Introducción

En ^{Ramírez de La Cruz (2004)} se relata lo siguiente:

A finales del siglo XIX, Henri Poincaré cuestionó la perfección newtoniana en relación con las órbitas planetarias, lo que se conoce como el problema de los tres cuerpos. Planteaba una atracción gravitatoria múltiple, que hasta entonces se resolvía con las leyes de Newton y la suma de un pequeño valor que compensara la atracción del tercer elemento.

Poincaré descubrió que, en situaciones críticas, ese tirón gravitatorio mínimo podía realimentarse hasta producir un efecto de resonancia que modificara la órbita o incluso lanzara el planeta fuera del sistema solar. Los procesos de retroalimentación se corresponden en física con las ecuaciones iterativas, donde el resultado del proceso es utilizado nuevamente como punto de partida para el mismo proceso. El ideal clásico sólo contemplaba sistemas lineales, en los que efecto y causa se identifican plenamente; se sumaban las partes y se obtenía la totalidad. Poincaré introdujo el fantasma de la no linealidad, donde origen y resultado divergen y las fórmulas lineales no sirven para resolver el sistema. Se había dado el primer paso para la teoría del caos (p.16).

Hoy en día, apoyándose en los avances tecnológicos muchos matemáticos se dedican al estudio, generación y aplicación de modelos caóticos, en este trabajo nos restringiremos al estudio de sistemas dinámicos discretos unidimensionales y construiremos modelos inéditos.

El alcance de este trabajo es explicativo, proporciona una familia de sistemas dinámicos inédita, cuyas propiedades se demuestran con el debido rigor matemático; en este sentido, se pueden tomar los ejemplos expuestos para utilizarlos en contextos pertinentes relativos a los sistemas dinámicos discretos.

Debido a que la composición de una función consigo mismo será mencionada con frecuencia; para el resto del trabajo denotaremos con fⁿ -donde n es un entero positivo- a la composición de f consigo misma n veces. Así, estamos en condiciones de dar la definición de punto periódico que será de utilidad en el desarrollo del trabajo.

Definición 1. Sea x₀ ∈ D_f, decimos que x₀ es de periodo n si, n fⁿ (x₀)=x ₀ , para algún n∈N, y fk(x0)≠x0, para k<n. Al conjunto de puntos periódicos se le denotará como Per(f) (^{Devaney, 1989}).

La definición matemática más aceptada en la teoría del caos se debe a ^{Devaney (1989)} y es la siguiente:

Definición 2. Decimos que una función f:I→I es caótica si f satisface las siguientes tres condiciones:

Sin embargo, en ^{Aulbach y Kieninger (2000)} se encuentra otra definición que se atribuye a Li y Yorke (una década anterior a la definición de ^{Devaney, 1989}), misma que tendrá prioridad en nuestro trabajo:

Definición 3. Una función f:X→X en un espacio métrico compacto (X, d) es caótica en el sentido de Li y Yorke si existe un conjunto no contable S⊆X con las siguientes condiciones:

En ^{Aulbach y Kieninger (2000)} se estudia la relación entre estas definiciones, en particular se tiene que la primera definición (^{Devaney, 1989}) implica la segunda (pero la otra implicación no es válida). En lo que resta del trabajo nos referiremos -cuando el contexto se preste a confusión- a la primera definición usando simplemente "caos" mientras que la segunda se enunciará como "caos en el sentido de Li-Yorke".

En ^{Devaney (1989)} encontramos diversos sistemas dinámicos discretos que son caóticos, algunos unidimensionales y otros de dos o más dimensiones, en este trabajo nos restringimos a los primeros, podemos citar la función tienda, la función logística y la función “recorrimiento” (^{King y Mendez, 2015}), éstas han sido tratadas desde ilustración para los conceptos relativos al caos hasta la aplicación en modelos de encriptación (^{Li y Yorke, 1975}), así como modelos económicos (^{Tarasova y Tarasov, 2017}). En el presente trabajo nos enfocamos en construir modelos y exhibir sus propiedades caóticas dejando en segunda prioridad la aplicación,¹ en particular presentamos una familia de sistemas dinámicos que dependen de un conjunto de parámetros y buscamos condiciones entre estos, de manera que los sistemas sean caóticos en el sentido de Li-Yorke. La forma de proceder se sustenta fuertemente en los teoremas de Sharkovskii (^{Devaney, 1989}) y del punto fijo para funciones unidimensionales; el primero de ellos se presenta a continuación.

El teorema de Sharkovskii es de gran utilidad para estudiar la existencia de puntos periódicos, para enunciarlo necesitamos “listar” a los números naturales como sigue, que es el orden de Sharkovskii (^{De Melo y Van Strien, 1993}).

