Modelo de serie de Fourier

Con los datos de abril de 1997 a mayo de 2001 se generaron los modelos de serie de Fourier y de junio a diciembre de 2001 se utilizaron para la validación de estos. La variable de entrada fue día juliano, y la salida, temperatura máxima o mínima.

La ecuación para la serie de Fourier presentada por ^{Dubbel (1977)} es:

donde: a 0 , 𝑎 𝑖 y 𝑏 𝑖 son las constantes de la serie de Fourier, para i = 1 oscilación u onda fundamental, y para i = 2, 3,…..n, ondas superiores o armónicas superiores, w es la frecuencia fundamental de la señal, n es el número de términos (armónicas) en la serie, y en este caso: 1≤n≤8; x, es la variable dependiente.

Redes neuronales artificiales

En la red neuronal artificial se aplicó el algoritmo backpropagation (^{Haykin, 1994}).

Para el entrenamiento, evaluación y validación se utilizaron los datos diarios de temperaturas máximas o mínimas de abril de 1997 a mayo de 2001 y para el pronóstico de junio a diciembre del 2001. Las variables de entrada son: día juliano, longitud, latitud y altitud, y de salida: temperaturas máximas o mínimas.

Las estructuras de los 96 diferentes escenarios para los entrenamientos de la red neuronal backpropagation se muestran en la Tabla 1, se combinó número de capas y número de neuronas en éstas, se utilizaron dos diferentes algoritmos de entrenamiento.

Evaluación estadística de los resultados de los modelos

Se utilizó el error estándar promedio (RMSE, por sus siglas en inglés), su ecuación es: RMSE=∑i=1Nai-ti2N1/2, donde ai es el dato estimado por el modelo, t _i es el dato observado y N es el número total de observaciones, (^{Cai, Liu, Lei, & Pereira, 2007}).

Entrenamiento, evaluación y validación (1 484 datos), para los 96 escenarios de la RNA

Se determinaron todos los escenarios (Tabla 1), los rangos de variación de los RMSE de estos, para la variable temperatura máxima fueron de: 1.2540 {e4} {20} a 2.4858 {e4} {40x20}; 2.1790 {e3} {40x40} a 2.2765 {e4} {8x12x4}; 2.3280 {e1} {40x40x40} a 2.4277 {e4} {16x40x16} y 2.5093 {e3} {40} a 2.6276 {e4} {16x32x16}, para las estaciones Santa Rosa I, Ruiz Cortínez, Batequis y Santa Rosa 2, respectivamente.

Para la temperatura mínima fueron de: 2.2372 {e1} {36x36} a 2.2554 {e4} {32x16}; 2.0152 {e3} {40x40} a 2.17 {e4} {16x40x16}; 2.1523 {e3} {36x36} a 2.2934 {e4} {8x8x4} y 2.01 {e3} {40x20} a 2.0809 {e4} {32x16}, para las estaciones Santa Rosa 1, Ruíz Cortínez, Batequis y Santa Rosa 2 en esa disposición.

Pronóstico (229 datos) con la RNA

Los rangos de los RMSE de todos los escenarios (Tabla 1), primero para la temperatura máxima, luego para la temperatura mínima, y para las estaciones: Santa Rosa 1, Ruiz Cortines, Batequis y Santa Rosa 2, en ese orden fueron de: 2.4448 {e4} {12x4} a 2.5522 {e1} {4x4x4}; 2.4697 {e3} {4x4} a 2.5420 {e2} {8x4}; 2.4915 {e1} {4} a 2.5246 {e1} {4x4x4}; 2.8649 {e1} {12} a 2.9574 {e1} {4x4}, y 2.0223 {e4} {16x32x16} a 2.1713 {e2} {36x20}; 1.9922 {e4} {16x32x16} a 2.09 {e4} {24x16}; 2.0346 {e4} {8} a 2.1776 {e2} {12x4}; 2.3035 {e1} {8} a 2.3865 {e3} {32x16}.

De todos los escenarios presentados para el entrenamiento y el pronóstico de las temperaturas máximas y mínimas diarias son mejores estimadores los escenarios {e3} para el primero, {e4} y {e1} para el segundo, para estos se aplica en la capa de salida la función de límite rígido (purelin), a excepción de {e1}, y en las capas intermedias la función tansig. ^{Şahin (2012)} realizó estimaciones de temperaturas medias mensuales del aire con sensores remotos y redes neuronales artificiales y obtuvo RMSE de 1.254 y 1.263 K en sus mejores ajustes y utilizó las mismas funciones de transferencia, en la salida y en la capa oculta. La mayoría de los RMSE en el presente estudio no son menores de 2°C, ya que se utilizaron valores de temperatura diaria.

Las diferencias de los RMSE de todos los rangos de los escenarios presentados tanto para el entrenamiento como el pronóstico no son mayores a 0.16°C para ambas temperaturas (máxima y mínima) y en las cuatro estaciones (Tabla 2), por lo que se puede utilizar cualquier escenario. Es la excepción la temperatura máxima de la estación Santa Rosa 1 (1.2°C).

Los mejores escenarios de los entrenamientos no coinciden con los mejores escenarios de los pronósticos (Tabla 3). Además en la mayoría de los mejores entrenamientos, para ambas temperaturas, el mayor número de neuronas en las capas ocultas tienen un RMSE cercano a cero, pero no necesariamente los entrenamientos con el mayor número de capas ocultas serán siempre los que obtengan los mejores ajustes, solo uno de los escenarios con tres capas ocultas presentó uno de los mejores ajustes (estación Batequis). También se observa que a diferencia de los entrenamientos, en los pronósticos la mayoría de los mejores ajustes se presentan cuando el número de neuronas en las capas ocultas son las menores, esto corrobora lo que comentan ^{Demuth & Beale (2001)} y ^{Tymvios, Michaelides & Skouteli. (2008)}, que uno de los problemas que ocurre cuando se está entrenando una RNA es que se sobreajusta el conjunto de entrenamiento y no generaliza bien para un nuevo conjunto de datos (pronóstico), como sucede en el presente trabajo.

