Cálculo del SPEI

El SPI ha sido aplicado utilizando diversas duraciones k de sequías, que variaron de 3 a 72 meses (^{Vicente-Serrano et al., 2010}). El registro de precipitación mensual se procesa bajo el esquema de sumas móviles, de manera que para la duración de 3 meses, la primera secuencia se obtiene sumando los datos históricos uno, dos y tres, la segunda secuencia es la suma de los datos dos, tres y cuatro y así sucesivamente hasta la última secuencia, que la forman los datos antepenúltimo, penúltimo y último. Entonces, el número de secuencias ns que se pueden formar depende de k y está definido por la expresión:

en la cual, NA es el número de años completos del registro procesado (> 30 años). La diferencia fundamental entre el cálculo del SPI y del SPEI radica en que el segundo emplea como datos históricos las diferencias (D _j,i ) entre la precipitación mensual (P _j,i ) y la evapotranspiración potencial mensual (ETP _j,i ), esto es:

Lógicamente, j varía de uno a 12 e i de uno a NA. Para proseguir con el cálculo del SPEI primeramente se forman las secuencias de diferencias designadas por Dtk, en las cuales t varía de uno a ns. Al tomar en cuenta, que las diferencias Dtk la mayoría son negativas, surge la necesidad de emplear un modelo probabilístico de tres parámetros de ajuste, cuyo parámetro de ubicación u sea menor que la más pequeña de las secuencias por procesar. ^{Vicente-Serrano et al. (2010)} y ^{Beguería et al. (2014)} contrastaron cuatro distribuciones: Log-Normal, Pearson tipo III, General de valores Extremos y Log-Logística; recomiendan la última, ajustada mediante el método de los momentos de probabilidad ponderada (β _s ) sesgados, cuyas ecuaciones son (^{Stedinger, Vogel, & Foufoula-Georgiou, 1993}; ^{Vicente-Serrano et al., 2010}):

siendo:

En la ecuación 3 las secuencias se utilizan ordenadas en forma creciente. D1k≤D2k≤Λ≤Dnsk ^{Beguería et al. (2014)} han propuesto utilizar los β _s insesgados, cuando los estimadores sesgados no conducen a una solución numérica. ^{Stagge, Tallaksen, Gudmundsson, Van Loon, & Stahl (2015)} han sugerido utilizar la distribución General de Valores Extremos, ajustada con el método de máxima verosimilitud. La ecuación de la función de distribución de probabilidades acumuladas [F(x)] de la distribución Log-Logística (LL3) es (^{Haktanir, 1991}):

siendo, γ > 0, α > 0 y u < x _mo los parámetros de forma, escala y ubicación. x _mo es la secuencia mínima observada. Los valores de los parámetros de ajuste se estiman con las expresiones siguientes (^{Haktanir, 1991}):

en las cuales, Γ(·) es la función factorial Gamma, se estimó con la fórmula de Stirling (^{Davis, 1972}):

Calculados los tres parámetros de ajuste (γ, α, u) de cada duración k analizada, se aplica la ecuación 5 con x = Dtk para estimar las probabilidades de no excedencia F(x) que corresponden a cada diferencia. Después se emplea la aproximación numérica racional, desarrollada por ^{Zelen y Severo (1972)} y expuesta por ^{Campos-Aranda (2015)}, para convertir la F(x) en la variable normal estandarizada Z de media cero y varianza unitaria, la cual corresponde al SPEI. Las sequías leves, moderadas, severas y extremas se definen cuando el SPEI varía de cero a -1.00, de -1.00 a -1.50, de -1.50 a -2.00 y cuando es menor que -2.00, respectivamente.

Cálculo de la ETP mensual

^{Mavromatis (2007)} encontró que el uso de métodos simples o complejos para estimación de la ETP _j,i , conduce a resultados similares cuando se aplican índices de sequía como el de Palmer. Con base en tal resultado, ^{Vicente-Serrano et al. (2010)} adoptan un enfoque simple para estimar la ETP _j,i , a través de la fórmula de Thornthwaite, cuya expresión es:

en la cual, Fc es un factor correctivo función de la latitud del lugar (LAT) y del número de días del mes (ndm), su fórmula es:

en donde, N es el soleamiento máximo o número máximo de horas con sol promedio mensuales. Para su estimación en la República Mexicana, ^{Campos-Aranda (2005)} desarrolló la siguiente expresión empírica:

en la cual, nm es el número de mes, con 1 para enero y 12 para diciembre; A y B son constantes función de LAT en grados, con las expresiones siguientes:

Tt _j,i es la temperatura media mensual en °C e IC _i es un índice de calor anual, igual a la suma de los 12 mensuales, que son:

Finalmente, el exponente m es función de IC _i en la ecuación empírica:

Para valores de Tt _j,i mayores de 26.5°C no existe influencia del IC _i , por lo cual la ETP _j,i es solo función de Tt _j,i y está tabulada en ^{Campos-Aranda (2005)}.

