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Introducción
Las variaciones estacionales o por épocas que tienen las lluvias de una cuenca son el factor principal que origina la variabilidad de su escurrimiento tanto en el volumen mensual como en la magnitud de sus crecientes. Una definición adecuada de la estacionalidad de las crecientes es muy importante, pues tiene aplicaciones prácticas en ciertos diseños hidrológicos y en el manejo de los recursos hídricos, como lo han detallado Black y Werritty (1997); McCuen y Beightley (2003); Cunderlik, Ouarda y Bobée (2004); Chen, Guo, Yan, Liu y Fang (2010), y Campos-Aranda (2014b).
La segmentación de la ocurrencia de las crecientes en varias subestaciones, temporadas o épocas es útil en la planeación y manejo de los embalses de múltiples propósitos. En China, en la cuenca del río Yangtze, las crecientes anuales y las más grandes ocurridas se concentran sólo en una cierta época del año, y las crecientes medianas y pequeñas se presentan en el resto del tiempo (Liu et al., 2015). Por ello, Chen et al. (2010); Liu, Guo, Xiong y Chen (2010), y Liu et al. (2015) sugieren dividir la estación de ocurrencia de las crecientes en tres épocas, la previa, la principal y la posterior, para usar diferentes niveles máximos en el embalse que dejen libre en cada temporada el volumen de control necesario según las crecientes máximas o de diseño de tal época. Este manejo del embalse puede aportar beneficios, sin un incremento del riesgo, en la generación de energía hidroeléctrica, en el uso de la capacidad útil, en la navegación y definición de las áreas libres de inundación en las inmediaciones del almacenamiento.
Existen básicamente tres enfoques para definir las épocas de crecientes: (1) el basado en el análisis probabilístico de los datos; (2) el que analiza los fenómenos meteorológicos y/o climatológicos que originan las crecientes, y (3) el que emplea ciertas características de temporalidad asociadas con las crecientes. Ejemplos del primer enfoque se pueden consultar en McCuen y Beightley (2003); Durrans, Eiffe, Thomas Jr., y Goranflo (2003); Fang, Guo, Wang, Liu y Xiao (2007), y Campos-Aranda (2014b). Del segundo enfoque, en Black y Werritty (1997), y Singh, Wang y Zhang (2005). Del tercer enfoque, en Cunderlik et al. (2004), Chen et al. (2010); Koutroulis, Tsanis y Daliakopoulos (2010), y Köplin, Schädler, Viviroli & Weingartner (2014).
El objetivo de este trabajo consiste en exponer con detalle el método recientemente sugerido por Chen, Singh, Guo, Fang y Liu (2013), que pertenece al tercer enfoque, pues está basado en los estadísticos direccionales; además, se aplica tal criterio a los datos disponibles antes de la construcción de los embalses Guamúchil (Eustaquio Buelna) y Huites (Luis Donaldo Colosio) de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa), para establecer sus tres épocas de crecientes: previa, principal y posterior, bajo dos enfoques de uso de la información hidrométrica disponible.
Materiales y métodos
Estadísticos direccionales (índices de estacionalidad)
Cuando un dato no es escalar sino angular o direccional, tal valor puede ser representado como un dato circular y teniendo varios de ellos se pueden obtener sus estadísticos direccionales que los describen. La teoría que respalda tales estimaciones data de principios de la década de 1970 y constituye una herramienta simple para obtener medidas de similitud procedentes de las fechas de ocurrencia de los eventos extremos hidrológicos, como las crecientes o avenidas máximas. Existen diversas convenciones o formas de usar el círculo para estimar los estadísticos direccionales (Ramírez-Orozco, Gutiérrez-López, & Ruiz-Silva, 2009); en adelante se usará la empleada por Burn (1997), por su semejanza con los cuadrantes cartesianos. En tal esquema, el avance es contrario a las manecillas del reloj, iniciando en el eje de las abscisas; por ello, el 1 de enero y el 31 de diciembre coinciden en tal inicio. En cambio, Chen et al. (2013) ponen en tales fechas el inicio y el final de la temporada de crecientes.
