Introducción

Los métodos de muestreo e inventarios con validez estadística son muy útiles para generar estimaciones confiables y científicamente defendibles (^{Schreuder et al., 2004}; ^{Fattorini et al., 2015}). En una plantación forestal comercial (PFC) es importante estimar con precisión las existencias maderables, lo que permite tener información para planificar acciones y tomar decisiones informadas sobre el manejo técnico y la inversión por efectuar (^{Roldán et al., 2014}). Cuando la superficie de la PFC es extensa, el inventario se realiza por muestreo para obtener parámetros de interés de la población de manera correcta, precisa y a un costo mínimo (^{van Laar y Akça, 2007}; ^{Köhl y Magnussen, 2016}).

El propósito del inventario forestal maderable es aportar información cuantitativa confiable para el manejo operativo de la PFC, para lo cual se requiere el conocimiento acertado, a nivel de unidad mínima de manejo, sobre medias y totales del número de árboles (N), área basal (AB) y volumen (V) por hectárea. Lo anterior obliga a buscar un balance entre los recursos financieros disponibles y la precisión estadística necesaria (^{Roldán et al., 2014}). En ese sentido, el mejor enfoque para optimizar recursos es diseñar una estrategia de muestreo, que debe combinar el método para seleccionar la muestra con el procedimiento para estimar los parámetros de la población (^{Gregoire y Valentine, 2008}; ^{Grafström et al., 2014}).

Para realizar un inventario multipropósito, normalmente, se adopta el esquema de muestreo único, simple y flexible, de modo que permita evaluar todas las variables dasométricas de interés (^{Schreuder et al., 1993}; ^{Corona y Fattorini, 2006}). Cualquiera que sea el diseño de muestreo y el tamaño de muestra, se tienen implicaciones en términos de costo y eficiencia en la fiabilidad al estimar el inventario, misma que puede cuantificarse en función de la precisión, el sesgo y el error cuadrático medio (^{Köhl et al., 2011}; ^{Roldán et al., 2014}). La precisión está en función de la homogeneidad de la población y del número de sitios de muestreo considerados, por lo que el inventario se debe llevar a cabo para que atienda el nivel de precisión predeterminado y para que se optimice tanto el tiempo, como los costos por efectuarlo (^{Schreuder et al., 2004}; ^{van Laar y Akça, 2007}; ^{Marchi et al., 2017}).

La literatura especializada sugiere diferentes estimadores de muestreo para hacer un inventario maderable en PFC orientado al manejo técnico-operativo; entre ellos, los que hacen la inferencia sobre la población con base en el diseño: el muestreo simple al azar (MSA), el muestreo sistemático y el muestreo estratificado (ME); así como aquellos en los que la inferencia se hace en función a modelos (^{Raj, 1980}; ^{Scheaffer et al., 1987}; ^{Cochran, 1993}; ^{Gregoire y Valentine, 2008}). Estos últimos usan información auxiliar mediante variables que se correlacionan alta y positivamente con la variable de interés; entre ellos destacan los estimadores de razón y de regresión que pueden aplicarse en MSA y ME (^{Schreuder et al., 1993}; ^{Shiver y Borders, 1996}; ^{Pérez, 2005}; ^{Grafström et al., 2014}). Sin embargo, existe poca evidencia empírica reciente derivada de análisis de casos prácticos específicos que permitan determinar los mejores estimadores de muestreo o sus posibles combinaciones que conduzcan a diseñar una estrategia de muestreo óptima.

En este contexto, los objetivos del presente estudio fueron: 1) evaluar la eficiencia estadística de seis estimadores de muestreo para plantear una estrategia de muestreo óptima en términos de precisión y tiempo para realizar inventarios maderables operativos que apoyen la toma de decisiones orientadas a mejorar el manejo técnico de PFC de Tectona grandis L.f. (teca), establecidas en Campeche, México; y 2) determinar el tamaño de muestra óptimo para la media del volumen en MSA y ME que asegure una precisión de 2.5 % y ( = 0.05.

Materiales y Métodos

El estudio se realizó en una plantación forestal comercial con una superficie de 2 207.5 hectáreas plantadas con Tectona grandis, a espaciamiento de 4 m × 2 m (1 250 plantas ha^-1), que se localiza en el Valle de Edzná, municipio Campeche, estado del mismo nombre, en el sureste de México. El clima que predomina es Aw”0(i´)g que corresponde al tipo cálido subhúmedo con lluvias en verano, precipitación promedio anual de 1 094.7 mm, con seis meses de sequía de diciembre a mayo; temperatura promedio anual de 26.6 °C, con ocurrencia de vientos dominantes en invierno y verano, con ráfagas máximas de hasta 60 km h^-1 (^{Breña, 2004}).

