Métodos de valoración utilizados en la industria del petróleo

La aplicación de opciones reales en la valoración de proyectos en el sector de hidrocarburos ha demostrado ser un procedimiento útil, tanto para analistas como para inversionistas en la toma de decisiones bajo riesgo financiero e incertidumbre (^{Ekern, 1988}; ^{Armstrong et al., 2004}; ^{Bailey et al., 2004}; ^{Guimarães, 2004}; ^{Suslick, Schiozer y Rodríguez, 2009}; ^{Willigers y Bratvold, 2008}; ^{Pineda y Sierra 2012}). Al respecto, se mencionan algunos estudios en los cuales se han implementado opciones reales de diferente naturaleza, para analizar la opción de desarrollar o no proyectos, así como su ventaja ante diferentes procedimientos numéricos.

^{Ekern (1988)} muestra ejemplos en la industria petrolera, donde sugiere que el enfoque de opciones reales puede dar señales adicionales sobre la rentabilidad en un proyecto de inversión, en contraparte con el análisis de métodos tradicionales. ^{Cortázar y Schwartz (1998)} usan el enfoque de opciones reales para determinar el momento óptimo de inversión en un campo no desarrollado de petróleo. Además, utilizan simulación Monte Carlo ya que permite la inclusión de variables aleatorias adicionales, tales como costos y cantidad de reservas. ^{Galli et al. (1999)} analizan tres métodos para evaluar proyectos de inversión bajo riesgo en el sector del petróleo: flujo de ingreso neto descontado, árboles de decisión y simulaciones de Monte Carlo. Concluyen que, aunque las simulaciones basadas en el método Monte Carlo modelan la incertidumbre de acuerdo con los valores de los parámetros, ignoran la flexibilidad gerencial. En contraste, los árboles de decisión permiten analizar diferentes estrategias gerenciales, eligiendo la que maximiza el VPN esperado. La desventaja es que este método no genera una proyección acerca de los posibles valores del VPN. ^{Zekri y Jerbi (2002)} mediante la proyección del flujo de ingreso neto descontado determinan la rentabilidad de un proyecto EOR en Libia. Los autores indican que el riesgo en un proyecto EOR es básicamente económico. Por una parte, los costos de inversión previos a la extracción son significativos, y por otra, los costos de operación y los correspondientes a la aplicación del químico pueden resultar importantes dado que existe el riesgo de no recuperar la cantidad de petróleo inicialmente estimada. ^{Armstrong et al. (2004)} al abordar la cuestión de cómo evaluar la opción de adquirir más información en proyectos petroleros, combina el análisis bayesiano y las opciones reales. ^{Bailey et al. (2004)} comparan el método de flujo de ingreso neto descontado con el método de opciones reales. Dichos autores concluyen que mientras el primero es estático e independiente de que se modifiquen las circunstancias, las opciones reales permiten una mayor flexibilidad con respecto a cambios en la ejecución de proyectos a través del tiempo. También ^{Paddock, Siegel y Smith (1988)} muestran el valor de las opciones reales en el desarrollo de un campo petrolero en alta mar para maximizar los rendimientos y minimizar las pérdidas. ^{Guimarães (2004)} muestra diversos modelos de opciones reales para evaluar inversiones de exploración y producción de petróleo, en específico utiliza el análisis de opciones para determinar si se debe expandir la producción a través de nuevos pozos.

En resumen, la presente sección refiere diferentes procedimientos numéricos, los cuales han sido usados para determinar el VPN, y algunos de ellos tales como árboles de decisión bajo opciones reales y cadenas de Markov, para modelar la incertidumbre presente en un proyecto. Al respecto, mientras se destaca que el método binomial permite cuantificar la flexibilidad presente en un proyecto de inversión (^{Brandão y Dyer, 2005}); se minimiza su importancia en términos de la relación que existe entre la dispersión en los valores obtenidos mediante dicho método y el valor del activo.

Tipos de opciones reales

De acuerdo con ^{Venegas y Aizenstat (2006)} la metodología de las opciones reales “es la aplicación de las técnicas de evaluación de opciones financieras a la evaluación de proyectos de inversión” cuando existe la flexibilidad de tomar en el futuro nuevas decisiones relacionadas con dichos proyectos y estrategias. Así bajo la decisión de elegir, entre los flujos de ingreso neto esperados del proyecto (St,) y el valor de remplazo (V), la opción real del proyecto de inversión se puede plantear como una opción de compra o como una opción de venta. Una opción de compra se presenta cuando la empresa tiene el derecho, pero no la obligación, de invertir en la expansión o extensión en el periodo de la inversión, o diferir (retardar) la decisión de continuar la producción del hidrocarburo, es decir, cuando St > V.

