Generalidades

Las lluvias de diseño son precipitaciones máximas de cierta duración asociadas con bajas probabilidades de excedencia con las cuales se estiman, por medio de métodos hidrológicos, las crecientes de diseño cuando no se dispone de registros hidrométricos. Detalles de lo anterior se pueden consultar en ^{Teegavarapu (2012)}, ^{Mujumdar y Nagesh-Kumar (2012)}. Las crecientes de diseño permiten el dimensionamiento de las obras hidráulicas durante su planeación o cuando se revisan por seguridad. La estimación más confiable de las lluvias de diseño se basa en el análisis probabilístico (AP) de los datos máximos anuales, el cual asume que el proceso aleatorio que generan las precipitaciones observadas es estacionario y, por ello, sus propiedades estadísticas no cambian con el tiempo. En el AP se ajusta una función de distribución de probabilidad (FDP) conocida al registro de precipitaciones y con base en ella se realizan las predicciones buscadas o lluvias de diseño. Debido a la escasez de estaciones pluviográficas y la abundancia relativa de estaciones pluviométricas, los registros de valores extremos más comúnmente procesados de lluvias son los de precipitación máxima diaria (PMD) anual.

Actualmente, todas las estaciones pluviométricas están sometidas a los efectos del cambio climático global, o bien su entorno geográfico sufre modificaciones físicas generadas por las actividades del hombre. Entre las más impactantes están la urbanización, deforestación, desecación de lagunas y construcción de embalses, que alteran los procesos atmosféricos locales, dando origen a series o registros de PMD anual no estacionarios (^{Strupczewski & Kaczmarek, 2001}; ^{Khaliq, Ouarda, Ondo, Gachon, & Bobée, 2006}; ^{El Adlouni, Ouarda, Zhang, Roy, & Bobée, 2007}; ^{El Adlouni & Ouarda, 2008}).

Para realizar el AP de registros no estacionarios, la teoría estadística de valores extremos ha sido extendida para ajustar el modelo clásico que siguen asintóticamente las series de datos hidrológicos máximos, es decir, la FDP General de Valores Extremos estacionaria (GVE₀) con tres parámetros de ajuste (u, α, k); lo anterior, con base en la introducción de las llamadas covariables. Una de las más utilizadas es el tiempo (t) en años, a través de la cual se puede tomar en cuenta la tendencia observada en la serie de datos, adoptando como variable el parámetro de ubicación (u _t ). Cuando la tendencia es lineal (u _t = μ₀ + μ₁·t) se ajusta el modelo GVE₁ de cuatro parámetros de ajuste (μ₀, μ₁, α, k). Si la tendencia es curva (u _t = μ₀ + μ₁·t + μ₂·t ²), se aplica el modelo GVE₂ de cinco parámetros de ajuste (μ₀, μ₁, μ₂, α, k); en este modelo se pueden usar dos covariables (u _t = μ₀ + μ₁·t + μ₂·h) (^{Khaliq et al., 2006}; ^{Prosdocimi, Kjeldsen, & Miller, 2015}).

Respecto a otras distribuciones no estacionarias, se tienen varias, por ejemplo la Log-normal (^{Vogel, Yaindl, & Walter, 2011}; ^{Aissaoui-Fqayeh, El Adlouni, Ouarda, & St. Hilaire, 2009}) y los modelos Logística Generalizada (^{Kim, Nam, Ahn, Kim, & Heo, 2015}) y Pareto Generalizada (^{Rao & Hamed, 2000}), susceptibles de un tratamiento idéntico al que será expuesto para la distribución GVE. También se pueden usar otras covariables en lugar del tiempo (t), como algunos índices climáticos globales o regionales (^{Prosdocimi, Kjeldsen, & Svensson, 2014}; ^{López-de-la-Cruz & Francés, 2014}; ^{Álvarez-Olguín & Escalante-Sandoval, 2016}; ^{Campos-Aranda, 2018}).

Objetivo

El objetivo de este trabajo consistió en exponer la teoría del ajuste de las distribuciones no estacionarias GVE₁ y GVE₂, por medio de la generalización del método de los momentos L, planteada inicialmente por ^{El Adlouni y Ouarda (2008)}, y aplicada después por ^{Gado y Nguyen (2016)}. Además, se exponen y procesan cuatro series de PMD anual, todas con tendencia, y se describen los resultados del ajuste del modelo GVE₁ o GVE₂, destacando la sencillez y utilidad de la extensión del método de los momentos L para obtener las predicciones dentro del registro histórico y a futuro.

