Introducción

Puesto que los objetos de estudio en un experimento presentan múltiples características, es posible que en algunos diseños de experimentos se manifiesten variables de respuestas multivariadas. Tradicionalmente cada variable de respuesta en estos diseños se analizaba de manera separada, sin embargo, se ha comprobado que esta no es la mejor manera de análisis principalmente cuando existe una correlación entre las variables de respuesta (^{Chiao y Hamada, 2001}).

El análisis del experimento se complica más cuando se presentan datos censurados en una o más variables de respuesta. Esto es posible que ocurra debido a limitaciones en la duración del experimento, limitaciones en los mecanismos de medición, acontecimientos que afecten la continuidad del experimento, entre otros.

Los métodos para tratar datos censurados suelen ser laboriosos y muchas veces los softwares para desarrollarlos presentan inconvenientes de accesibilidad; por esta razón se considera como una importante ventaja contar con ^{R (2016)} que es un software de acceso libre que contiene todas las funciones necesarias para desarrollar casi cualquier técnica de imputación.

En este trabajo se comparan las técnicas de imputación que ^{Chowdhury y Aggarwala (2007)} proponen; con el objetivo de identificar la más conveniente para tratar los datos censurados del experimento que aquí se trabaja.

El tema de los datos censurados en diseños de experimentos con respuestas multivariadas es interesante y con un amplio campo de aplicación, a pesar de ello el trabajo de ^{Chowdhury y Aggarwala (2007)} es de los pocos que lo abordan.

En su artículo ^{Chowdhury y Aggarwala (2007)} desarrollan y aplican los métodos propuestos en un ejemplo numérico, finalizan al obtener los valores de imputación, su conclusión declara que los valores de imputación son similares a los valores originales del experimento antes de ser censurado. No obstante, no mencionan aspectos importantes como: si la estimación de la configuración óptima de parámetros del conjunto de respuestas con valores imputados se diferencia del resultado del conjunto de respuestas originales (no censuradas), o cual de las técnicas imputa valores más parecidos a los originales.

En este trabajo para resolver las cuestiones anteriormente mencionadas se hace un análisis a cada conjunto de respuestas con valores imputados: 1) se desarrolla un método para identificar la configuración óptima de parámetros (X_opt) y 2) se calcula la suma de cuadrados del error (SCE) de cada uno con respecto a los datos originales. Los resultados de cada técnica se comparan entre sí para lograr el objetivo que aquí se plantea.

En la literatura se pueden encontrar algunos métodos para analizar respuestas multivariadas, por ejemplo la función de deseabilidad de ^{Derringer y Suich (1980)}, pero aquí se implementa el método propuesto por ^{Chiao y Hamada (2001)} en el que, considerando los parámetros de una distribución normal bivariada, primero se modelan los parámetros de la distribución de respuesta bivariada en términos de los factores experimentales, luego se encuentra la configuración óptima de factores con los que se obtiene la más alta proporción de concordancia.

La proporción de concordancia (^{Wang y Lam, 1996}), dada por la Ecuación 1, es la probabilidad de que Y_1i y Y_2i cumplan con las especificaciones correspondientes simultáneamente. Los límites en los que se desea que se encuentren Y₁ y Y₂, denotados como (l₁, u₁) y (l₂, u₂) conforman la región de especificación S que se denota en la Ecuación 1. Esta ecuación se resuelve con la función “sadmvn” del paquete “mnormt” (^{Azzalini y Genz, 2016}) disponible en R (^{R Core Team, 2016}).

El experimento que aquí se trabaja es el reportado por ^{Harper, Kosbe y Peyton (1987)} donde el objetivo es encontrar la configuración óptima de parámetros de modelado por inyección para minimizar el desequilibrio de un componente de cubierta de rueda de plástico. Se consideran siete factores potencialmente importantes para el equilibrio del componente a dos niveles cada uno, que se denotan por -1, para nivel bajo y +1, para nivel alto. Las características de calidad correlacionadas que se miden del componente de la cubierta de la rueda son el peso total (Y₁ en gramos) y el equilibrio (Y₂ en pulgadas-onzas). La región de especificación de dos lados para Y₁ y Y₂ está definida por (710, 715) y (0.3, 0.4), respectivamente. El experimento se lleva a cabo mediante un diseño factorial fraccionado 2^7-4, con cinco replicas. La matriz de diseño y las respuestas sin censura se muestran en la Tabla 1.

Este es el mismo experimento que manejan ^{Chowdhury y Aggarwala (2007)} en su trabajo, ellos imponen las condiciones para las unidades de medida para el peso y el balance de la rueda de la siguiente manera: la báscula puede medir hasta un máximo de 730 g y el indicador de equilibrio de la rueda puede medir hasta un máximo de 1.5 pulgadas-onzas, lo que lleva a la censura de aproximadamente el 16% de las respuestas en el conjunto de datos, como se muestra en la Tabla 2.