Para establecer los índices de estacionalidad (
, DMC y 
) se comienza por transformar cada fecha de ocurrencia de las crecientes anuales a día juliano (Di
); es decir, de 0 a 365. Lo anterior implica no considerar los años bisiestos. Las fechas de enero quedan igual, pero a las de febrero se les suma 31, a las de marzo 59, a las de abril 90 y así sucesivamente hasta las de diciembre, que se les agrega 334, para obtener el día juliano. Enseguida se obtiene el ángulo 
en radianes correspondiente a la fecha i de cada creciente (Di
), con la expresión siguiente:
(1)
en la cual, 
es número pi, con 3.1415927 como valor aproximado. En seguida, las coordenadas x y y de las fechas de ocurrencia de las crecientes descritas por los ángulos se estiman con base en los cosenos y senos, y se obtienen sus valores medios, según las ecuaciones siguientes:
(2)
(3)
siendo n el número de fechas de crecientes anuales analizadas. Ahora, la dirección media 
de la fecha promedio de las crecientes será:
(4)
La aplicación de la ecuación anterior se realiza obteniendo primero el arco tangente de 
entre 
, ambas con signo positivo, denominado 
, en radianes; entonces, si y son positivas, 
; si 
y 
; si ambas son negativas, 
, y por último, si 
y 
. El valor de 
en día juliano, denominado día medio de las crecientes (DMC), se obtiene primero dividiendo entre 
y después multiplicando por 365. El índice DMC indica el tiempo promedio de ocurrencia de los gastos máximos anuales en una cuenca dada. Se puede esperar que cuencas con valores similares del DMC presenten semejanzas en otras características hidrológicas importantes. Lógicamente, el DMC estará relacionado con el tamaño de la cuenca y con su localización geográfica dentro de la región hidrológica estudiada.
Una medida de la variabilidad de las n fechas de ocurrencia de las crecientes, en relación con el DMC, se puede estimar calculando la resultante media, cuya expresión es:
(5)
El índice de estacionalidad es una medida adimensional de la dispersión de los datos; toma valores entre cero y uno. Un valor unitario indica que todas las crecientes ocurren en la misma fecha; en cambio, un valor cercano a cero implica gran variabilidad de ocurrencias a lo largo de todo el año. Ramírez-Orozco et al. (2009) establecen los siguientes cinco grados de estacionalidad: (1) muy fuerte, cuando > 0.90; (2) fuerte, cuando fluctúa entre 0.70 y 0.90; (3) media, cuando varía de 0.50 a 0.70; (4) baja, cuando cambia de 0.10 a 0.50, y (5) muy baja o débil, cuando < 0.10. Chen et al. (2013) indican que si es cercano a la unidad, se puede esperar que una sola temporada o época de crecientes sea dominante.
Estadísticos direccionales aplicados (primer método)
Chen et al. (2013) proponen utilizar la desviación estándar circular 
para dividir la temporada de crecientes en tres épocas. Tal estadístico está relacionado con la desviación circular (S), según la expresión siguiente:
(6)
S es un estadístico de dispersión común definido en términos de la longitud del vector resultante estandarizado, es decir:
(7)
Combinando las ecuaciones (5) y (6) se obtiene la desviación estándar circular:
(8)
Finalmente, los días de inicio (DIC) y terminación (DTC) de la temporada o época principal de crecientes, en día juliano, serán (Chen et al., 2013):
(9)
(10)
Las tres temporadas o épocas de crecientes se definen de la manera siguiente: (1) la previa abarca del primero de enero hasta el DIC; (2) la principal comprende del DIC hasta el DTC, y (3) la posterior se desarrolla del DTC hasta el 31 de diciembre. Chen et al. (2013) definen inicialmente, con base en los datos, el inicio y fin de temporada de crecientes y le llaman T, valor que usan en lugar de 365 en las ecuaciones (1), (9) y (10).
Estadísticos direccionales aplicados (segundo método)
Chen et al. (2013) sugieren ponderar las coordenadas x y y de cada ángulo 
por los valores del gasto máximo anual (qi
) de cada creciente. Las nuevas resultantes del ángulo medio serán:
(11)
(12)
en las cuales Q es la variable que permite la ponderación con la media de cada gasto qi . Su expresión es:
(13)
Después se repite la aplicación de las ecuaciones (4) a (10). [(5), (6), (7), (8), (9)]. Lógicamente, este enfoque debe aumentar la dispersión en el índice de estacionalidad 
, pues ahora las longitudes de cada radio relativo a una fecha de creciente no son unitarias, sino que tiene una dimensión igual a qi
/(Q/n).
Chen et al. (2013) concluyen que ambos métodos de uso de los estadísticos direccionales para definir las tres épocas de crecientes son confiables y objetivos, mejorando su desempeño conforme el registro disponible de fechas de ocurrencia de crecientes aumenta. Lo anterior se demostró con base en una experimentación con datos sintéticos y verificado con datos reales del embalse Geheyan sobre el río Qing, afluente del Yangtze y del embalse Baishan en el río Songhua, el tercero más grande de China. Estos embalses, uno al sur y el otro al norte de China, han sido recientemente estudiados por Chen et al. (2015), con un enfoque similar al de este trabajo.
