Introducción

El manejo forestal requiere del diseño y uso de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones, los modelos de crecimiento y rendimiento forestal son los instrumentos más utilizados para lograr este propósito (^{Pérez et al. 2019}). Los modelos son representaciones biométricas y matemáticas de los procesos de crecimiento, que proporcionan información sobre condiciones futuras y ayudan a modelar la dinámica forestal (^{Monserud 2003}, ^{Salas et al. 2016}). Para el desarrollo de modelos de crecimiento y rendimiento es necesario la obtención de variables de individuos y rodales en diferentes condiciones de productividad de sitio y regímenes de manejo a través del tiempo (^{Santiago et al. 2020}). El crecimiento en diámetro se modela con funciones que caracterizan el estado actual de la variable para determinar la condición pasada o futura. Las ecuaciones dinámicas son un caso especial de este tipo de funciones, donde el diámetro proyectado se estima en función de la edad actual del bosque y las condiciones iniciales de diámetro y edad (^{Tamarit et al. 2014}).

El método para derivar ecuaciones invariantes de la edad base se conoce como diferencia algebraica (ADA), el cual consiste en la sustitución de un parámetro del modelo base para expresarlo como una función del sitio. Las ecuaciones derivadas admiten sólo una hipótesis de crecimiento respecto a los parámetros; es decir, se tiene una asíntota común (ecuaciones polimórficas) o se tienen asíntotas variables (ecuaciones anamórficas), pero no es posible incluir ambas hipótesis en una ecuación (^{Quiñonez et al. 2015}). La metodología de diferencia algebraica generalizada (GADA) se fundamenta en la expansión de la ecuación base de acuerdo con teorías de crecimiento (tasa de crecimiento y asíntota), lo que permite que dos o más parámetros sean dependientes del sitio (^{Cieszewski y Bailey 2000}, ^{Cieszewski 2003}).

En el aprovechamiento maderable es importante implementar ecuaciones que permitan modelar la dinámica de crecimiento de variables de interés, como el diámetro, con el fin de obtener estimaciones más precisas y realistas para la toma de decisiones en el manejo forestal sustentable (^{De Alaimeda et al. 2019}). Para la interpretación de estas ecuaciones, se considera como índice de diámetro (IDiam) al diámetro medio que alcanza un árbol o grupo de árboles a una edad de referencia, lo cual implica el aspecto de producción e indirectamente el de productividad. Además, el uso del Incremento Medio Anual (IMA) para las ecuaciones de crecimiento en diámetro, permite determinar el punto de crecimiento máximo por clase de IDiam (^{Quiñonez et al. 2015}).

Pinus pseudostrobus Lindley es una especie de importancia económica para la industria forestal, debido al amplio rango de distribución, calidad de madera y productividad. Los estados del centro y sur de México como Michoacán son áreas importantes para establecer plantaciones forestales comerciales, principalmente de P. pseudostrobus (^{Viveros et al. 2006}, ^{Muñoz et al. 2015}). Sin embargo, a pesar de la relevancia de esta especie, para las condiciones del área de estudio, no se considera el uso de ecuaciones que permitan la elaboración de curvas de crecimiento e incremento por índice de diámetro, así como la determinación del punto de crecimiento máximo. Estas ecuaciones tienen utilidad en la planeación y ejecución del manejo de las plantaciones, ya que permiten determinar en forma objetiva las tasas de crecimiento en diámetro y marcan la pauta para establecer el ciclo de corta en función de los diámetros deseados para la cosecha final (^{Tamarit et al. 2021}). Por lo anterior, el objetivo del presente estudio fue ajustar y comparar ecuaciones en Diferencia Algebraica para la elaboración de curvas de crecimiento e incremento en diámetro e índice de diámetro para plantaciones comerciales de P. pseudostrobus en Michoacán, México.

Materiales y métodos

Resultados

En la Tabla 3 se presentan los estimadores de los parámetros globales y los errores estándar asintóticos para las ecuaciones ajustadas, las cuales resultaron significativamente diferentes de cero a un nivel significativo del 0.05%. Además, se presen- tan los parámetros de la estructura ARMA(p, q) y de la función de potencia de la varianza (H.d _{i j} ). Las ecuaciones presentaron ajuste estadístico satisfactorio con valores del Ra2 de 94 a 98%, para la RCME se obtuvieron variaciones de 1.18 a 2.24 cm, 6.39 a 12% para el CV, y valores para el S de 0.042 a 0.474 cm (Tabla 4).