En el caso de una opción de venta, ésta se presenta cuando la empresa tiene el derecho, pero no la obligación, de abandonar, reducir o vender una fracción de los activos de la empresa, es decir, cuando St < V.

Adicionalmente, las opciones reales pueden clasificarse con base en el momento en que pueden ser ejercidas, las más comunes son americanas y europeas. Mientras la opción americana puede ejercerse en cualquier momento durante la vida del proyecto, la opción europea sólo puede ejercerse al vencimiento (^{Bailey et al., 2004}; ^{Calle y Tamayo, 2009}). En el presente estudio se plantea el desarrollo de una opción real europea de abandono, en el que se propone llevar a cabo la decisión de inversión bajo la técnica EOR-ASP.

Método binomial en la valoración de opciones reales

En una inversión en la que se requiere tomar una decisión estratégica bajo incertidumbre, el método binomial de valoración de opciones propuesto por ^{Cox et al. (1979)} plantea una relación entre el valor del activo subyacente, su volatilidad y el valor de la opción (valor esperado de los beneficios actualizados). El primer paso en la valoración de una opción real es la proyección binomial. La variable a simular parte de un valor inicial S₀ y evoluciona mediante un proceso multiplicativo, el cual toma dos valores posibles (coeficientes de tendencia), al alza (u) y a la baja (d) y los cuales dependen entre otras variables de la volatilidad estimada (σ) (véase ecuaciones 1 y 2).

Bajo una opción real, los flujos de ingreso neto (S₀) se modelan mediante la volatilidad estimada de un activo gemelo y que en el presente estudio refiere al rendimiento del precio en dólares de la mezcla mexicana de petróleo. Si el rendimiento del precio del activo sube en t=1, S₀ se calcula como uS₀, y si baja se calcula como dS₀. Los coeficientes de tendencia u, d se determinan con base en las siguientes formulas:

Donde 𝑒 es el exponencial, ∆𝑡 es el incremento en un periodo de tiempo, 𝜎 es la volatilidad anualizada de los rendimientos diarios y 𝑟 la tasa de descuento. Adicionalmente se debe de cumplir la condición de 𝑢 > 𝑟 > 𝑑, de otra manera, existen oportunidades de hacer operaciones de arbitraje en las que se obtenga un beneficio (^{Cox et al., 1979}).

De manera similar uS₀ y dS₀ pueden aumentar o disminuir a medida que se dan los incrementos de tiempo y en el que el resultado (aumento o disminución de S_n) en cada nodo subsiguiente es independiente del resultado presente en el nodo anterior, generando un modelo binomial expandido en t períodos. Cada uno de los valores S_t generados en t, nuevamente tendrán la opción de subir o bajar, situación que se repetirá hasta alcanzar S_T,t en el nodo final (figura 1).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Proyección binomial de 2 periodos 

El segundo paso es el cálculo del valor de la opción. Con base en los valores de u, d y la tasa de descuento (r) se determina la probabilidad neutral al riesgo³ de que el valor del activo S₀ suba (p) o baje (1-p). Las probabilidades neutrales al riesgo p y (1-p) se expresan de la siguiente manera (^{Bailey et al., 2004}):

Para determinar el valor de la inversión bajo la opción real, se consideran los valores de los últimos nodos (S_T,t) del modelo binomial expandido y se elige el valor máximo entre S_T,t y V, es decir, C_T = max(S_T,t , V). Posteriormente, basado en el proceso de inducción hacia atrás el valor del nodo precedente (C_T-1,t) se calcula como el valor actualizado obtenido de los valores maximizados de dos nodos ponderados por las probabilidades neutrales al riesgo. Dicho procedimiento se aplica hasta llegar al nodo inicial C0 lo que permite crear un nuevo modelo binomial (^{Brambila, 2011}).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 2 Valoración de la opción 2 periodos 

Adicionalmente en cada nodo final de la proyección binomial, cada valor S_T,t tiene asociado la probabilidad de que se presente, y la cual, se calcula mediante la ecuación (5) (^{Brambila, 2011}).

