Metodología de Alkire y Foster

Una de las premisas con las que se inicia este proyecto de investigación es que la medida desarrollada por el Coneval es un caso particular de la propuesta por Alkire y Foster (AF). Por tanto, en esta sección se aborda el documento de ^{Alkire y Foster (2011)} con más detalle, recordando que el interés se encuentra en la medida M0¹

En el cuadro 1, abajo, se describen las principales variables a considerar en el presente documento. La metodología multidimensional consta de dos elementos: una función de identificación (ρ) y una función de agregación (M). De manera que un individuo se considera pobre en una dimensión cuando sus logros se encuentren por debajo del umbral asociado a dicha dimensión, siendo estos umbrales el primer corte que se considera en la metodología. No obstante, resulta más sencillo hablar de carencias padecidas por los individuos que de sus logros, por lo que se recurre a las definiciones mostradas en el cuadro 2.¹

Cuadro 1 Variables utilizadas bajo el enfoque multidimensional. 

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Alkire y Foster (2011)}.

Cuadro 2 Variables utilizadas en la formulación del índice M ₀  

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Alkire y Foster (2011)}.

La matriz ɡ⁰, de entradas dicotómicas, mostrará a los individuos en términos de carencias. Al sumar por fila los elementos de la matriz se obtiene el vector de recuento de carencias del individuo. Un elemento muy importante de la metodología AF es la elección del segundo corte, k, que será el número de carencias que identificará a los individuos como pobres multidimensionales. El valor de k puede variar entre 1 y el número total de dimensiones d. Cuando k = 1 se está en el método de unión, en el que basta que el individuo sea pobre en una dimensión. Cuando k = d, el individuo debe enfrentar carencias en todas las dimensiones para ser pobre, y se conoce como el método de intersección.

Un nivel intermedio es el formato más recomendado para no sobreestimar o subestimar los niveles de pobreza, aunque el valor de esta variable k es un proceso más bien normativo (^{Alkire y Santos, 2010}). Dado el corte de los umbrales y el de las dimensiones, que la función ρ_k se conozca como función de identificación de corte dual. El vector censurado de recuento de carencias de los individuos, que se obtiene al establecer k, es el vector que señala a los individuos pobres multidimensionales, pues serán aquellos que cuenten con más de k carencias. Este vector censurado es el que permite realizar los cálculos para obtener el índice M ₀ de AF.

El índice M ₀ de AF también permite la ponderación de las dimensiones. En la forma descrita hasta ahora, cada dimensión posee un peso unitario, pues los autores plantean que establecer pesos diferenciados puede parecer un juicio de valor. Suponga la ponderación descrita en el cuadro 3. En el proceso de identificación se usan las filas de la matriz ɡ ⁰ w para construir el vector c (k) de conteo de privaciones ponderadas, cuyas entradas son las sumas de los pesos de las dimensiones en las que el individuo es carente. La alternativa a las ponderaciones unitarias más usual es la de una estructura anidada, similar a la que se presenta en el cuadro referido.

Cuadro 3 Ponderación del índice M ₀  

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Alkire y Foster (2011)}.

El índice de recuento ajustado M ₀ resulta como el producto de otras dos medidas, tal como se describe en el cuadro 4. El índice de recuento H es el más utilizado en la medición de pobreza, reportando el porcentaje de pobres existentes en la sociedad. La proporción de posibles carencias experimentadas por un individuo se define como c _i (k)/d, donde el vector censurado de ponderaciones puede o no estar ponderado (esto se deja a decisión del investigador). De manera tal que la proporción promedio de las carencias sufridas por la población total se encuentra en la formulación de A. El índice M ₀ dado como el producto HA es sensible a la frecuencia y amplitud de la pobreza multidimensional.

Cuadro 4 Formulación del índice M ₀ . 

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Alkire y Foster (2011)}.

