Artículos técnicos

 

Metodología para investigar tendencias espacio-temporales en eventos meteorológicos extremos: caso Durango, México

 

Methodology to Investigate Spatio-Temporal Trends in Extreme Weather Events: Case Durango, Mexico

 

Ma. Esperanza Blanco*, Humberto Vaquera, José A. Villaseñor, J. René Valdez-Lazalde
Colegio de Postgraduados, México
*Autor de correspondencia

Michel Rosengaus
Consultor privado en hidrometeorología

 

Dirección institucional de los autores

M.C. Ma. Esperanza Blanco Ramírez

Colegio de Postgraduados
Posgrado en Socioeconomía, Estadística e Informática
Campus Montecillo
Km 36.5 carretera federal México-Texcoco
56230 Montecillo, Texcoco, Estado de México, México
Teléfono: +52 (55) 5804 5900
blanco.maria@colpos.mx

Dr. Humberto Vaquera H.

Colegio de Postgraduados
Posgrado en Socioeconomía, Estadística e Informática
Campus Montecillo
Km 36.5 carretera federal México-Texcoco
56230 Montecillo, Texcoco, Estado de México, México
Teléfono: +52 (595) 9520 200, extensiones 1459 y 1409
hvaquera@colpos.mx

Dr. José A. Villaseñor Alva

Colegio de Postgraduados
Posgrado en Socioeconomía, Estadística e Informática
Campus Montecillo
Km 36.5 carretera federal México-Texcoco
56230 Montecillo, Texcoco, Estado de México, México
Teléfono: +52 (55) 5804 5900, extensión 1419
jvillasr@colpos.mx

Dr. J. René Valdez Lazalde

Colegio de Postgraduados
Posgrado Forestal, Campus Montecillo
Km 36.5 carretera federal México-Texcoco
56230 Montecillo, Texcoco, Estado de México, México
Teléfono: +52 (595) 9520 265, extensión 1482
valdez@colpos.mx

Dr. Michel Rosengaus M.

Consultor privado en Hidrometeorología
Avenida Observatorio 192, Colonia Observatorio
Delegación Miguel Hidalgo
11860 México, D.F., México
Teléfono: +52 (55) 2636 4600
mickros@prodigy.net.mx

 

Recibido: 16/10/12
Aceptado: 21/07/14

 

Resumen

Se propone una metodología basada en la teoría de valores extremos para investigar cambios espacio temporales en la tendencia a largo plazo de las variables meteorológicas precipitación y temperatura. Se presenta un ejemplo de aplicación para el estado de Durango, México, analizando los máximos anuales de las variables temperatura máxima, temperatura mínima y precipitación ocurridos de 1961 a 2000. Los resultados se presentan en mapas de tendencias de eventos extremos. Para el caso del estado de Durango se observan cambios en el comportamiento de eventos extremos, manifestándose una clara tendencia a la ocurrencia de años más secos y más cálidos en algunas zonas del estado.

Palabras clave: series de tiempo, teoría de valores extremos, modelo lineal vectorial generalizado, interpolación espacial.

 

Abstract

A methodology based on extreme value theory is proposed to investigate spatio-temporal changes in the long-term trend of the meteorological variables precipitation and temperature. We present an application for the state of Durango Mexico, analyzing maximum annual values of maximum temperature, minimum temperature, and precipitation registered during the time period 1961-2000.The presented results are trend maps of extreme events. For the case of Durango State, time changes in the behavior of extreme events are present, showing a clear trend towards the occurrence of dryer years and warmer temperatures in some areas of the state.

Keywords: Time series, extreme value theory, vector generalized linear model, spatial interpolation.

 

Introducción

La variabilidad temporal del clima, en particular de la intensidad y frecuencia de fenómenos climáticos extremos, puede afectar a la sociedad con más fuerza que los cambios en los promedios de dichos fenómenos (Katz & Brown, 1992). En el mundo, los eventos climáticos extremos son causa de desastres naturales (inundaciones, incendios, sequías, etc.), lo cual afecta severamente el ambiente y la vida humana (Min, Zhang, Zwiers, & Hegerl, 2011). En México, los estados de Coahuila, Chihuahua, Durango, Zacatecas, San Luis Potosí, Tamaulipas, Aguascalientes, Sonora y norte de Guanajuato fueron declarados zonas de desastre por una inusual sequía durante los años 2011 y 2012.

