Introducción

La modelación del sistema fruto-pedúnculo ha sido una herramienta utilizada durante las investigaciones relacionadas con la cosecha mecanizada de frutas por vibración desde la década de los sesentas (^{Fridley y Adrián, 1960}; ^{Rumsey, 1967}; ^{Cooke and Rand, 1969}; ^{Varlamov, 1972}; ^{Bobeva, 1972}). El análisis de la dinámica del sistema fruto-pedúnculo, dirigido a determinar la respuesta de frecuencias de dicho sistema cuando es sometido a una excitación armónica ha sido objeto de diferentes modelaciones.

Los modelos clásicos pueden dividirse en dos grandes grupos: Los que consideran como causa predominante en el desprendimiento de los frutos la acción de las fuerzas de inercia centrifugas (de tracción) en las posibles zonas de abscisión (unión del fruto- pedúnculo; unión pedúnculo-ramas u otras) y los que consideran como causa predominante en el desprendimiento de los frutos la acción de momento de fuerzas de inercia que provocan flexión en la zonas de abscisión.

El primer grupo se asocia en algunos de los modelos desarrollados en Europa y Estados Unidos (^{Adrián and Fridley, 1965}; ^{Varlamov, 1972}; ^{Bobeva, 1972}), durante estudios en la cosecha por vibraciones de frutas como la manzana, ciruelas y otros, mientras el segundo grupo se asocian fundamentalmente los modelos surgidos durante estudios de la cosecha por vibración de cítricos en los Estados Unidos de América (^{Cooke and Rand, 1969}); en Cuba (^{Martínez, 1977}; ^{Castillo, 1995}) también fue aplicado este modelo en guayaba (^{Herrera, 1980}) en café (^{Martínez, 1989}).

En las investigaciones realizadas en la cosecha de café mediante vibraciones ha sido continuada por ^{Gaskins (2006)}, basados en esos modelos matemáticos determinó los modos y regímenes de vibración con vistas a la cosecha selectiva de los frutos del café.

Tanto el modelo de Cooke y Rand como el de Martínez y Castillo presentan dos grados de libertad y tienen en cuenta en forma acertada la aparición de deflexiones en las zonas de abscisión de los frutos, que no habían sido consideradas en modelos anteriores y que describen con mayor exactitud el fenómeno del fallo de la unión del fruto por el pedúnculo durante la cosecha por vibraciones.

Como ventaja para la aplicación del modelo de dos grados de libertad propuesto por Martínez se puede señalar que, a diferencia del modelo de Cooke y Rand, permite no sólo determinar las frecuencias de resonancia del sistema fruto-pedúnculo, sino también calcular los momentos flectores que surgen en la zona de abscisión, lo que permite determinar las amplitudes de la excitación que provocan el desprendimiento de los frutos. Adicionalmente este modelo ha sido validado durante estudios experimentales realizados durante la cosecha por vibración en naranja por ^{Martínez (1982)}, en toronja por ^{Llanes (2000)} y en café por ^{Gaskins (2006)}.

En cuanto al modelo de Castillo, aunque también posibilita el cálculo de los momentos flectores y amplitud de la excitación, es aplicable para el caso de vibraciones en el eje vertical, típico de vibradores de follaje que no constituyen objeto de esta investigación.

Materiales y métodos

La Figura 1 muestra una representación de este modelo, en el cual a partir del planteamiento de las ecuaciones de la dinámica para el cuerpo libre del fruto, así como de las ecuaciones de la deformación del pedúnculo, considerado como una viga elástica, se obtienen las ecuaciones diferenciales del movimiento, de las cuales se deriva la respuesta de frecuencias del desplazamiento δ(ω) en m, ángulo de giro del fruto θ(ω) en rad, así como del momento flector M(ω) en N m y la fuerza normal N(ω) en N, en la zona de unión del fruto y el pedúnculo (zona de abscisión):

Donde: M= momento flector en la zona de unión del fruto y el pedúnculo; N= fuerza normal; P= fuerza cortante; x= excitación en la base del pedúnculo; X= amplitud de la excitación; δ= desplazamiento del punto de unión del pedúnculo al fruto; θ= ángulo de giro del fruto.