Como se observa primero se enlistan los números impares excepto el uno, después se continúa multiplicando estos números por las potencias de dos, y para terminar se agregan las potencias de dos en orden decreciente. Se utiliza la notación a≺b para representar “a precede a b”.

Ahora bien, el teorema de Sharkovskii enuncia lo siguiente:

Teorema 1. Sea f: I→ I una función continua donde Ies un intervalo cerrado y acotado. Suponga que f tiene un punto periódico de periodo k Si k≺l en el orden de Sharkovskii, entonces f también tiene un punto periódico de periodo l (^{Devaney, 1989}).

El teorema argumenta, que las funciones con puntos de periodo tres tienen puntos periódicos de cualquier orden; luego, a partir del trabajo de (^{Li y Yorke, 1975}) "periodo tres implica caos" -Li y Yorke argumentan que la existencia de puntos con periodo tres implica que se verifican las condiciones de su definición de caos-, los sistemas dinámicos unidimensionales son susceptibles a observarse desde la perspectiva del periodo tres. Luego, el procedimiento para "construir caos" es sencillo, basta con definir funciones continuas con dominio y contradominio un intervalo cerrado y acotado I y encontrar puntos fijos de la función compuesta consigo misma tres veces (estos serán los candidatos a ser puntos de periodo tres).

En particular cada función que se presenta en este trabajo tiene una "forma de Z", su gráfica consiste de 3 rectas que "se pegan bien" definidas en el intervalo unitario y con rango el mismo intervalo. Además de la gráfica de cada función en forma de Zeta, se presentan las gráficas de dicha función compuesta tres veces consigo misma para identificar los puntos fijos de esta última los cuales corresponde a candidatos de puntos de periodo tres de la función original. Luego entonces mostramos matemáticamente las condiciones que deben satisfacer los valores de los parámetros, de manera, que se garantice la existencia de periodo tres, y por tanto de caos.

El artículo se encuentra dividido en tres secciones. En la primera, se refieren los aspectos metodológicos, se presenta la definición de la familia de funciones que se abordarán y se presentan los resultados teóricos, con las demostraciones correspondientes, que garantizan la existencia del caos. En la segunda sección se presentan diversos ejemplos donde se exhiben los resultados teóricos y computacionales obtenidos, también se muestra una lista de números generados con una función tipo Zeta junto con los resultados de las pruebas estadísticas pertinentes. La tercera y última sección expone las conclusiones, primero se describe un procedimiento para construir sistemas caóticos y posteriormente una estrategia para generar secuencias de números susceptibles a pruebas de aleatoriedad.

Aspectos metodológicos

Comenzamos definiendo una familia de funciones que por la forma de la gráfica le llamaremos Funciones tipo Zeta y a partir de éstas obtendremos sistemas dinámicos los cuales podrán ser (o no) caóticos.

Definición 4. Sean a, b, c, d, ∈ [0, 1] con 0< b< c <1, definimos una Función tipo Zeta

f_a,b,c,d : [0,1] → [0,1] como:

En la Figura 2 presentamos la forma de la gráfica de una función tipo Zeta con parámetros a=0.2, b=0.35, c=0.68, d=0.4

Para cada arreglo de parámetros (a, b, c, d) que definen a una función tipo Zeta identificamos a otra función de la misma familia a la que llamaremos la función dual.

Definición 5. Dada una función tipo Zeta f_a,b,c,d definimos la función dual de f como la función dada por f  a,b,c,d*=f1-d,1-c,1-b,1-a.

Note pues que la función f   a,b,c,d*:0,1→[0,1] será la función dada por:

En la Figura 2 se visualiza la gráfica de la función dual asociada a la función representada en la Figura 1.

Cuando no se preste a confusión omitiremos los parámetros (a, b, c, d) y nos referiremos simplemente a las funciones como f y f^* y donde una es la función dual de la otra (obsérvese que f^**= f)

El siguiente resultado será útil para trabajar de manera operativa con las funciones f y f^*.

Proposición 1. Dada la función tipo Zeta f y su función f^* se tiene que

f (x)=1-f^* (1- x) para todo x ∈[0, 1].

Demostración: particionando el dominio de la función tenemos lo siguiente:

Si x = b , tendremos que

Para el caso x = c , tenemos que

El caso 0 ≤ x < b equivale a 1- b < 1 - x ≤ 1, luego

Cuando b < x < c se sigue que 1 - c < 1 - x < 1 - b, y así obtenemos

Obsérvese que c < x ≤ 1equivale a 0 ≤ 1− x < 1− c, por tanto

Corolario 1. Dada la función tipo Zeta f y su función dual f ^* se tiene que

Demostración: por inducción matemática.