Se trabajó un tamaño de muestra (n) conformada por 8 830 sitios, cada uno rectangular de 72 m² que representó una cobertura de 0.25 hectáreas. El marco de muestreo (N) fue de 306 597 unidades y la intensidad de muestreo de 2.9 %. Los sitios se muestrearon bajo un patrón sistemático, en una malla de 50 m × 50 m con lo que se tuvo una distribución uniforme.

Se evaluaron nueve cepas por sitio, cada una referente al punto específico en que se plantó un ejemplar de Tectona grandis; de esta forma fue posible contabilizar el número de árboles vivos, a los cuales se les midió el diámetro normal (Dn) con cinta diamétrica modelo 283D/5m-CSE; además, se registró la edad (E) de la plantación en años; la altura total (A) de cada árbol en metros se estimó en función del Dn con un modelo tipo Chapman-Richards utilizado por ^{Tamarit (2013)} que presentó la estructura matemática:

Donde:

exp = Función exponencial

El volumen (v) fustal con corteza por árbol en m³ se estimó con el modelo de Schumacher-Hall generado por ^{Tamarit et al. (2014)} expresado como:

Con base en ^{Fierros et al. (2018)}, el AB de cada árbol en m² se estimó con la fórmula:

Donde:

π = Constante con valor de 3.1416

El número de árboles vivos, el área basal y el volumen total estimados por sitio se proyectó a nivel de hectárea, para así obtener las variables N, AB y V escaladas a unidades convencionales.

Para estimar el volumen medio de madera se aplicaron los estimadores y parámetros del MSA y del ME, en los que la inferencia sobre la población se basa en diseño (^{Cochran, 1993}; ^{Gregoire y Valentine, 2008}). También, se evaluaron los estimadores de razón (R) y de regresión (Rg) dentro del MSA, cuya inferencia se fundamenta en modelos, además de la razón combinada (Rc) y la razón específica (Re) dentro del ME (^{Shiver y Borders, 1996}; ^{Pérez, 2005}) (expresiones 1 a 14 del Cuadro 1).

En todos los casos se trabajó con el MSA como diseño de muestreo de referencia. Para estratificar se usó la edad de la plantación como variable auxiliar, se definieron seis clases de edad (CE) con intervalos de un año (Cuadro 2).

En cada estrato del ME se aplicaron los mismos estimadores referidos para el MSA. En los estimadores de Razón y Regresión se utilizó el AB y la edad de la plantación como variables auxiliares, se determinó el valor del coeficiente de correlación (ρ) entre el V con el AB y la edad, la variable auxiliar es mejor cuando ρ es cercano a 1. En el estimador de R bajo MSA se asumió como valor poblacional verdadero a la media muestral del AB obtenida bajo ME. Con el estimador de R en ME, la edad fue conocida sin error de muestreo porque se tuvo su registro exacto.

La forma en que se calculó el intervalo de confianza (IC) para la media (y-) del volumen en m³ ha^-1, su respectiva precisión (P) en porciento y el inventario (y^) correspondiente para el MSA se muestra enseguida (^{Cochran, 1993}) y es aplicable al resto de los estimadores evaluados.

De acuerdo con ^{Freese (1976)}, ^{Schreuder et al. (1993)} y ^{Schreuder et al. (2004)}, el planteamiento teórico referido para estimar la media tiene mayor significado cuando se establece un IC con un nivel de confiabilidad previamente establecido (en este estudio (=0.05), lo que significa que bajo muestreo repetido, en promedio una de cada 20 muestras tiene la probabilidad de producir un IC que no contenga la media verdadera del volumen; por lo que, para lograr este nivel de confiabilidad en promedio se necesitan dos errores estándar del estimador.

El mejor estimador de muestreo se seleccionó con base en el valor más bajo de la varianza de la media, la más alta precisión y la menor amplitud de los intervalos de confianza. Los estimadores del MSA se consideraron como línea base de referencia sobre los que se comparó el resto de los estimadores (^{West, 2017}). La estrategia de muestreo se conformó al combinar el diseño de muestreo con el mejor estimador. Los cálculos para aplicar los estimadores se realizaron en la hoja de cálculo Excel 2013 de Microsoft Office ^®.