Figura 1 Representación del modelo de dos grados de libertad propuesto por ^{Martínez (1977)}. 

Donde: A en s^-2, B en m, C en s^-2, D en m^-1 y se calculan como:

Donde: α en m N^-1, β en N^-1, γ en N^-1 m^-1, se calculan como

Donde: m= masa del fruto, (kg); r= radio polar del fruto, (m); I= momento de inercia centroidal del fruto, (kg m²); lv₁= longitud del pedicelo, (m); lv= longitud del pedúnculo, (m); EI₁= rigidez del pedicelo, (N m²); EI2= rigidez del pedúnculo, (N m²); A, B, C, D, α, β y γ= parámetros que dependen de las propiedades físico-mecánicas del sistema fruto-pedicelo-pedúnculo.

En el modelo se consideran las propiedades elásticas del pedicelo y pedúnculo; los cuales son considerados cilíndricos y con la misma rigidez; la masa de los pedicelos se desprecia así como la masa y longitud de los pedúnculos. El sistema se considera lineal y sin amortiguamiento.

Para facilitar la evaluación del modelo, se empleó el programa de computación en lenguaje Mathcad utilizado en toronja por ^{Llanes (2000)} y en café por ^{Gaskins (2006)}. Durante la evaluación de los modelos, se tuvo en cuenta la distribución estadística de las diferentes propiedades físico-mecánicas del objeto de estudio, dirigido a obtener las bandas de frecuencia de excitación requeridas para la cosecha selectiva del mango.

Resultados y discusión

Respuesta de frecuencia del desplazamiento y el ángulo de giro de los frutos

En la Figura 2a y 2b, se muestran los gráficos de respuesta de frecuencia, para una amplitud unitaria, del esplazamiento lineal (δ) (Figura 2a) y el angular (θ) (Figura 2b) de los frutos maduros (líneas rojas) y los frutos verdes (líneas verdes) correspondientes a la variedad de mango Manila. En los gráficos se aprecia la presencia de un primer modo de vibración cuyas frecuencias de resonancia se encuentran en un entorno de 26 a 81 Hz para el desplazamiento lineal, mientras que para el desplazamiento angular, la frecuencia de resonancia se encuentra en el intervalo 774.8 a 2621 Hz.

Figura 2 Respuesta de frecuencia, a) desplazamiento lineal (δ) y b) ángulo de giro (θ) de los frutos. 

Asimismo se aprecia que en el entorno de este modo, el desplazamiento de los frutos y su ángulo de giro presentan el mismo signo, lo cual es característico de un modo de vibración en fase o pendular. De la misma manera, se identifica en el entorno de frecuencias entre 1581.3 a 2548.8 Hz un segundo modo de vibración en el cual el desplazamiento de los frutos y su ángulo de giro presentan signos contrarios, lo cual es característico de un modo de vibración en contrafase.

Es de destacar en este entorno de frecuencias, la separación apreciable entre las frecuencias de resonancia correspondientes a los frutos maduros y verdes, sin embargo tienen como inconveniente los altos valores de frecuencia para poder generarlo por medios mecánicos, por otro lado las curvas de respuesta de frecuencia de los frutos maduros y verdes en el entorno del primer modo de vibración (pendular) se encuentran con valores relativamente bajo, lo cual es posible lograrlo con medios mecánicos. Como se ha explicado, esta separación entre las frecuencias de resonancia de los sistemas para frutos maduros y verdes, constituye una fortaleza en relación con la posibilidad de la cosecha selectiva de los frutos.

Respuesta de frecuencia de las acciones interiores en la zona de abscisión

En las Figuras 3 y 4, se muestra la comparación entre los efectos en el desprendimiento de los frutos de las acciones interiores en la zona de abscisión, ya sean los momentos f lectores o las fuerzas traccionales; no obstante, en la práctica se ha demostrado que puede ocurrir la combinación de ambos efecto al momento de efectuarse el desprendimiento de los frutos. Las líneas horizontales representan el momento flector o la fuerza traccional (valores medios) requeridos respectivamente para el desprendimiento de los frutos maduros de la variedad de mango Manila.