Escenarios hipotéticos del cambio climático

^{Vicente-Serrano et al. (2010)} y ^{Ma et al. (2014)} han sugerido que como consecuencia de los procesos del cambio climático, se deben estudiar al menos dos escenarios, el primero es una reducción en la precipitación y el segundo, un aumento en la temperatura media. Con base en los análisis cuantitativos realizados por estos autores y las proyecciones climáticas para México de ^{Montero, Martínez, Castillo y Espinoza (2010)}, se establecieron tres escenarios por analizar: (1) una reducción progresiva y lineal del 20% en la precipitación anual del registro histórico; (2) un aumento progresivo y lineal de 4°C en el registro de temperatura media anual y (3) la superposición de ambos cambios en el registro histórico. Los cambios citados tienen impacto directo en la severidad y duración de las sequías (^{Fuchs et al., 2014}). La corrección del registro mensual de precipitación (PM _j,i ) se realiza con base en la ecuación siguiente:

en la cual, Δ _P es la pendiente de la reducción y por lo tanto igual al cociente de 0.20 entre el número de años NA e i es el contador de años, variando de 1 a NA. La corrección de registro de temperatura media mensual (TM _j,i ) se efectúa con la ecuación:

donde, Δ _T es la pendiente del incremento, igual al cociente de 4°C entre NA.

Registros históricos disponibles

La estación climatológica Zacatecas, se ubica en la ciudad del mismo nombre, que es la capital del estado de Zacatecas, México, la cual de acuerdo a la información histórica proporcionada por la Dirección Local de la Comisión Nacional del Agua (CONAGUA), ha operado continuamente y no ha sufrido cambios de ubicación, por lo cual su registro puede ser considerado confiable. Sus coordenadas geográficas son las siguientes: latitud 22° 45’ N., longitud 102° 34’ W.G. y altitud 2485 m.s.n.m. Sus registros mensuales disponibles de precipitación (mm) y temperatura media (°C) en los archivos en Excel de la CONAGUA de Zacatecas, inician en enero de 1953 y están disponibles hasta diciembre de 2015, con datos faltantes en abril de 1986 y varios meses de los años 2010 a 2013.

Los primeros datos faltantes se adoptaron igual a las medias mensuales y los restantes se consideraron igual a los valores registrados en los mismos meses en la estación climatológica Guadalupe, que dista aproximadamente 6 km en línea recta y se ubica dentro de la misma subregión geográfica. Lo anterior se consideró aceptable debido a la similitud que muestran a nivel anual ambos registros, tanto en la precipitación como en la temperatura media. Por otra parte, en el Boletín Climatológico No. 3 (^{SARH, 1980}) de la Región Hidrológica No. 37 (El Salado), los registros disponibles de la estación Zacatecas de precipitación y temperatura media mensuales inician en enero de 1930 y llegan hasta diciembre de 1978. Entonces, el lapso de enero de 1930 a diciembre de 1952, sin datos faltantes, se tomó de tal Boletín y con ello se integró un registro conjunto de NA = 86 años. Los doce valores promedio mensuales del registro integrado de precipitación son: 16.2, 9.6, 5.7, 7.5, 17.7, 80.0, 102.1, 97.9, 85.4, 35.4, 12.8 y 12.0, cuya suma es de 482.2 mm, magnitud que corresponde a la precipitación media anual. Los del registro de temperatura media mensual son: 11.7, 12.7, 14.8, 17.1, 19.0, 19.0, 17.5, 17.6, 17.0, 16.1, 14.1 y 12.3, con un valor promedio anual de 15.7 °C.

Pruebas de homogeneidad

A partir de los registros históricos mensuales se integraron los de valores anuales de precipitación y temperatura media, a los cuales se les aplicaron tres pruebas básicas (Helmert, Secuencias y Von Neumann) y seis específicas: dos de persistencia (Anderson y Sneyers), dos de tendencia (Kendall y Spearman), una de cambio en la variabilidad (Bartlett) y otra de cambio en la media, la de Cramer. Estas pruebas se pueden consultar en WMO (¹⁹⁷¹); ^{Campos-Aranda (2005)} y ^{Machiwal y Jha (2012)}.