El tamaño de muestra óptimo para la media del volumen en MSA y ME se determinó al simular un muestreo repetido mediante la técnica de Bootstrap con el programa estadístico libre R versión 3.6.2 (https://www.r-project.org, ^{R Development Core Team, 2020}) para Windows. La muestra total (8 830 sitios = 100 %) se redujo gradualmente en intervalos de 5 %, en cada nivel de reducción se obtuvieron 30 muestras sin reemplazo (^{Marchi et al., 2017}) a las que se les calculó la media, la varianza de la media, los IC y la precisión; posteriormente, se obtuvo el promedio de cada parámetro para analizar sus comportamientos gráficos. El tamaño de muestra óptimo se determinó con precisión de 2.5 % ((=0.05) y se comparó con el calculado por la ecuación 3. Para el ME, la distribución del tamaño de muestra en cada estrato se realizó de acuerdo con las formulaciones respectivas citadas por ^{Cochran (1993)} y ^{Pérez (2005)} para las asignaciones proporcional y Neyman.

Resultados y Discusión

Todos los estimadores evaluados tuvieron precisiones por abajo de 2 %. El estimador de Razón específica en ME registró la mejor eficiencia estadística, seguido del estimador de Regresión en MSA y de la Razón combinada en ME. Estos tres estimadores presentaron las mejores precisiones, las menores varianzas, IC estrechos y usaron como variable auxiliar el AB (Cuadro 3).

Destaca el efecto favorable, cuando se hizo la estratificación por clase de edad. Al respecto, ^{Lencinas y Mohr-Bell (2007)} señalan que una estrategia para optimizar un inventario consiste en estratificar con alguna variable fuertemente relacionada con la variable de interés, como en este caso lo fue la edad de las PFC. De lo anterior, se deduce que al implementar en la práctica la estratificación por clase de edad se puede lograr que el esfuerzo de muestreo sea bajo, ya que se requiere un menor tamaño de muestra lo que coincide con lo determinado por ^{Roldán et al. (2014)}. Además, el error de muestreo se favorece al estimar el parámetro poblacional. En contraste, cuando la edad se utilizó solo como variable auxiliar, en particular el caso del estimador de R en MSA, se obtuvieron valores pobres en los parámetros de eficiencia estadística referidos y la media se sobreestimó.

Cuando se usó al AB como variable auxiliar, los estimadores de razón dentro del ME fueron superiores respecto a los estimadores de razón en el MSA, con base en ^{Freese (1976)}, ^{Scheaffer et al. (1987)} y ^{Corona y Fattorini (2006)}. Esto se debe a que con la partición de la población en estratos se logra homogeneidad dentro de ellos, con lo que se reduce la varianza total; y con ello, se incrementa la exactitud del estimador. Así para una misma intensidad de muestreo, el ME genera estimaciones más precisas que el MSA. Con base en esta experiencia y en ^{Köhl y Magnussen (2016)}, otras variables, además de la edad, que se pueden considerar como lógicas y factibles para estratificar PFCs son las clases por índice de sitio, por categoría diamétrica o de incremento en AB.

El AB como variable auxiliar fue mejor que la edad, efecto más acentuado para los estimadores de Rc y Re dentro del ME; al respecto ^{Fattorini et al. (2015)}, ^{Vallée et al. (2015)} y ^{Adichwal et al. (2019)} indican que las variables auxiliares que se usen, además de tener una correlación alta con la variable de interés, deben de ser fáciles, rápidas y baratas de medir, lo cual las hace altamente eficientes. ^{Scheaffer et al. (1987)} refieren que, cuando el coeficiente de correlación (ρ) entre la variable de interés y la auxiliar es mayor a 0.5, el estimador de razón para la media poblacional es más precisa que el MSA; en este caso, la superioridad del AB como variable auxiliar se debe a que el valor de ρ fue de 0.99 y el de la edad de 0.47.

El volumen frente al AB mostró una relación lineal a través del origen (Figura 1a), la varianza del volumen mantuvo una tendencia proporcional en relación al AB, condiciones favorables por las que los estimadores de razón y de regresión tuvieron una menor varianza para la media poblacional; y en consecuencia mayor precisión que la media simple obtenida del MSA. Lo anterior coincide con lo documentado por ^{Roldán et al. (2014)} para PFC de Eucalyptus urophylla S. T. Blake, quienes para la media del volumen indican que el AB con ρ=0.97 fue más precisa para el estimador de Rc en ME. Asimismo, concuerda con lo registrado por ^{Fierros et al. (2018)}, al señalar que el estimador de Rg, con el AB como variable auxiliar fue el más preciso para estimar el inventario maderable en PFC de Pinus chiapensis (Martínez) Andersen.