Donde t es el número de nodos con probabilidad p, 𝑇 es el total de periodos, 𝑝 es la probabilidad neutral al riesgo de subir y 𝛽 denota la probabilidad binomial de S_T,t presente en el nodo final.

Método de cadenas de Markov

^{Hernández-Lerma y Venegas-Martínez (2012, p. 375)} afirman que, “Existen muchos sistemas económicos y financieros en los que los hechos futuros tienen asociada una distribución de probabilidad que depende sólo del presente, en cuyo caso podría ser idóneo modelarlos con cadenas de Markov”.

El método de cadenas de Markov ha sido utilizado en diversos estudios con el objetivo de llevar a cabo la valoración de activos. ^{Huang et al. (2017)} mediante cadenas de Markov desarrollan un modelo de pronósticos para analizar la variación del precio de un activo. Al respecto, una cadena regular es usada para obtener información de lo que sucederá a largo plazo, y adicionalmente saber si la distribución de probabilidades de los estados tiende a estabilizarse a través del tiempo de una manera eficiente. ^{Eriksson y Pistorius (2015)} desarrollan un algoritmo para la función de valor de una opción americana bajo cadenas de Markov en tiempo continuo. El algoritmo proporciona un método eficiente y preciso para su valoración, así como el cálculo del límite óptimo. ^{Simonato (2011)} propone un enfoque numérico en el contexto log-normal salto difusión, para lo cual utiliza una matriz de transición, que permite desarrollar una cadena de Markov y evaluar los precios de las opciones. ^{Hoek y Elliott (2012)}) basados en la teoría de fijación de precios de activos utilizan una función de descuento estocástica. Esta función permite modelar la incertidumbre en una economía al usar cadenas de Markov.

Una cadena de Markov proporciona una forma adecuada para analizar las condiciones futuras a través de una matriz de distribución de probabilidades (^{Huang et al., 2017}). ^{Rincón (2012)} menciona que es un proceso estocástico en tiempo discreto,{𝑋_𝑡: 𝑡 = 0,1, . . . }, con espacio de estados discretos que satisface la propiedad que para cualquier entero 𝑡 ≥ 0, y para cualesquiera estados 𝑋₀, … , 𝑋_𝑡+1, se cumple:

𝑝(𝑋_𝑡+1|𝑋₀, … , 𝑋_𝑡) = 𝑝(𝑋_𝑡+1|𝑋_𝑡) (6)

Si al tiempo 𝑡 + 1, se le considera como un tiempo futuro, al tiempo 𝑡, como el presente y a los tiempos 0, 1, … , 𝑡 − 1, como el pasado, entonces la condición establece que la distribución de la probabilidad del estado del proceso al tiempo futuro 𝑡 + 1, depende únicamente del estado del proceso al tiempo 𝑡, y no de los estados en los tiempos pasados 0, 1, … , 𝑡 − 1. Una vez que las probabilidades calculadas no dependan del tiempo en que se considere, t, se tiene una cadena homogénea; es decir, una matriz de transición, en el que las probabilidades son las mismas en cada estado (^{Huang et al., 2017}). Dado que dichas probabilidades se mantienen sin cambios en cada estado, es posible introducirlas en la fórmula de la distribución binomial con el objeto de realizar la simulación de los flujos de ingreso neto del proyecto (S0), conocer su correspondiente distribución de probabilidades y determinar el valor de la opción.

Determinación del VPN

El VPN del proyecto EOR-ASP se calcula mediante el método de valoración tradicional (^{Hernández del Valle y Martínez, 2007}):

Donde V es el costo de inversión, S_t representa el flujo de ingreso neto esperado del proyecto en el año t (donde t va de 0 hasta n), y r es la tasa de descuento.

