Consideraciones establecidas para la obtención del modelo

Para la obtención del modelo se establecen las siguientes consideraciones: 1) el área de flujo se visualiza formada por un conjunto de poros circulares con un perímetro irregular, los cuales, se caracterizan a través de un valor de radio promedio R y dimensión fractal f, y que se encuentran delimitados por las partículas; 2) el régimen de flujo es laminar; 3) estado estacionario y; 4) se considera que el fluido está compuesto por dos líquidos newtonianos e incompresibles inmiscibles entre sí, donde en dependencia de los efectos de tensión superficial y de mezclado entre ambos se pueden generar 2 patrones de flujo básicos. El primero es una emulsión muy útil en el caso de aplicación de técnicas EOR (^{Perazzo y col., 2018}), en la cual, uno de los líquidos se encuentra en forma dispersa en el seno del otro, y el segundo es un patrón de flujo anular, en el cual, uno de los fluidos presenta una mayor afinidad por las paredes del sólido, de tal manera que se mueve en contacto con estas, mientras que el otro fluido se mueve por el centro de los poros.

La dimensión fractal de dichos canales se determina mediante una observación de la morfología del lecho en un tamaño equivalente al radio de las partículas que forman el lecho, y se calcula mediante una fotografía y el empleo de un programa de tratamiento de imágenes. En este sentido, aunque todos los canales son de hecho de formas y tamaños diferentes, se va a considerar un tamaño promedio R y un valor de dimensión fractal promedio f, que son parámetros que dependen de numerosos factores, entre los que se pueden mencionar el tamaño y forma de las partículas, el empacamiento que se establezca entre estas y la porosidad del lecho.

Análisis de la morfología del lecho

En la Figura 1 se muestran las fotografías de 2 lechos porosos, uno compuesto por sólidos redondeados por procesos de meteorización (A) y el otro por rocas trituradas (B). En cada una de estas imágenes se observa en un recuadro rojo la sección considerada para la caracterización de la morfología de los poros. En la Figura 2 se muestran las imágenes correspondientes a los contornos de los poros, donde los valores de dimensión fractal y porosidad se determinaron mediante el empleo del programa ImageJ v1.40g, en el cual, cada imagen a color se convierte en una imagen de 8 bits; a partir de esta, se obtiene una imagen binaria del patrón, a la que se le determina la dimensión fractal vertical y horizontal de las imágenes (^{Rasband, 2018}), siendo para las partículas redondas f = 1.042 4 y para las partículas trituradas f = 1.125 6.

Debido a que el perímetro de los poros presenta una morfología irregular, el valor del área del poro se determina mediante la integral fraccional de orden igual a la dimensión fractal:

Donde:

k (m) es un parámetro relacionado con la precisión de la medición del tamaño del poro, q es el ángulo determinado en coordenadas polares para cada punto del círculo irregular que conforma el poro, Dr-f es el operador que representa la integral fraccional, la cual se determina con el radio en coordenadas radiales (r) a lo largo del tiempo (t), como:

y Γ(f) es la función gamma dada a través de un parámetro matemático (x):

La solución de la integral fraccionaria (2), trasladándolo a valores geométricos, es:

Donde:

R representa al radio del poro (m). En esta descripción de la morfología del poro, el radio R se considera una variable determinista, mientras que el perímetro del canal es una variable aleatoria que se caracteriza a través de la dimensión fractal.

Es importante señalar que la dimensión fractal (f ) tiene un valor diferente numéricamente al de tortuosidad, utilizado también para caracterizar un medio poroso, donde una dimensión fractal alta se relaciona con una tortuosidad alta (^{Valdéz-Cepeda y Olivares-Sáenz, 1998}).

Algunos autores han correlacionado los diversos valores de tortuosidad, constricción y porosidad (^{Berg, 2014}). En este trabajo, la dimensión fractal permite funcionar como la variable dominante, aunque en un futuro podrían considerarse los elementos en conjunto, a partir de una modelación con CFD.

Determinación del perfil de velocidad y las pérdidas de presión por fricción cuando el patrón de flujo se corresponde con una emulsión

En la Figura 3, se muestra una representación del patrón de flujo correspondiente al caso, en el cual se tiene un sistema de fluido bifásico con formación de una emulsión, donde A corresponde a la fase dispersa (gotas de líquido) y B corresponde al medio de dispersión.

