Generalidades

El método original M5 para estimar precipitaciones extremas y valores de la PMP fue propuesto por el ^{NERC (1975)} de Inglaterra, y utiliza: (1) la precipitación de duración 24 horas y periodo de retorno de cinco años, designada M5 como variable índice; (2) una estimación regional del coeficiente de variación (Cv), y (3) el valor de la variable reducida (y) de la distribución Gumbel o General de Valores Extremos (GVE) tipo I, cuyo parámetro de forma k es igual a cero. Es un método regional que permite realizar estimaciones en sitios sin datos, a partir del mapa de curvas de isovalores del M5 en las islas Británicas.

^{Elíasson (1994)} indica que tanto el método de David M. Hershfield (^{Hershfield, 1961}; ^{Hershfield, 1965}) como el M5, que estiman estadísticamente la PMP, son incorrectos, al emplear una distribución de probabilidades no acotada en su extremo derecho, ya que por definición la PMP tiene un límite físico superior. ^{Elíasson (1994)} también señala que el uso de curvas envolventes regionales de valores extremos de precipitación, a las que se les ajusta la distribución Gumbel, tiende en los periodos de retorno altos a un valor límite de la variable reducida, que se puede usar para estimar la PMP.

^{Elíasson (1997)} destaca que cuando la distribución Gumbel, que es una recta en el papel de probabilidad extremo, se ajusta a series de precipitación máxima diaria (PMD) anual, por lo general los datos quedan cercanos en la parte media de tal modelo, pero presentan desviaciones en los valores bajos y grandes. Estas desviaciones y la falta de un límite superior en el modelo Gumbel restan confiablidad al método M5 original para estimar la PMP.

Estimación de predicciones extremas

En la generalización del método M5, debida a ^{Elíasson (1997)}, sus anomalías citadas las elimina transformando la variable aleatoria de la distribución Gumbel y acotando la variable reducida (y _lim), para obtener un modelo Gumbel truncado. Ahora el método M5 depende de otro parámetro local, denominado factor de pendiente (C _i ), que es función del Cv; sus ecuaciones son (^{Elíasson, 2000}):

siendo:

cuando 25 < M5_d < 200 mm/día, entonces:

En las expresiones anteriores, las variables no definidas son las siguientes: X _Tr es una precipitación extrema en 24 horas o variable aleatoria con periodo de retorno Tr; M5, la precipitación máxima de duración 24 horas, y Tr = 5 años, es decir, con y≅ 50 y una probabilidad de 0.80 de no excedencia; en cambio, M5_d es un valor diario. El C _i tiende a un valor de 0.19, con una desviación estándar de 0.035, según la curva de C _i contra M5 para los valores procesados (^{Elíasson, 1997}).

Estimación de la PMP

^{Elíasson (1997)} encontró que aplicando la Ecuación (4) se reproducen los valores de predicciones extremas del ^{NERC (1975)} y de PMP del US National Weather Service para el estado de Washington en USA, de 25.9 km² de extensión. Esta es la otra generalización del método M5; y _lim es un parámetro regional, y M5 y C _i son parámetros locales que tienen el mismo desempeño probabilístico que la media y el Cv en los análisis de frecuencias. La Ecuación (4) define valores extremos de y _lim de 10.5225, con un Tr de 37 142.5 años y de 9.280 con un Tr de 10 721.9 años. Para estimar la PMP puntual de duración 24 horas, se evalúa y _lim con la expresión (4), después se sustituye tal valor en la Ecuación (3) y se despeja el Tr respectivo, que por último se sustituye en la expresión siguiente debida a ^{Alfnes y Förland (2006)}:

Predicciones extremas disponibles

Durante un estudio realizado en 2013, ^{Campos-Aranda (2014)} procesó 98 registros de precipitación máxima diaria (PMD) anual del estado de Zacatecas, México, cuya amplitud mínima fue de 25 años y la máxima de 68 datos. Los lapsos de tales registros variaron de los años 1943 a 2012 y las pruebas de calidad estadística detectaron que 17 series mostraban componentes determinísticas, por lo cual fueron eliminadas, quedando 81 registros por procesar. En las columnas 2 y 3 de la Tabla 1 se indican los nombres de las estaciones pluviométricas y las amplitudes de cada serie de PMD anual. En las columnas 5 y 6 de la Tabla 1 se citan sus valores respectivos del M5_d y del Cv.