Figura 3 Respuesta de frecuencia del momento flector en la zona de abscisión y fuerza traccional para una amplitud de la excitación de 20 mm. 

Figura 4 Respuesta de frecuencia de la fuerza traccional en la zona de abscisión para una amplitud de la excitación de 20 mm. 

De las figuras se aprecia que, tanto en el caso del momento flector (Figura 3a) como en el caso de la fuerza traccional (Figura 4a), para una amplitud de la excitación de 20 mm, bajo un modo de vibración pendular el entorno de frecuencias donde se superan los valores de las acciones interiores requeridos para lograr el desprendimiento de los frutos, es estrecho y cercano a la resonancia, mientras que bajo un modo de vibración en contrafase (Figura 3b y 4b) se superan ampliamente dichos valores, sobre todo en el caso del momento f lector, lo que unido a las deflexiones que asume el sistema fruto-pedicelo-pedúnculo en la zona de abscisión bajo este modo, reafirma la hipótesis de ^{Martínez (1977)} que el momento f lector que se produce en la zona de abscisión durante el movimiento vibratorio del sistema fruto-pedúnculo, es el protagonista fundamental del desprendimiento de los frutos.

En la Figura 5 se muestra la respuesta de frecuencia del módulo de la amplitud del momento f lector (M) en la zona de abscisión para 10 mm de la amplitud (X) de excitación, para la variedad de mango Manila. Puede apreciarse que en el caso de un modo de vibración pendular, es suficiente una amplitud de la excitación de 10 mm para lograr el desprendimiento de los frutos maduros en una banda de frecuencias relativamente amplia de 14.3 Hz alrededor de la frecuencia de resonancia de los frutos maduros con propiedades físico-mecánicas medias, esto sin desprender frutos verdes, los cuales se desprenderían a partir de una frecuencia de 56 Hz.

Figura 5 Módulo del momento f lector para una amplitud de 10 mm (modo pendular). 

Esto se debe que en esa banda el momento f lector producido por la excitación en la unión fruto-pedicelo, en el caso de los frutos maduros supera el valor del momento f lector necesario para el desprendimiento de los frutos, representado en la figura por una línea horizontal discontinua de color roja para los maduros (Mm) y verde para los frutos verdes (Mv).

Determinación de regímenes racionales de vibración

Hasta ahora, tanto los modos de vibración de las diferentes configuraciones de frutos, como la respuesta de frecuencias determinada sobre la base del modelo de dos grados de libertad del sistema fruto-pedicelo-pedúnculo, han sido obtenidos sobre la base de los valores medios de las características dimensionales y propiedades físico-mecánicas de los frutos, pedicelos y pedúnculos.

Sin embargo, cada una de estas propiedades presenta una distribución estadística, debido a lo cual, para cada uno de los estadios de maduración de los frutos y para cada uno de los modos de vibración, existirá una gama de frecuencias propias, alrededor de la frecuencia natural “media” que fue determinada sobre la base de los valores medios de las diferentes características dimensionales y propiedades físico-mecánicas que intervienen en los cálculos. Esta variabilidad estadística del sistema objeto de estudio es necesario considerarla a la hora de proponer un régimen de vibraciones racional para el desprendimiento selectivo de los frutos.

El análisis se efectuó tomando como base un modo de vibración en pendular. En la Figura 6 se muestra la respuesta de frecuencias del módulo del momento f lector en la zona de abscisión del sistema fruto-pedicelo-pedúnculo en el entorno de un modo de vibración pendular, obtenido como resultado de la evaluación del modelo de dos grados de libertad con los valores medios de las propiedades físico-mecánicas de los componentes del sistema en diferentes estadios de maduración (maduros, pintones y verdes).

Figura 6 Módulo de respuesta de frecuencias en el entorno de un modo de vibración pendular del momento flector en la zona de abscisión del sistema fruto- pedicelo-pedúnculo en tres estadios de maduración del mango Manila. Valores medios de las propiedades físico-mecánicas. 