La sumatoria de los flujos de ingreso neto descontados (S0) se obtiene de la diferencia entre los ingresos y costos proyectados en cada periodo t, variables que se estiman a partir del volumen por recuperar acumulado de petróleo (VRA), uno de los puntos técnicos más importantes del proyecto (^{Dandekar, 2006}; ^{Al-Mjeni et al., 2010}). El VRA se modela con el factor de recuperación final por año (FR), que es la relación existente entre la extracción acumulada de aceite y el volumen original en sitio a condiciones atmosféricas (^{Langenkamp, 2006}). Dado que FR es una estimación, sus valores resultantes se comparan con los resultados obtenidos mediante el análisis de las propiedades reales del yacimiento (^{Álvarez, Ortuño, González y Pérez, 2013}; ^{Suslick et al., 2009}); es decir, mediante pruebas en laboratorio de muestras de roca del campo Akal, en el que se analizan: porosidad, permeabilidad, saturación inicial de aceite y profundidad (^{Kamari et al., 2014}). De esta manera, el VRA y el FR son modelados con las siguientes fórmulas:

Donde VRA depende del volumen original en sitio (Vtb) y que corresponde a las reservas probadas⁵. FR depende del factor de recuperación máximo (FR _max ), de la velocidad del FR _max (λ), y del volumen poroso inyectado de químico ASP por año⁶ (Vol _{poroso_iny} ). A su vez, Volporoso_iny depende tanto del volumen inyectado de químico ASP (Vol _{i ny} ) como de Vtb y 365 corresponde a los días del año calendario. Los valores técnicos requeridos para el cálculo del VRA son los siguientes:

Con base en las variables anteriores, el máximo VRA es de 6,137 mmb. Los ingresos proyectados dependeran tanto del VRA como del precio de petróleo estimado. Para obtener un precio representativo para el año 2017, se siguió la regla emitida por la Securities and Exchange Commission⁷ (^{SEC, 2010}) según disposiciones referidas en el documento Modernization of Oil and Gas Reporting Requirements. El precio se determina mediante el promedio de la suma de precios del primer día de cada mes. El resultado obtenido fue $46.47 USD/b, el cual se considera al comienzo del proyecto.

Los costos proyectados se explican a partir de aquellos incurridos en la extracción de petróleo y de las operaciones asociadas en la aplicación de fluidos como es requerido en el caso de la técnica EOR-ASP, y para lo cual se tomó como guía el informe Adquisition and Development of Selected Cost Data for Saline Storage and Enhanced Oil Recovery Operations elaborado por Energy Sector Planning and Analysis & National Energy Technology Laboratory (^{ESPA & NETL, 2014}). En dicho informe, se proporcionan recomendaciones para la estimación del costo operacional asociado con el desarrollo continuo de la energía fósil EOR, específicamente para CO2.

El costo de inversión (V) corresponde a los gastos en infraestructura marina y adquisición de ductos, equipos de perforación, mobiliario y oficina, vehículos de transporte y de trabajo, reparaciones mayores, etc. (^{CNH, 2013}).

Probabilidad neutral al riesgo

La probabilidad neutral al riesgo requiere del cálculo previo de la volatilidad (𝜎), tasa de descuento (r) y coeficientes de ascenso (u) y descenso (d) del rendimiento del precio del petróleo. En la presente investigación, la volatilidad (𝜎) se estima a partir de la desviación estándar anualizada de los rendimientos diarios (^{Hull, 2009}) del precio de la mezcla mexicana de petróleo de 2007 a 2017. El valor de la tasa de descuento (r) anual es el mismo que se utiliza en la clasificación de los proyectos de exploración y explotación de hidrocarburos (^{CNH, 2018}). En el caso de los coeficientes de ascenso (u) y descenso (d) del rendimiento del precio del petróleo, se determinan con base en la ecuación (1) y la ecuación (2). Dichas ecuaciones consideran un incremento en el tiempo, ∆𝑡, igual a un año.

Probabilidad con base en el método de cadenas de Markov

Para el establecimiento de una matriz de transición con respecto a la variación de los rendimientos del precio diario del petróleo de la mezcla mexicana, el primer paso es determinar la matriz de distribución, la cual incluye las variaciones de los rendimientos del precio anualizados (^{Hull, 2009}) en dos eventos: ascenso, si se presentó un incremento en el rendimiento con respecto al registrado el día anterior, o descenso si el rendimiento tuvo un decremento con respecto al día anterior. El incremento o decremento en el rendimiento presentado en el estado n se compara con respecto al incremento o decremento presentado en el estado n-1 de tal forma que se conforme una matriz de distribución de eventos de 2 x 2.

Una vez obtenida la matriz de distribución, se calcula la matriz de probabilidad inicial, tanto del ascenso como del descenso en rendimientos. Dichas probabilidades se calculan por cada fila.