Figura 1 Comportamiento del volumen respecto al área basal (a) y edad (b) usadas como variables auxiliares en los estimadores de razón y regresión en plantación forestal comercial de teca. 

Los estimadores de razón tienen la ventaja adicional de que la variable auxiliar ofrece una implicación práctica al estimar el inventario; en el presente estudio, el valor de la razón indica que por cada m² de AB se estima un volumen de 4.7 m³ ha^-1, lo que permite calcular el inventario en volumen de forma inmediata, con solo conocer de manera precisa el AB poblacional, la cual podría determinarse mediante la obtención de puntos de muestreo con relascopio. Cuando la edad fue la variable auxiliar, se determinó que por cada año que transcurre, el volumen se incrementa en promedio 5.8 m³ ha^-1; esto hace posible que el estimador funcione como un sistema de crecimiento y rendimiento simplificado, porque al conocer la edad ponderada por estratos (5.7 años), es posible estimar el inventario en forma anualizada conforme la plantación crece; para ello se asume el supuesto de que la superficie plantada se mantendrá constante en el tiempo y que no se incorporan o se remuevan áreas de plantaciones.

El valor de la razón V/AB en este estudio fue ligeramente menor al que se obtiene con un sistema de crecimiento desarrollado por ^{Tamarit et al. (2019)} para la misma especie y región de estudio, el cual fue de 5.3 m³ ha^-1 para la condición promedio (índice de sitio 15 m). En tanto, el valor de razón V/edad fue menor al de 9.3 m³ ha^-1 estimado con el sistema de crecimiento para la misma condición promedio referida.

A pesar de que los estimadores de razón son sesgados, el sesgo es mínimo y se puede considerar despreciable siempre que el tamaño de muestra por estrato sea igual o mayor a 30 unidades de muestreo (^{Freese, 1976}; ^{Scheaffer et al., 1987}; ^{Velasco et al., 2003}); condición que se cumple en este análisis para cada estrato, porque el estrato más pequeño fue de 100 sitios. Lo anterior contribuye a explicar la mayor eficiencia del estimador de Re, que tiene la ventaja adicional contra el de Rc de que al obtener el estimador para cada estrato y luego sumarlos, hace que la razón varíe entre estratos, lo que da estimaciones separadas e información de la población a nivel de estrato.

Cuando la relación entre la variable principal y la auxiliar es lineal a través del origen (Figura 1a), los estimadores de Rc y Re por estrato son prácticamente insesgados y en la praxis el sesgo puede considerarse nulo. En este contexto, de acuerdo con ^{Raj (1980)} y ^{Pérez (2005)}, el estimador de Re fue superior al de Rc (en ambos el AB fue variable auxiliar), porque el número de estratos fue reducido y cada estrato fue relativamente grande, lo que implicó tener pocos sumandos y la acumulación del sesgo fue mínimo; además, las razones por estrato fueron distintas y ascendentes conforme la clase de edad aumentó.

Con respecto al estimador de Rc en el ME con el AB como variable auxiliar, ^{Pérez (2005)} indica que su ventaja sobre el de Re es que no presenta acumulación de sesgos en los estratos, por lo que el sesgo total cuando está presente se reduce al mínimo. Sin embargo, tiene el inconveniente de que no ofrece estimaciones separadas por estratos; en la práctica, la Rc se debe usar cuando la cantidad de estratos es grande y el tamaño de cada uno es pequeño.

El análisis del comportamiento del tamaño de muestra (n) al variar la precisión evidenció que para lograr altas precisiones (menores a 2 %) se requiere un número más grande de sitios (Figura 2a), lo que implica un mayor esfuerzo de muestreo y que los costos se incrementen. Se detectó que el MSA es más exigente en tamaño de muestra que el ME, situación lógica porque el primero no se apoya en la información auxiliar de estratos en la población, en la que las unidades que los componen son internamente lo más homogéneas posibles y lo más heterogéneos entre ellos; esto permite que el error de muestreo se reduzca y que la precisión mejore (^{Pérez, 2005}). Por lo anterior, para un mismo tamaño de muestra, el ME tiene mayor ganancia en precisión que el MSA.

Figura 2 Tamaño de muestra calculado al variar la precisión en MSA y ME (a) y tamaño de muestra en MSA calculado con la técnica de Bootstrap y por fórmula (b). 

La tendencia de los promedios de las precisiones estimadas, al variar el tamaño de muestra, fue muy similar cuando se le determinó con la técnica de Bootstrap para el MSA que cuando se obtuvo con fórmula (Figura 2b); comportamiento que da pauta para asumir que en el resto de los estimadores evaluados se definirían patrones de correspondencia similares.