El procesamiento probabilístico de las 81 series de PMD anual, con base en las distribuciones General de Valores Extremos (GVE) y Log-Pearson tipo III (LP3), adoptando (columna 4) la que reportó un menor error estándar de ajuste (^{Kite, 1977}), condujo a las predicciones extremas diarias de Tr = 100, 1 000 y 10 000 años, mostradas en las columnas 7, 10 y 13 de la Tabla 1, procedentes de ^{Campos-Aranda (2014)}. Al multiplicar por 1.13 las predicciones de PMD se obtienen las de duración de 24 horas (^{Weiss, 1964}; ^{WMO, 2009}).

Precipitación Máxima Probable (PMP) en 24 horas

La PMP puntual de 24 horas de duración del estado de Zacatecas, México, se estimó con base en el método estadístico de David M. Hershfield (^{Hershfield, 1961}; ^{Hershfield, 1965}; ^{Campos-Aranda, 1998a}; ^{Campos-Aranda, 1998b}; ^{WMO, 2009}), cuyos resultados se tienen en la columna 16 de la Tabla 1, para las 81 series de PMD anual procesadas, tales valores proceden de ^{Campos-Aranda (2014)}.

Medida cuantitativa del contraste

Se adoptó como indicador básico de los contrastes el error relativo (ER) en porcentaje, calculado con la ecuación:

en la cual X _Tr es la predicción de 24 horas de duración y periodo de retorno (Tr) en años, estimada con la Ecuación (1) del método M5 generalizado por Jónas Elíasson y PMD _Tr es la predicción extrema diaria de igual Tr. Ambas predicciones se expresan en milímetros. Cuando se contrasta la PMP, la ecuación anterior se transforma en la siguiente:

siendo PMP _M5 la precipitación máxima probable puntual en 24 horas, estimada con la Ecuación (5) y PMP _MH la calculada con el método de Hershfield de duración de 24 horas; ambas en milímetros. En las expresiones (6) y (7), cuando las estimaciones del método M5 exceden a las predicciones calculadas previamente en el estado de Zacatecas, México (^{Campos-Aranda, 2014}), se obtienen errores relativos positivos. Cuando las predicciones del método M5 son menores, los ER son negativos.

Respecto a predicciones de Tr = 100 años

Todos los contrastes realizados se analizaron con base en el ER, considerando que cuando tal indicador es menor de 10.0% se logró una estimación bastante aproximada. Para el caso de las predicciones de Tr = 100 años, según se observa en la columna 9 de la Tabla 1, únicamente en 15 estaciones pluviométricas o series de PMD anual se tuvieron ER mayores de 10.0%; por lo cual, en 81.5% de los registros procesados se logró una predicción bastante aproximada con el método M5 generalizado. En los 15 registros que se tienen las mayores dispersiones con las predicciones de los modelos GVE o LP3, nueve fueron por defecto y seis por exceso, con valores máximos de -20.6% y de 23.7%, mostrados en los dos últimos renglones de la última columna de la Tabla 1 (primera parte).

Tomando en cuenta que la predicción de Tr = 100 años extrapola la mayoría de los registros procesados, inicialmente se buscó relacionar los 15 ER mayores de 10.0% con los registros cortos, pero tal dependencia no ocurre de manera generalizada. Lo que sí se puede observar es que los ER positivos ocurren cuando el Cv de la series de PMD anual es menor o cercano a 0.260, y los ER negativos se presentan en Cv mayores de 0.320; las anomalías de lo anterior se tienen en las estaciones Felipe Ángeles y Mezquital del Oro, ambas con registros cortos de 26 años.

