Introducción

Esta investigación está enfocada en analizar los resultados de los conocimientos previos que poseen los alumnos antes de cursar la asignatura de Cálculo Diferencial en el contexto de una enseñanza de emergencia debido a la pandemia de la enfermedad por coronavirus de 2019 (covid-19). Es preciso señalar que en dichas condiciones de enseñanza de emergencia prima la modalidad a distancia o remota, pero no la estructura que la formalidad demanda de una enseñanza virtual (^{Hodges, Moore, Lockee, Trust y Bond, 2020}). Es preciso también señalar que este trabajo parte del hecho de que el docente es el agente directriz para que el aprendizaje se desarrolle de acuerdo con los objetivos destinados por la institución educativa. Y por lo mismo, se requiere que los conocimientos previos y habilidades correspondientes a las matemáticas sean las más adecuadas posibles para satisfacer los objetivos académicos que el mismo programa curricular demanda.

México, de acuerdo con los resultados del Censo de Población y Vivienda (^{Instituto Nacional de Estadística y Geografía [Inegi], 2021}), ocupa el lugar 11 en población a nivel mundial, con un poco más de 126 millones de habitantes. Y si bien cuenta con una tasa de alfabetización de 98.7 % entre las personas de 15 a 24 años, solo 45.3 % de los mexicanos en ese rango asisten a la escuela. En cuanto a cobertura tecnológica, 52.1 % de las viviendas particulares mexicanas disponen de internet, solo 37.6 % de las viviendas disponen de computadora y 87.5 % de un teléfono celular. Desafortunadamente, 52.4 millones de habitantes viven en situación de pobreza y 9.3 millones en pobreza extrema, de los cuales 21.1 millones de personas sufren rezago educativo (^{Coneval [Consejo Nacional de Evaluación de la Política de Desarrollo Social], 2018}). A eso hay que sumar los estragos que vino a causar la pandemia en la esfera educativa.

Desde el 16 de marzo del 2020, estudiantes mexicanos, para salvaguardar su salud, fueron sometidos a una enseñanza emergente por parte de las autoridades federales y estatales de México. Dada la naturaleza de las matemáticas y de las dificultades propias que se tienen tanto en la enseñanza como en el aprendizaje y la misma complejidad de esta ciencia, existe un amplio registro de investigaciones realizadas, la mayoría de ellas bajo un modelo de enseñanza presencial (^{Artigue, 1988}; ^{Cornu, 1991}; ^{Cottrill et al., 1996}; ^{Rojas, 2018}, ²⁰¹⁹, ^2020a, ^2020b; ^{Tall, 1995}); ahora, bajo el esquema emergente, es de importancia que los conocimientos previos perseveren en todo momento para poder construir conocimientos, competencias y habilidades nuevos mediante la interacción con tecnologías educativas (^{Cabero, 2007}; ^{Herrera y Fénnema, 2011}; ^{Mesa, 2012}; ^{Morantes, Dugarte y Herrera, 2019}; ^{Rojas, 2017}; ^{Rojas y Toscano, 2018}; ^{Sangrà, 2006}), lo cual se busca con este trabajo.

Diseñado para aplicarse durante la pandemia de covid-19, el instrumento de ^{Rojas y Toscano (2021)} utilizado en este proyecto identifica los conocimientos previos que el alumno posee y sirve como auxiliar para identificar los rezagos académicos tanto en habilidades procedimentales como conceptuales. Dicho instrumento tiene un coeficiente de confiabilidad de consistencia interna de 0.807, lo que indica que los resultados se pueden reproducir en diferentes muestras sin que exista un gran sesgo por parte de los participantes (^{Rojas y Toscano, 2021}).

Metodología

Con el propósito de caracterizar los conocimientos matemáticos previos que tienen los alumnos en el ciclo 2020-2021 del bachillerato de Ingeniería y Arquitectura Sección 01 y el bachillerato de Químico Biológicas Sección 01 del Colegio Primitivo y Nacional de San Nicolás de Hidalgo, así como de alumnos de la licenciatura en Biotecnología secciones 4 y 3 previo al curso de Cálculo Diferencial, cuya edad oscila entre los 17 y 18 años, se contó con una participación de 162 alumnos, 93 hombres y 69 de mujeres. Cabe señalar que, a partir de la declaración de contingencia y hasta el desarrollo de este trabajo, el proceso de enseñanza de dichos estudiantes fue virtual con ayuda de las herramientas de Google Suite.

