Introducción

El sistema máquina-árbol-fruto es un sistema complejo compuesto de varios subsistemas, uno de los modelos más completos para el estudio de este sistema fue elaborado por ^{Llanes et al. (2000)} y su aplicación ha sido validada experimentalmente con éxito durante el desprendimiento de frutos por vibración en cítricos, guayaba y café.

Al ser acoplado el vibrador a un punto de excitación del árbol, se aplica a éste una fuerza excitadora y como resultado de esta excitación en el punto de aplicación, se generará un movimiento vibratorio originando un desplazamiento del punto de aplicación de la excitación, que estará determinado por los parámetros de diseño y operación del equipo vibrador, tales como la masa desbalanceada, masa total del vibrador, frecuencia de las oscilaciones y excentricidad de la masa desbalanceada así como la magnitud y fase de la impedancia mecánica.

Las vibraciones aplicadas al punto de excitación se trasmiten a través de la estructura del árbol hasta el subsistema fruto-pedicelo, el estudio de la transmisión de las vibraciones a través de la estructura del árbol es necesario con vista a determinar la amplitud de las vibraciones que excitan al subsistema fruto-pedicelo en diferentes zonas del árbol.

El árbol es sometido a vibraciones forzadas; diferentes puntos de su estructura oscilarán en el estado estacionario con la frecuencia correspondiente a la frecuencia de excitación, dependiendo de la amplitud y fase de las oscilaciones de estos puntos, así será el comportamiento modal que asuma el fruto en el árbol ante esta frecuencia. La transmisión de las vibraciones a la estructura del árbol estará determinado por la amplitud y frecuencia en el punto de excitación así como las características dimensionales y propiedades físico-mecánicas del árbol, tales como el módulo de elasticidad a la flexión y a la torsión, coeficiente de Poisson, la densidad volumétrica, razón de amortiguamiento, así como los momentos de inercia de las ramas entre otras.

La excitación sinusoidal de la frecuencia y la amplitud provocará la oscilación del subsistema fruto-pedicelo y la aparición del momento flector en la zona de abscisión que debe superar el momento flector necesario para lograr el desprendimiento del fruto. El modo de vibración que asuma el subsistema fruto-pedicelo estará dado por la amplitud y frecuencia de las oscilaciones y por las propiedades físico-mecánicas tales como el diámetro polar, el diámetro ecuatorial mínimo, el diámetro ecuatorial máximo, el diámetro del pedicelo, longitud del pedicelo, masa del fruto, densidad volumétrica del fruto y los momentos de inercia en el eje menor y en el eje mayor, la rigidez del pedicelo, módulo de elasticidad a la flexión y a la torsión, el coeficiente de Poisson y el momento flector de desprendimiento del pedicelo.

Determinar el comportamiento modal y regímenes de vibración para el desprendimiento de los frutos del mango constituyen un problema de alta dificultad por tantas variables involucradas. Abordar este estudio experimental requeriría de gran inversión de recursos y tiempo, por lo que se recomienda abordarlo mediante la modelación matemática.

Los modelos matemáticos clásicos pueden dividirse en dos grandes grupos: los que consideran como causa predominante en el desprendimiento de los frutos la acción de las fuerzas de inercia centrifugas (de tracción), en las posibles zonas de abscisión (unión del fruto-pedicelo; unión pedicelo-ramas u otras) y los que consideran como causa predominante en el desprendimiento de los frutos la acción de momento de fuerzas de inercia que provocan flexión en la zonas de abscisión.

El primer grupo se asocian en algunos de los modelos desarrollados en Europa y Estados Unidos de América por Adrián y Fridley (1965); ^{Varlamov (1972)}; ^{Bobeva (1972)}, durante estudios en la cosecha por vibraciones de frutas como la manzana, ciruelas y otros, mientras el segundo grupo se asocian fundamentalmente los modelos surgidos durante estudios de la cosecha por vibración de cítricos en Estados Unidos de América por ^{Cooke y Rand (1969)} y en Cuba por ^{Martínez (1977)} y ^{Castillo (1995)} también fue aplicado este modelo en guayaba por ^{Herrera (1980)} y en café por ^{Martínez et al. (1989)} y ^{Gaskins (2006)}.

Tanto el modelo de ^{Cooke y Rand (1969)}, así como de ^{Martínez (1977)} y ^{Castillo (1995)}, presentan dos grados de libertad y tienen en cuenta de forma acertada la aparición de deflexiones en las zonas de abscisión de los frutos, que no habían sido consideradas en modelos anteriores y que describen con mayor exactitud el fenómeno del fallo de la unión del fruto por el pedicelo durante la cosecha por vibraciones.

Diferentes propiedades físico-mecánicas de los frutos del mango han sido determinadas por varios autores, ^{Ramírez et al. (2006)}; ^{Infoagro (2012)}, en los dos casos determinaron la masa, diámetro polar y ecuatorial máximo del fruto para algunas variedades, sin embargo; estas propiedades son insuficientes para aplicar la modelación matemática con vistas a conocer los modos y los regímenes de vibración óptimos que garanticen la cosecha selectiva de los frutos.