Para todos los casos de las ecuaciones ajustadas, la formulación de varianza (H.d _ij ) permitió la obtención de modelos con varianzas constantes, ya que el estadístico Breusch-Pagan fue eficiente con valores de probabilidad mayores al nivel significativo de 0.05%, lo cual implicó no rechazar la hipótesis nula y garantiza varianzas constantes. De acuerdo con el criterio de jerarquización y la calificación total, las ecuaciones K-a, LII-a y M-a presentaron eficiencia estadística superior dentro del grupo de ecuaciones anamórficas, donde el parámetro de la asíntota (β₁) es dependiente del sitio, y en este caso de la expresión del IDiam. De estas expresiones, la ecuación K-a registró los valores menores en la RCME (1.185 cm), AIC (181.613), CV (6.392%), y el máximo en el Ra2 (0.815) (Tabla 4). En las ecuaciones polimórficas, los parámetros de la tasa de crecimiento (β₂) y tasa de cambio (β₃) son dependientes del sitio, dentro de este grupo, W-c, K-b y K-c obtuvieron los valores menores en el sistema calificación. La ecuación Kc obtuvo el valor más alto en Ra2 (0.98) y los más bajos en la RCME (1.216 cm), AIC (208.145) y CV (6.558%). Las ecuaciones de crecimiento diamétrico registraron valores de entre 0.01 y 0.55 en la prueba de Breusch-Pagan, los cuales resultaron no significativos (Pr>Chi-Sq = 0.460 y Pr>Chi-Sq = 0.904, respectivamente); por tanto, se concluye que las varianzas son constantes y que los residuales se distribuyen en las categorías de edad con varianza constante (Tabla 4).

En la Tabla 5 se presentan los valores de la Función de Autocorrelacion Parcial (PACF) al utilizar ocho retardos (Lag8) de los residuales para cada árbol, y se incluyeron los errores estándar de cada función. En general, la estructura ARMA genero un patrón aleatorio en los residuales con el segundo retardo, excepto para las ecuaciones H-a y K-b.

Las ecuaciones K-a, LII-a, M-a, K-b, K-c y Wc presentaron los valores más bajos en el sistema de calificación. Aunque los valores de los estadísticos de ajuste fueron similares entre ecuaciones, el análisis debe incluir la comparación grafica de los residuales contra los valores predichos. El comportamiento de los residuos en función del diámetro predicho para las ecuaciones seleccionadas se muestra en la Figura 1.

Figura 1.  Gráficos de residuales contra predichos de las ecuaciones de mejor ajuste. 

En la Figura 2 se muestran las curvas de crecimiento en diámetro de las ecuaciones que presentaron los valores más bajos en el sistema de calificación, las categorías de IDiam correspondieron a 20, 25, 30, 35 y 40 cm a la edad de referencia de 20 años. En general, las curvas de crecimiento se adaptan adecuadamente a las trayectorias de los datos utilizados para el ajuste; sin embargo, en todas las ecuaciones se observó una subestimación en el diámetro con las curvas de índice de diámetro de 20 y 40 cm, mientras que, para K-b se presentó una sobreestimación a los 2 y 5 años con el índice de diámetro de 20 cm. La Figura 3 muestra las curvas de IMA por IDiam para las ecuaciones con mayor precisión estadística, se observó que el punto de crecimiento en diámetro máximo ocurre a los 6 años (2.563 cm) con un promedio de 10.40 cm.

Figura 2.  Curvas de crecimiento por índice diamétrico (IDiam) de 20, 25, 30, 35 y 40 cm. 

Figura 3.  Curvas de Incremento Medio Anual (IMA) en diámetro por IDiam de 20, 25, 30, 35 y 40 cm. 

Las ecuaciones K-a y LII-a obtuvieron los valores más bajos en el sistema de calificación y cubrieron satisfactoriamente las trayectorias de crecimiento en diámetro; sin embargo, la ecuación anamórfica K-a presentó precisión estadística superior, por ello, se considera que puede ser utilizada en la descripción del crecimiento en diámetro de P. pseudostrobus para las plantaciones estudiadas.

Discusión

El método iterativo anidado fue adecuado para la estimación de parámetros de modelos invariantes de la edad base. En investigaciones sobre la estimación de variables forestales de interés, este método ha permitido desarrollar modelos de crecimiento estadísticamente precisos (^{Quiñonez et al. 2015}, ^{González et al. 2016}, ^{Sharma et al. 2017}), lo que concuerda con el presente estudio.

El uso de la estructura ARMA(p, q) permitió la corrección de la dependencia residual, mientras que, la función de potencia de la varianza (H.d _ij ) garantizo la homocedasticidad. Los resultados de este estudio son similares a los reportados por ^{Quiñonez et al. (2018}), quienes obtuvieron predicciones eficientes y estadísticos de ajuste confiables con el uso de estructuras autorregresivas de media móvil y funciones de varianza en la modelación de la altura dominante e índice sitio para Pinus teocote Schlecht et Cham. En Durango, México.