Se aplicó el instrumento ^{Rojas y Toscano (2021)}, que presenta un coeficiente de confiabilidad de consistencia interna de 0.807 y que se encuentra estructurado para que refleje los saberes académicos previos como la habilidad aritmética y la habilidad algebraica; de tal modo que se identifique con la práctica en la resolución de problemas y que permita la construcción de conocimiento matemático; se aplicaron 23 reactivos, nueve correspondientes a la categoría de álgebra y 14 en la categoría de álgebra. Como medio de captura de datos se utilizó Google Forms, por las condiciones de salud y conveniencia, con tipos de reactivo de opción múltiple de cinco elementos. Se solicitó no usar calculadoras o celulares durante la aplicación del instrumento. Se trata de una investigación cuantitativa con un tipo de estudio descriptivo transversal no experimental, pues nos limitamos al análisis de las características en una población en un corte de tiempo (^{Hernández, Fernández y Baptista, 2010}; ^{Montero y León, 2002})

Resultados

En cuanto al género, 57.4 % de los participantes fueron hombres y 42.6 % mujeres, como se puede apreciar de la Figura 1. En la competencia aritmética, 81.4 % de los participantes poseen la habilidad correspondiente al cómputo de la suma y resta con números racionales, mientras que 91.9 % poseen una clara habilidad para calcular el producto de fracciones; sin embargo, solo 68.6 % manifiestan la claridad para calcular la división de fracciones y 55.7 % realizan operaciones mixtas de fracciones con éxito. Por último, 87.7 % relacionan correctamente la potenciación de un número y 98.8 % la noción de porcentaje. Dentro de la lógica matemática, 60.5 % realizan un razonamiento lógico para realizar una actividad. Además, 74.5 % muestran la habilidad para resolver problemas aritméticos con números decimales, pero solo 55.4 % de la muestra contestan acertadamente a las problematizaciones con números racionales y escasamente 12.3 % demuestran contar con la habilidad de resolver problemas vinculados al cálculo de porcentajes.

Fuente: Elaboración propia

Figura 1 Sexo de los participantes 

Fuente: Elaboración propia

Figura 2 Distribución del puntaje obtenido en la categoría aritmética 

En la Figura 2 se muestra que el puntaje más frecuente obtenido fue de 12 puntos de los 14 posibles por obtener; 36 encuestados obtuvieron dicho puntaje, solo dos de los encuestados presentaron puntaje perfecto y también dos encuestados el puntaje mínimo, que fue tres.

Una media de 9.6/14 y un valor medio de 10/14 se obtuvo en la categoría aritmética.

En la parte algebraica, los resultados emanados del instrumento reflejan que 53.8 % de los encuestados exhiben la habilidad de simplificar expresiones algebraicas de mediana complejidad, 75.5 % desarrollan correctamente un binomio al cuadrado, 48.1 % encuentran correctamente las raíces de una ecuación algebraica y solo 34.6 % de los encuestados comprenden el significado de una raíz de un polinomio; 61 % reconocen y presentan la habilidad de factorizar por al menos un método y 60 % de los participantes lograron acertadamente resolver problematizaciones vinculados al álgebra.

Fuente: Elaboración propia

Figura 3 Puntuaciones obtenidas en la categoría de álgebra 

En la Figura 3 se representan las puntuaciones obtenidas por los participantes referente al manejo algebraico. El puntaje de mayor frecuencia es de siete de un total de nueve posibles puntos, que corresponde a 27/162 encuestados; 8 de los 162 encuestados obtuvieron un puntaje perfecto de nueve, es decir, el máximo puntaje; cinco encuestados no obtuvieron puntos. Así, la categoría de álgebra presenta una media de 5.17 y una mediana de 5.0 con una desviación estándar de 2.41.

Discusión

En el ámbito aritmético se presume que el cómputo de números enteros, decimales y fraccionarios está completamente dominado por un alumno que está por ingresar a una clase de cálculo diferencial, que es una parte del cálculo infinitesimal y del análisis matemático, y donde el principal estudio son las variaciones; pero las operaciones con números racionales siguen siendo una dificultad que los estudiantes no logran superar. La suma y resta de fracciones representan la mayor habilidad para realizar el cómputo, pero no de manera generalizada y la que presenta una mayor dificultad es la división de fracciones, ya sean propias o impropias, donde con extrañeza no debiera de suscitarse, pues más de 90 % de los encuestados resolvieron con éxito el producto de fracciones, lo que vislumbra que se tiene la carencia de la noción del inverso multiplicativo. No es de extrañarse, pues las fracciones traen consigo una dificultad inherente a la comprensión de la relación a 𝑏 cuando la del número entero es de menor dificultad, ya que las relaciones que guardan entre sus operaciones son distintas. Estos datos arrojados son similares a los del estudio de ^{Ndjatchi (2019)} referente al manejo del álgebra elemental con alumnos de ingeniería en Sistemas Computacionales, pero referente a los conocimientos previos para el aprendizaje de los números complejos.

