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Introducción
Las pérdidas de suelo en cuencas hidrológicas es un problema recurrente en estudios hidrológicos que enfrentan los usuarios de los recursos naturales y los propios investigadores. Estas pérdidas tienen efectos in situ y ex situ de las cuencas impactadas. Los problemas in situ incluyen la pérdida de estructura del suelo, el decremento de la materia orgánica y de nutrientes del suelo y la reducción de la disponibilidad de agua en el suelo (Brooks et al., 2012). Los efectos ex situ incrementan el transporte de sedimentos y la pérdida de nutrientes como el nitrógeno y fósforo que se encuentran adheridas a las partículas de suelo erodadas y depositadas en la red de drenaje de las cuencas, aguas debajo de donde se suscita el problema.
El incremento de sedimento en la red de drenaje de las cuencas reduce la capacidad de transporte y merma la calidad del agua que drena aguas abajo donde es utilizada para diferentes usos (Ffolliot et al., 2013). También, la pérdida de suelo por concepto de erosión hídrica es el principal factor que limita la productividad de los suelos que obstruye la plena producción en la agricultura (Obalum et al., 2012). El crecimiento poblacional y el cambio en el uso del suelo exacerban el proceso junto con las altas intensidades de precipitación principalmente en zonas áridas (FAO, 1995).
Resulta entonces de crucial importancia la selección del método para dimensionar o cuantificar las pérdidas de suelo en cuencas hidrológicas (Wainwright y Mulligan, 2004). Para la estimación del proceso de erosión de suelos, han sido propuestas varias aproximaciones y actualmente existen diversos modelos para este propósito, los cuales pueden ser clasificados de diferentes maneras. Acorde a Van der Knijff (2000), se puede hacer una subdivisión basado en la escala de tiempo en la que el modelo opera, así algunos modelos están diseñados para estimar pérdidas de suelo en el largo plazo y otros para estimar la erosión por evento de lluvia. En esta última categoría se puede encontrar el modelo Kineros2 (Goodrich et al., 2012) y el SWAT (Arnold et al., 2012). Otro enfoque útil en el proceso de selección del método para cuantificar erosión es entre modelos empíricos y modelos físicamente basados (Sánchez, 2005). La óptima selección de un modelo se debe fundamentar en la respuesta a las preguntas: ¿Qué se desea hacer?, ¿Con qué nivel de precisión y escala? y ¿Cuál es la información disponible? De omitir esto, se corre el riesgo de sobre o sub utilizar las capacidades de los distintos modelos de simulación.
Materiales y métodos
El análisis del presente trabajo se fundamenta en la ecuación de crecimiento propuesta por Malthus y descrita por Pearl y Reed (1920). La ecuación diferencial descrita es:
Donde: N es la población y ‘t’ es el tiempo. La ecuación diferencial establece que la variación de la población a través del tiempo es proporcional a la misma población; es decir, si la población es numerosa entonces su variación en el tiempo también lo será. La ecuación 1 es separable en términos matemáticos y su solución consiste en agrupar los términos semejantes en un lado de la igualdad y los restantes en el otro; así la ecuación 1 se traduce en la ecuación 2 al dividir todo entre ‘N’ (lo que desaparece el término ‘N’ del lado derecho de la igualdad) y multiplicar por ‘dt’ (lo que desaparece la ‘dt’ del lado izquierdo de la igualdad:
Obteniendo la anti derivada (integrando) de la ecuación 2 se obtiene:
Donde:
Si se asume que la población nunca será negativa, entonces el valor absoluto de N desaparece; así también eC es una constante arbitraria ‘C’. De esta manera, la ecuación 4 es la solución a la ecuación diferencial 1. En esta ecuación ‘r’ es la tasa de crecimiento poblacional.
En términos de erosión de suelos la ecuación 4 puede ser válida siempre y cuando la pérdida de suelo esté por debajo de un valor máximo (K) dictado por la profundidad del suelo; es decir, en este punto, ya no habría pérdida de suelo ya que este se habría agotado por completo. La constante ‘C’ de la ecuación 4 puede ser vista como la pérdida inicial del suelo al tiempo ‘0’ [N(0)] ; así si t = 0 al substituir este valor en esa ecuación resulta que N(0)= 0= C dado que e0= 1.
