Introducción
La eficiencia de los lentes sumergidos para focalizar la energía del oleaje ha sido materia de estudio por matemáticos e ingenieros desde hace más de 30 años; diversas formas geométricas se han investigado, con la finalidad de evaluar su capacidad para amplificar el oleaje en un punto determinado (punto focal), y poder ofrecer una herramienta útil en términos de captación de energía y de protección costera.
Los primeros estudios teóricos y experimentales involucraron un lente de tipo Fresnel para producir un cambio de fase no uniforme en una ola divergente para transformarla en una ola convergente (Mehlum & Stamnes, 1987; Stamnes, Lovhaugen, Spjelkavik, Chiang, & Yue, 1983). Murashige y Kinoshita (1992), desarrollaron un estudio comparativo entre un lente de tipo Fresnel y un lente biconvexo, ambos con un perfil construido de pequeños cilindros para disminuir los efectos de la reflexión del oleaje. Sus resultados demostraron que los lentes biconvexos tienen mejor desempeño que los lentes de tipo Fresnel y que el utilizar el arreglo de pequeños cilindros como perfil mejora la eficiencia.
Una investigación más reciente y con aportes más significativos al presente proyecto fue el estudio numérico comparativo entre la eficiencia de un lente biconvexo y un lente elíptico, realizado por Griffiths y Porter (2011). En este trabajo se incluyó una región de someramiento alrededor de los lentes para reducir el efecto de la difracción, que contribuye de manera negativa en el proceso de focalización, y se utilizó la teoría de la refracción en cónicas, para obtener un proceso de focalización controlado y predictivo. Ya que esta teoría establece que cualquier haz de luz que incida de forma paralela al eje óptico de un elipsoide con un índice de refracción inverso a la excentricidad (n = 1/e), se enfocará en el segundo foco geométrico del elipsoide. Los autores utilizaron la relación entre el número de onda y el índice de refracción para hacer uso de este principio de manera que n = k
2/k
1 = 1/e, en donde n es el índice de refracción y k
2 = 2π/L
2 y k
1 = 2π/L
1
Por lo tanto, para una frecuencia determinada y partiendo de una profundidad h 1 y h 2 conocidas, los autores determinaron la excentricidad necesaria para obtener una convergencia del oleaje en el segundo foco geométrico del lente elíptico. Sus resultados numéricos describieron adecuadamente lo establecido por la teoría de refracción en cónicas y demostraron que los lentes elípticos son más eficientes que los lentes biconvexos. Con base en las conclusiones de los trabajos antes descritos y con la finalidad de establecer una herramienta adecuada para enfocar la energía del oleaje, se tomaron en cuenta estructuras elípticas sumergidas debido a que son más eficientes que los lentes biconvexos y Fresnel, y también, para poder hacer uso de la ley de refracción en cónicas. Sin embargo, quedan preguntas por resolver, pues para un índice de refracción conocido, determinado por el cambio en profundidad entre h 1 y h 2 existe una gama innumerable de posibilidades para establecer la excentricidad, ya que tanto el semieje menor b como el semieje mayor a, pueden tomar una infinidad de valores siempre y cuando su proporción sea siempre la misma para mantener la excentricidad constante. Y de manera inversa, a partir de una excentricidad conocida existe una gama innumerable de posibilidades para establecer el índice de refracción n, ya que h 1 y h 2 pueden tomar una infinidad de valores siempre y cuando mantengan constante su proporción para obtener el n deseado. Para resolver tal incertidumbre, en este artículo se presenta la evaluación numérica del desempeño de los lentes elípticos sumergidos para diferentes parámetros geométricos, como la excentricidad y el tamaño de los semiejes, así como para distintos índices de refracción con respecto al oleaje incidente.
Este trabajo se divide de la siguiente forma: se describe la metodología que se utilizó para llevar a cabo la evaluación numérica del lente elíptico, la cual fue realizada por medio de un modelo de oleaje de tipo Boussinesq, que fue validado a partir de pruebas de laboratorio en el Estanque de Oleaje de la Facultad de Ingeniería de la UNAM (EOFI-UNAM). Los resultados acerca de la validación del modelo numérico de Boussinesq, así como de la evaluación numérica del desempeño del lente elíptico en función de sus parámetros geométricos y el oleaje incidente, se muestran en otra sección. Por último, se describen las conclusiones más relevantes de la presente investigación.