Distribución General de Valores Extremos

Los valores máximos anuales son eventos que ocurren en la cola derecha de la FDP, la cual define el comportamiento de la variable aleatoria hidrológica. Por lo anterior, las lluvias de diseño se pueden predecir con base en la FDP, como el valor máximo que corresponde a un cierto intervalo promedio de recurrencia o periodo de retorno (Tr), cuya probabilidad de excedencia es p = 1/Tr. La teoría de valores extremos estableció que los datos extremos siguen de manera asintótica a la FDP General de Valores Extremos (GVE), cuya aplicación ha sido recomendada (^{Stedinger, Vogel, & Foufoula-Georgiou, 1993}; ^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Coles, 2001}; ^{Khaliq et al., 2006}; ^{Papalexiou & Koutsoyiannis, 2013}; ^{Gado & Nguyen, 2016}) para modelar datos hidrológicos extremos (dh) con una probabilidad de no excedencia (F(dh)), que es:

En la expresión anterior, u, α y k son los parámetros de ubicación, escala y forma de la GVE₀. Cuando k = 0, se obtiene la distribución Gumbel, que es una línea recta en el papel de probabilidad Gumbel-Powell, por lo cual el intervalo de la variable es -∞ < dh < ∞. Cuando k > 0, la distribución es Weibull, que es una curva con concavidad hacia abajo y límite superior, por lo cual -∞ < dh ≤ u + α/k. Finalmente, si k < 0, la distribución es Fréchet, que también es una curva, pero con concavidad hacia arriba y frontera inferior, por lo que u + α/k ≤ dh < ∞. Las predicciones buscadas (DH _Tr ) se obtienen con la solución inversa de la Ecuación (1):

Momentos L de la muestra de datos

El método de los momentos L es quizás el más simple de los procedimientos confiables para estimar los parámetros de ajuste de las FDP utilizadas en hidrología. Lo anterior debido a que los momentos L, que son combinaciones lineales (^{Hosking & Wallis, 1997}) de los momentos de probabilidad ponderada (β _r ), no son afectados de manera significativa por los valores dispersos (outliers) de la muestra. Los primeros tres momentos L de una muestra (l ₁, l ₂, l ₃) y el cociente L de asimetría (t ₃) se estiman a través del estimador insesgado (b _r ) de los β _r , como sigue:

El estimador insesgado de los β _r es (^{Hosking & Wallis, 1997}):

donde r = 0, 1, 2,…. y dh _i son los datos de la muestra o serie disponible de datos hidrológicos de tamaño n, ordenados de menor a mayor dh1≤dh2≤⋯≤dhn.

Parámetros de ajuste de la distribución GVE estacionaria

Para el modelo GVE₀ con el método de los momentos L, sus tres parámetros de ajuste se calculan con las ecuaciones (^{Stedinger et al., 1993}; ^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Rao & Hamed, 2000}; ^{Campos-Aranda, 2018}):

siendo:

Para la estimación de la función Gamma Γ(ω) se utilizó la fórmula de Stirling (^{Davis, 1972}), mostrada en la Ecuación (12):

AP no estacionario con GVE₁ y GVE₂

Según ^{Strupczewski y Kaczmarek (2001)}, el ajuste de las distribuciones no estacionarias GVE₁ y GVE₂ implica dos supuestos: (1) se acepta que la no estacionariedad de las series de PMD anual es causada por cambios graduales del entorno geográfico y/o por el cambio climático global, generando una alteración ligera de sus parámetros estadísticos; y (2) se acepta que la FDP es independiente del tiempo, entonces la distribución GVE, con parámetros de ajuste variables con el tiempo, es aceptable para modelar datos extremos no estacionarios. Por lo anterior, se debe considerar variable en el tiempo la media (μ _t ) de la distribución GVE, cuya expresión es (^{Rao & Hamed, 2000}):

Predicciones en la estación Abritas, S.L.P.

Primero se aplicaron las ecuaciones del Apéndice 1, y se obtuvo μ₀ = 167.6315, μ₁ = -1.6057 y r _xy = -0.4619. Después se probó la tendencia lineal con las ecuaciones del Apéndice 2 y se obtuvo un DS = -3.7558 y un DS _c = 2.0066, por lo cual resultó altamente significativa.

La serie estacionaria (PMDeμ, Ecuación (15)) acepta un modelo GVE₀ con parámetros de escala y forma de α = 41.4364 y k = 0.0691; en cambio, la Ecuación (2), utilizando el parámetro de ubicación variable (Ecuación 14), conduce a un error estándar de ajuste (EEA) de 34.8 mm.

En la Tabla 2 se expone una parte de las predicciones dentro de registro histórico y una extrapolación a una década (año 2025), pues a futuro son menores debido a la pendiente descendente. Las predicciones con el modelo estacionario GVE₀ de periodos de retorno 2 y 100 años son: 114.9 y 290.8 mm, con un EEA = 6.0 mm.

En la Figura 1 se expone la serie cronológica de los datos y las rectas de las predicciones, las cuales se dibujan, con base en las predicciones de la Tabla 2, dentro del registro histórico con los valores de la covariable t, que varían de 1 a n.

Figura 1 Serie cronológica de PMD anual y rectas de predicciones estimadas con la distribución GVE₁ en la estación Abritas, San Luis Potosí, México. 

Predicciones en la estación Zacatecas, Zac.

Al aplicar las ecuaciones del Apéndice 1 se obtuvo μ₀ = 40.1247, μ₁ = 0.2246 y r _xy = 0.2638. Enseguida se probó la tendencia lineal con las ecuaciones del Apéndice 2; se obtuvo un DS = 2.0463 y un DS _c = 2.0032, por lo cual resultó escasamente significativa.

