Introducción

En la actualidad, las prácticas intensivas de manejo silvícola y una mayor diversidad del uso de la madera requieren de funciones para la estimación de los volúmenes comerciales y residuales del fuste con alta consistencia y versatilidad (^{Quiñonez, de los Santos, Álvarez, & Velázquez, 2014}), que apoyen la toma de decisiones en la gestión forestal (^{Rachid, Mason, Woollons, & Resquin, 2014}). En este escenario, los modelos de ahusamiento continúan siendo una herramienta indispensable y de gran utilidad, no solo para la estimación puntual del volumen, sino también en los procesos de simulación para la optimización de la madera en aserrío (^{Honorato, 2011}; ^{Santiago et al., 2014}).

La tasa de disminución del diámetro del fuste varía a medida que se avanza en la altura del árbol (^{Hjelm, 2013}). El fuste en toda su extensión longitudinal adquiere diferentes formas según la especie, pasando de un neiloide en la región basal, formas cilíndricas o paraboloides truncados en la zona de mayor aprovechamiento comercial y terminando en formas cónicas o parabólicas en el extremo superior del árbol (^{Newnham, 1992}; ^{Tamarit et al., 2014}). Por lo anterior, la mayor dificultad se presenta en la obtención de estimadores confiables del diámetro en la zona basal del fuste y en la zona apical del mismo. Además de la especie, el perfil del fuste podría ser determinado por la productividad del sitio (^{Mead, 2013}), la posición sociológica del individuo dentro del rodal y por actividades de manejo silvicultural (^{Matovic, Koprivica, & Radonja, 2007}).

Numerosos autores han tratado de representar el perfil del fuste mediante diversos modelos matemáticos, basados ya sea en fundamentos biológicos o de origen netamente empírico. La literatura actual incluye modelos de ahusamiento lineales (^{Allen, 1991}; ^{Bruce et al., 1968}; ^{Kozak, Munro, & Smith, 1969}; ^{Lowell, 1986}; ^{Real & Moore, 1986}; ^{Renteria & Ramirez, 1998}), no lineales (^{Demaerschalk, 1972}, ¹⁹⁷³; ^{Sharma & Oderwald, 2001}; ^{Sharma & Zhang, 2004}), segmentados (^{Cao, Burkhart, & Max, 1980}; ^{Max & Burkhart, 1976}; ^{Parresol, Hotvedt, & Cao, 1987}; ^{Valenti & Cao, 1986}) y trigonométricos (^{Thomas & Parresol, 1991}). Esa gama incluye desde modelos diferenciables e integrables, hasta modelos que requieren de la integración numérica para la obtención del volumen del fuste.

La gran variedad de modelos existente en la actualidad es evidencia de las deficiencias en los modelos propuestos y presenta la modelación del perfil del fuste como un desafío que aún está vigente (^{Gomat et al., 2011}). Las deficiencias más frecuentes en los modelos se relacionan con estimaciones incorrectas, en especial en los extremos del fuste. Una deficiencia adicional de los modelos existentes, a excepción de unos pocos, es que no incorporan variables de estado de rodal que permitan su uso generalizado, por lo que son válidos solo para el área sujeta del muestreo y validación.

De acuerdo con lo expuesto, un modelo de ahusamiento debiera tener los atributos siguientes: i) ser diferenciable en toda la longitud del fuste, ii) no generar oscilaciones alrededor de la línea de tendencia central, iii) que estime adecuadamente no solo la sección comercial del fuste, sino también el diámetro del tocón para predecir el diámetro normal y el volumen del árbol para reconstrucción de las variables de estado del rodal en un escenario postcosecha (^{Diéguez, Barrio, Castedo, & Balboa, 2003}; ^{Martínez & Acosta, 2014}; ^{Parresol, 1998}) y el volumen del fuste por encima del límite de utilización comercial para aserrío y, iv) debe incorporar variables de estado del rodal que permitan un uso generalizado de la función de ahusamiento resultante del ajuste del modelo. De esta manera, el objetivo de este artículo es ajustar un modelo no lineal generalizado, que requiere de integración numérica para obtener la función de volumen respectiva, satisfaciendo los criterios antes mencionados.