Materiales y métodos
Modelo numérico
Para llevar a cabo la evaluación numérica del desempeño de los lentes elípticos se implementó un modelo de oleaje denominado CELERIS (Tavakkol & Lynett, 2017), el cual resuelve las ecuaciones extendidas de Boussinesq (Madsen & Sorensen, 1992). Este tipo de ecuaciones son capaces de resolver los procesos físicos de refracción, difracción, reflexión, someramiento e interacciones no lineales que sufre el oleaje, ya sea en aguas poco profundas o con la interacción con estructuras, por lo que son adecuadas para resolver proceso hidrodinámicos costeros (Nwogu, 1993; Kirby, 2003; Briganti, Musumeci, Bellotti, Brocchini& Foti, 2004), o para resolver la interacción del oleaje con estructuras flotantes o sumergidas (Prinos, Avgeris, & Karambas, 2005; Fuhrman, 2005, Bingham, & Madsen, 2005; Soares & Mohapatra, 2015), así como en procesos de focalización de oleaje (Tavakkol & Lynett, 2017). Este modelo ha sido validado para distintos casos estándares de referencia, como el run-up del oleaje en pendientes y en islas cónicas, y en la focalización del oleaje con geometrías circulares (Tavakkol & Lynett, 2017). El presente trabajo contribuye a la validación del modelo CELERIS.
Las ecuaciones involucradas son:
Donde U es el vector de variables conservativas, F(U) y G(U) son los vectores del flujo advectivo y S(U) es el término fuente que incluye los términos dispersivos, la fricción y la información de los cambios de fondo. P y Q representan los flujos promediados en la vertical en direcciones x y y, respectivamente. Los subíndices x y y representan diferenciación espacial, y el subíndice t denota diferenciación temporal. La elevación del fondo con respecto al datum vertical está representada por z, y f 1 y f 2 son los términos de fricción de fondo; h es la profundidad total, y g es la aceleración de la gravedad. Los términos que expresan la dispersión son ψ1 y ψ2, y se encuentran definidos por:
Donde d es la profundidad y B = 1/15 es el coeficiente de calibración de la dispersión. La elevación de la superficie libre está descrita por η.
Diseño experimental para validación del modelo CELERIS
Con la finalidad de evaluar la capacidad del modelo para simular el proceso de focalización con lentes elípticos se realizaron experimentos en el EOFI-UNAM (Figura 1), el cual es una estructura rectangular de concreto, con una capacidad máxima de 37.72 m3 y tiene las siguientes dimensiones: 10.7 m de largo, 4.7 m de ancho y 0.75 m de alto. El oleaje es generado a través de una pala unidireccional de tipo flap. Dentro del EOFI-UNAM se instaló el modelo físico de un lente elíptico, con un semieje menor de 0.6 m, un semieje mayor de 1 m y una altura de 0.122 m (Figura 2), y se generó un campo de olas monocromático unidireccional con una frecuencia de 1.61 Hz y una altura de 0.013 m, el cual fue registrado por medio de mediciones de la superficie libre con sensores de nivel de tipo resistivo. Cabe señalar que las dimensiones del lente elíptico fueron determinadas por pruebas numéricas piloto, en donde se fijó el semieje menor al mismo valor de la longitud de onda incidente (b = L 0), y se variaron las alturas y el semieje mayor hasta encontrar una focalización significante del oleaje incidente (cuando a = 1.7L 0). Para controlar los efectos de reflexión que provoca la pared opuesta a la pala de generación del estanque se construyó una playa disipativa de grava (D50 = 0.025 m), con una pendiente a una razón de 1:3, con la cual se obtuvo un coeficiente de reflexión menor al 7% para las condiciones de oleaje mencionadas. Este coeficiente de reflexión es aceptable, pues se encuentra por debajo del 10% (Cotter & Chakrabarti, 1994). Cabe señalar que este coeficiente se obtuvo mediante el método de los tres puntos desarrollado por Mansard y Funke (1980), con la modificación al método de mínimos cuadrados propuesto por Baquerizo (1995).