^{Santos (2012)}, determinó algunas propiedades físico-mecánicas del sistema fruto-pedicelo del mango de la variedad Ataulfo; sin embargo, no tuvo en cuenta los estadios de maduración de los frutos, siendo un aspecto indispensable para el análisis de la selectividad durante la cosecha mecanizada por vibración.

Materiales y métodos

Determinación de las propiedades elásticas de los pedicelos

La rigidez del pedicelo se determinó construyendo un dispositivo formado por dos soportes (Figura 1a) que fueron colocados en las mordazas de la máquina de ensayos mecánicos Instron modelo 3382. El soporte b se colocó en la mordaza inferior y estaba formado por dos láminas de acero de 1 mm de espesor y separadas a 9 mm en la cual se colocaron los pedicelos. El soporte a fue fijado a la mordaza superior, el mismo estaba compuesto por una lámina de acero que durante su recorrido pasa por en medio de la distancia de las láminas de soporte b (Figura 1b).

Figura 1 Dispositivos utilizados para determinar la rigidez del pedicelo. 

Para el esquema de la Figura 2; la rigidez se calcula como:

)1

Figura 2 Esquema para el cálculo de la rigidez del pedicelo. 

Donde: EI= rigidez del pedicelo (N m²⁾; P= carga (N); l= separación entre las láminas del soporte b (m); y_max= deflexión máxima del pedicelo (m).

La separación de las láminas de acero fue de 9 mm, mientras que la carga P y la deflexión y_max de cada muestra se registraban y almacenaba en un ordenador con una precisión de ±10^-5 N y ±10^-5 mm respectivamente (Figura 3). Para el cálculo de la rigidez del pedicelo de cada muestra se tomó la carga máxima y su deflexión correspondiente registrada en la computadora de la máquina instron.

Figura 3 Registro de los resultados en la computadora de los ensayos de rigidez del pedicelo. 

Con los resultados de la rigidez del pedicelo obtenidos durante los experimentos se determina el módulo de elasticidad (E) (N m^-2) mediante la expresión:

)2

Donde: k= es el valor de la rigidez obtenida durante los experimentos (N m²⁾; I= momento de 2° orden de la sección del pedicelo (m⁴⁾ y se calcula como:

)3

Donde: d_p= diámetro medio del pedicelo (m).

El coeficiente de Poisson se determina directamente, mediante la medición de las deformaciones provocadas en el pedicelo por una fuerza traccional de 7.35 N. Para la medición de las deformaciones se utiliza una cámara digital marca Sony de 10 megapixeles montada sobre un trípode, y un soporte en el cual se fijó el pedicelo por uno de sus extremos y por el otro se colocó un peso de 7.35 N.

Las imágenes fueron procesadas con el programa Visión Builder AI 3.0 con una precisión en las mediciones de ±0.01 pixeles, mientras que la zona del pedicelo objeto de medición fue definido por dos agujas.

El procedimiento consistió en tomar dos fotos a cada muestra; una inicial sin peso (Figura 4a) donde se definían las distancias X y Y, en base a los pixeles en el sector de las dos agujas y una foto final con peso, midiendo las distancias X + ΔX; Y - Y (Figura 4b).

Figura 4 Valores iniciales (X y Y) y finales (X + ΔX y Y - ΔY) en el sector del pedicelo. 

Conociendo que;

)4

)5

Despejando ΔX y ΔY de (4) y (5) respectivamente se tiene que:

)6

)7

Donde: ΔX, ΔY= deformación en dirección axial y perpendicular al pedicelo (mm); X, Y= valores iniciales (mm); X _f, Y _f= valores finales (mm).

Una vez conocidas las deformaciones, el coeficiente de Poisson se calcula como:

)8

A partir del módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson, se determina el módulo de cortante G (N m^-2) por medio de la expresión:

)9

Determinación del momento flector de desprendimiento del fruto

La determinación del momento flector que provoca el fallo de la zona de abscisión del sistema fruto-pedicelo, es indispensable con vistas a la aplicación de modelos matemáticos, para el cálculo de los regímenes de vibración que provocan el desprendimiento de los frutos. Para su determinación se construyó un dispositivo en forma de canal con un orificio a una distancia de cinco centímetros desde la base del pedicelo y se instaló un transductor de fuerza con una precisión de ± 10^-6 N, conectado a la computadora a través de una interface. El gancho del traductor se apoyó en la base del pedicelo (Figura 5).

Figura 5 Dispositivo para la medición del momento flector de desprendimiento del pedicelo. 

Las mediciones se efectuaron atravesando el fruto con una varilla a través del orificio en dirección perpendicular a su eje mayor, se hace rotar la fruta al aplicar una fuerza por su extremo libre hasta lograr el desprendimiento del pedicelo como se muestra en la Figura 6, quedando registrada en la computadora el valor máximo de la fuerza, que al multiplicarse por el brazo indica el momento flector producido.

Figura 6 Registro del momento flector de desprendimiento en el ordenador. 