Para lograr la precisión fijada en 2.5 %, se determinó que el n óptimo calculado con las fórmulas respectivas fue de n = 3 744 para el MSA y de n = 2 799 para el ME; lo que implica que el tamaño de muestra original se puede reducir en 57.6 % y 68.3 %, respectivamente; ello significa menor esfuerzo de muestreo para obtener la información en campo y, en consecuencia, se acorta el tiempo y disminuye el costo de inversión para efectuar el inventario.

El procedimiento Bootstrap también permitió apreciar de mejor manera el efecto de la reducción del tamaño de muestra sobre la varianza, la cual se incrementa hasta cierto límite a medida que la muestra disminuye (Figura 3a); además, los límites superior e inferior de los IC de la media tienden a ampliarse, lo cual se acentúa cuando esta se reduce por arriba de 70 % (Figura 3b).

Figura 3 Efecto de la reducción del tamaño de muestra en MSA sobre la varianza de la media en volumen (a) y sobre los respectivos IC (b). 

El tamaño de muestra se podría reducir aún más conforme la precisión disminuye, sobre todo en ME; sin embargo, se debe tener presente que para poner en práctica los mejores estimadores referidos, hay que asegurar que la muestra tenga al menos 30 sitios por estrato; con ello, los parámetros de la población alcanzarán la mejor precisión. Al respecto, la distribución del tamaño de muestra calculado por estrato y total para la precisión de 2.5 % ((=0.05) en la asignación proporcional y la Neyman se muestran en el Cuadro 4. De un total de n unidades de muestreo, ^{Cochran (1993)} y ^{Pérez (2005)} refieren que en la asignación proporcional el número de unidades muestrales en cada estrato es proporcional a su tamaño, y en la Neyman se garantiza que el tamaño de muestra en cada estrato tenga varianza mínima y por lo tanto, la estimación de la media poblacional es más precisa. El aumento del número de sitios en ambos tipos de asignaciones al pasar del estrato 7 al 8, posiblemente, se deba a que las condiciones de crecimiento, dadas por la calidad de sitio, para la clase de edad 8 sean comparativamente más heterogéneas, además de que la superficie es mayor en 36.5 ha (Cuadro 4).

Cuando el objetivo es obtener estimadores separados para cada estrato y se considera al estimador global como de importancia secundaria, ^{Freese (1976)} señala que se debe realizar un muestreo intenso en los estratos que tienen material de alto valor comercial, entonces las asignaciones referidas pasan a segundo plano. Bajo ese escenario, se debe de muestrear el número de sitios necesarios de modo tal que se alcance el grado de precisión deseado para los estratos de interés. Esto es relevante para aplicarse en PFC, cuyas edades están próximas al turno y en las que se aplicarán aclareos comerciales.

Un factor más que se debe considerar en la determinación del tamaño de muestra es lo que en términos de precisión y confiabilidad establece la legislación forestal vigente. Al respecto, la Norma Oficial Mexicana NOM-152-SEMARNAT-2006 exige que, en la elaboración de inventarios maderables mediante muestreo, se debe de tener una confiabilidad mínima de 95 % ((=0.05) a nivel de predio y un error de muestreo máximo de 10 % (^{Semarnat, 2008}).

La cuantificación eficiente de las existencias maderables da certidumbre para encarar procesos de pignoración forestal, con ello se contribuye a la capitalización de la PFC como negocio y empresa forestal, porque es posible colocar el valor de la plantación como título prendario para la transacción bancaria o bien para mejorar las condiciones de bursatilización y de mercado.

Conclusiones

La estrategia de muestreo óptima en términos de precisión para realizar el inventario operativo y estimar el volumen medio de PFC de teca en Campeche, México, se conforma al asociar el diseño de muestreo bajo muestreo simple al azar con el estimador de razón específica dentro del muestreo estratificado, con el área basal como variable auxiliar y al estratificar por clase de edad.

En el muestreo estratificado el tamaño de muestra inicial se reduce hasta 68.3 % para mantener la precisión de 2.5 % (confiabilidad de (=0.05), lo que implica menor tiempo y esfuerzo, con la consecuente reducción de costos en el inventario maderable.

La edad de la PFC es más eficiente cuando se utiliza para estratificar que cuando se usa como variable auxiliar en los estimadores de razón y de regresión. Para obtener la precisión más alta en los parámetros poblacionales se recomienda estratificar por clases de edad con intervalos de un año.