Para simular la transición de aguas profundas hacia aguas someras se construyó una plataforma horizontal con el mismo material que la playa disipativa, con una altura de 0.13 m sobre el fondo del estanque. El nivel del agua en todos los experimentos fue de 0.35 m.
Para registrar el proceso de focalización se instrumentaron dos transectos (Figura 3): uno sobre el eje óptico (transecto AB) y otro transversal al eje óptico sobre el punto focal (transecto CD).
Para medir el oleaje perturbado a un costado del lente elíptico se instrumentaron tres transectos paralelos al eje óptico a la altura de la elipse (transectos EF, GH e IJ).
Con la finalidad de verificar el funcionamiento del modelo para oleaje oblicuo y debido a que la pala del estanque solamente genera olas unidireccionales, el lente se giró 20° sobre el eje óptico para simular la incidencia oblicua. El panel inferior de la Figura 3 muestra un esquema de la posición del lente elíptico para oleaje oblicuo, así como el arreglo de instrumentos para registrar los cambios en la zona focal debido al cambio de la dirección incidente del oleaje (transectos KL y MN).
La frecuencia de muestreo de la superficie libre por medio de los sensores fue de 100 Hz (0.01 s) y la longitud del registro fue de 120 s para cada prueba realizada. La Figura 4 muestra un ejemplo de dos series registradas durante el periodo de medición. A partir de la series de tiempo de la superficie libre se llevó a cabo el análisis temporal por medio de cruces por cero por pasos descendentes, para poder obtener los parámetros estadísticos del oleaje, tales como la altura (H) y el periodo (T). Posteriormente se obtuvo la altura cuadrática media (H rms ), definida como:
Donde N es el número total de datos y H m son las alturas individuales de ola contenidas en el registro temporal.
Para poder comparar la cantidad de energía del oleaje incidente, el oleaje focalizado y el oleaje en un punto de control (que corresponde al oleaje en la posición del punto focal pero sin la presciencia del lente), se realizaron espectros de energía por medio de la Transformada Rápida de Fourier (TRF), la cual, a partir del registro de la superficie libre en el dominio del tiempo, obtiene la cantidad de energía de dicho registro en función de la frecuencia.
Además del registro de la superficie por los sensores de nivel, se realizó un registro del proceso de focalización por medio de una cámara de alta velocidad. La cámara fue instalada en dos posiciones, para registrar la vista lateral y frontal del proceso de focalización (Figura 5). El registro de video se realizó para una velocidad de 700 cuadros por segundo. La Figura 5 muestra un conjunto de fotogramas obtenidas a partir del video de alta velocidad para el caso de incidencia normal tanto en vista lateral (panel superior) como en vista frontal (panel inferior). Para el caso de vista lateral, el oleaje viaja de derecha a izquierda, alcanzando un máximo en la zona focal a los 143 ms. En la vista frontal se aprecia la vista transversal del lente y el oleaje se aproxima de atrás hacia adelante, alcanzando el máximo a los 143 ms.
Estanque numérico
Para obtener la superficie libre simulada con el modelo CELERIS, se implementó una réplica
numérica del EOFI-UNAM. El dominio numérico fue dividido en 536 celdas y 236
celdas para el largo (10.7 m) y ancho (4.7 m) del estanque, respectivamente,
quedando así una malla rectangular con una resolución espacial de 0.02 m (Figura 6). La generación del oleaje en el
estanque numérico se simuló por medio de una función periódica de tipo seno, con
una amplitud de 0.0066 m, un periodo de 0.62 s y una dirección de 0°
(perpendicular al eje óptico del lente elíptico), en la frontera este. Las
variables η, P y Q quedan definidas en la
frontera como
Para disipar la energía del oleaje y evitar los efectos de reflexión dentro del estanque
numérico, la playa disipativa utilizada en la modelación física fue remplazada
por una esponja numérica, la cual actúa como un coeficiente de disipación
En donde
Las paredes laterales fueron consideradas totalmente reflejantes (al igual que en el EOFI-UNAM), de manera que:
Para x = (R/d 90)(d 50/d 90). El radio hidráulico R se obtuvo a partir de la relación del área de la sección transversal del estanque entre el “perímetro mojado”, el cual representa el perímetro de sección transversal del estanque que está en contacto con el agua. A partir de la Ecuación (9) se obtuvo un coeficiente de n = 0.023.