Así como en el ámbito unidimensional, es deseable que las medidas multidimensionales cumplan determinadas propiedades. Partiendo del trabajo de ^{Bourguignon y Chakravarty (2003)}, Alkire y Foster desarrollan un conjunto de axiomas a cumplir por sus medidas propuestas, algunos de los cuales serán descritos brevemente:

De los axiomas descritos, el índice M ₀ no cumple el de Monotonía ni el de Transferencia débil (^{Alkire y Foster, 2011}). En ambos casos, se requeriría una notación cardinal (o al menos ordinal) de las carencias; ya que ambas requieren que la medida sea sensible a cambios en el nivel de pobreza del individuo en cada dimensión. Sin embargo, dado que la matriz ɡ ⁰ solamente tiene entradas dicotómicas, únicamente se sabe si el individuo presenta o no carencia en esa dimensión. Por tanto, el solo uso de este índice dificulta identificar si un individuo está en una mejor condición tras un periodo de tiempo o tras una transferencia progresiva. Los autores entonces recomiendan la construcción de otras dos medidas, M ₁ y M ₂ , que permiten conocer la severidad y profundidad de la pobreza, respectivamente.

En la siguiente sección se desarrolla con más detalle la metodología multidimensional de México. Podrá verse que existen similitudes con el índice M ₀ , pero también algunas diferencias que conducirán a entender la interpretación del índice mexicano.

Metodología de México

La perspectiva multidimensional en México se basa en dos enfoques: bienestar y derechos sociales. La definición de pobreza multidimensional indica que una persona será pobre cuando al menos uno de sus derechos para el desarrollo social no esté garantizado y sus ingresos sean insuficientes para adquirir los bienes y servicios requeridos para satisfacer sus necesidades. A continuación se describe la metodología multidimensional ofrecida en ^{Coneval (2009)}.

El indicador en la dimensión económica es el ingreso corriente total per cápita. Las personas carentes de bienestar económico se definen con el método de pobreza monetaria. La línea de bienestar (LB) identifica a la población que no cuenta con el ingreso suficiente para adquirir los bienes y servicios que cubran sus necesidades alimentarias y no alimentarias. La línea de bienestar mínimo (LBM) identifica a la población que, aun utilizando todo su ingreso, no puede adquirir lo necesario para una nutrición adecuada.

En el espacio de los derechos sociales se consideran seis indicadores dicotómicos de carencias (consulte el Apéndice para una breve descripción de estas).² Tales carencias son el rezago educativo promedio en el hogar, el acceso a los servicios de salud, el acceso a la seguridad social, la calidad y los espacios de la vivienda, el acceso a los servicios básicos en la vivienda y el acceso a la alimentación. Con base en las carencias se construye el índice de privación social (IPS), que resulta de una combinación lineal con ponderaciones unitarias para los indicadores binarios.

La combinación de indicadores en ambos espacios conduce a la clasificación presentada en la fig. 1. El eje vertical se mide por medio del ingreso de las personas, el horizontal es medido por el IPS y va de derecha a izquierda. El umbral de privación C=1 indica personas carentes en al menos una dimensión, mientras que el umbral C* representa la privación extrema, y se ha definido como igual a tres.

Es posible establecer el grupo de población en pobreza multidimensional y el grupo en pobreza multidimensional extrema de la siguiente forma:

Fig. 1 Clasificación de la pobreza multidimensional en México. 

La medida de interés en esta sección es la definida por Coneval como intensidad de la pobreza multidimensional, IPM. También señala que se calcularán tres medidas de intensidad: de la pobreza multidimensional, de la pobreza multidimensional extrema y de la privación de la población con al menos una carencia. ^{Alkire y Foster (2009)} sugieren que estos indicadores son un caso particular de su índice M ₀ .³

Las variables involucradas en el cálculo del índice de intensidad de la pobreza (IPM) de México se presentan en el cuadro 5. Desde esta perspectiva las dimensiones se entienden como las carencias en los derechos sociales, y los umbrales se handefinido como 1’s puesto que las carencias son variables dicotómicas. La matriz ɡ ⁰ contiene información sobre las carencias que padece la población total, de manera que permite encontrar el IPS de cada individuo. El corte para las carencias toma dos valores, dependiendo de la población a identificar, pobre multidimensional o multidimensional extremo. Aquí, la función de identificación considera dos elementos: que el ingreso del individuo (y _i ) se encuentre por debajo de la línea de bienestar y que además enfrente al menos una carencia. Esto último es la definición de pobreza multidimensional implementada actualmente en el país.