Posterior al trabajo de Malthus, Verhults (1845); Bacaer (2011), propuso una ecuación de crecimiento aludiendo que el crecimiento poblacional no podría ser exponencial, puesto que alcanzaría un límite en donde el ecosistema ya no podría mantenerla y en ese punto se haría asintótica al tiempo. La ecuación diferencial propuesta por Verhults es: (Wlofram, 2002; Skoldberg, 2012).
Acorde a Thornes (2004), esta ecuación diferencial puede ser utilizada para la modelación del proceso de erosión cuando se conoce una tasa o pérdida de suelo inicial y el límite superior de la erosión máxima, después de la cual la productividad de los cultivos decrece. El racional del uso de la función logística se puede resumir en que mientras más erosión exista habrá más erosión. Este proceso comienza de manera lenta, posteriormente adquiere un comportamiento exponencial, para luego decrecer hasta alcanzar un equilibrio. La ciclicidad de este proceso (retroalimentación positiva) ocurre porque suelos delgados producen más escurrimiento; por lo tanto, más erosión y en consecuencia suelos más delgados. La tasa de erosión se reduce eventualmente mientras más suelo ha sido removido. Esta reducción ocurre principalmente porque los horizontes de suelo más profundos son más densos y poseen un contenido mayor de pedregosidad. Finalmente, cuando no existe ya suelo no puede ocurrir más erosión por lo que la máxima pérdida de suelo a la que se puede llegar está dada por su profundidad.
El término
Figura 1 Solución gráfica a las ecuaciones diferenciales 4 (Línea continua) y 5 (línea discontinua) para el proceso de erosión.
La ecuación 5 es una ecuación diferencial separable, por lo que (Gershenfeld, 1999; Stewart, 1996):
La ecuación 6 puede integrarse utilizando el esquema de solución de expansión de fracciones parciales:
Donde:
Por el método de igualación de coeficientes, se tiene que A= 1 y B=
Expandiendo la ecuación 9 e integrando, resulta:
En el numerador del lado derecho de la igualdad se añade +0N por lo que los coeficientes de N en el lado izquierdo se igualan a aquel del lado derecho; así entonces
Si se asume que la erosión del suelo no es negativa y se mueve en el rango 0< N (t)< K, entonces el operando del valor absoluto desaparece quedando:
De acuerdo a las propiedades de los logaritmos se obtiene:
Obteniendo el logaritmo natural en ambos lados de la igualdad:
Resolviendo para N tomando el recíproco de la ecuación 14:
Añadiendo
Tomando el reciproco de ambos lados se tiene que:
Si se asume que la erosión al tiempo 0 es N0, entonces al tiempo 0:
Tomando el recíproco de la ecuación 19 se tiene:
Donde:
Sustituyendo el valor de la constante ‘C’ en la ecuación 18:
Reduciendo términos se tiene que al multiplicar numerador y denominador por N0K.
La ecuación 23 es la solución a la ecuación diferencial 5.
Parametrización del modelo logístico
El modelo logístico de erosión (ecuación 23) considera tres parámetros en su estructura: la tasa de erosión ‘r’, el estado inicial de erosión (No) y la erosión máxima o límite máximo de erosión (K) (Figura 1).
El modelo opera en cualquier escala de tiempo ‘t’, para el caso de erosión y en función de obtener una apreciación objetiva de cual pudiera ser la pérdida de suelo en alguna localidad, se recomienda la escala anual. Así, para obtener el parámetro ‘r’; es necesario, contar con datos de campo de erosión observada en el tiempo. Para la cuenca experimental del INIFAP en el municipio de San Luis del Cordero, se ha estimado una pérdida de suelo anual de 0.33 mm (r). Las características de la cuenca se muestran en la Figura 2 y Cuadro 1.
Cuadro 1 Componentes del estado de superficie en la cuenca experimental.
| Cobertura | (%) |
|---|---|
| Roca | 26.85 |
| Suelo | 52.4 |
| Materia orgánica | 4.44 |
| Vegetación | 15.92 |
El parámetro ‘K’, se puede establecer como la tasa máxima de pérdida de suelo que se puede aceptar en una prospección temporal conservacionistamente dimensionado. Para el caso de la cuenca mencionada líneas arriba, se estima que la pérdida de suelo no debe de sobrepasar los 10 mm para no mermar la capacidad productiva de flora silvestre, entre la que se incluyen los pastos nativos, ya que es la fuente principal de ingreso a las localidades por pastoreo de ganado.