Según Allan y Soden (2008), y Min et al... (2011), es probable que la inusual frecuencia de eventos meteorológicos extremos esté relacionada con el incremento de los gases de efecto invernadero emitidos a la atmósfera por la actividad humana y que causan el calentamiento global. La predicción de este tipo de eventos en el ámbito regional presenta un reto considerable; sin embargo, el esfuerzo bien vale la pena, dado lo esencial de la predicción en la formulación de estrategias para la adaptación y mitigación de los efectos negativos provocados por dichos cambios (Allan, 2011). Contar con métodos estadísticos adecuados para analizar el comportamiento espacio-temporal de variables meteorológicas extremas (temperatura máxima y mínima, precipitación máxima y mínima, velocidad máxima de vientos, etc.) es de suma importancia para la implementación de acciones de mitigación de dichos eventos.

Recientemente se ha realizado un esfuerzo científico importante (Rahmstorf & Coumou, 2011) para analizar las mediciones de temperatura inusualmente calientes (récord) y su relación con las tasas de calentamiento global y de eventos de precipitación extremos (She et al..., 2013). De acuerdo con varios autores (Katz, Parlange, & Naveau, 2002; Cooley, 2009; Min et al..., 2011; Rahmstorf & Coumou, 2011), el modelo probabilístico de la distribución de Valores Extremos Generalizada (DGEV) ofrece una base firme para modelar extremos climáticos. Una amplia base teórica sobre el modelo de DGEV se puede encontrar en Rolf-Dieter-Reiss (1997) y Coles (2001). Por otro lado, Yee y Stephenson (2007) proponen un caso particular del VGAM (Vector Generalized Additive Models), el VGLM (Vector Generalized Linear Models), para modelar los parámetros de la distribución de valores extremos como funciones lineales de covariables.

 

Objetivo general

Proponer una metodología estadística para identificar las tendencias espacio-temporales extremas de las variables climáticas temperatura máxima (Tmáx), precipitación máxima (P) y temperatura mínima (Tmín), utilizando conjuntamente el modelo de DVEG, el modelo VGAM y herramientas geoestadísticas.

 

Objetivos particulares

• Investigar si las series climáticas del estado de Durango presentan comportamientos inusuales.

• Elaborar y mostrar mapas de tendencias espacio-temporales en variables climáticas del estado de Durango, como posible evidencia de áreas en donde pueden presentarse desastres naturales.

 

Metodología

Base de datos

La fuente de información utilizada en este trabajo es la malla uniformemente distribuida Maya v1.0, obtenida de las interpolaciones de CLICOM (México Climatological Station Network Data) del Servicio Meteorológico Nacional.

Se ubican, según coordenadas (latitud, longitud), los 270 nodos del estado de Durango de la Maya v1.0, que registran la información diaria de las observaciones de las variables meteorológicas (temperatura máxima (Tmáx), temperatura mínima (Tmín) y precipitación máxima (P), del estado de Durango, en el periodo 1961-2000.

Se ordena la información de cada nodo por fecha y se obtienen los valores extremos (máximos, mínimos, percentiles), por bloques anuales, según el teorema de Fischer-Tippet en la teoría de valores extremos; los valores máximos (mínimos, percentiles) se modelan con la Distribución de Valores Extremos Generalizada (DGEV) como sigue:

 

Modelo estadístico propuesto. Distribución de valores extremos

Sean X₁,...,X_n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución F. Sea el máximo de las observaciones M_n = máx {X₁,...,X_n}. El teorema de Fischer Tippet (Rolf-Dieter Reiss, 1997) indica que con{a_n}∈ℜ y {b_n>0}; G(z) es llamada la Distribución de Valor Extremo Generalizada (DVEG), definida por:

Donde μ es el parámetro de localidad, σ es el parámetro de escala y x es el parámetro de forma.

Según el límite de DGEV (1), cuando ξ → 0, tenemos la llamada distribución Gumbel, la distribución Fréchet con ξ > 0 y la distribución Weilbull con ξ < 0.