De la Figura 6 se observa una diferencia apreciable entre las frecuencias de resonancia “media” de los frutos maduros y de los verdes, encontrándose la frecuencia propias “media” de los frutos pintones (maduración fisiológica) entre ambas, aunque más cercana a la de los frutos maduros. Esta característica es favorable a la cosecha selectiva, ya que las normas de calidad permiten la cosecha de los frutos pintones.

Ahora bien, con anterioridad se ha explicado que sobre la base solamente de las frecuencias de resonancia “medias” no es posible establecer una estrategia para los regímenes de las vibraciones a aplicar. En la Figura 7, se observa que el límite izquierdo o de inferior frecuencia de resonancia, ha sido determinado sustrayendo o aumentando en σ (desviación media cuadrática) a los valores medios de las propiedades físico-mecánicas de los frutos maduros, en función de si influyen en el aumento o disminución de la frecuencia propia respectivamente.

Figura 7 Módulo de las respuestas de frecuencias “límites” del momento flector en la zona de abscisión para una amplitud de la excitación de 10 mm. Modo de vibración pendular del mango Manila. 

En la Figura 7 se muestran además, las líneas horizontales que representan los momentos f lectores requeridos para el desprendimiento de los frutos, tanto maduros (Mm), como verdes (Mv), de manera que cuando las curvas de respuesta de frecuencia del momento flector de cada estadio de maduración, se encuentren por encima de las rectas Mm o Mv respectivamente, entonces se habrá superado el momento f lector requerido para el desprendimiento de los frutos de dicho estadio de maduración y por tanto, serán desprendidos.

De aquí puede razonarse que la intersección de la curva de respuesta de frecuencias del momento flector en los frutos maduros de más baja frecuencia de resonancia, con la recta Mm (punto a), define un valor de la frecuencia (17 Hz) a partir de la cual se desprenden los frutos maduros de esta variedad bajo amplitudes de la excitación de 10 mm. Si partiendo de este valor, se continúa incrementando la frecuencia de las vibraciones en forma de barrido hasta la frecuencia delimitada por el punto b (39.2 Hz), entonces se desprenderán los frutos maduros con características comprendidas en esta banda y al mismo tiempo se evitará el desprendimiento de frutos verdes.

La amplitud de la excitación presenta una marcada influencia en la selección de la banda de frecuencias a aplicar durante la cosecha selectiva. Un incremento de la amplitud de la excitación da como resultado un corrimiento de las bandas de frecuencias. En la Figura 8, puede apreciarse que, para una amplitud de la excitación de 10 mm, el barrido de frecuencias (definido por los puntos a y b) será entre 27.48 a 83.46 Hz para un rango de frecuencia de 55.98 Hz. Asimismo se aprecia que un excesivo valor de la amplitud de la excitación mayor de 20 mm, puede dar al traste con la posibilidad de obtener selectividad en la cosecha ya que la banda de frecuencia se estrecha a 51 Hz.

Figura 8 Módulo de las respuestas de frecuencias del momento f lector en la zona de abscisión para una amplitud de excitación de 10 y 20 mm. Modo de vibración pendular para el mango Manila. 

Conclusiones

El momento flector para una amplitud de excitación de 20 mm y bajo un modo de vibración pendular, el entorno de frecuencia (3.74 Hz) donde se superan las acciones interiores para lograr el desprendimiento de los frutos maduros es estrecho y cercano a la frecuencia de resonancia, reafirmando la hipótesis de que el momento flector es el protagonista fundamental del desprendimiento de los frutos.

Para un modo de vibración pendular es suficiente una amplitud de excitación de 10 mm para lograr el desprendimiento de los frutos maduros en una banda de frecuencia de 14.3 Hz para las propiedades físico-mecánicas medias; los frutos verdes se desprenderían a partir de una frecuencia de 56 Hz.

Cuando se adiciona o sustrae la desviación estándar a los valores medios de las propiedades físico-mecánicas de los frutos, esto influye en el aumento o disminución de la frecuencia de vibración.

El incremento de la amplitud de excitación produce un corrimiento en las bandas de frecuencia; un incremento excesivo de la amplitud afecta la selectividad porque se estrecha la banda de frecuencia.