Pérdida de productividad
La ecuación diferencial 5, contabiliza el tiempo en que se perdería una determinada cantidad de suelo acorde a la tasa de erosión y al límite máximo impuesto. Esta reducción en cantidad disponible de suelo, impacta de manera directa a la productividad de los cultivos en zonas áridas.
En zonas de temporal, el rendimiento de los cultivos está asociado a la presencia de eventos climáticos (naturaleza aleatoria) para su óptimo desarrollo; así entonces, el proceso de erosión sigue las mismas variaciones que la precipitación pluvial. De ahí que es pertinente visualizar la productividad del suelo como consecuencia de factores edafoclimáticos (Sánchez, 1995).
Acorde a Todorovic et al. (1987), la relación entre el rendimiento de un cultivo en un año dado (Yn) y el rendimiento del mismo cultivo bajo un suelo sometido a erosión (Xn), está dado por:
En la anterior ecuación, el parámetro ‘a’ es
Donde: ‘e’ es la pérdida anual de suelo. Así entonces, el suelo disponible ‘dn’ se irá degradando conforme a:
En la anterior ecuación ‘n’ indica el número de año. Si la ecuación 26 se sustituye en la ecuación 24, se tiene:
La anterior ecuación cuantifica el rendimiento Xn que se esperaría en el enésimo año bajo una tasa de erosión constante ‘r’ y partiendo del rendimiento esperado del cultivo Yn.
Aleatoriedad del rendimiento
Como se ha asentado, la aleatoriedad de los rendimientos de los cultivos en zonas de temporal sigue estrictamente la aleatoriedad de la precipitación pluvial. Si se considera que el rendimiento varía aleatoriamente con una media µ y desviación estándar σ entonces se pueden generar estocásticamente rendimientos del cultivo como:
Siendo z:
Donde: rnd1, 2 son números aleatorios con µ= 0 y σ= 1.
Parametrización del modelo de productividad
El parámetro ‘a’ de la ecuación 27, es el cociente entre el rendimiento del cultivo bajo condiciones de no erosión (suelo naturalmente conservado, Xn) y el rendimiento del cultivo bajo un suelo erosionado. Estos valores se pueden obtener de experiencia empírica o recurrir a literatura en el contexto. Así, el Cuadro 2 muestra valores guía para obtener este valor.
Cuadro 2 Reducción del rendimiento en maíz por pérdida de suelo (Mokma y Siez, 1992).
| Grado de erosión | Rendimiento promedio (t ha-1) |
|---|---|
| Ligero | 7.34 |
| Moderado | 7.09 |
| Severo | 5.83 |
Otros autores como Mbagwu (1988) obtuvo relaciones funcionales entre el rendimiento del cultivo maíz y la erosión del suelo en parcelas con erosión inducida. Para el primer año de estudio encontró:
Ya= 3.2761e−0.1621x con R2= 0.998 y para el segundo: Yb= 1.6116e−0.1489x con R2= 0.985. En estas regresiones ‘x’ es la erosión del suelo expresada en cm e Ya, Yb son los rendimientos anuales (t ha-1).
Para la cuantificación del parámetro ‘r’, es necesario establecer el espesor de la capa de suelo que interesa conservar (D), usualmente esto se puede definir por la capa arable (en agricultura de temporal y riego) o aquella capa susceptible de ser erodada con mayor facilidad en agostaderos. Por otro lado, el parámetro ‘e’ de la ecuación 25 es la tasa de erosión actual: por ejemplo, como ya se ha anotado, en la cuenca experimental del INIFAP en el municipio de San Luis del Cordero, Durango, la tasa observada de erosión durante 2016, en tres eventos es de 0.44 mm año-1 en promedio. Lo anterior después de analizar los sedigramas (variación de los sólidos en suspensión en el tiempo medidos en el escurrimiento), producto de eventos lluviosos (Figura 3).
Figura 3 Toma de muestras para determinar la concentración de sólidos en suspensión en un evento de escurrimiento durante agosto de 2016. Cuenca experimental INIFAP, San Luis del Cordero, Durango.
Sin embargo, ante la carencia de este valor, se puede manipular el modelo con diferentes tasas de erosión y profundidades de suelo para verificar cual sería la pérdida en productividad del cultivo ante diferentes escenarios de manejo.