Materiales y métodos

Resultados y discusión

El modelo generalizado [1] presenta consistencia en la totalidad de los parámetros (P < 0.05) en tipos de suelos de arenas y cenizas volcánicas (Cuadro 3), a excepción del parámetro c₃, el cual no es estadísticamente significativo para el caso de suelos en sedimentos de origen marino.

En el caso del modelo generalizado y simplificado [3] se obtuvo una alta eficiencia en la predicción del perfil del fuste de P. radiata (Cuadro 4), cuyos parámetros se diferencian de manera significativa entre los diferentes tipos de suelo (Prueba F).

El modelo generalizado y simplificado [3] presenta una alta flexibilidad en la representación del perfil del fuste, lo cual permite que se estimen adecuadamente tanto los diámetros de la zona basal, como los diámetros de la parte superior del mismo (Figura 1). Normalmente dichos sectores del fuste no representan un uso comercial para fines de aserrío, sin embargo es de suma importancia la flexibilidad del modelo para cuantificar la biomasa de la copa para fines energéticos. En la Figura 1 se observa que las curvas describen adecuadamente el comportamiento de los datos en la totalidad del perfil del fuste. De ahí que la parametrización representa de manera adecuada los diferentes tipos de suelos en función de las variables de estado del rodal, cuyos residuales se distribuyen de manera aleatoria alrededor de la línea 0 (Figura 2) en cada tipo de suelo.

Figura 1 Modelo de Pinus radiata en función de la distancia al ápice relativa a la altura sobre el diámetro normal, con los límites de confianza superior e inferior al 95 %. 

Figura 2 Residuales del modelo generalizado y simplificado [3] en la representación del perfil de Pinus radiata. 

El volumen que se obtiene a través de la integración por métodos numéricos del modelo de ahusamiento generalizado y simplificado [3], al ser validado de manera cruzada con base en la sumatoria de los volúmenes obtenidos en cada troza a través de la fórmula de Smalian, tiene una eficacia de predicción por encima del 97 % (Figura 3).

Figura 3 Validación del volumen de Pinus radiata sin corteza, para cada tipo de suelo en las regiones del Biobío y la Araucanía, Chile. 

Para la representación gráfica del modelo de altura [6] obtenido a partir del modelo generalizado y simplificado [3], se consideró un diámetro sin corteza de 8 cm (Figura 4), con base en los requerimientos comerciales de punta delgada para fines de aserrío.

Figura 4 Diagrama de altura comercial de Pinus radiata para un dlu de 8 cm, en función del diámetro normal y la altura total, para cada tipo de suelo en las regiones del Biobío y la Araucanía, Chile. 

Comparación con algunos modelos de ahusamiento publicados por otros autores

La mayoría de los modelos convergieron en la totalidad de sus parámetros (Cuadro 5), a excepción de los modelos de Coffre citado por ^{Rojo et al. (2005)} [11] y ^{Renteria y Ramirez (1998)} [14], los cuales presentaron algún parámetro no significativo en cada uno de los diferentes tipos de suelos, y el modelo de ^{Lowell (1986)} [12] en el caso de suelos de arenas volcánicas. La raíz del error cuadrático medio (RMSE) fluctuó entre 0.04827 y 0.12124, y el error absoluto medio (MAE) entre 0.03485 y 0.07482 (Cuadro 6).

El análisis gráfico de los residuales fue determinante para seleccionar los modelos con mayor estabilidad y de mejor comportamiento para describir la tendencia del modelo de ahusamiento. Por ejemplo, los modelos de ^{Kozak et al. (1969)} [8], ^{Demaerschalk (1972)} [9], Coffre (^{Rojo et al., 2005}) [11], ^{Renteria y Ramirez (1998)} [14], ^{Valenti y Cao (1986)} [19] y ^{Thomas y Parresol (1991)} [21], aun cuando consideran el perfil fustal de manera curva, subestiman el diámetro de la zona basal del fuste. Adicionalmente, el modelo de ^{Thomas y Parresol (1991)} [21] subestima el perfil fustal a la altura del diámetro normal.