Crecientes y sus fechas de ocurrencia en las estaciones hidrométricas Guamúchil y Huites
La estación de aforos Guamúchil sobre el río Mocorito de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa) tiene por clave la 10031 en el sistema BANDAS (IMTA, 2003), su área drenada es de 1 645 km2 y su registro abarca de 1940 a 1971 (n = 32), en que comenzó la construcción de la presa Eustaquio Buelna (Aldama, Ramírez, Aparicio, Mejía & Ortega, 2006). La cuenca de esta estación se ubica al centro de la región hidrológica, colindando al noreste con la cuenca del río Badiraguato, que drena a la presa Adolfo López Mateos. La estación hidrométrica y la presa Eustaquio Buelna se localizan en la planicie costera de la región hidrológica. Del CD-1 del sistema BANDAS se obtuvo la información de gastos máximos anuales, que incluye gasto, año, mes, día, hora y lectura de escala. En el cuadro 1 se han concentrado los datos de gastos y fechas de ocurrencia en sus primeras cinco columnas.
Cuadro 1 Crecientes anuales y sus fechas de ocurrencia en la estación hidrométrica Guamúchil, así como su procesamiento para obtener los índices de estacionalidad (, DMC y )
La estación de aforos Huites sobre el río Fuerte de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa) tiene por clave la 10037 en el sistema BANDAS (IMTA, 2003); su área drenada es de 26 057 km2 y su registro abarca de 1942 a 1992 (n = 51), en que comenzó la construcción de la presa Luis Donaldo Colosio (Aldama et al., 2006). El río Fuerte está formado por dos colectores principales: el río Chinipas y el río San Miguel; este último tiene un colector importante, que es el río Urique, cuya cuenca colinda con la Región Hidrológica 24-1 del río Conchos. La cuenca del río Chinipas es la más septentrional de la región y colinda con la región Hidrológica 9 del río Yaqui. Esta cuenca es montañosa y como han indicado Aldama et al. (2006), sus crecientes anuales definen dos temporadas: la del verano, de principios de junio a mediados de septiembre, y la de invierno, de mediados de diciembre a principios de marzo. También del CD-1 del sistema BANDAS se obtuvo la información de gastos máximos anuales y sus fechas de ocurrencia, la cual se tiene en las primeras cinco columnas del cuadro 2.
Resultados y discusión
Cálculo de los índices de estacionalidad
Aplicando las ecuaciones (1) a (5) [(2), (3), (4)] a los datos de la sexta columna de los cuadros 1 y 2 se obtienen los índices de estacionalidad que se muestran al final de cada tabulación. Los resultados de la ecuación (1) se tienen en radianes, pero conviene expresar cada ángulo en grados para facilidad de construcción de los gráficos de fechas de ocurrencia de las crecientes, mostrados en las figuras 1 y 2. Lo anterior, con sólo multiplicar por 57.29578, que es la equivalencia de un radián a grados. Los ejes x, y de las figuras 1 y 2 muestran las dos simbologías comúnmente usadas en estos gráficos: la de día con mes respectivo y la de grados de la circunferencia.
Figura 1 Representación de las fechas de ocurrencia y de los índices de estacionalidad de las crecientes anuales de la estación hidrométrica Guamúchil de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa).
Figura 2 Representación de las fechas de ocurrencia y de los índices de estacionalidad de las crecientes anuales de la estación hidrométrica Huites de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa).
Las crecientes anuales en la estación hidrométrica Guamúchil son bastante estacionales, definiendo prácticamente una sola época, que va del 27 de junio al 8 de octubre; la primera fecha procede de la creciente número 17 de 1956 y la segunda de la creciente 6 de 1945, ambas del cuadro 1. Ocurrieron sólo tres crecientes invernales, como se muestra en la figura 1, en 1960, 1949 y 1968. Dicha estacionalidad o temporalidad se ve reflejada en el índice , con un valor aproximado de 0.730, que la define como fuerte. El día medio de las crecientes (DMC) ocurre en el tercer cuadrante y le corresponde la fecha del 26 de agosto. En la figura 1 es el radio más grueso, cuya extensión es y después sigue punteado.
Por el contrario, las crecientes de la estación hidrométrica Huites presentan mucha dispersión, como se observa en la figura 2. Según datos del cuadro 2, la temporada invernal llega hasta el 4 de marzo, fecha en que ocurrió la creciente más tardía en el año de 1983. De la temporada de verano y otoño, la creciente más temprana se presentó el 11 de julio de 1988 y la más tardía el 29 de diciembre de 1990. Esta gran dispersión se ve reflejada en el índice , cuyo valor aproximado de 0.374 la define como estacionalidad baja. Su DMC se presenta en el cuarto cuadrante y ocurre el 21 de octubre, es el radio más grueso con aproximadamente dos terceras partes punteadas. Campos-Aranda (2014a) expone los índices estacionales de otras 19 estaciones hidrométricas de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa), en relación con un análisis de regional de frecuencias de crecientes.