Cuadro 5 Variables utilizadas en la formulación del IPM. 

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Coneval (2009)}.

Sin embargo, la principal diferencia con el M0 es la matriz g ⁰ _k . En el M ₀ , esta matriz señala a los individuos que son carentes en al menos k dimensiones, sin importar qué combinación de estas sea, definiendo así a los pobres multidimensionales. En el caso mexicano, la matriz presenta únicamente las carencias que padecen los pobres multidimensionales. Es decir, primero los define a través del ingreso y las carencias, y posteriormente muestra cuáles son los derechos sociales en los que estos individuos son carentes; significando que no toma en cuenta al ingreso en la medida.

Ahora bien, para calcular el IPM se sigue la formulación del cuadro 6. En él, puede verificarse lo explicado en el párrafo anterior. En el caso de M ₀ se reporta la incidencia de las carencias sobre la población total; mientras que el IPM reporta la incidencia de las carencias sobre la población pobre multidimensional. Coneval, por otro lado, indica que se calculará la medida de profundidad PG planteada por ^{Foster et al. (1984)} para el espacio del bienestar económico.⁴ Esto último parece estar dejando de lado la conceptualización multidimensional y su medición, para ofrecer una medida de la profundidad que consta de dos medidas independientes: una PG para el ingreso y una multidimensional de las carencias.

Cuadro 6 Formulación del IPM. 

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Coneval (2009)}.

La elaboración de la medida mexicana sigue íntegramente el formato del índice M ₀ de AF. La fórmula de H es la misma en ambas medidas, en la fórmula de A se tiene que Σ ^q _i=1 IPS _i = |C(K)|, por lo que IPM mexicano es igual al M ₀ de AF. Dada la equivalencia en la formulación, aunque no en la forma de interpretarlas, como se explicó antes, es posible referirse al cumplimiento de axiomas.

Por lo anterior, es posible concluir que el IPM no cumple el axioma de Monotonía ni el de Transferencia débil. Sin embargo, bajo la actual conceptualización de las dimensiones, estas no cuentan con una construcción ordinal, lo que dificultaría utilizar las medidas M ₁ y M ₂ . En ese contexto, lo anterior no es una limitante en sí misma, dado que el enfoque solo considera la presencia o ausencia de los derechos sociales, y no el nivel de carencia en cada dimensión que presentan los individuos. Pero, si la medida multidimensional considerara simultáneamente el ingreso y las carencias, entonces sí representaría un problema el incumplimiento de estos importantes axiomas.

Asociación entre los componentes del IPM

De acuerdo con ^{Coneval (2009)}, y bajo su concepción teórica, el ingreso no debe ser incluido en la medida de intensidad descrita en la sección anterior. Incluso, el cálculo del PG para el ingreso, separado del IPM, refleja la visión de independencia de los espacios de bienestar y derechos sociales bajo esta argumentación. Pero tal percepción no es confirmada a través de un examen estadístico. Como un primer acercamiento, se propone explorar la relación entre el ingreso y las carencias, así como entre las propias carencias, por medio del análisis de tablas de contingencia.

En la tabla 1 se muestra el formato general para una tabla de contingencia 2 × 2.⁵ Sean las variables categóricas X y Y, ambas con dos posibles respuestas, de manera que existen 2 × 2 combinaciones posibles. Las respuestas (X, Y) de un sujeto elegido aleatoriamente de una población tienen una distribución de probabilidad, y sea π_ij la probabilidad de que (X, Y) ocurra en la celda i de la fila y columna j. La distribución de probabilidad {π _ij } es la distribución conjunta de X y Y. Las distribuciones marginales son los totales por fila y columna que resultan de sumar las probabilidades conjuntas. La notación para las marginales es {π _i+ } para la suma por fila y {π _j+ } para la suma por columna. Se cumple entonces que π _j+ = ∑ _j π _ij y π _+j = ∑ _i π _ij sí como ∑_i π_j+ = ∑_i π_+j = ∑_i ∑_j π_ij = 1.