Resultados y discusión

Los resultados de las mediciones de las propiedades físico-mecánicas (PFM) objeto de estudio, fueron procesados estadísticamente por el paquete Statical Analys System (SAS) versión 8.0, Statgraphics Plus versión 5.1 y Microsoft Excel versión 2010, obteniéndose para cada PFM determinadas experimentalmente en los tres estadios de maduración los valores medios (x), error estándar de la media (e), desviación típica (o) y el coeficiente de variación (cv); además se construyeron las curvas variacionales de distribución. Adicionalmente se efectuó la prueba de Tukey para detectar diferencias significativas entre los valores medios de cada propiedad en los tres estadios de maduración. En el Cuadro 1 se muestran los resultados del análisis de varianza para las diferentes propiedades objeto de estudio de acuerdo al estadio de maduración.

Table 1 Results of the Tukey test for physical-mechanical properties from fruit-stalk system of Manila mango in the three stages of ripening. 

UM= unidad de medida; MF= maduración fisiológica; a, b= medias con la misma letra no son significativamente diferentes.

En el Cuadro 1 se aprecia que la rigidez, el módulo de elasticidad y el módulo cortante de los pedicelos disminuyen desde el verde al maduro, lo cual influye en la disminución de las frecuencias naturales de los sistemas con frutos maduros. Esta diferenciación puede originar sólo la caída de frutos maduros si se seleccionan los regímenes de vibración adecuados.

El coeficiente de Poisson de los pedicelos se comporta diferente a la rigidez, módulo de elasticidad y cortante en los frutos; es decir, aumenta desde los frutos verdes a los maduros. Apesar de presentar diferencias significativas de acuerdo a la prueba de Tukey entre los pedicelos de los frutos maduros con relación a los frutos con maduración fisiológica (pintones) y verdes, su variación no influye en forma notable sobre las frecuencias naturales del sistema, por lo que ésta variación no debe afectar las condiciones para la cosecha selectiva.

Con relación al momento flector requerido para el desprendimiento de los frutos, se obtuvieron diferencias significativas entre el valor medio correspondiente a los frutos verdes, con relación a los maduros. En el caso de los frutos verdes fue muy superior a los maduros, lo que puede originar una disminución en las frecuencias naturales de vibración de los frutos maduros. Este comportamiento es altamente propicio desde el punto de vista de la cosecha selectiva del mango mediante vibraciones al árbol.

En el Cuadro 2 están reflejados los valores de los estadígrafos de aquellas propiedades físico-mecánicas determinadas experimentalmente, observándose que los valores medios de la rigidez, coeficiente de Poisson y momento flector para el desprendimiento del fruto va disminuyendo de frutos verdes a los maduros, dado que los pedicelos de los frutos maduros son más blandos que los pedicelos de los frutos verdes. Estas variaciones provocan diferenciación en las frecuencias naturales de vibración en los tres estadios de maduración, lo que favorece la cosecha selectiva, sin embargo; se observa una gran dispersión en los valores de las mediciones realizadas a estas propiedades físico-mecánicas, siendo un aspecto a considerar en la elección de los regímenes óptimos de vibración de las máquinas cosechadoras.

Cuadro 2 Valores de los estadígrafos de las propiedades elásticas del pedicelo y del sistema fruto-pedicelo determinadas experimentalmente para tres estadios de maduración. 

PFM=propiedades físico-mecánicas; EI= rigidez del pedicelo; μ= coeficiente de Poisson; Mf= momento flector de desprendimiento del fruto; x= valores medios; e= error estándar de la media; σ= desviación típica; cv= coeficiente de variación (%).

En las Figuras 7, ⁸ y ⁹ se muestran las curvas variacionales de distribución de la rigidez, coeficiente de Poisson y el momento flector para el desprendimiento del pedicelo para frutos verdes, con maduración fisiológica (pintones) y maduros, observándose que el valor medio se ubica en la cercanía del punto de mayor frecuencia, dándole mayor fortaleza en los resultados en la comparación de medias.

Figura 7 Curvas variacionales de la rigidez de los pedicelos. 

Figura 8 Curvas variacionales del coeficiente de Poisson. 

Figura 9 Curvas variacionales del momento flector de desprendimiento de los frutos. 

Conclusiones

Los valores medios de la rigidez de los pedicelos fueron de; 608.3, 504.5 y 163.2 N mm² para frutos verdes, pintones y maduros respectivamente, mientras que el coeficiente de Poisson, tomo valores medios de 0.54, 0.66 y 0.94 de acuerdo al orden de maduración antes señalado.

En sentido general se apreció diferencias significativas en las propiedades objeto de estudio con relación a frutos verdes y maduros. La variación con la maduración de los frutos de sus valores medios de la mayor parte de las propiedades estudiadas, influye en la disminución de las frecuencias naturales de los sistemas con frutos maduros, lo cual incide positivamente en la existencia de condiciones favorables para la cosecha selectiva por vibración.

Los valores medios del momento flector para los frutos maduros, con maduración fisiológica (pintones) y verdes fueron de 0.44, 0.66 y 0.79 N m respectivamente.