El paso de tiempo de integración de las ecuaciones de gobierno del modelo fue de 0.001 s, y la adquisición de resultados fue de 100 Hz para homologar la frecuencia de registro de la superficie libre simulada con la obtenida en el EOFI-UNAM. El tiempo de simulación fue de 30 s para todos los experimentos. Con respecto al procesamiento de resultados numéricos, se siguió la misma metodología que para la modelación física. Primero se obtuvieron series temporales de la superficie libre en la misma posición y frecuencia de muestreo que los sensores de nivel utilizados en el EOFI-UNAM (Figura 2) y después se obtuvo la H rms y los espectros de energía.
Resultados y discusión
La comparación de las series temporales de la superficie libre obtenidas con el modelo CELERIS y en el EOFI-UNAM se realizó para un registro de 10 s, considerando como inicio el segundo 20 y el final el segundo 30 (Figura 7, panel izquierdo).
Se observó buena correspondencia en los posiciones AB0, AB1, AB2, AB3, AB4 y AB5; sin embargo, para las posiciones posteriores al lente, AB6 y AB7, el modelo sobrestimó los datos medidos en el EOFI-UNAM.
Las posiciones que describen el proceso de focalización sobre el lente son AB3, AB4 y AB5, en donde esta última representa el foco con la mayor amplitud registrada, y las posiciones AB2, AB1 y AB0 corresponden a las posiciones anteriores al lente.
Para fines de la evaluación del desempeño del lente elíptico, la información más relevante que se evaluó durante el proceso de focalización obtuvo buena correspondencia con la información medida en el EOFI-UNAM (AB3, AB4 y AB5).
La altura cuadrática media normalizada (
La estructura transversal de la zona focal (CD) estuvo bien representada por el modelo y la comparación del oleaje en la sección lateral al lente (EF, GH e IJ) señala que el modelo resolvió de manera adecuada el oleaje perturbado.
La Figura 8 muestra la comparación de
La comparación de la
La comparación realizada por medio de la superficie libre, la
Evaluación del desempeño del lente sumergido
Con la finalidad de poder estandarizar las pruebas de desempeño a un parámetro de referencia correspondiente al oleaje incidente, el tirante de agua ―determinado por la profundidad entre el lente sumergido y el espejo de agua
Para obtener una comparación de la amplificación de la energía, a partir de cada prueba se obtuvo el espectro en el punto focal del oleaje incidente (en la posición x = 8 m, y = 2.35 m) y en el punto de control. El punto focal se definió como la ubicación donde se encontró la máxima
Debido a que el oleaje dentro del estanque puede comportarse como un conjunto de ondas cuasi-estacionarias (Dean & Darymple, 1984), es de suma importancia conocer la influencia del oleaje reflejado en el proceso de focalización sobre el lente elíptico, sobre todo si los experimentos son de larga duración (Cotter & Chakrabarti, 1994).