También la experiencia del docente interfiere al momento de emitir una buena explicación al significado de una fracción y de la realización de operaciones. Asimismo, es considerable hacer notar que la enseñanza de fracciones en el continente asiático se persevera más que en el continente americano, que su manejo es fundamental para áreas más avanzadas de las matemáticas y otras ciencias y que desgraciadamente la opinión social referente a su dificultad crea una barrera en el alumno para comprender su significado y utilización (^{Cai y Silver, 2020}; ^{Son, 2020}; ^{Stevenson y Stigler, 1999}; ^{Watanabe, Lo y Son, 2017}). Referente a la potenciación, se desprende que reconocen el significado de esta, sin embargo, en el desarrollo para resolver problemas también se vislumbra que las propiedades de la potenciación no forman parte de sus competencias. Es de notarse que, para la resolución de problemas, persevera la dificultad de identificar la incógnita, la dificultad del análisis del problema o enunciado, dificultad en el razonamiento lógico matemático y no comprueban que la solución sea coherente al problema.

Por la naturaleza de la categoría a evaluar, es muy poco probable que el puntaje mínimo a obtener fuera cero, pero, a pesar de ello, se encontraron dos encuestados con puntaje de tres, lo cual refleja la poca o nula preparación de estos, que pudiera abonar a la construcción de un nuevo aprendizaje basado en variaciones. En la Tabla 2, en correspondencia con la Tabla 1, se observa que 24.7 % de la población, es decir, 44 encuestados muestran de facto que son candidatos a no aprobar la asignatura de Cálculo Diferencial; las carencias de competencias, habilidades y conocimientos aritméticos y algebraicos apuntan al fracaso escolar, lo cual coincide con el estudio de las carencias en conocimientos y habilidades matemáticas básicas de los alumnos de la Escuela Politécnica Superior de ^{Castro et al. (2019)} y la actitud de los alumnos hacia las matemáticas.

Mientras en la parte algebraica, se vislumbra que la mitad de los encuestados logra reducir simplificaciones de expresiones algebraicas de manera satisfactoria. Cabe enfatizar que reducir una expresión o ecuación en los términos más simples posibles es parte medular en el aprendizaje del álgebra. Dentro de ese mismo rubro el desarrollo de binomios a diferentes potencias es una de las herramientas más utilizadas en clases más avanzadas de matemáticas; al respecto, tres cuartas partes de la muestra logran con éxito desarrollar un binomio al cuadrado, pero poco menos de 10 % logran desarrollar un binomio a potencias superiores, esto es, la vinculación con conocimiento aritmético. Referente a encontrar soluciones a ecuaciones algebraicas de segundo grado y primer grado, poco menos de 50 % de los encuestados lograron con éxito su obtención, cifra que se redujo considerablemente en ecuaciones algebraicas de tercer grado, sin embargo, la obtención de raíces no está claramente vinculada a la interpretación gráfica de ellas, pues una quinta parte de los participantes ha manifestado que las raíces son la intersección con el eje de las ordenadas. Esta situación es de suma importancia para que logren contextualizar el límite y la derivada desde una perspectiva gráfica de un problema, o bien para interpretaciones de dominios e imágenes de funciones que dan pie a la construcción de conocimientos posteriores. En el estudio de ^{López (2009)} se manifiesta que el aprendizaje depende de la confluencia de distintos factores y que el proceso de conceptos requiere de un cambio paulatino.

En la dimensión de factorización, estrategia sumamente importante para la reducción de términos y que facilita el manejo de expresiones algebraicas, se suscita un fenómeno parecido al de la reducción de términos: poco más de la mitad de los involucrados en este proyecto presenta la habilidad de factorizar por al menos un método. Es de esperarse que este resultado de esta dimensión sea acorde con el de la reducción de términos, pues a pesar de que la factorización implica la expresión en términos de productos, se vincula a la identificación de términos semejantes. Consecuentemente, más de la mitad no logra comprender la noción de ello y confunden con notoriedad a una variable de una constante, o si la variable se encuentra elevada a alguna potencia, por lo que asumen que puedan sumarse con aquellas que no lo están, además no se tienen claras las reglas de las potencias cuando las variables se suman o se multiplican, pues un error muy marcado es el que a + a = a ² , así lo ha reflejado de manera semejante Barroso y Rodríguez (2007). En otras palabras, el alumno no es capaz de agrupar los problemas matemáticos en función de su estructura profunda, al carecer de los esquemas cognitivos adecuados, pues contar con ellos facilita la generalización de las estrategias de resolución y el dominio de algunos elementos matemáticos, no obstante, solo logra emplearlos en problemas que lo señalan explícitamente. Bajo la resolución de problemas usando álgebra, el mismo porcentaje que posee la habilidad de factorizar posee la habilidad de la resolución de problemas. Se esperaría que fuera un poco menor este porcentaje, que muchas veces, por la misma naturaleza de ellos, requieren de un amplio bagaje de estrategias (^{Juidías y Rodríguez, 2007}; ^{Rico, 1998}; ^{Socas, Hernández y Palarea, 2014}). A pesar de ello, el poseer la habilidad de factorizar le permite reconocer la estructura de un problema y solucionarlo de manera intrínseca con un procedimiento lógico matemático.