Posteriormente, se calcula la matriz de probabilidades de transición, la cual indica la probabilidad de cambio de un estado a otro. Sea i y j, dos estados de una cadena de Markov. A la probabilidad P (X_t= j/ X_t-1= i) se le denota por pij (t-1, t), y representa la probabilidad de transición del estado i en el tiempo t-1, al estado j en el tiempo t. El índice i, se refiere al renglón de la matriz, y el índice j, a la columna. La matriz de probabilidades de transición cumple las siguientes dos propiedades: p_ij ≥ 0 y Σ_jp_ij = 1 (^{Rincón, 2012}); es decir, todas las probabilidades están entre 0 y 1, y la suma de las entradas en cada fila es 1.

A continuación, si la matriz de probabilidades de transición tiende a estabilizarse con el tiempo, permite investigar la condición bajo la cual una cadena de Markov produce un equilibrio, o estado estable. Una distribución de probabilidad π= (π₀, π₁,…) es estacionaria o invariante para una cadena de Markov con matriz de probabilidades de transición P=(p_ij) si π_j = Σ_jπ_ip_ij. En términos matriciales, la distribución de probabilidad π es estacionaria si π = πP. Esta identidad tiene como consecuencia que para cualquier número natural t se cumpla que π = πPt; es decir, π es también una distribución estacionaria para la matriz Pt. Esto significa que, si la variable aleatoria inicial X0 tiene esa distribución π, entonces la distribución Xt también es π ya que P (Xt = j) = Σj πiPij(t) = πj, es decir, esta distribución no cambia con el paso del tiempo y por ello se le llama estacionaria o invariante. En el presente estudio, la matriz de transición será de tamaño 2x2, es decir de dos filas y dos columnas. Cada fila representa un vector con dos entradas, las cuales representan probabilidades que al sumarlas deben ser igual a uno. Adicionalmente, al ser una matriz estacionaria, todas las filas son iguales. Así, el vector fila en la primera entrada mostrará la probabilidad de que el rendimiento suba (p), y en la segunda entrada la probabilidad de que el rendimiento baje (1-p) (^{Huang et al., 2017}).

Modelo Binomial y Distribución de probabilidades del VPN

Al respecto, primero se llevará a cabo la proyección binomial de S0, y posteriormente se realizará la valoración de la opción real. Finalmente se determinará la distribución de probabilidades correspondiente a la proyección binomial, tanto para la volatilidad histórica, como para el método de cadenas de Markov.

Opción real europea de abandono.

A diferencia del método de valoración tradicional en el que se debe de cumplir que los flujos de ingreso neto son mayores a los costos de inversión (V); en el caso de la valoración de la opción real, el valor del activo se modifica debido a la flexibilidad u opcionalidad de tomar una nueva decisión. Así, la decisión de llevar a cabo el proyecto se plantea para cada valor (S_T,t) del nodo final del modelo binomial proyectado, de tal forma que si S_T,t > V se realiza el proyecto, de otra manera si S_T,t < V, la mejor elección para el tomador de decisiones será abandonar el proyecto (^{Venegas y Aizenstat, 2006}). La decisión de abandono se toma previo a la aplicación de la técnica EOR lo que implica una opción real europea.

Con el objetivo de determinar el valor de la opción real, cada valor presente en el nodo final (S_T,t) del modelo binomial proyectado se compara con el valor de reemplazo (V) y se elige el valor máximo, es decir, C_T = Max (S_T,t , V). Posteriormente, basado en el proceso de inducción hacia atrás el valor del nodo precedente (C_T-1,t) se calcula como el valor actualizado obtenido de los valores maximizados de dos nodos ponderados por las probabilidades neutrales al riesgo. Dicho procedimiento se aplica hasta llegar al nodo inicial C₀ lo que permite crear un nuevo modelo binomial (^{Brambila, 2011}).

Donde C₀ es el valor del activo bajo la opción real, p es la probabilidad de ascenso y (1-p) es la probabilidad de descenso. La diferencia entre C₀ y V permite obtener el VPN modificado. Finalmente, el valor de la opción resulta de la diferencia entre el VPN- y VPN. El procedimiento antes indicado se realiza tanto con las probabilidades neutrales al riesgo como con las probabilidades obtenidas mediante las cadenas de Markov.