Las curvas generadas con las ecuaciones ADA se adaptaron satisfactoriamente a las trayectorias de los datos observados. Del mismo modo, ^{Quiñonez et al. (2015}) generaron curvas de crecimiento por IDiam con modelos ADA, las cuales describieron adecuadamente las trayectorias de especies comerciales de Pinus en Durango, México. Para plantaciones forestales comerciales no se han reportado investigaciones que consideren la utilización del IDiam para la generación de curvas de crecimiento, tampoco la definición de clases de IDiam para calificar la productividad con el crecimiento diametrito. El diámetro tiene correlación alta con otros atributos del árbol y del rodal, por tanto, es relevante su modelización para realizar estimaciones confiables y tomar decisiones informadas al planear y ejecutar las practicas silvícolas (^{Tamarit et al. 2021}).

El uso de ecuaciones polimórficas se ha sugerido en la literatura (^{Fierros et al. 2017}, ^{Kahriman et al. 2018}); sin embargo, las ecuaciones anamórficas describieron de forma adecuada las trayectorias de los datos asumiendo patrones similares en las plantaciones, las cuales fueron establecidas en localidades de condiciones ambientales semejantes. Al respecto, ^{Hirigoyen et al. (2018}) seleccionaron un modelo ADA anamórfico por presentar bondad de ajuste superior y comportamiento gráfico adecuado en la modelación del área basal para Eucalyptus globulus L.; mientras que ^{Vargas et al. (2017}), indicaron que una ecuación ADA anamórfica modeló de forma adecuada el crecimiento en diámetro de diversos bosques templados y tropicales de México. También se sabe que las ecuaciones anamórficas han demostrado buena aptitud para expresar patrones de crecimiento variables para especies forestales en bosques con ritmos de crecimiento variable (^{Attis et al. 2015}, ^{Martínez et al. 2015}, ^{Pacheco et al. 2016}), lo que concuerda con este estudio.

El punto de crecimiento en diámetro máximo de las plantaciones, se observó a los 6 años, resultados similares fueron reportados por ^{Hernández et al. (2016}), quienes obtuvieron el máximo IMA en diámetro a los 7 años para plantaciones forestales de Pinus greggii Engelm., en Hidalgo, México. Además, los resultados indican que entre los 7 y 8 años los árboles empiezan a declinar en la velocidad de crecimiento en plantaciones jóvenes, por lo anterior, es factible la aplicación de aclareos y podas para lograr un rendimiento máximo. Sobre el diámetro se sabe que está relacionado con la altura, volumen, y la competencia entre árboles, en rodales coetáneos, como es el caso de las plantaciones; se debe mantener la densidad mediante aclareos por lo bajo, ya que un adecuado ajuste de la densidad permitirá ubicar una mayor cantidad de árboles de alto valor maderable y un índice de diámetro favorable por periodos de producción largos (^{Torres y Magaña 2001}, ^{Quiñonez et al. 2015}, ^{Santiago et al. 2015}).

La ecuación K-a fue seleccionada y se deriva de la ecuación base de Korf, la cual ha sido utilizada ampliamente para modelar el crecimiento y rendimiento forestal. Al respecto, ^{Ni y Nigh (2012}) obtuvieron resultados satisfactorios con la ecuación base de Korf en el ajuste de relaciones diámetro-edad para Pinus taeda L.; resultados similares fueron reportados por ^{Xu et al. (2014)} quienes modelaron con esta ecuación el crecimiento en diámetro para árboles individuales de plantaciones comerciales de Cunninghamia lanceolata Lamb. en China. En contraste, las ecuaciones base de Chapman-Richards (CR) y Weibull (W) mostraron mejores ajustes para el crecimiento en diámetro de cinco pináceas en bosques de Durango, México (^{Corral y Návar 2005}).

Conclusiones

Las ecuaciones de crecimiento en diámetro e índice de diámetro (IDiam) presentaron precisión estadística apropiada y permitieron generar curvas de crecimiento e incremento medio anual por clase de IDiam para Pinus pseudostrobus. La ecuación anamórfica K-a obtuvo la precisión mayor, se ajustó a la trayectoria de los datos y determinó el punto máximo de crecimiento a los 6 años. Además, la ecuación seleccionada permitió identificar las edades en las que los árboles comienzan a declinar la velocidad de crecimiento; esta información es imprescindible para la realización de las primeras la- bores silvícolas. La información generada resultará de gran utilidad y apoyo para conducir a las plantaciones forestales comerciales a un mayor rendimiento maderable