 

Modelo de regresión usando la DGEV

Un modelo que puede usarse para realizar regresión en los parámetros de DGEV (1) es el Modelo Lineal Generalizado Vectorial (VGLM), un caso particular del Modelo Lineal Generalizado de Vectores Aditivos (VGAM) propuesto por Yee y Stephenson (2007). El modelo VGLM permite que los parámetros de la distribución de valores extremos se puedan modelar como funciones lineales o suavizadas de covariables. Esto es:

La regresión en (2) de los parámetros del modelo DGEV (1) se realiza como sigue:

con coeficientes de regresión desconocidos y donde , representa la coordenada de funciones monótonas, llamadas "función liga". Es posible estimar los parámetros de la distribución DVEG y del modelo VGLM usando un paquete computacional del programa R, llamado VGAM (Yee, 2008).

Se utiliza una prueba de razón de verosimilitudes generalizada para probar la estacionariedad, usando la verosimilitud de los modelos completo y reducido.

 

Prueba de razón de verosimilitudes generalizada para tendencia en la serie de extremos

Se investiga la existencia de tendencia en series de valores extremos, se incluye el factor tiempo (t) como covariable x_i en la regresión (3), (4), (5) de los parámetros del modelo DGEV (1). Así, para Y_t ∼ DGEV(μ,σ(t), ξ(t)), los valores máximos (mínimos) anuales tomados en el tiempo (t). Se plantea la hipótesis de interés, como sigue:

H₀: no existe evidencia estadística de tendencia en los parámetros de la distribución de valores extremos generalizada:

Modelo reducido (M₀)

H₁: existe evidencia estadística de tendencia con respecto a los parámetros de escala y de forma:

Modelo completo (M₁)

Se utiliza la estadística de prueba:

Donde p_i es el número de parámetros de M_i; l(M_i) es la log-verosimilitud del modelo M_i con i = 1,0.

La regla de decisión es rechazar la hipótesis nula si x₀² es mayor que un valor de tablas de la distribución x²_p1–p0. Se utiliza el paquete VGLM bajo el programa R (Team, 2008) para ajustar el modelo completo (7) (cuando el tiempo es la variable predictora), donde se asume que la serie es no estacionaria y suponiendo estacionariedad en el modelo reducido (sin el tiempo como covariable). Los coeficientes β₁₂ y β₂₂ del modelo (7) representan el efecto de tendencia en la variable de extremos.

Se estiman los coeficientes de tendencias bajo el modelo VGLM, los cuales, dado que se obtienen usando el método de máxima de verosimilitud para muestras grandes, se distribuyen normalmente.

 

Método de Interpolación

Se aplica el método kriging ordinario para interpolar las tendencias. Se presentan los mapas de tendencia para las variables meteorológicas utilizando la aplicación ArcGIS 8.1.

Kriging es un método de interpolación espacial usado en investigación climática (Drignei, 2009). El modelo ordinario de kriging es el siguiente:

donde s = (x,y) es un punto en el espacio. El predictor está formado por la suma ponderada de los datos:

donde s₀ es el punto sobre el que se requiere la estimación. N es el número de puntos alrededor de s₀ que se usan para la predicción. Los λ_i son los pesos para cada una de las mediciones. Z(S_i) son los valores observados en el punto S_i, (S₀) es la estimación sobre S₀.

Los estimadores λ_i son los valores que minimizan:

Sujetos a la restricción de que la suma de los pesos λ_i sea igual a 1.

La solución a la minimización, sujeto a la restricción, está dada por la ecuación kriging siguiente:

Donde:

Donde m es desconocido y es estimado

de forma que se cumpla con la restricción , los y_ij son las semivarianzas calculadas con el semivariograma ajustado, con la distancia entre los puntos s_i y s_j; y los g_i0 son las semivarianzas calculadas con el semivariograma ajustado, con la distancias entre el punto s₀ y los puntos s_i.

El semivariograma ajustado es el modelo que ajusta al semivariograma empírico, el cual es una gráfica entre las distancias y la semivarianza promedio observada en dicha distancia. La semivarianza entre dos puntos es igual a 0.5 multiplicado por la diferencia entre los valores elevada al cuadrado.

El modelo esférico para el semivariograma es definido como sigue:

Donde θ_s ≥ 0 es el parámetro de umbral y θ_r ≥ 0 es el parámetro de rango.

 

Validación del modelo

La validación del modelo es usando los valores de log verosimilitud reportados por VGAM.