Para conocer la influencia de la energía reflejada por las paredes laterales del estanque numérico, se hicieron dos pruebas con duración de 30 s en un estanque con las paredes laterales alejadas y en el estanque validado para la misma condición de frontera, a fin de determinar una ventana de tiempo en donde el foco no se vea afectado por la reflexión. La Figura 11 muestra el perfil de
Se puede observar que para el caso del estanque validado (EV, primer panel) hay diferencias significativas en el perfil de
Pruebas de tirante sobre lente sumergido
El propósito de estas pruebas consistió en evaluar el desempeño del lente elíptico para diferentes relaciones entre
La plataforma sobre la cual se montó el lente elíptico se fijó a una altura de 0.15 m sobre el fondo del estanque numérico, por lo que
Prueba | Factor |
Pos. x (m) |
|
n | δ (m) |
---|---|---|---|---|---|
TA1 | 1/3 | n/a | 0.0119 | 1.003 | n/a |
TA2 | 1/4 | n/a | 0.0170 | 1.049 | n/a |
TA3 | 1/5 | 3.38 | 0.0231 | 1.104 | 0.02 |
TA4 | 1/6 | 3.38 | 0.0283 | 1.161 | 0.02 |
TA5 | 1/7 | 3.38 | 0.0317 | 1.219 | 0.02 |
TA6 | 1/8 | 3.38 | 0.0324 | 1.276 | 0.02 |
TA7 | 1/9 | 3.38 | 0.0306 | 1.332 | 0.02 |
TA8 | 1/10 | 3.62 | 0.0312 | 1.387 | 0.22 |
Conforme el tirante de agua sobre el lente elíptico comienza a disminuir, la energía aumenta hasta alcanzar un punto máximo en un tirante de 1/8
Se puede observar en la Tabla 1 que el índice de refracción
Pruebas de excentricidad
Tomando como antecedente las pruebas numéricas piloto mencionadas en la metodología, el semieje mayor (
Prueba | Factor |
|
Pos. x (m) |
|
δ (m) |
---|---|---|---|---|---|
EL1 | 1.500 | 0.484 | 3.140 | 0.0325 | 0.58 |
EL2 | 1.064 | 0.784 | 3.380 | 0.0329 | 0.02 |
EL3 | 1.000 | 0.811 | 3.380 | 0.0322 | 0.02 |
EL4 | 0.875 | 0.859 | 3.380 | 0.0309 | 0.04 |
EL5 | 0.750 | 0.899 | 3.380 | 0.0297 | 0.08 |
EL6 | 0.500 | 0.956 | 3.440 | 0.0295 | 0.18 |
EL7 | 0.375 | 0.975 | 3.440 | 0.0290 | 0.22 |
EL8 | 0.250 | 0.989 | 3.700 | 0.0247 | 0.43 |
En la Figura 14 se observa que los casos EL1, EL2 y EL3 presentan las mayores cantidades de energía concentrada, con valores aproximados a seis veces la energía incidente y cercanos a ocho veces la energía observada en el punto de control, siendo el caso EL2 el de mayor amplificación. A partir de EL4, la energía comienza a disminuir conforme la excentricidad aumenta hasta llegar al caso de EL8.
Es importante señalar que en las pruebas de tirante de agua y de excentricidad, los casos determinados por la ley de refracción de cónicas han sido los que mayor energía han amplificado. Para el caso de tirante de agua sobre el lente elíptico, la relación de
Para el caso de las pruebas de excentricidad, la excentricidad del caso EL2 fue exactamente inversa a
La Tabla 3 muestra la posición de cada foco sobre el eje óptico, la
Prueba | Factor |
|
|
Área (m2) |
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
EC1 | 1.000 | 0.940 | 0.584 | 1.72 | 0.0330 | 0.02 |
EC2 | 0.750 | 0.705 | 0.438 | 0.97 | 0.0329 | 0.02 |
EC3 | 0.500 | 0.470 | 0.293 | 0.43 | 0.0276 | 0.08 |
EC4 | 0.250 | 0.235 | 0.146 | 0.11 | 0.0181 | 0.14 |
La Figura 16 muestra los espectros de energía obtenidos para cada una de las pruebas mencionadas en la Tabla 3, así como para el oleaje incidente y en el punto de control.
Se puede observar en la Figura 16 que a pesar de la diferencia en tamaño que tienen los lentes elípticos correspondientes a EC1 y EC2, ambos amplifican casi la misma cantidad de energía, indicando que EC2 (con un semieje de 3/4
Pruebas de profundidad total
Con la finalidad de conocer qué tanto se ve afectado el proceso de focalización que produce el lente elíptico con respecto a la profundidad total en la que está sumergido, se realizaron diversas simulaciones numéricas para distintas profundidades. La Tabla 4 muestra la lista de las pruebas realizadas. Cada prueba se denominó por las siglas “PP” (profundidad plataforma). Como se puede observar en la Tabla 4, para el caso PP2, δ aumentó de modo considerable, indicando que a pesar de mantener la excentricidad definida por la ley de refracción de cónicas, existe un límite en la reducción de
Prueba |
|
|
|
Posición (m) |
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
PP1 | 0.150 | 1.225 | 0.816 | 3.64 | 0.0284 | 0.02 |
PP2 | 0.100 | 1.109 | 0.902 | 3.50 | 0.0230 | 0.08 |
La Figura 18 muestra los espectros de energía obtenidos para cada una de las pruebas mencionadas en la Tabla 4, así como para el oleaje incidente y en el punto de control.