En el caso de los flujos en tubos, las emulsiones se visualizan como un flujo en una sola fase, cuya viscosidad se afecta por la presencia de la fase dispersa (^{Suárez-Domínguez y col., 2018}). En este caso, la viscosidad de la emulsión μE (Pa·s) se puede estimar a través de la relación:

Donde:

μA (Pa·s) es la viscosidad de la fase dispersa, μB (Pa·s) es la viscosidad del medio de dispersión y v representa la fracción en volumen de la fase dispersa. En este caso, se utiliza la ecuación 5, que da una expresión para la viscosidad efectiva de una emulsión que ha sido probada para crudos del norte de México. Sin embargo, pueden considerarse otro tipo de ecuaciones (^{Mendoza y Santamaria-Holek, 2010}) en dependencia del caso analizado.

Para estimar el flujo que pasa a través de un canal irregular, se parte de la estimación del comportamiento de la velocidad con respecto a la distancia r desde el centro del canal, para lo cual, se parte de la ecuación de cantidad de movimiento para el sistema de coordenadas cilíndricas, donde, a partir de las consideraciones establecidas, se obtiene la ecuación diferencial parcial:

Donde:

Φ (Pa/m) es el gradiente de presión, sujeta a las condiciones de contorno:

La solución analítica exacta de esta ecuación está dada por:

Donde:

La distancia R desde el centro hasta la pared del canal varía aleatoriamente, debido a la morfología irregular del área de flujo del canal. Por esta razón, para obtener el valor del flujo q (m³/s) se integra la velocidad con respecto al área de flujo, para lo cual se toma en cuenta el carácter irregular de esta área, aplicando una integral fraccional de orden f:

Donde:

f es la dimensión fractal del perímetro del canal y cuantifica el carácter irregular y aleatorio de la distancia r, y que puede considerarse como una buena aproximación del medio. El flujo total Q (m³/s) se estima como el producto del flujo q y el número de canales de flujo n, el cual se determina como el área disponible para el flujo dividido por el área de un canal:

Donde:

ε es la porosidad del lecho, de tal manera que:

y definiendo la velocidad V₀ como la relación entre el flujo total y el área total del lecho se obtiene:

El valor de R depende de la porosidad del lecho y del tamaño de partículas. Para estimar el valor de R, las ecuaciones (5) y (13) se expresan en función de las variables no dimensionales:

Donde:

Rp (m) es el radio promedio de las partículas, de tal manera que el área promedio a del canal de flujo y la velocidad V₀ se estiman a través de las relaciones:

Tomando en cuenta de que existe una relación entre el área de los poros y el área ocupada por las partículas observada en las escalas macroscópica y microscópica se asume:

Donde:

El término de la izquierda de la ecuación (17) representa la relación macroscópica entre el área disponible para el flujo y el área ocupada por las partículas, mientras que en el lado derecho se presenta la relación microscópica entre el área estimada del canal de flujo y el área por una partícula. A partir de las ecuaciones (15) y (17) se obtiene:

Sustituyendo la ecuación (18) en la ecuación (16) se obtiene:

Donde:

dp (m) representa el diámetro promedio de las partículas y el valor de la precisión k, que debido a la escala posible de medición (^{Mandelbrot, 1989}) se selecciona de tal manera que:

A partir de la ecuación (19) se despeja el gradiente de presión:

Debido a la morfología irregular de los canales de flujo, hay que considerar que la distancia longitudinal recorrida por el flujo es mayor que la distancia de la línea recta que une a los puntos de entrada y de salida del sistema, de tal forma que, el gradiente de presión se representa a través de la derivada fraccional de la longitud del lecho, lo que permite obtener la ecuación diferencial fraccional:

cuya solución está dada por:

Donde:

z₀ representa la precisión en la medición de la longitud del lecho. A partir de la relación anterior se obtiene que las pérdidas de presión por fricción ΔP (Pa), para un lecho poroso de longitud L, pueden estimarse a través de la relación:

donde debe cumplirse que:

La ecuación (25) permite estimar el comportamiento de las pérdidas de presión por fricción, para flujo bifásico en lecho poroso, cuando los líquidos se disponen entre sí formando una emulsión.

Determinación del perfil de velocidad y las pérdidas de presión por fricción, cuando el patrón de flujo se corresponde con un flujo bifásico anular

En la Figura 4 se muestra el patrón de flujo correspondiente al caso, en el cual, se tiene un sistema bifásico, donde el fluido A se encuentra en contacto con las paredes de los poros, y el fluido B se mueve por el centro, de tal manera que, se establece un patrón de flujo anular. Este caso se propone como similar al correspondiente, cuando existe una mayor afinidad del agua con el sólido y este se encuentra adsorbida en él.