 

Descripción esquemática

En las figuras 15 y 16 se muestra la síntesis de la metodología propuesta y el diagrama en general de la propuesta para analizar datos de eventos extremos, con la finalidad de que el uso de esta metodología aporte información, con otro conjunto de datos, en el análisis de valores extremos.

 

Resultados

Análisis descriptivo de las variables temperatura máxima (Tmáx), temperatura mínima (Tmín) y precipitación máxima (P)

La variable Tmáx muestra una marcada variación en las pendientes de regresión asociadas con el parámetro de escala, lo cual indica que a lo largo de los cuarenta años analizados, los valores se han alejado de la media en temperatura máxima, significativamente. La ubicación de los 270 nodos (Maya v1.0) y de algunas localidades (puntos grises) en el estado de Durango se muestran en la figura 1.

En las figuras 2, 3 y 4 se plasma el comportamiento de las series de tiempo de las variables climáticas temperatura máxima anual, temperatura mínima anual y precipitación, en algunas localidades señaladas.

Algunas localidades al norte del estado de Durango presentan temperatura máxima mayor que algunas localidades al sur; El Salto registra la temperatura máxima menor.

En la figura 3, algunas localidades al sur del estado de Durango presentan temperaturas mínimas menores que algunas localidades al norte a lo largo de cuarenta años; la localidad El Salto registra las temperaturas mínimas menores.

En la figura 4 se indica la variación anual en la precipitación máxima (milímetros) de las localidades. Las localidades de El Salto y Durango presentan en el incio de la tercera década una tendencia positiva; sin embargo, es complicado observar alguna tendencia.

En la figura 5 se presenta el comportamiento de los valores máximos y mínimos de temperatura (promedio diario de 14 600 días), del percentil 90 (Tmáx, P) y del percentil 10 (Tmín). Los valores representan el promedio diario de los 270 nodos.

Los valores de percentil y los valores de máximos de los promedios diarios de las variables (Tmáx, Tmín, P) indican que no hay tendencia, aunque el comportamiento de la serie de tiempo en las observaciones de percentil muestra que es posible cometer errores; a pesar de los cambios bruscos que se observan, ello no es evidencia de tendencia con los valores máximos. Luego es preciso realizar un estudio por nodo, en vez de los valores promedios diarios como gráfica representativa del estado de Durango.

Las figuras 6, 7 y 8 presentan un comparativo de las series de tiempo registradas en las bases de datos CLICOM y Maya v1.0, para algunas localidades. Se usaron valores máximos.

En la figura 6, la serie de tiempo registrada en Maya v1.0 para la localidad de Cuencamé presenta similitud en su comportamiento, comparada con la serie de tiempo de CLICOM. Las series registradas en CLICOM para la localidad El Salto no está completa.

En la figura 7 se observa la serie de tiempo de la localidad Cuencamé; presenta valores máximos de Maya v1.0 por debajo de las observaciones de CLICOM, con diferencias significativas. El Salto carece de información al término de la tercera década.

En la figura 8 se indica la serie de tiempo de la localidad de Cuencamé, que registra valores mayores de Maya v1.0 en relación con los de CLICOM; los valores máximos de El Salto de CLICOM por encima de los valores máximos de Maya v1.0.

De las figuras 6, 7 y 8 se nota que es posible tomar un valor extremo en Maya v1.0, que esté muy alejado del valor extremo de CLICOM, para ubicar si los posibles cambios en las tendencias se preservan; se comparan los valores máximos anuales de las variables meteorológicas (Tmáx, Tmín, P) con los valores percentiles 90 anuales (en Tmáx, P) y percentil 10 anual (en Tmín), y se implementa la metodología propuesta tanto en valores máximos anuales como en percentiles anuales de Maya v1.0.

 

Estimación de tendencias en el comportamiento de las variables climáticas

Los cuadros 1, 2 y 3 contienen el modelo completo (7), el modelo reducido (8) y las pendientes de regresión (3) y (4) asociadas con los parámetros de escala y forma del modelo (1), además de los resultados de la estadística de prueba (8).

En el cuadro 4 se presentan las tendencias en el ajuste de VGLM con respecto a los parámetros de escala y forma en los 270 nodos en el estado de Durango, bajo la hipótesis nula (tendencia) y la hipótesis alternativa (no tendencia) de la prueba de razón de verosimilitudes.