Determinación del VPN del proyecto

Con base en el método de valoración tradicional el VPN fue de $ 120.157 MMUSD y el cual resultó de la diferencia entre los flujos de ingreso neto (S0) y costos de inversión (V):

VPN = 137.987 - 17.830 = 120.157 MMUSD.

El resultado muestra la viabilidad económica del proyecto dado que cumple con el criterio de S ₀ > V (^{Venegas y Aizenstat, 2006}).

Al respecto, dada la tasa decreciente en la recuperación del hidrocarburo con la técnica EOR, los flujos de ingreso neto (S₀) se alcanzaron en un plazo de dieciséis años y un VRA de 5,656.91 mmb. Como resultado, la proporción de los costos de operación⁸ e inyección del químico ASP⁹) con respecto a los ingresos ¹⁰ proyectados se incrementó anualmente al pasar de 0.11 en el primer año al 0.94 en el año dieciséis. Después de dicho año, los ingresos son menores a los costos totales. El costo unitario proyectado fue de $7.14 USD/b para el año 2018.

^{Zekri y Jerbi (2002)} encontraron que el método EOR aplicado en un yacimiento en Libia es rentable¹¹ bajo la aplicación alternativa de dos químicos. El primero, mediante la aplicación de bióxido de carbono que presenta un costo total promedio de $7.14 USD/b, y el segundo mediante la aplicación de hidrocarburo donde el gas natural es el principal insumo y presenta un costo total promedio de $13.06 USD/b. Dichos costos resultaron ser igual y superior (83%) respectivamente al costo total promedio obtenido en el presente estudio.

Alternativamente, en el caso de México, el costo de producción incurrido bajo el proceso de extracción convencional del hidrocarburo para el año 2017 fue de 10.99 USD/b (^{PEMEX, 2018}) mayor (54%) al costo del presente estudio. ^{Olajire (2014)} señala que la selección del químico a aplicar como técnica EOR, no sólo depende de las características del yacimiento (tipo de materia orgánica y proceso de maduración del yacimiento), sino también de la disponibilidad de dicho químico, la cantidad requerida a ser aplicada, el costo, el resultado obtenido, y la logística.

En el caso del campo Akal, el método químico ASP resultó ser el más adecuado al permitir la mayor recuperación de petróleo al menor costo posible. En particular, la inyección del químico álcali permite, por una parte, reducir las cantidades de surfactante y polímero y los costos, y por otra, recuperar la mayor cantidad del hidrocarburo. El químico álcali se limita a ser usado en crudos que tienen cantidades suficientes de compuestos ácidos orgánicos siendo el caso del campo Akal (^{Kamari et al., 2014}).

Cálculo de las probabilidades

Para la determinación de las probabilidades en que el rendimiento sube (p) y baja (1-p) en el modelo binomial y volatilidad histórica, las variables relevantes consideran los valores siguientes: volatilidad anual (σ = 37.6%), tasa de descuento anual (r = 12%) y periodo en que se incrementan los rendimientos (Δt = 1 año), en un horizonte de 16 periodos. Con dichos valores y utilizando la ecuación (1) y la ecuación (2) se determinaron los valores, tanto para el factor en que el rendimiento sube (u = 1.46), como para el factor en que el rendimiento baja (d = 0.69). Como resultado, las probabilidades estimadas son: p = 0.56 y 1-p = 0.44. Dichas probabilidades cumplen con el principio de valoración neutral al riesgo (^{Hull, 2009}).

Para determinar las probabilidades bajo el método de cadenas de Markov, se procedió al cálculo de la matriz de distribución de los rendimientos (cuadro 4).

Posteriormente se calculó la matriz de distribución de probabilidad inicial. Dichas probabilidades se calculan por fila, con base en la matriz mostrada en el cuadro 4, se tiene que la primera fila contiene un total de 1,337 observaciones, por lo que las observaciones registradas en cada evento se dividen entre el total de observaciones registradas en la respectiva fila. Los resultados se muestran en el cuadro 5.

Después, mediante la matriz de distribución de probabilidad inicial, se calculó la matriz de probabilidad de transición, donde la distribución de la matriz no cambia con el paso del tiempo, de tal forma que la probabilidad p_{t t-1} ≥ 0, y Σ_tp_{t t-1} = 1 (^{Rincón, 2012}). Es decir, todas las probabilidades están entre 0 y 1, y la suma de las entradas en cada fila es igual a 1.