La energía amplificada para el caso de PP1 fue de cuatro veces y seis veces con respecto a la energía incidente y el punto de control, respectivamente. Para el caso de PP2, fue de 4 y 3 veces en relación con la energía concentrada con respecto a la energía incidente y el punto de control, respectivamente, indicando que a pesar de mantener la excentricidad definida por la ley de refracción de cónicas existe un impacto importante al disminuir la profundidad a la que el lente se encuentra sumergido, ya que para profundidades del orden de 1/3
Pruebas de cambio en la dirección del oleaje incidente
Se realizaron tres pruebas correspondientes a ángulos de incidencia con respecto al eje óptico de 10, 20 y 30°. Para simular el cambio en el ángulo de incidencia, el lente elíptico se giró 10, 20 y 30° en sentido horario. Para cada caso, se graficó la superficie libre máxima instantánea y se obtuvieron los espectros de energía correspondientes en el punto de máxima amplificación.
La Tabla 5 muestra los casos evaluados, en donde se especifica el ángulo de incidencia y la posición del máximo en coordenadas x, y. Cada prueba fue denominada por las siglas “LED” (lente elíptico dirección).
Prueba | Ángulo | Posición foco (X, Y) |
---|---|---|
LED1 | 10° | (3.68, 2.44) |
LED2 | 20º | (3.68, 2.44) |
LED3 | 30º | (3.72, 2.44) |
La Figura 19 muestra la posición del foco para cada uno de los casos evaluados; se indica el eje óptico para tener una referencia del cambio de posición.
La Figura 20 muestra los espectros obtenidos en las posiciones indicadas en la Tabla 5, así como el espectro del oleaje incidente y en el punto de control. Se puede observar en la Figura 19 que conforme aumenta el ángulo de incidencia del oleaje, el foco se desplaza hacia un costado del eje óptico y la cantidad de energía concentrada por el lente disminuye de 6 a 5 veces, y a cuatro veces la energía de ola incidente, y de 7 a 6 veces, y a cinco veces la energía obtenida en el punto de control, para los casos LED1, LED2 y LED3, respectivamente (ver Figura 20). El cambio de la posición del foco con respecto al eje óptico fue registrado por video de alta velocidad en el EOFI-UNAM para el caso de un ángulo de incidencia de 20° (correspondiente al caso LED2); el desplazamiento del área focal coincide con lo que se simuló con el modelo CELERIS (Figura 21).
Conclusiones
En esta investigación se evaluó, a través de simulaciones numéricas con un modelo de tipo Boussinesq, la capacidad de los lentes elípticos sumergidos para amplificar la energía del oleaje que pudiera ser aprovechada como fuente de energía renovable. El modelo numérico CELERIS fue validado de modo satisfactorio por medio de pruebas de laboratorio en el EOFI-UNAM; el modelo es capaz de simular el proceso de focalización de manera adecuada para oleaje con incidencia normal y con incidencia oblicua.
Con respecto a las pruebas de evaluación del desempeño, se encontró que con las geometrías definidas a partir el índice de refracción y/o la excentricidad resultante de la ley de refracción en cónicas, se obtuvo la mayor cantidad de energía en el punto focal, en donde se obtuvo entre 7 y 8 veces la energía calculada en el punto de control.
Sin embargo, se encontró que existen determinados límites de tirante de agua, profundidad de instalación y tamaño de los semiejes respectivos a
El presente artículo establece rangos óptimos para el diseño de un lente elíptico sumergido a partir de la longitud de onda incidente, con el cual se puede obtener una concentración de energía de unas ocho veces mayor (durante condiciones estables) que sin lente sumergido (punto de control). Además, ofrece métricas del desempeño de los lentes para distintas geometrías, en términos de su excentricidad y altura, así como de su profundidad de instalación, para ofrecer distintas alternativas.