¹³

Al sustituir (15) en (13) se tiene

Como J₂ contiene valores propios fuera del círculo unitario, iteraciones hacia adelante implican que J2-n se desvanezca asintóticamente. En consecuencia, se obtiene el resultado

En este punto conviene retomar la ecuación (12) y considerar la definición de la variable x^t2, la cual se expresa en los términos de

Ahora bien, se combinan las ecuaciones (17) y (18) para arribar a la siguiente ecuación:

donde,

Como las matrices J y P están dadas, el comportamiento de las variables no-predeterminadas xt2 dependen entonces de las variables predeterminadas xt1, además del término de perturbación ϵt+1.

Ahora analicemos el ‘bloque superior’ de la ecuación (12), el cual contiene a las variables predeterminadas. Al respecto, se tiene

Es conveniente considerar algunos rezagos temporales de esta ecuación. Por ejemplo, con un período de rezago, se tiene

Igualmente, con dos períodos de rezagos, se tiene

Se sustituye (22) en (21) para obtener

Si continuamos iterando hacia atrás arribamos a

Como J₁ contiene los valores propios en el círculo unitario, J1n se desvanece a medida que n crece. Por ende, la iteración hacia atrás converge a

Ahora es conveniente regresar a la variable original x1t. En términos de la ecuación (12), se tiene

Al sustituir (26) en la ecuación (25) y después de manipular se tiene

Ahora consideremos la ecuación (12) para establecer que B^1=P11B1, además sustituimos (19) en la ecuación (27) para obtener

Si bien esta ecuación es una solución definitiva para el conjunto de variables predeterminadas debido a que xt1 depende únicamente de las variables exógenas ϵt+1 y ϵt-ii=1∞, también es más práctico deducir otra ecuación para cálculos computacionales.

Con este propósito, procedemos sustituyendo (19) en la ecuación (26) para obtener

La ecuación anterior con un rezago es

Ahora bien, al sustituir (28) y (29) en la ecuación (21), pero recordando que B^1=P11B1 se tiene

donde,

De esta manera, la ecuación (30) nos permite establecer directamente las propiedades dinámicas de las variables predeterminadas. Si queremos, después, podemos inferir la dinámica de las variables no-predeterminadas con la ayuda de la ecuación (19) y (30).

De aquí en adelante nos abocamos a calcular las funciones impulso-respuesta sobre x _1t y x ₂ de un choque exógeno en el período t. La descripción de la trayectoria dinámica desde luego exige de la existencia de una condición inicial para las variables predeterminadas x01. Si éste es conocido, entonces de la ecuación (30), se obtienen los siguientes efectos secuenciales:

Ahora es evidente la trayectoria de impactos de ϵ11 sobre xt1 a lo largo del tiempo. En particular, si el choque se produce en el período t, los efectos desde este período hasta el período t + j, son los que se encuentran en la segunda columna del Cuadro 4.

Por otro lado, al considerar la ecuación (19), se llega a la conclusión que las variables no-predeterminadas se comportan de manera proporcional a las variables predeterminadas. Esto es, como xt2=Mxt1+Nϵt+1, entonces

La trayectoria temporal de efectos de ϵ11 sobre xt2 es esbozada por la cuarta columna del Cuadro 4. De esta manera se deduce la función impulso-respuesta resultado de un choque estocástico que afecta el comportamiento de las variables predeterminadas y no-predeterminadas.

III. El método de Klein

De acuerdo con ^{Klein (2000)}, es posible hallar una solución al sistema lineal de ecuaciones en diferencias estocástica de primer orden a través de la descomposición Schur de las matrices involucradas. Para explicar este método, volvamos a considerar la ecuación matricial

Ahora, siguiendo a ^{Klein (2000, p. 1410)} se enuncia la siguiente proposición:

Proposición 3. Dadas dos matrices A ₀ y A ₁ reales de n × n, existen matrices unitarias ortogonales Q y Z, tal que Q ^T A ₀ Z es una matriz Schur real superior y Q ^T A ₁ Z es una matriz triangular superior

donde, el par de matrices (S, T) se dice que tienen la forma de Schur real generalizada.

La matriz A₀ no necesariamente es de rango completo.

Sea xt=xt1xt2' de modo que podemos realizar transformaciones a las variables originales.

Sustituyendo (34) y (35) en (31), multiplicando por Q^T y luego utilizando (32) y (33), se tiene

donde,

Los valores propios del sistema están en la diagonal de la matriz S ^-1 T, esto es,

donde S(i, i) y T(i, i) son elementos de la diagonal principal de las matrices S y T, respectivamente.

Las raíces con un módulo inferior y superior a la unidad se pueden ordenar de forma creciente. Siguiendo esta ordenación de los valores propios, consideramos la partición de las matrices.

Al multiplicar por la matriz inversa implicada, se tiene¹⁴:

Al manipular se obtiene

Si se cumple la condición de unicidad y estabilidad, entonces las entradas S11-1T11 y S22-1T22 contienen a las raíces estables y no-estables, respectivamente.

Se resuelve el ‘bloque inferior’ de la ecuación (42) manipulando algebraicamente.

En este punto, reescribimos la ecuación (4.16) para los primeros tres períodos de tiempo.

Al sustituir (47) en la ecuación (46), y después de realizar el mismo ejercicio con (48) y (49) en el resultado previamente calculado, se obtiene

Si el sistema es estable, entonces el limk⟶∞⁡T22-1S22k=0, por lo que, si se sigue iterando hacia adelante, se obtiene una solución para las variables predeterminadas.

En el caso de que k = 0 capturamos disturbios para el período t + 1. En este caso especial, la ecuación anterior se reduce a

Ahora bien, analicemos el ‘bloque superior’ de la ecuación (42), del cual se puede desglosar la expresión:

Sustituyendo (52) en (53) se obtiene:

Por otro lado, al considerar (35) y (36), se tiene:

De esta manera, en los períodos t y t + 1, el valor de la variable predeterminada se relaciona respectivamente con s _t , u _t , s _t+1 y u _t+1 .

Si los agentes no esperan ningún disturbio futuro después del período t + 1, es decir, ϵt+k=0 para toda k > 1, entonces las dos ecuaciones implicadas se reducen a

Reemplazando estas dos últimas ecuaciones en (54) manipulamos para obtener

Es decir,

donde,

Consideremos otra vez el ‘bloque inferior’ de la ecuación (55).

Ahora podemos sustituir (52) y (59) en la ecuación anterior y encontrar el resultado.

donde,

De esta manera, se tiene una solución para las variables predeterminas y no-predeterminadas. La primera se manifiesta en la ecuación (62) y la segunda se expresa por medio de la ecuación (64).

Por último, calculemos las funciones impulso-respuesta para cada clase de variables. En el caso de las variables-predeterminadas podemos calcular

Similarmente, para las variables no-predeterminadas se tiene

A fin de sintetizar, los valores de la función impulso-respuesta se esbozan en el Cuadro 6.

La trascendencia de las funciones impulso-respuesta será evidente en las simulaciones numéricas de la siguiente sección.