Además (Tabla 3) no hay un escenario determinado que haya sido el mejor, tanto en el entrenamiento como en el pronóstico.

Lo que interesa son los mejores escenarios del pronóstico, ya que estos garantizan que los datos estimados estén más cercanos a los observados (RMSE cercanos a cero). Como los mejores escenarios del pronóstico no se corresponden con los mejores del entrenamiento, se tomó la decisión de trabajar con los del pronóstico que se presentan en las dos últimas columnas (Tabla 3).

Comparación de los mejores escenarios del pronóstico de RNA con los modelos de series de Fourier de mejor ajuste

Los mejores escenarios del pronóstico de las RNA se compararon con los mejores modelos de series de Fourier obtenidos para cada una de las estaciones, en la Figura 1 (Santa Rosa I) se muestra el comportamiento de las diferencias de los valores observados de temperatura máxima con los valores pronosticados con cada uno de estos dos modelos. Estas diferencias presentan las mismas tendencias y están alejadas de la línea del valor cero en la misma proporción. Además se observa que el rango de las diferencias está entre 10° C y -6° C. Esto que se comentó se presenta también en las otras tres estaciones y para la temperatura mínima (Figura 2).

Figura 1 Diferencias de los modelos de RNA y serie de Fourier con los datos observados de temperaturas máximas para Santa Rosa I AC; modelo de Fourier con n = 5: f(x) = 31.86 - 0.6201 cos(0.01727x) + 5.871 sen (0.01727x) + 0.8935 cos(2*0.01727x) - 0.0709 sen(2*0.01727x) - 0.745 cos(3*0.01727x) + 0.6926 sen(3*0.01727x) + 0.3822 cos(4*0.01727x) + 0.1923 sen(4*0.01727x) - 0.227 cos(5*0.01727x) + 0.1547 sen (5*0.01727x). 

Figura 2 Diferencias de los datos observados de temperaturas mínimas con los modelos de RNA y serie de Fourier, para Ruiz Cortínez; modelo de Fourier con n = 8: f(x) = 15.98 - 2.83 cos(0.0172x) + 8.476 sen (0.0172x) - 0.5298 cos(2*0.0172x) - 1.121 sen(2*0.0172x) - 1.142 cos(3*0.0172x) + 0.3966 sen(3*0.0172x) + 0.1746 cos(4*0.0172x) - 0.6291 sen(4*0.0172x) + 0.1938 cos(5*0.0172x) - 0.1892 sen (5*0.0172x) - 0.04237 cos(6*0.0172x) + 0.09564 sen(6*0.0172x) + 0.2258 cos(7*0.0172x) + 0.05545 sen(7*0.0172x) - 0.4136 cos(8*0.0172x) - 0.02458 sen(8*0.0172x). 

En la estimación de las variables temperatura máxima y mínima, los mejores modelos de series de Fourier solo para dos estaciones, están descritos debajo de las Figuras 1 y 2. Los RMSE obtenidos, para el ajuste (1484) y la validación (pronóstico) del modelo (229), para la temperatura máxima fueron: Santa Rosa 1, con n=5, 2.553, 2.6213; Ruiz Cortines, con n =7, 2.266, 2.5321; Batequis, con n=7, 2.417, 2.6847 y Santa Rosa 2, con n =7, 2.555, 3.0855. Y para la temperatura mínima: Santa Rosa 1, n = 7, 2.379, 2.1415; Ruiz Cortines, n = 8, 2.163, 2.1759; Batequis, n = 8, 2.289, 2.1822 y Santa Rosa 2, n = 7, 2.135, 2.5005.

Al comparar los RMSE (Tabla 3) de las RNA con los del modelo de series de Fourier para temperatura máxima en las cuatro estaciones para el pronóstico, los primeros resultan mejores, por centésimas, lo mismo sucede al comparar los RMSE para la temperatura mínima. Al tener en cuenta que las temperaturas se registran hasta decimas de grado, las RNA presentan un mejor desempeño (menores RMSE) en máximo tres décimas, que el modelo de Fourier para todas las estaciones. No obstante que para entrenar este tipo de red neuronal (backpropagation) se necesitan conocer cuatro variables de entrada (día juliano, latitud, longitud y altitud) y para el modelo de series de Fourier únicamente la serie de tiempo en días.

Lo obtenido en este trabajo corrobora lo encontrado por ^{Şahin (2012)}, que propone a la red neuronal artificial como un método alternativo para estimar la temperatura del aire con suficiente exactitud. La importancia de los modelos de series de Fourier obtenidos es como lo comentan ^{Coronas & Baldasano (1984)}, que las ecuaciones son representativas de forma anual para donde se generaron y su ventaja, es que representan una gran cantidad de datos en una sola ecuación y se incorporan nuevos datos fácilmente. Finalmente, ^{Almonacid, Pérez-Higueras, Rodrigo & Hontoria (2013)} también realizaron una comparación de tres métodos para estimar temperaturas horarias para localidades españolas: el de redes neuronales artificiales proporcionó los mejores resultados, la función de transferencia que utilizaron fue purelin en la capa de salida y tangente sigmoidea en la capa oculta, obteniendo RMSE en un rango de 0.53 - 1.20° C, estas funciones fueron las que mejor desempeño obtuvieron en el presente trabajo tanto en los ajustes, como en los pronósticos.