Como puede observarse de la Figura 3, 82 alumnos lograron una puntuación menor o igual a cinco. Obtener resultados positivos al final del curso de Cálculo diferencial conllevaría un proceso arduo, no solo para el docente, sino para el propio estudiante. Como puede inferirse de la Tabla 3, relacionada con la Tabla 4 en la categoría de álgebra, el porcentaje de fracaso escolar (50.6 %) es más del doble en comparación con la categoría de álgebra (24.7 %).

Conclusiones

Desde el objetivo de este trabajo se ha pretendido caracterizar los conocimientos previos que el alumno posee al adentrarse al curso de Cálculo Diferencial y, con ello, exponer las debilidades en el manejo algebraico y aritmético, con el objetivo de que el logro académico se satisfaga al incorporarse a dicha asignatura, con la aspiración de diseñar un plan estratégico para compensar dichas carencias de competencias y habilidades matemáticas, así como subsanar las debilidades tales como competencias, conocimientos o habilidades manifestadas.

El abuso de ejercicios matemáticos que buscan despertar o desarrollar una habilidad matemática conlleva a la mecanización en la que los alumnos solo buscan la solución en la inmediatez y restan importancia al proceso o plan para buscar una solución. Esto, a su vez, conlleva a que el sistema de evaluación de las instituciones o del profesor se destine a la obtención del resultado de manera correcta, lo que incide en que el alumno trace diversas estrategias, aunque no sean matemáticas, como por ejemplo el azar, la intuición, el tanteo para resolver un problema o ejercicio, por lo que su exigencia en el estudio de las matemáticas se ve limitada por la realización del mínimo esfuerzo. De esta forma, se deja de lado el proceso de aprender a aprender; el docente fomenta poco que este proceso se lleve y en muchas ocasiones culpa en demasía a la responsabilidad, la capacidad, el esfuerzo por parte del estudiante para aprender matemáticas o el entorno de donde proviene.

Los profesores que intentan remediar o reponer en brevísimo tiempo las deficiencias conceptuales o procedimentales que los alumnos presentan también buscan cumplimentar un programa académico en marcha y cumplir con la planeación, control y supervisión de procesos de aprendizaje.

El problema se agrava al entrar como variable la pandemia, pues el docente debe fortalecer o desarrollar la competencia en dispositivos móviles, así como la búsqueda de plataformas digitales que le permitan con mayor soltura desenvolverse y beneficiar al aprendizaje; también debe mostrar habilidad para resolver las dificultades técnicas de cualquier tipo (hardware o software) que se presenten durante su proceso de enseñanza.

Por el lado de los alumnos, no todos manejan las herramientas tecnológicas. De hecho, a pesar de no ser objetivo de estudio de este trabajo, es de señalarse que presentan dificultad en escanear trabajos, utilizar editor de ecuaciones a través del procesador de texto Word, anexar imágenes a la plataforma Classroom de G Suite, tomar fotos bien orientadas y no “movidas”, redactar un correo electrónico donde el campo del asunto lo confunden con el campo del correo, así como la poca pericia de usar una graficadora digital y del uso adecuado del mute del micrófono. Considerar que al tener los alumnos las herramientas digitales también poseen los conocimientos y habilidades conlleva a una dificultad aún mayor del docente para llevar el proceso de enseñanza-aprendizaje, pues su trabajo se diversifica entre facilitador de las matemáticas, técnico en dispositivos y plataformas y como alfabetizador digital.

Las deficiencias de conocimientos previos fueron caracterizadas por errores conceptuales, errores procedimentales y razonamiento matemático; la carencia de conocimiento previos, como son conceptos y habilidades matemáticas como factorización, identificación de términos semejantes, operación de fracciones tanto aritméticas como algebraicas, desarrollo de potencias y resolución de problemas, son tareas que deben realizarse con “ayuda” de herramientas tecnológicas y personales como la tutoría, asesoría, cursos especiales destinados a la creación y desarrollo de hábitos de estudio, que deben ser prioridad en cualquier institución educativa, sustentados por una planeación, un desarrollo y una evaluación de dichos programas y orientados, no solo a un ambiente presencial, sino también virtual, buscando un aprendizaje autodirigido, autorregulado y autónomo que abone a una madurez cognoscitiva.

Trazar un plan estratégico consiste en identificar el objetivo que se quiere alcanzar y forjar un camino para alcanzarlo. Como plan estratégico bajo una metodología basada en proyectos para la mejora de conocimientos previos en las matemáticas se sugiere lo presente en la Tabla 3.