Además de comparar las técnicas de imputación con los valores de censura impuestos por Chowdhury y Aggarwala, en este trabajo, también se comparan las técnicas de imputación cuando los límites de censura son 729 y 1.44 para la capacidad de la báscula y el indicador de equilibrio de la rueda, respectivamente, y por tanto aproximadamente el 21% de las respuestas en el conjunto de datos están censuradas, como se muestra en la Tabla 3.

^{Chiao y Hamada (2001)} aplicaron su método de análisis al mismo experimento que se utiliza en este trabajo, por tanto, se conoce la configuración óptima de parámetros de los datos sin censura. Las configuraciones óptimas de parámetros de los conjuntos de datos que se generan por los métodos de imputación, de los datos censurados al 16% así como de los datos censurados al 21%, se determinan en este trabajo.

El principal objetivo aquí es identificar la técnica de imputación más conveniente para el experimento que aquí se trabaja en presencia de dos porcentajes de datos censurados, lo cual se hace a través de comparar la configuración óptima de parámetros (X_opt) y la suma de cuadrados del error (SCE) de cada conjunto de respuestas obtenidas después de la imputación. Con la ventaja de contar con ^{R (2016)} que es un software de acceso libre en el que se puede desarrollar el trabajo de principio a fin.

Método

En la Figura 1 se aprecia de manera esquemática y a grandes rasgos el método a seguir a partir del diseño de experimentos con datos bivariados, el cual se muestra en la Tabla 1. En la primera etapa del método se trabaja con datos sin censura, a los cuales se les aplica el método de análisis de Chiao y Hamada, que más adelante se describe, para obtener la configuración óptima de parámetros de los datos originales, representada como X_opt.

En la segunda etapa del método se trabaja con los datos censurados como se muestran en las Tablas 2 y 3. A partir de estas dos nuevas bases de datos se desarrollan las técnicas de imputación, de las cuales surgen nuevos conjuntos de datos entre los que solo se van modificando los valores de los datos que fueron censurados. Cada conjunto de datos nuevos se compara contra los datos originales para calcular la suma de cuadrados del error, y a cada conjunto se le aplica el método de análisis de Chiao y Hamada para obtener una X_opt.

Técnicas de imputación

Análisis: configuración óptima de parámetros

Dado que se desea que Y_j se encuentre dentro de los límites de especificación y sea un diseño fraccionado de k factores con m número de corridas y n replicas:

En la Tabla 7 se presentan los valores de μ_1i, μ_2i, log σ²_1i, log σ²_2i y tanh^-1 ρ_i correspondientes a las ocho corridas de los datos originales, y de los datos con valores imputados mediante las técnicas aquí mencionadas.

En la Tabla 8 se presentan los coeficientes de los modelos de μ^1, μ^2, log σ^12, log σ^22 y tan-1 ρ^ estimados para los datos sin censura y para los datos con valores imputados mediante las técnicas mencionadas. El guion se presenta cuando un factor no resulto significativo en un modelo.

En la Tabla 9 se presenta la matriz de diseño X con las 128 corridas, dado que el experimento que aquí se trabajó consta de 7 factores a dos niveles 2⁷=128. También se observan las estimaciones de los parámetros y la probabilidad de concordancia para los datos sin censura. Con fines de presentación, las estimaciones para los conjuntos de datos tratados con las técnicas de imputación se presentan en el apéndice A, al final del documento.

Análisis: suma de cuadrados del error

Considerando la respuesta Y_j del experimento sin censura (Y_jO) y la respuesta Y_j que se genera después de aplicar una técnica de imputación al experimento con censura (Y_jC), y sean m número de corridas: la suma de cuadrados del error se obtiene de sumar las diferencias al cuadrado entre Y_jO y Y_jC desde 1 hasta m corridas, ver Ecuación 6.

Donde: SCE_j es la suma de cuadrados de la respuesta j, para j=1, 2. T_jiO el valor de la respuesta j en la corrida i de los datos originales, e Y_jiC el valor de la respuesta j en la corrida i de los datos imputados con las distintas técnicas mencionadas.

Este cálculo se realiza para las dos respuestas y con todos los conjuntos de datos que se generan con cada una de las técnicas de imputación en los dos porcentajes de censura.

Resultados

Por cada técnica de imputación que se aplica a los datos censurados se genera un nuevo conjunto de datos que incluye: la matriz de diseño X original, los datos del experimento original que se encontraron por debajo de los límites de censura, y los valores imputados que reemplazan a los valores censurados.