Así, la cadena regular de Markov mostrada en el cuadro 6 después de tres ensayos converge y es estable.

Los resultados indican que la probabilidad de incrementar y disminuir es p = 51% y 1-p = 49%, respectivamente. En este caso, la probabilidad de subir (p) resultó menor a la obtenida mediante la volatilidad histórica estimada. Con la probabilidad de p y con base en las ecuaciones (1) y (2)se determinaron los valores para los coeficientes u = 1.59, d = 0.63, y volatilidad 𝜎 = 46.6%. Es importante notar que, mientras que en el método binomial se parte del valor de la volatilidad, para posteriormente calcular los valores de los coeficientes u y d, y la probabilidad neutral al riesgo (p); en el método de cadenas de Markov se parte del valor de la probabilidad de transición (p) para calcular los valores de los coeficientes u y d, y la volatilidad mediante el método binomial.

Determinación del VPN mediante el método de valoración de opciones

Mediante el método de valoración de opciones reales se llevó a cabo el cálculo del VPN modificado VPN- . Con base en el valor (S_T,t) registrado en los nodos finales de la proyección binomial y V = 17.830 MMUSD, se reemplazó S_T,t cuando S_T,t < V (últimos ocho valores) para cada tipo de probabilidad indicada en el Cuadro 6. El VPN- tanto con las probabilidades neutrales al riesgo como con las probabilidades de cadenas de Markov fue de $122.095 MMUSD y $124.807 MMUSD respectivamente. Dado que el valor de la opción = VPN- - VNP, se obtuvo que este valor tanto con las probabilidades neutrales al riesgo como mediante las probabilidades obtenidas con cadenas de Markov fue de $2.308 MMSUD y $4.650 MMUSD respectivamente. Lo anterior indica que, por una parte, la flexibilidad e incertidumbre en el proyecto puede ser cuantificado en términos de valor; y, por otra parte, que el valor de la opción se incrementa a medida que se presenta una mayor dispersión (Véase cuadro 7).

Distribución de probabilidades

Con base en los valores finales de los flujos de ingreso netos descontados y sus respectivas distribuciones de probabilidades se aprecia una mayor dispersión de dichos valores bajo las probabilidades de cadenas de Markov que los valores bajo las probabilidades neutrales al riesgo.

Con los valores finales en cada nodo y su respectiva distribución de probabilidad, se planteó la hipótesis nula (H₀) en la que se afirma que dichos valores corresponden a una distribución log-normal. Mediante el programa SAS versión 9.4 se llevó a cabo la prueba estadística Kolmogorov-Smirnov. Los resultados para las distribuciones de probabilidad obtenidas, tanto por medio de la volatilidad histórica, como por el método de cadenas de Markov mostraron un p-value de 0.31 y 0.29 respectivamente, lo cual indica que, en ambos casos, no se rechaza la hipótesis H₀ ¹²; es decir, que los datos analizados siguen una distribución log-normal. Lo anterior confirma lo referido por ^{Cox et al. (1979)}, ^{Bailey et al. (2004)} y ^{Milanesi (2012)}, quienes señalan que en la medida que el número de periodos bajo la proyección binomial se incrementa, la distribución de probabilidades de los rendimientos de un activo tiende a una distribución log-normal (figura 3 ).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 3 Gráfico de distribuciones 

La prueba de Wald-Wolfowitz (prueba rachas) plantea la hipótesis nula (H0) de independencia en las observaciones de una variable aleatoria. Esta se llevó a cabo para cada uno de los años del periodo 2007-2017. Los resultados mostraron que, para todos los años del periodo, el estadístico con respecto a las observaciones sucesivas o rachas referentes a la variación del rendimiento del precio se ubicó dentro del intervalo de confianza al 95 por ciento, por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el método binomial de valoración mediante el uso de la volatilidad histórica es el adecuado para llevar a cabo la simulación de los flujos de ingreso neto.

Es importante señalar que la presente investigación llevó a cabo una valoración del proyecto con un mayor nivel de detalle comparado con investigaciones previas (^{Galli et al., 1999}; ^{Bailey et al., 2004}; ^{Armstrong et al., 2004}). La estimación del volumen de recuperación acumulado de hidrocarburo implicó determinar previamente variables tales como el coeficiente de volumen poroso inyectado (Vol_{poroso_iny}) y el factor de recuperación máximo (FR _max ).