Como dijimos anteriormente, las funciones tipo Zeta son fundamentales en el desarrollo de nuestro trabajo, ya que a partir de estas generaremos sistemas dinámicos discretos y los estudiamos en el contexto del caos. A continuación presentamos los conceptos básicos relativos a los sistemas y su dinámica.

Para el resto de este trabajo, si A es un subconjunto f denotaremos con f (A) a la imagen del conjunto A bajo la función f.

Las siguientes definiciones son esenciales para el desarrollo de este trabajo.

Definición 6. Sea f una función real de variable real con fDf⊆Df y x0∈Df, definimos y detonamos la órbita de x₀ bajo f como sigue

Donde f ⁰(x₀) = x₀, además, un punto x₀ ∈ I es fijo si f (x₀) = x₀.

La siguiente definición se debe a ^{Hirsch, Smale, y Devaney (2004)} y habla de un sistema dinámico general pero redefiniendo el dominio se tiene la definición que necesitamo en nuestro contexto: basta sustituir R por N∪0 en el dominio de la función ϕ.

Definición 7. Un sistema dinámico en Rn es una función continuamente diferenciable

ϕ:R×Rn→Rn donde ϕt,x=ϕt(x) satisface:

En el contexto de la definición 7, recordemos que n = 1 para sistemas unidimensionales y estamos usando supraíndices para la función f. Abusando del lenguaje, estamos escribiendo “f es caótica” para referirnos al respectivo sistema dinámico discreto inducido por la función f donde ϕnx=fn(x). Además, para nuestro propósito se puede relajar la condición de continuamente diferenciable por continua.

En la definición anterior tenemos que pueden existir puntos a los que conoceremos como preperiódicos: un punto y ∈ D_f es preperiódico si existe un k ∈N tal que f ^k (y) ∈ Per (f ).

En este orden de ideas, el resultado más importante para el objetivo corresponde a Li y Yorke “Period Three Implies Chaos” (^{Li y Yorke, 1975}), pues basta mostrar que f tiene puntos de periodo tres (y por tanto de todos los periodos) para afirmar que f es caótica en el sentido de Li-Yorke.

Proposición 2. Dada f y su respectiva función dual f ^* entonces f tiene un punto de periodo 3 si y solo si f ^* posee un punto de periodo 3.

Demostración:

⟹) Sea x₀ un punto de periodo 3 y que no es punto fijo de f, entonces mostraremos que 1 - x₀ es punto de periodo 3 para f ^*.

Por el corolario 1 se tiene que

veamos ahora que 1− x₀ no es punto fijo de f ^*

Por tanto si f posee un punto de periodo tres también f ^* lo tendrá.

⟸) Supongamos que f ^* posee un punto de periodo 3, por la parte anterior entonces f ^**= f posee también un punto de periodo 3.

En la Figura 3 podemos observar las gráficas de las funciones f ³ y f ^*3 asociadas a una función tipo Zeta con parámetros a=0.4, b=0.25, c=0.72, d=0.8, donde los puntos de periodo 3, además de los posibles puntos fijos (de f ) son aquellos donde se intersecta la gráfica función f ³ correspondiente con la de la función identidad.

Ahora identificaremos un punto en el dominio de la función tipo Zeta que será relevante en el resto del trabajo.

Proposición 3. Sea f una función tipo Zeta, entonces xF=c1+c-b es un punto fijo de la función.

Demostración: sabemos que 0 < b < c < 1, por lo que se obtienen las siguientes desigualdades

Y a su vez

Además, claramente 1 + c - b > 0 por lo que b < x_F < c, y así

Proposición 4. Si f es una función tipo Zeta tal que a≥xF y d≤xF entonces f no tiene puntos de periodo 3.

Demostración: bajo la condiciones anteriores es claro que f(x)≥xF para todo x∈[0,xF] y f(x)≤xF si x∈[xF,1] así pues note que

La Figura 4 presenta la gráfica de f³ para dos funciones tipo Zeta que poseen los parámetros indicados y que cumplen las condiciones de la proposición 4, como se observa, la gráfica de f³ no intersecta a la gráfica de la función identidad -a excepción del punto fijo x_F - por lo que no poseen puntos de periodo 3.

Proposición 5. Sea f una función tipo Zeta tal que a = 0 entonces f posee un punto de periodo 3 en el intervalo (0, b).

Demostración: primeramente notamos que si a = 0 se tiene que f (0) = 0 y f ((0,b)) = (0,1).