Para determinar el perfil de velocidad que se establece en el sistema, se parte de la ecuación de cantidad de movimiento, tomando en cuenta las condiciones establecidas, de tal manera que, se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales:

sujeto a las condiciones frontera:

y cuya solución exacta está dada por:

El valor del flujo total se obtiene a través de la integral fraccional con respecto al área de flujo, tomando en cuenta la morfología fractal del poro, por lo que es necesario el empleo de la integración de orden fraccional. En este caso, se tiene para el fluido B, que se mueve por el centro del poro:

Donde:

α representa la posición no dimensional de la interfase y λ cuantifica la relación entre las viscosidades de ambos fluidos:

mientras que para el fluido que se encuentra en contacto con la pared:

de tal forma que, el flujo total que pasa a través de un canal está dado por la suma de ambos fluidos y se escribe de la forma siguiente:

El parámetro ψ (Pa·s) representa la viscosidad global del sistema (^{Tan y col., 2015}), y su valor depende de las viscosidades y disposición de cada uno de los fluidos con respecto a la pared del poro, de la morfología de este, caracterizada a través de la dimensión fractal y de la posición no dimensional de la interfase, y se determina de acuerdo con la relación:

La posición no dimensional de la interfase se encuentra estrechamente relacionada con la composición del sistema, y si esta se expresa en base a la fracción en volumen del fluido que se mueve por el centro del poro se obtiene:

La ecuación (33) es análoga a la ecuación (10), por lo que siguiendo las mismas deducciones que llevan de la ecuación (10) a la ecuación (25), se obtiene la expresión para predecir las pérdidas de presión por fricción en este sistema:

Predicciones teóricas

Los patrones de flujo bifásico que se generan, para el caso de flujo laminar en tubos, dependen de la diferencia de densidad entre los líquidos y la tensión interfacial, entre otros factores (^{Kleinstreuer, 2017}; ^{Wopara e Iyuke, 2018}); y se encuentran además estrechamente relacionados con la forma en que se realiza el inyecto de un fluido en el seno del otro. De esta manera, se pueden disminuir significativamente las pérdidas de presión por fricción asociadas al transporte de un fluido de alta viscosidad, inyectando otro de menor viscosidad y densidad semejante en la pared del tubo (^{Suárez-Domínguez, 2017}), lo cual se puede lograr mediante un dispositivo de inyección apropiado.

La situación es mucho más compleja en el caso de los lechos porosos, debido a la cantidad y aleatoriedad de los canales de flujo que se establecen, los cuales tienen un radio significativamente pequeño (^{Basu y col., 2019}). Dentro de cada canal del lecho poroso, es prácticamente imposible generar un patrón de flujo determinado mediante un dispositivo de inyección, como en el caso de los tubos, aunque la adición de un agente emulsionante o desemulsionante puede facilitar que se transporte una emulsión o se genere un flujo bifásico anular, respectivamente. Por otra parte, debido al pequeño radio de los canales de flujo, los efectos de tensión interfacial, en la interfase y en la superficie del sólido, son mucho más importantes que en el caso del flujo en tubos, e influyen en la generación del patrón de flujo que se forme en el sistema, de ahí la importancia del uso de agentes tensoactivos en estos sistemas (^{Kamal, 2016}). Desde el punto de vista práctico, lo importante es determinar, para un sistema bifásico específico, cuál de los patrones de flujo favorece la disminución de las pérdidas de presión por fricción, y actuar en consecuencia (^{Wang y col., 2019}).

Para obtener las predicciones teóricas se consideraron dos líquidos inmiscibles entre sí, el líquido 1 con viscosidad de 5 Pa·s y el líquido 2 con viscosidad de 0.1 Pa·s, donde el líquido menos viscoso se encuentra en menor proporción, y puede presentarse en forma de fase dispersa en el seno del fluido menos viscoso, formando una emulsión, y puede estar como fase completamente separada o puede existir una separación parcial de las fases, en la cual, parte del fluido 1 se encuentra como fase dispersa, y la otra parte como fase separada. Se consideró un medio poroso hipotético, con las dimensiones y condiciones de operación: dp = 0.01 m, ε = 0.4, L = 100 m y V₀ = 10^-4 m/s^-1.