En el cuadro 5 se muestran las tendencias en el ajuste de VGLM, en cuanto a los valores percentil 90 y 10 de los coeficientes de regresión asociados con los parámetros de escala y forma en los 270 nodos en el estado de Durango, bajo la hipótesis nula (tendencia) y la hipótesis alternativa (no tendencia) de la prueba de razón de verosimilitudes generalizada.

 

Mapas de tendencias en las variables climáticas

Se usan los coeficientes de regresión β₁₂ y β₂₂ (las pendientes de regresión asociadas con los parámetros de escala y forma, respectivamente), para obtener los mapas de tendencia para las variables meteorológicas mediante interpolación en la aplicación ArcGIS 8.1. Los resultados se presentan a continuación (figuras 9 a 14) (10, 11, 12, 13).

Se pudo notar que hay similitudes en ciertas regiones al comparar los mapas de tendencias, obtenidas con valores máximos anuales y los valores percentil 90 anuales.

En las (figuras 9 a 14) (10, 11, 12, 13), se observa que hay un aumento considerable en la tendencia (positiva y negativa) en el parámetro de escala, en temperaturas máximas anuales en algunas áreas del estado, en temperaturas mínimas y precipitación máxima anual, lo cual significa que estas regiones son más propensas a manifestar algún fenómeno climático extremo (por la tendencia de los cuarenta años de estudio). Los mapas generados se pueden emplear para localizar áreas donde eventos extremos pueden ser aún más severos en el futuro. Al norte y al oeste del estado se presentan las temperaturas máximas mayores; al sureste del estado, temperaturas mínimas menores; y al sur y suroeste, precipitación máxima menor.

 

Conclusiones

Se muestra y prueba una metodología para investigar el comportamiento espacio-tiempo de valores extremos en series meteorológicas. Las tendencias obtenidas para el estado de Durango en las variables estudiadas sirven para monitorear los posibles cambios en variables climáticas y anticipar escenarios ante un eventual cambio climático.

 

Agradecimientos

A la línea de investigación 15: Estadística, modelado y tecnologías de información aplicadas a la agricultura y al medio rural del Colegio de Postgraduados.

 

Referencias

Allan, R. P. (2011). Climate Change: Human Influence on Rainfall. Nature, 470, 344-345.         [ Links ]

Allan, R. P., & Soden, B. J. (2008). Atmospheric Warming and the Amplification of Precipitation Extremes. Science, 321, 1481-1484.         [ Links ]

Coles, S. (2001). An introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. London: Springer.         [ Links ]

Cooley, D. (2009). Extreme Value Analysis and the Study of Climate Change. Climatic Change, 97(1), 77-83.         [ Links ]

Drignei, D. (2009). A Kriging Approach to the Analysis of Climate Model Experiments. Journal of Agricultural, Biological, and Environmental Statistics, 14, 99-114.         [ Links ]

She, D., Xia, J., Song, J., Du, H., Chen, J., & Wan, L. (2013). Spatio-temporal Variation and Statistical Characteristics of Extreme Dry Spell in Yellow River Basin, China. Theorical and Applied Climatology, 112(1-2), 201-2013.         [ Links ]

Katz, R. W., & Brown, B. G. (1992). Extreme Events in a Changing Climate: Variability is More Important than Averages. Climatic Change, 21, 289-302.         [ Links ]

Katz, R. W., Parlange, M. B., & Naveau, P. (2002). Statistics of Extremes in Hydrology. Advances in Water Resources, 25, 1287-1304.         [ Links ]

Min, S. K., Zhang, X., Zwiers, F. W., & Hegerl, G. C. (2011). Human Contribution to More-Intense Precipitation Extremes. Nature, 470, 378-381.         [ Links ]

Rahmstorf, S., & Coumou, D. (2011). Increase of Extreme Events in a Warming World. Proceedings of the National Academy of Sciences, 108, 17905-17909.         [ Links ]

Reiss, R. D., & Thomas, M. (1997). Statistical Analysis of Extreme Values. Birkhäuser Verlag.         [ Links ]

Team, D. C. (2008). R: A language and environment for statistical computing. Recuperado de http://www.R-project.org.         [ Links ]

Yee, T., & Stephenson, A. (2007). Vector Generalized Linear and Additive Extreme Value Models. Extremes, 10, 1-19.         [ Links ]

Yee, T. W. (2008). The VGAM Package. R News, 8, 28-39.         [ Links ]