Otros modelos como de ^{Demaerschalk (1972)} [9], ^{Real y Moore (1986)} [13], ^{Renteria y Ramirez (1998)} [14] y ^{Valenti y Cao (1986)} [19] presentaron estimaciones del diámetro normal por encima del valor observado, lo cual sobrestima la oferta de madera para fines comerciales de aserrío. Los modelos de ^{Kozak et al. (1969)} [8], Coffre (^{Rojo et al., 2005}) [11], ^{Renteria y Ramirez (1998)} [14], ^{Sharma y Zhang (2004)} [15], ^{Max y Burkhart (1976)} [16], ^{Cao et al. (1980)} [18] y ^{Thomas y Parresol (1991)} [21] sobrestimaron el diámetro de la zona apical del fuste, lo cual lleva a estimaciones sobrevaloradas de la oferta de biomasa por encima del dlu, como es el caso de la biomasa para fines energéticos.

De igual manera, se encontrarón modelos que presentan gran sensibilidad, la que se manifiesta en oscilaciones alrededor de la línea de estimación, algo común en los polinomios de alto grado, como se reportó en la representación gráfica de los modelos de ^{Demaerschalk (1973)} [10] y ^{Sharma y Zhang (2004)} [15]. Por su parte, el modelo [19] de ^{Valenti y Cao (1986)} es continuo pero no diferenciable en los puntos de unión, lo que aumenta la variabilidad en la predicción del diámetro del perfil del fuste, en las alturas cercanas a esos puntos.

Algunos modelos presentaron cambios abruptos por debajo del diámetro normal, con líneas de tendencia que presentan quiebres poco naturales para el caso de P. radiata, tal es el caso de los modelos de ^{Bruce et al. (1968)} [7], ^{Demaerschalk (1973)} [10], ^{Real y Moore (1986)} [13], ^{Max y Burkhart (1976)} [16] y [17], ^{Cao et al. (1980)} [18], ^{Parresol et al. (1987)} [20] y ^{Thomas y Parresol (1991)} [21].

El modelo de ahusamiento generalizado y simplificado [3] no se diferenció de manera significativa (Tukey LSD, 95 % nivel de confianza), de aquellos modelos que presentaban los mejores ajustes para los tres tipos de suelo (Cuadro 6): modelos de ^{Bruce et al. (1968)} [7], ^{Demaerschalk (1973)} [10], ^{Lowell (1986)} [12], ^{Sharma y Zhang (2004)} [15], ^{Max y Burkhart (1976)} [16] y [17], ^{Cao et al. (1980)} [18], ^{Valenti y Cao (1986)} [19] y ^{Parresol et al. (1987)} [20]. El modelo generalizado y simplificado [3] propuesto en el presente estudio no muestra ninguna de las inconsistencias presentes en los demás modelos.

Por otro lado, el modelo [11] de Coffre, citado por ^{Rojo et al. (2005)}, con el cual el Instituto Forestal de Chile (INFOR) desarrolló el compendio de tablas auxiliares para el manejo de P. radiata (^{Peters, Jobet, & Aguirre, 1985}), expresa sus parámetros en función de la edad de la plantación. No obstante, en el Cuadro 6 se observa que el modelo de ahusamiento generalizado y simplificado [3] presenta un mejor ajuste en suelos de cenizas volcánicas y sedimentos marinos, y se diferencia de manera significativa a través de la prueba de Tukey LSD (95 %, nivel de confianza), con el agravante de que el modelo de Coffre presentó algún parámetro no significativo en todos los tipos de suelos.

Conclusiones

El modelo de ahusamiento generalizado y simplificado propuesto presenta diferenciación de los parámetros para cada tipo de suelo, i.e. arenas y cenizas de origen volcánico y sedimentos de origen marino, en función de la densidad de plantación y área basal expresados de manera intrínseca. La variable edad no es significativa en la obtención del modelo generalizado. Los estadísticos de bondad de ajuste y predictivos del modelo propuesto mostraron eficiencia para estimar el perfil y el volumen fustal sin corteza de Pinus radiata (desde la base hasta el ápice), sobre cada uno de los diferentes tipos de suelo. Al contrastar el modelo propuesto con diversos modelos de ahusamiento que poseen la misma variable respuesta, no se diferencia de manera significativa de aquellos modelos que presentan los mejores ajustes bajo los tres tipos de suelo. El modelo presenta un mejor comportamiento en la zona basal para la estimación correcta del volumen comercial, que el modelo simplificado de ^{Bruce et al. (1968)}, ^{Max y Burkhart (1976)} y ^{Cao et al. (1980)} y, una mayor estabilidad que el modelo de ^{Sharma y Zhang (2004)}, con base en lo cual se recomienda su aplicación.