Se encontraron diferentes comportamientos al analizar teóricamente como varía la caída de presión por fricción ΔP (Pa), con respecto a la fracción en volumen del fluido menos viscoso, considerando como parámetro la dimensión fractal de los poros, sin considerar la forma de la figura geométrica de las rocas, ni el tipo de superficie que presentan (lisa o rugosa), para los siguientes casos: Caso A: el flujo menos viscoso se presenta como una fase dispersa en el seno del fluido menos viscoso de poro; Caso B: separación total de las fases, en la cual, el fluido menos viscoso se transporta por el centro del poro; Caso C: separación total de las fases, donde el fluido menos viscoso se transporta en contacto con la pared; Caso D: se considera que una fracción del flujo menos viscoso se transporta en contacto con la pared del tubo, mientras que la otra parte se encuentra como fase dispersa (separación parcial de las fases). En este sentido, el parámetro de control, para generar cada uno de estos casos, es el patrón de flujo bifásico que se supondrá, derivado de la observación de los casos presentados en campo.

En la Figura 5, se muestra el comportamiento de las pérdidas de presión por fricción, con respecto a la fracción en volumen del fluido menos viscoso, el cual se presenta en forma de fase dispersa en el seno del fluido más viscoso (Caso A). Contrariamente a lo que suele ocurrir durante la mezcla de líquidos miscibles, donde la viscosidad de la mezcla disminuye con la fracción en volumen del líquido menos viscoso, la viscosidad de una emulsión se incrementa con la fracción en volumen de la fase dispersa, lo que se manifiesta en el incremento de las pérdidas de presión por fricción para una velocidad de flujo requerida. Esto se explica debido a que las gotas dispersas distorsionan el patrón de flujo del medio de dispersión (^{Ismail y col., 2015}), de tal manera que se incrementa la disipación de la energía producto del rozamiento entre las capas de flujo.

En las Figuras 6 y 7, se muestran los comportamientos predichos para el caso en que se establezca un flujo bifásico anular, en el cual existe una separación total de las fases, donde se ha considerado que el fluido menos viscoso se transporta por el centro de los poros (Figura 6, Caso B) y en contacto con la pared del poro (Figura 7, Caso C). En ambos casos, las pérdidas de presión por fricción disminuyen con el incremento de la fracción en volumen del fluido menos viscoso, y esta disminución es mucho más significativa cuando el fluido se transporta en contacto con la pared del poro. Dichos resultados son esperados si se toma en cuenta que las pérdidas de presión por fricción son directamente proporcionales a la tensión de corte en la pared del poro (^{Hassanean y col., 2016}; ^{Mucharam y col., 2017}), la cual, a su vez, es directamente proporcional a la viscosidad del fluido que se encuentra en contacto con esta.

En la Figura 8 se aprecia un gráfico en 3 dimensiones, donde las superficies mostradas representan la variación de las pérdidas de presión por fricción con respecto a la fracción del fluido menos viscoso que se encuentra en forma dispersa (Vd), y la fracción que se encuentra en contacto con la pared del tubo (Vs), por lo que se corresponde con un patrón combinado de flujo bifásico anular, donde el fluido que se transporta por el centro es una emulsión (Caso D). Esta situación se corresponde con una separación parcial de las fases, similar a lo observado por ^{Piroozian y col. (2017)}.

Como también se aprecia en la Figura 9, que representa el comportamiento de las pérdidas de presión por fricción, con respecto a la fracción en volumen total del fluido menos viscoso, considerando como parámetro la fracción de este, que se encuentra presente en la fase dispersa, se predice que las pérdidas de presión por fricción se incrementan con la fracción en volumen de la fase dispersa, y la disminución de la fracción del fluido menos viscoso, que se ha separado de la emulsión y tiende a transportarse encontacto con la pared del tubo.

Con respecto al efecto de la dimensión fractal del poro, se observa que en todos los casos las pérdidas de presión por fricción se incrementan con este parámetro. Esto se debe a que el incremento de la dimensión fractal causa un incremento en el área superficial de la pared de los poros (^{Rahner y col., 2018}) a través de los cuales, se mueve el fluido, lo que incrementa las fuerzas de rozamiento entre el fluido y las paredes del sólido, con el consiguiente incremento de la disipación de energía.

El modelo presenta limitaciones que se encuentran asociadas a las consideraciones que fueron establecidas durante su obtención, de tal manera que, es válido cuando los efectos de tensión superficial son más significativos que los gravitatorios, por lo que la acción de estos últimos sobre el patrón de flujo puede ser despreciada y cuando el flujo se encuentra en estado estacionario.