Usualmente Y se considera como la variable respuesta y X como la variable explicativa. Sin embargo, en ocasiones ambas variables se consideran como respuestas e interesa fijar valores en una de las variables más que considerarla como una variable aleatoria, por lo que las distribuciones condicionales son más relevantes que la distribución conjunta de X y Y. Dado un sujeto clasificado en la fila i de X, Π_j|i denota la probabilidad de clasificarlo en la columna j de Y, de manera que ∑ _j Π _j|i 1.

Tabla 1 Notación para probabilidades conjunta, condicional y marginal. 

Fuente: Elaboración propia a partir de ^{Agresti (2002)}.

Cuando las variables son categóricas, la asociación entre ellas se puede describir a partir de la distribución conjunta y la condicional. La distribución condicional deY dado X se relaciona con la conjunta de la forma π _j|i = π _j|i / π_i+ para todo i y j. Dos variables categóricas se definen como independientes si todas las probabilidades conjuntas son iguales al producto de sus probabilidades marginales, es decir, πij = πi+ π +j para i =1,2 y j =1,2. Si X y Y son independientes se cumple que π _j|i = π _+j , para i= 1.2. Así, si las probabilidades por fila de una misma columna son iguales, y esto se cumple para todas las columnas, entonces se dicen independientes.

Es posible aplicar una prueba de significancia estadística a las razones de posibilidades. Particularmente se hará referencia a la prueba Chi de Pearson, en ella la hipótesis nula es la independencia de las variables involucradas en la tabla de contingencia, H ₀ : π _ij = π _i+ π _+j . En la prueba un p-valor pequeño indicará fuerte evidencia de asociación, aunque poca información sobre la naturaleza.

Una medida que sí aporta información sobre la intensidad de la asociación son los odds ratio (razón de posibilidades).⁶ Para una probabilidad π de éxito, la posibilidad se define como Ω=π/(1−π). Si Ω>1, la posibilidad de éxito es mayor que de error. Por ejemplo, si π = 0.75, entonces Ω = 3; de manera que se esperan tres éxitos por cada error; o bien, que la posibilidad de éxito es tres veces mayor que la de error. Para los sujetos en la fila i, π _1|i es la probabilidad de que la respuesta tenga un resultado “éxito” en la categoría 1 de X. Con solamente dos posibles resultados, se tiene que π _2|i = 1 - π _1|i , por lo que la notación se simplifica a π _i en lugar de π _1|i . En el contexto de las tablas de contingencia, en la fila, las posibilidades de éxito en lugar de falla son Ω = π / (1 - π ). Así, la razón de posibilidades es:

La razón de posibilidades, Θ, puede tomar cualquier valor no negativo. Particularmente, cuando Θ = 1 significa que las variables X y Y son independientes; por otro lado, Θ > 1 indica que es más probable que tengan éxito los sujetos de la fila 1 que los sujetos de la fila 2. Considere Θ = 4, la posibilidad de éxito de la fila 1 es cuatro veces la posibilidad de la fila 2. Por tanto, los valores altos (mayores a 1) de Θ representan una mayor asociación entre las variables, cuanto mayor su valor más alto es el nivel de asociación (Agresti, 2002). Es importante señalar que Θ no cambia su valor cuando se intercambia la orientación de la tabla (es decir, las columnas ahora son las filas), por lo que no es necesario identificar a una de las variables como variable de respuesta.

Para conocer si existe dependencia entre las variables se tomaron los datos del Módulo de Condiciones Socioeconómicas de la Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares del año 2012. Este módulo aporta información sobre la condición de pobreza de ingresos y los derechos en los que se presenta carencia, contando con un total de 272 674 observaciones individuales. Con los datos sobre la condición de pobreza y la presencia de cada carencia fue posible realizar las combinaciones entre las variables y en cada una de ellas se aplicó la prueba Chi de Pearson. En primer lugar se describen las abreviaciones asociadas a las variables:

La primera combinación fue PLB vs IPS; luego, seis combinaciones resultan de PLB vs cada uno de los indicadores de carencias; finalmente, resultan 15 combinaciones entre los indicadores de carencias (dado que puede existir asociación entre las variables consideradas dentro del mismo espacio de los derechos). De las 22 combinaciones, en todas se rechazó la hipótesis de independencia bajo el Chi de Pearson, con p-valores iguales a cero. Los valores de las razones de posibilidades para las 21 combinaciones 2 × 2, mostrados en la tabla 2, señalan la existencia de asociación entre las variables, la cual es estadísticamente significativa.