Dado que f es continua entonces existen puntos x₁, x₂ ∈ (0, b) tales que f (x₁) = x _F y f (x₂) = c, además debido a que f es creciente en el intervalo (0,b) tendremos que x ₁<x₂.

Observe que f ³ (x₁) = x_F > x₁ y f ³ (x₂) = 0 > x₂.

Definamos ahora la función h sobre el intervalo (0,b) dada por h(x) = f ³ (x) - x.

Debido a que la función f es continua en el intervalo (0,b) tendremos que h es continua también en este intervalo.

Nótese que h(x₁) > 0 y h(x₂) < 0 entonces por el teorema del valor intermedio existe un punto x0∈(x1, x2)⊂(0,b) tal que h(x₀) = x ₀ o equivalente f ³ (x₀) = x₀.

Verifiquemos finalmente que x₀ no es un punto fijo de f:

Puesto que x₀ ∈(x₁, x₂) y debido a que f es creciente en (0,b) tendremos que

f (x₀) > f (x₁) = x_F > x₀.

En la Figura 5 presentamos la gráfica de f ³ para dos funciones que cumplen la condición dada en la proposición 5. Igual que en la Figura 3 las intersecciones de la gráfica de la función f ³ con la de la identidad representan además de los dos puntos fijos, los puntos de periodo 3 de ambas funciones.

Corolario 2. Sea f una función tipo Zeta, si d =1 entonces f posee un punto de periodo 3 en el intervalo (c,1).

Demostración: ya que d =1 entonces 1 - d =0, luego la proposición 5 implica que f ^* posee un punto de periodo 3 en (0,1 - c) por tanto f posee un punto de periodo 3 en (c,1) debido a la proposición 2.

Antes de enunciar el siguiente resultado mostraremos dos puntos en el dominio de la función tipo Zeta particularmente ubicados en el intervalo (b,c) que nos serán de mucha utilidad.

Por la continuidad de la función tipo Zeta tenemos que f (b, x_F ) = (x_F ,1) y f (x_F , c) = (0,x_F) por lo que existen puntos xc∈b,xF y xb∈xF,c tales que f (x_c ) = c y f (x_b ) = b, aún más, es sencillo encontrar el valor de estos dos puntos en términos de los pará metros de la función estos son x_c = c + bc - c² y x_b = c - bc +b ².

Entonces tenemos la relación b < x_c < x_F < x_b < c.

Una vez conocidos los puntos x _c y x _b y sus propiedades presentamos nuestro resultado más importante ya que nos brinda las condiciones necesarias y suficientes para identificar si una función tipo Zeta poseerá o no puntos de periodo 3.

Teorema 2. Dada f una función tipo Zeta entonces se tiene que

Demostración:

En la Figura 6 podemos apreciar dos gráficas, la del lado izquierdo muestra que la gráfica de f ³ para una función que cumple las hipótesis de la parte i) del teorema 2 si posee puntos de periodo 3 pues hay intersecciones (contando el punto fijo) con la gráfica de la función identidad, en cambio la figura del lado derecho muestra que la gráfica de f ³ de una función que cumple las hipótesis de la parte ii) del teorema no presenta intersecciones con la gráfica de la función identidad (además del punto fijo) por lo que no posee puntos de periodo 3.

Resultados

Para los ejemplos que a continuación mostramos, se generó una aplicación computacional que permite la generación de modelos inéditos de funciones caóticas. Las funciones evaluadas están limitadas por la capacidad computacional,² referente a componentes irracionales.

Conclusiones

Hemos construido una familia de sistemas caóticos en el sentido Li-Yorke y al mismo tiempo estamos sugiriendo un “proceso para generar caos” el cual lo podemos sintetizar en dos instrucciones:

La teoría que fundamenta la validez del proceso son los teoremas de Sharkovskii, del punto fijo y el trabajo de Li y Yorke. Es muy frecuente que se vuelva difícil demostrar directamente con la definición que un sistema dinámico es caótico; sin embargo, el encontrar puntos de periodo tres, tendríamos la respuesta si lo que buscamos es caos.

En este trabajo se mostró analíticamente las condiciones que deben verificar los parámetros para las funciones tipo Zeta que garantizan la existencia de caos en el sentido de Li-Yorke. En particular mostramos una familia de Z's con puntos de periodo tres - y por tanto caóticas en el sentido mencionado-.

Si existe interés en una aplicación de los modelos construidos, se sugiere como primera opción la construcción de listas de números "pseudoaleatorios". A continuación se enumera el procedimiento básico a seguir:

Este trabajo fue una propuesta adicional a las existentes en la literatura relativa a los sistemas dinámicos caóticos unidimensionales, así como para identificar la generación de números pseudoaleatorios como una primera aplicación.