El registro de precipitación anual, es perfectamente homogéneo, ya que ninguna prueba general ni específica le detectó componentes determinísticas. En cambio, el registro de temperatura media anual resultó no homogéneo, según las pruebas básicas y de acuerdo a las específicas muestra persistencia y cambio en la media. Esta evidencia de falta de homogeneidad, justifica el planteamiento de los escenarios relativos al cambio climático.

Valores del SPEI con los registros históricos

Para este estudio se decidió analizar las siguientes nueve duraciones k de sequías: 3, 6, 9, 12, 18, 24, 30, 36 y 48 meses. En la Tabla 1 se han concentrado los resultados obtenidos con los registros históricos disponibles, para cada duración según cuatro conceptos: (1) los relativos a las propiedades estadísticas de las secuencias formadas, (2) los correspondientes al ajuste de la distribución Log-Logística, (3) los asociados a los indicadores estadísticos del SPEI y (4) los pertenecientes a los tipos de sequías definidas.

El primer grupo de resultados da idea de la variabilidad y sesgo de las secuencias formadas con el criterio de sumas móviles; de manera que el segundo grupo, que son los parámetros de ajuste de la distribución, están relacionados con tal comportamiento. El tercer grupo de resultados es el más importante, pues define la calidad del ajuste logrado y por lo tanto la confiabilidad de las estimaciones realizadas con el SPEI, ya que su media, varianza y porcentaje de sequías que define deben ser cero, la unidad y el 50%. Conforme tales indicadores se aproximen a los valores citados, la estimación será mejor o más confiable.

Con respecto a la Tabla 1, las estimaciones más exactas resultaron ser las de duraciones de 12, 24 y 36 meses, definiendo unos porcentajes aproximados del 32.2, 11.5, 5.0 y 1.3 de sequías leves, moderadas, severas y extremas, respectivamente. En la Figura 1a se muestra la evolución histórica del SPEI con duración de 12 meses, observando que en general se tiene una alternancia de lapsos húmedos y secos. La sequía de mayor duración inició hacia la secuencia 153 (septiembre de 1941) y concluyó en la 416 (agosto de 1963). La fecha que corresponde a una secuencia se obtiene despejando de la ecuación 1 el valor de NA en años, el cual se suma al año inicial del registro. En este lapso ocurre el valor del SPEI más extremo, con -2.742 en la secuencia 321 (octubre de 1954).

Figura 1 (a) Evolución del SPEI de duración 12 meses en la estación climatológica Zacatecas, del estado de Zacatecas, México; (b) Evolución del SPEI (k = 12 meses) con reducción del 20% en la precipitación anual y aumento de 4°C en la temperatura media anual y (c) Diferencias entre los SPEI mostrados (b - c). 

Valores del SPEI con los registros alterados

Con base en las ecuaciones 17 y 18 se modificaron los registros históricos para incorporar un decremento progresivo y lineal del 20% en la precipitación anual y un aumento también progresivo y lineal de 4°C en la temperatura media anual. En la Tabla 2 se citan diversos valores relevantes de los registros históricos y de los alterados o modificados según posible cambio climático, así como de los valores anuales de la ETP estimada con el método de Thornthwaite.

De manera similar a la Tabla 1, en la Tabla 3 se exponen los resultados del SPEI para el registro alterado según el tercer escenario, es decir, considerando el efecto combinado de ambas modificaciones. Por limitación de espacio no se muestran los resultados del SPEI con reducción de la precipitación, ni con aumento de la temperatura media, pero están disponibles con el autor.

Con base en todos los resultados del SPEI, se definió a la duración de 24 meses como la idónea para el contraste entre los valores obtenidos con el registro histórico y los alterados. Tal contraste se muestra en el Tabla 4.

Los resultados mostrados en la Tabla 4 indican, que de manera general, las sequías leves y extremas aumentaran como consecuencia del cambio climático probable; en cambio, las sequías moderadas y severas disminuirán. En estas conclusiones existe una anomalía en las sequías severas del registro con incremento de temperatura, que también aumentan. Respecto a los valores extremos del SPEI, se consideran acordes con las modificaciones impuestas a los registros históricos. Para el tercer escenario, el más crítico, se define en la Tabla 3 como resultados más exactos los de la duración de 18 meses, con los siguientes porcentajes para los cuatro tipos de sequías buscadas: 33.1, 9.9, 5.0 y 2.1.

En la Figura 1b se expone la evolución del SPEI de 12 meses de duración en el registro que incluye ambos efectos del cambio climático, se observa claramente como las sequías aumentarán en duración y severidad hacia el final del registro, disminuyendo notablemente los lapsos húmedos. Por último, en la Figura 1c se muestran las diferencias del SPEI de la Figura 1b menos la 1a.