Tabla 2 Razón de posibilidades para las 21 combinaciones 2 × 2. 

Fuente: Elaboración propia.

De la tabla 2 es posible destacar algunos elementos. En primer lugar, se muestra que la variable del espacio del bienestar se asocia con todas las variables del espacio de los derechos sociales, lo que contradice la postura teórica de Coneval. Segundo, las variables de las carencias presentan una asociación fuerte entre sí, lo cual puede conducir a problemas de redundancia que impactan sobre el IPS. Tercero, y de especial atención, el valor que se obtiene para las variables ASALUD y SEGSOC es muy elevado en comparación con el obtenido en las otras cuatro combinaciones donde participa ASALUD. Siguiendo a ^{Alkire et al. (2013)}, esta asociación entre las dimensiones es un tema en el que aún se investiga la mejor manera de abordar el problema de redundancia de las dimensiones, ya que debe replantearse la ponderación que se asigna a las carencias, o bien aplicar técnicas como Componentes Principales para determinar las distintas ponderaciones.

La técnica de tablas de contingencia aquí presentada es una primera aproximación al análisis de la relación entre las dimensiones de la pobreza. La investigación que se está conduciendo pretende verificar con más detalle la asociación entre las dimensiones y su impacto sobre la medida de pobreza multidimensional de México. También, se busca proponer un IPS alternativo; y posteriormente se analizará su robustez utilizando el IPS de Coneval como referencia.

Conclusiones preliminares

Los resultados que se muestran aquí tienen un significativo impacto sobre el índice de pobreza multidimensional. Desde la perspectiva teórica se encuentra que la medida no cumple dos importantes axiomas: el de monotonía y el de transferencia débil. En ambos casos, el problema es que la medida no refleja la profundidad de la pobreza; sin embargo, en la medición mexicana las carencias de derechos sociales solo son representadas como dicotomías y no como niveles. Dada esa condición de las variables y que la medida IPM no considera el nivel de ingreso, el incumplimiento de los axiomas no es un problema, pues la medida mexicana únicamente ofrece la intensidad de las carencias entre los pobres multidimensionales. Si se planteara que la medida incluyera los dos espacios, no podría informarse sobre el cambio en la profundidad de la pobreza multidimensional sobre la población tal como está formulada actualmente. Lo anterior confirma la independencia que supone Coneval entre el ingreso y las carencias, pues la medida de profundidad de la pobreza de ingreso se reporta como una medida separada.

Desde la perspectiva metodológica también se encuentran elementos de interés. Hasta el momento, la independencia supuesta entre el espacio de los derechos y el de ingresos no ha sido verificada empíricamente por Coneval. Y más aún, con la breve exploración mostrada aquí, puede ser refutada. Por otro lado, existe asociación entre las variables que conforman el espacio de los derechos, lo cual puede ocasionar un problema cuando se pretenda determinar la ponderación asociada a cada uno de ellos en la formulación del IPS. Esta asociación puede conducir a redundancia, lo que debiera ser analizado con una técnica que permita valorar la forma en que participa cada variable dentro del índice. Lo cual a su vez impacta si se desea determinar el peso asociado al espacio de los derechos y al espacio del bienestar sobre la medida multidimensional IPM.

Con lo recabado en este ejercicio se cuenta ya con futuras líneas de investigación. La propuesta consiste en sugerir una alternativa del IPS que contenga todas las carencias requeridas por la Ley General de Desarrollo Social de México, pero que no enfrente problemas por redundancia. También se pretende determinar el valor del ponderador asociado a cada uno de los espacios sobre la medida multidimensional. Esto se hará con el IPS original y el alternativo a fin de verificar su robustez.