Al conjunto de datos generado por cada una de las técnicas de imputación, en los dos porcentajes de censura, se le aplica el método de análisis para obtener la configuración óptima de parámetros, en la Tabla 10 se pueden observar estos resultados, los factores no significativos presentan un guion.

En la Tabla 11 se aprecian los valores que se generaron con cada técnica de imputación para cada dato del experimento que fue censurado. Los datos sombreados en las columnas correspondientes a los originales son observaciones que en una misma corrida y replica en una variable de respuesta no están censuradas, pero en la otra respuesta sí. Utilizando la Ecuación 6 se calcula el SCE para cada técnica de imputación.

Para el conjunto de datos censurados al 16%, los métodos que llevaron a conclusiones correctas fueron: esperanza condicional iniciando con Y₁, estadísticas de orden para Y₁, y observaciones simuladas para Y₂. Ninguno de los métodos lleva a la conclusión correcta del experimento cuando el porcentaje de datos censurados aumenta al 21%.

De los métodos: esperanza condicional iniciando con Y₁, estadísticas de orden para Y₁, y observaciones simuladas para Y₂, observaciones simuladas para Y₂ presenta el menor SCE₁, en los dos porcentajes de censura. Se les da mayor importancia a los valores SCE₁ dado que las diferencias entre los SCE₂ son mínimas.

Considerando lo anterior, se puede suponer al método observaciones simuladas para Y₂ como la técnica de mejor funcionamiento.

Conclusiones

En este trabajo se trató un caso de diseño de experimentos bivariado reportado en la literatura, a diferencia de los artículos de origen, se presenta una comparación entre los resultados de los datos con dos porcentajes de censura (aplicando técnicas de imputación) y de los datos de origen sin censura. Además, se reporta un método con código en un programa estadístico libre que permite la réplica de los resultados presentados.

Del diseño de experimentos se generaron dos conjuntos de datos, uno con el 16% de datos censurados y el otro con el 21%. Aplicar y comparar las técnicas de imputación en distintos porcentajes de censura permite obtener un mejor conocimiento sobre el funcionamiento de las técnicas de imputación. Como se observa en las Tablas 10 y 11, cuando el porcentaje de censura aumenta, la posibilidad de las técnicas para identificar la X_opt correcta disminuye y los valores SCE aumentan.

^{Chowdhury y Aggarwala (2007)} solo mencionan en su artículo que con las técnicas de imputación que proponen se obtienen valores parecidos a los originales. Comparando esas técnicas en este trabajo se encontró que no todas funcionan para estimar la configuración óptima de parámetros de manera asertiva, y además, se identificó a la técnica que genera valores para los datos censurados con menor diferencia con respecto a los datos originales. Aquí las técnicas fueron aplicadas al mismo experimento que ellos tratan, pero, los valores de imputación que ellos obtienen y los que se encontraron en este trabajo con los datos censurados en el mismo porcentaje que ellos manejan, difieren significativamente.

Con 16% de datos censurados, la X_opt que se identificó con las técnicas de imputación: esperanza condicional después de hacer regresión con las respuestas iniciando con Y₁, estadísticas de orden para Y₁, y observaciones simuladas para Y₂, concuerda con la de los datos sin censura. De estos métodos, con el 21% de datos censurados, donde todas las técnicas concluyeron una X_opt incorrecta, observaciones simuladas para Y₂ genera el menor SCE₁. Considerando lo anterior se llega a la conclusión de que, de las técnicas de imputación consideradas en este trabajo, observaciones simuladas para Y₂ trabaja mejor para imputar las respuestas censuradas del diseño de experimentos bivariado que aquí se describe.

Como trabajo futuro pudieran implementarse diferentes criterios de comparación e incluir otros métodos de imputación para diseños de experimentos con distintas características, para tener una base más sólida que permita establecer un mejor método de manera general.

Relativo al método para determinar la configuración óptima de parámetros, ^{Chiao y Hamada (2001)} mencionan explícitamente en su introducción: “proponemos un método simple para manejar adecuadamente respuestas múltiples”, lo cual se aprecia como algo engañoso después de llevar a cabo el método para todos los conjuntos de respuestas resultantes. Durante el desarrollo del trabajo se establece que el criterio estándar para identificar los factores significativos en los modelos de log σ^j2 era comparar su desviaciones estándar contra ±1.96, sin embargo al reproducir el análisis de los datos sin censura (donde ya se conocía la configuración óptima) se identifica un inconveniente en el modelo de log σ^22 donde fue necesario disminuir el valor de comparación a ±1.94 para que se detectaran como significativos todos los factores que Chiao y Hamada describieron en su trabajo.

Los problemas de reproducibilidad señalados pueden deberse a la diferencia de los programas con los que los autores mencionados trabajaron en su momento y el que se utilizó para este trabajo.