Resultados y discusión
Con la información de la cuenca experimental descrita anteriormente con una tasa inicial de erosión de 0.33 mm año-1 y prefijando una tasa máxima permisible de 10 mm año-1, utilizando la ecuación 23 que es la solución numérica de la ecuación diferencial 5, se tiene que, si la tasa de erosión se mantiene constante en el tiempo, el suelo habrá llegado a su máximo permisible en un periodo de 20 años (parte superior de la Figura 4) con un impacto en la productividad del cultivo de maíz pasando de 4.5 t ha-1 a 2.5 t ha-1 (parte inferior de la Figura 4).
Figura 4 Ensamble de modelos. Modelo logístico para la predicción de abatimiento de profundidad de suelo por erosión (a) y serie de tiempo de pérdida de productividad del suelo y su impacto en el rendimiento del cultivo maíz (b).
Por otra parte, si la tasa de pérdida de suelo se sitúa en 10 mm año-1, entonces la productividad caería a 1.2 t ha-1. La serie de tiempo que señala la parte baja de la Figura 4, se obtuvo mediante las ecuaciones 24 y 25 en un proceso de simulación de cien años para dos tasas de erosión 0.33 y 10 mm año-1. Con base a lo anterior, se generó un programa computacional, codificado en Fortran 90, para sistematizar este proceso haciendo aleatoria la producción del cultivo maíz (ecuaciones 28 y 29).
La pérdida de productividad es el reflejo de la pérdida de profundidad de suelo con la consecuente merma en capacidad de retención de humedad y fertilidad.
Análisis de parámetros del modelo
Una vez obtenidos los parámetros de la ecuación diferencial, se pueden hacer estimaciones de la pérdida de suelo y su productividad bajo diferentes escenarios de manejo. La Figura 5 presenta la forma de la solución de la ecuación diferencial al considerar diferentes tasas iniciales de erosión (N0= 0.1, 0.4 y 2) manteniendo constante la tasa de erosión en el tiempo (r= 0.44).
Figura 5 Variación de la pérdida de suelo considerando diferentes tasas iniciales de erosión (parámetro N0 de la ecuación 23).
De la Figura 5 se puede apreciar la importancia de la tasa de erosión inicial en la degradación del suelo circunscrita en el tiempo. Para el caso de la cuenca experimental del INIFAP, en caso de que esta tasa de erosión se mantenga (0.44 mm de suelo perdido por año), en un plazo no mayor a 20 años se habría erodado los 10 mm de suelo que se impuso a la cuenca como permisible. La gráfica muestra la cantidad de suelo que se perdería en un plazo de nueve años para distintas tasas iniciales de erosión, para el caso de la cuenca experimental la pérdida sería de 6 mm de suelo.
La Figura 6 señala el impacto de la tasa de erosión en el tiempo (r) en la forma de la solución de la ecuación diferencial 5, así mientras mayor la tasa de erosión (r= 4 mm año-1), más rápido se alcanzará el límite permisible de pérdida de suelo para la cuenca de estudio.
Figura 6 Variación de la pérdida de suelo considerando diferentes tasas de erosión (parámetro ‘r’ de la ecuación 23) con tasa inicial constante.
Tanto el modelo exponencial Maltusiano como el Logístico de Verhults (Figura 1), asumen que la tasa de erosión es proporcional a la magnitud del problema (mayores factores impulsores de erosión, asume mayor tasa de erosión; esta es la asunción base para la solución de la ecuación diferencial que define el fenómeno). Sin embargo, el modelo logístico asume también que la erosión depende de la disponibilidad de suelo (parámetro
Conclusiones
Se propone una ecuación diferencial logística para la proyección de pérdida de suelo por concepto de erosión hídrica. El resultado de erosión, es utilizado para cuantificar el impacto en la productividad del cultivo de maíz en zonas con temporal deficiente sujetas al proceso de erosión. Si bien, acorde a la literatura, la ecuación logística no ha sido utilizada ampliamente para explicar el proceso de erosión, en esta ocasión se presenta como opción para este objetivo en estricto apego a alas asunciones del modelo y en la geometría que presentan las funciones de erosión de suelos en campo. El modelo considera tres parámetros que pueden cuantificarse con información medida directamente en campo o bien, como una primera aproximación, con datos provenientes de literatura. Se recomienda su uso cuando la disponibilidad e información es escasa y se desea contar con una apreciación del impacto de la pérdida de suelo en la productividad de agostaderos y/o cultivos anuales.