Definición de las épocas de crecientes
En la estación de aforos Guamúchil, la dirección media resultó de 4.1038 radianes y la desviación estándar circular de 0.7936, según la ecuación (8). Con base en estos resultados, las ecuaciones (9) y (10) definen los siguientes días julianos: DIC = 192.3 y DTC = 284.5, cuya fechas son, respectivamente, 11 de julio y 12 de octubre, indicadas con líneas punteadas en la figura 1. Para la estación hidrométrica Huites se obtuvieron = 5.0543 radianes, 
= 1.4027, DIC = 212.1 (31 de julio) y DTC = 375.1 (10 de enero), también mostradas con radios punteados en la figura 2. En el cuadro 3 se tienen definidas las fechas de cada una de las tres épocas de crecientes en ambas estaciones hidrométricas de acuerdo con el llamado Primer método.
Cuadro 3 Definición de las tres épocas de crecientes en las estaciones hidrométricas Guamúchil y Huites de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa).
Al trabajar con las ecuaciones (11) y (12) para obtener las coordenadas x y y, que están ponderadas con base en la magnitud del gasto máximo anual, se obtienen en la estación hidrométrica Guamúchil 
= -0.31745 y 
= -0.69361, las cuales conducen a los valores de , y , mostrados en el cuadro 3, así como a los respectivos valores de DIC y DTC, además de las nuevas fechas de inicio y final de cada época de crecientes. En la estación de aforos Huites, los respectivos valores ponderados de las coordenadas fueron 
= 0.48949 y 
= -0.13605, con las cuales se obtienen los valores de , r y σ mostrados en el cuadro 3, además de los valores de DIC y DTC, con las nuevas fechas de inicio y fin de cada época de crecientes de acuerdo con el Segundo método.
Análisis de los resultados
Con fines de comparación de los resultados entre los dos métodos desarrollados por Chen et al. (2013), estos autores consideran más exacto su Segundo método, ya que con respecto a tal criterio evalúan los errores relativos entre ambos enfoques; lo anterior, respaldado por el hecho de usar la información hidrométrica. En la estación hidrométrica Guamúchil, los resultados de los dos métodos son bastante similares al definir el inicio y fin de la temporada o época principal de crecientes, según se observa en el cuadro 3. Lo anterior se debe a que la mayoría de las grandes crecientes anuales ocurre en los meses de agosto y septiembre; es decir, dentro de la temporada o época de crecientes (ver cuadro 1). En la estación Guamúchil, en su época previa de crecientes ocurrieron tres eventos invernales y dos de aparición temprana el 27 de junio de 1956 y el 10 de julio de 1954. En su época posterior de crecientes no ocurren eventos, como se observa en la figura 1.
En la estación de aforos Huites, la dispersión de sus crecientes es tan grande que no se puede definir una época posterior (ver figura 2 y cuadro 3). Lo anterior se acrecienta aún más en el segundo método debido a dos causas: (1) los gastos máximos anuales de este registro fluctúan notablemente, por ejemplo, en los primeros 20 años ocurren tres eventos muy reducidos en 1957, 1951 y 1956, con valores de 593, 677 y 696 m3/s, respectivamente (ver cuadro 2); en cambio, en 1960, 1943 y 1949 se presentan los tres eventos más extraordinarios, con 15 000, 14 376 y 10 000 m3/s; (2) la mayoría de los grandes gastos anuales, al menos los superiores a la creciente media (3 328.3 m3/s), suceden principalmente en la temporada invernal, por ejemplo, en 1943, 1949, 1955, 1960, 1973, 1979, 1983-1985 y 1990; sólo 1974 y 1978 tienen eventos importantes en septiembre.
Conclusiones
La definición de las tres épocas de crecientes (previa, principal y posterior) con base en los índices estacionales o de temporalidad, y en sus estadísticos direccionales es un procedimiento racional y objetivo, verificado estadística y prácticamente por sus autores (Chen et al., 2013).
En la primera aplicación numérica, en la estación hidrométrica Guamúchil de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa), se pudo comprobar la utilidad del método, para definir de una manera objetiva las tres épocas de crecientes; esto, debido a la gran estacionalidad que presentan sus gastos máximos anuales, los cuales incluso definen una época posterior sin eventos.
Por el contrario, en la segunda aplicación numérica en la estación de aforos Huites, también de la Región Hidrológica 10 (Sinaloa), la gran dispersión que presentan sus crecientes anuales no permite establecer una época posterior y se termina definiendo una época sin crecientes de la segunda quincena de marzo hasta principios de julio, de manera que todo el resto de año es época principal de crecientes; en realidad, desde la segunda quincena de julio hasta la primera de marzo, con escasez de eventos en noviembre (ver figura 2 y cuadro 3).
El método expuesto para el establecimiento racional y objetivo de las tres épocas de crecientes de un río es bastante simple y por ello se recomienda su aplicación sistemática en los estudios tendientes a estimar las crecientes estacionales o por temporadas.