La serie estacionaria (PMDeμ, Ecuación (15)) acepta un modelo GVE₀ con parámetros de escala y forma de α = 11.8358 y k = 0.0709; en cambio, la Ecuación (2), utilizando el parámetro de ubicación variable (Ecuación (14)), conduce a un error estándar de ajuste de 3.0 mm.

En la Tabla 3 se expone una parte de las predicciones dentro de registro histórico y a futuro de los años 2025, 2050 y 2100. Como este registro de 58 datos concluye en 2010, entonces el valor del tiempo t en 2025 es 73, en 2050 es 98 y en 2100 es 148. Las predicciones con el modelo estacionario GVE₀ de periodos de retorno 2 y 100 años son 45.2 y 86.7 mm, respectivamente, con un EEA = 1.5 mm. En la Figura 2 se expone la serie cronológica de los datos y las rectas de las predicciones trazadas según resultados de la Tabla 3.

Figura 2 Serie cronológica de PMD anual y rectas de predicciones estimadas con la distribución GVE₁ en la estación Zacatecas, Zacatecas, México. 

Predicciones en la estación Las Adjuntas, S.L.P.

Al aplicar las ecuaciones del Apéndice 1 se obtuvo μ₀ = 74.9213, μ₁ = 0.8813 y r _xy = 0.2981. Enseguida se probó la tendencia lineal con las ecuaciones del Apéndice 2; se obtuvo un DS = 2.2520 y un DS _c = 2.0066, por lo cual resultó moderadamente significativa.

La serie estacionaria (PMDeμ, Ecuación (15)) acepta un modelo GVE₀ con parámetros de escala y forma de α = 26.5840 y k = -0.1617; en cambio, la Ecuación (2), utilizando el parámetro de ubicación variable (Ecuación (14)), conduce a un EEA de 15.6 mm.

En la Tabla 4 se expone una parte de las predicciones dentro de registro histórico y a futuro en los años 2025, 2050 y 2100. Como este registro de 54 datos concluye en 2015, entonces el valor del tiempo t en 2025 es 64, en 2050 es 89 y 2100 es 139. Las predicciones con el modelo estacionario GVE₀ de periodos de retorno 2 y 100 años son 87.4 y 280.9 mm, con un EEA = 11.3 mm. En la Figura 3 se expone la serie cronológica de los datos y las rectas de las predicciones dibujadas a partir de los resultados de la Tabla 4.

Figura 3 Serie cronológica de PMD anual y rectas de predicciones estimadas con la distribución GVE₁ en la estación Las Adjuntas, San Luis Potosí, México. 

Predicciones en la estación Los Filtros, S.L.P.

Las ecuaciones del Apéndice 3 conducen a los valores siguientes: μ₀ = 43.7097, μ₁ = -0.2339 y μ₂ = 0.0049 como coeficientes de la regresión polinomial (Ecuación (A3.1)).

La serie estacionaria PMDeμ, Ecuación (17)) acepta un modelo GVE₀, con parámetros de escala y forma de α = 12.6389 y k = 0.05071; en cambio, la Ecuación (2), utilizando el parámetro de ubicación variable (Ecuación (16)), conduce a un error estándar de ajuste de 4.3 mm.

En la Tabla 5 se muestra una parte de las predicciones dentro de registro histórico y a futuro en los años 2025 y 2050. Como este registro de 66 datos concluye en 2016, entonces, el valor del tiempo t en 2025 es 77 y en 2050 es 102. Las predicciones con el modelo estacionario GVE₀ de periodos de retorno 2 y 100 años son 41.5 y 87.5 mm, respectivamente, con un EEA = 3.7 mm. En la Figura 4 se muestra la serie cronológica de los datos y las curvas de predicciones trazadas con base en los resultados de la Tabla 5.

Figura 4 Serie cronológica de PMD anual y curvas de predicciones estimadas con la distribución GVE₂ en la estación Los Filtros, S.L.P., México. 

Predicciones

Las cuatro aplicaciones numéricas descritas cubren los casos más comunes que se tienen de registros de PMD _i no estacionarios, los cuales corresponden a series con tendencia lineal descendente (severa) y ascendente (leve y moderada), y con tendencia curva ascendente (leve en un contexto apreciativo) hacia el futuro. Las tendencias ascendentes, por lo general ocurren en estaciones pluviométricas ubicadas en ciudades, o en las que se ha construido un gran embalse cercano. En el primer caso existe un aumento de la temperatura por efectos de la isla de calor y, en el segundo, puede acontecer un incremento en la humedad relativa por la evaporación. Las tendencias descendentes pueden estar asociadas con el cambio climático regional.

Como es lógico, las predicciones asociadas con bajas probabilidades de excedencia tienen menor importancia en los registros con tendencia descendente, al ser menores en el futuro. Lo contrario ocurre en series con tendencia ascendente, en las cuales es necesario explicar o justificar el origen físico probable de tal tendencia para aceptar las extrapolaciones de las predicciones a futuro e intentar discernir sobre el alcance real de ellas, ya que resulta extremadamente riesgoso adoptar el comportamiento de tendencia en aumento, cuando, por ejemplo, no se sabe si continuará el desarrollo urbano.