Respecto a las predicciones de Tr < 100 años

Con base en los ER de las predicciones de Tr = 100 años (columna 9 de la Tabla 1) se seleccionaron las tres estaciones con ER máximos negativos, con ER mínimos y con ER máximos positivos. En tales estaciones se realizó un contraste de sus predicciones de Tr de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años, el cual se muestra en la Tabla 2. Se observa que todos los ER son menores en tales predicciones y próximos a cero, o bien menores de 10% en los Tr de 5, 10 y 25 años, excepto en Trancoso (estación núm. 76). Por lo anterior, se concluye que el método M5 generalizado reproduce de manera bastante aproximada las predicciones de Tr < 100 años.

Respecto a predicciones extremas

En las predicciones de Tr de 1 000 y 10 000 años del método M5 generalizado se reducen notablemente los ER menores de 10.0%, con sólo 34.6% de los registros en Tr mayor, según columna 15 de la Tabla 1. Además, los valores máximos de tales ER aumentan de manera considerable, siendo de -54.1 y 74.7%, en las predicciones extremas de Tr = 10 000 años.

Un estudio puntual de cada registro con ER negativo llevó a detectar que ocurren en series de PMD anual que tienen valores máximos dispersos (outliers), y que debido a ello se ajustan a la distribución GVE con parámetro de forma (k) negativo o modelo Fréchet. Por el contrario, los ER positivos se presentan cuando los registros siguen al modelo Weibull o distribución GVE con k positivo, ya que ahora se tiene un límite superior. En resumen, el método M5 generalizado no puede reproducir las predicciones extremas elevadas de la distribución Fréchet ni acotar o limitar a las del modelo Weibull.

Por limitaciones del espacio no se mencionan las estaciones pluviométricas con ER negativos máximos ni se citan sus valores de k respectivos, pero ocurren en los números 11, 42, 47, 43, 65, 58 y 69, con k variando de -0.24 a -0.11. En cambio, los ER positivos máximos se tienen en las estaciones 76, 22, 24, 67, 77 y 28, con k fluctuando de 0.35 a 0.17.

Respecto a la PMP

De acuerdo con los ER mostrados en la columna final de la Tabla 1, en 36 registros se tienen ER menores de 10.0%, lo cual corresponde a un 44.4% de las 81 series de PMD anual, procesadas. Además, en otros 40 registros, la PMP estimada con el método M5 generalizado condujo a ER positivos, es decir, que sobreestima el valor de la PMP obtenido con el método de Hershfield. Por último, en los cinco registros faltantes se obtuvieron ER negativos, con un valor máximo de -16.4%. Lo anterior, se considera en general una aproximación excelente de un método que permite realizar estimaciones de la PMP en 24 horas en sitios sin datos, con base únicamente en dos parámetros regionales: M5_d y Cv.

Respecto a las cinco subestimaciones de la PMP, éstas ocurren cuando el Cv de la serie de PMD anual es menor de 0.251; en cambio, las sobreestimaciones importantes, consideradas las de un ER mayor del 30.0%, en general se asocian con valores mayores a 0.386 del Cv.

Respecto a los análisis regionales

En su estudio, ^{Campos-Aranda (2014)} realiza dos análisis regionales: uno en la Región Hidrológica Núm. 12 Parcial (Río Santiago) en la cuenca del río Juchipila, el cual incluyó 13 estaciones; y otro en la Región Hidrológica Núm. 37 (El Salado), que abarcó 19 registros. Seleccionando de la Tabla 1 los renglones de las estaciones que pertenecen a cada región hidrológica, se integraron dos tabulaciones. Se observó en ambas tabulaciones que ahora sus valores tienden a ser semejantes; es decir, presentan menor dispersión. Lo anterior fue verificado en sus renglones finales de valores mínimo y máximo, los cuales mostraron menor amplitud o rango. Lo anterior genera confianza en los resultados de la aplicación del método M5 generalizado, en áreas o zonas geográficas de una región hidrológica. Por limitaciones de espacio, sólo se expone en la Tabla 3 la porción final de las estaciones de la cuenca del río Juchipila, que son Excamé, Huanusco, Huitzila, Jalpa, Juchipila, La Villita, Los Campos, Mezquital del Oro, Moyahua de Estrada, Nochistlán, Teúl de González Ortega, Tlachichila y Tlaltenango.