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Introducción
Los materiales compuestos se conforman por la unión de dos o más materiales, quedando separados éstos por regiones o dominios. Estos materiales son utilizados por el hombre desde la antigüedad en la construcción de sus viviendas. En la actualidad se emplean para cubrir un sinnúmero de aplicaciones, desde elementos estructurales y arquitectónicos en construcción, hasta las aplicaciones más avanzadas en la industria aeroespacial, automotriz y electrónica (Mieres, 2003).
Entre los métodos de homogeneización, uno de los más empleados es el de homogeneización asintótica. Entre los trabajos más destacados en este tema se encuentra el de J Bravo-Castillero, en el que se encuentran los coeficientes efectivos de un compuesto multilaminado termo-magneto-electro-elástico (Bravo-Castillero et al., 2009). En laminados, destaca asimismo, el de J Hernández Cabanas, donde se estudia la influencia de la dirección de polarización en un laminado magneto-electro-elástico (Cabanas et al., 2010). Además, entre los trabajos en compuestos fibrosos se encuentra el de J Bravo-Castillero, en el que se estudian los compuestos periódicos de distribución cuadrada y hexagonal (Bravo-Castillero et al., 2012). Se tiene en fibras, también el de R Rodríguez-Ramos, en el que se estudian celdas con forma de paralelogramo tanto de manera analítica como numérica con el uso de elementos finitos con comparaciones de ambos métodos con resultados teóricos (Rodríguez-Ramos et al., 2010). En la obtención de coeficientes efectivos por el método de homogeneización asintótica destaca asimismo el trabajo de AV Georgiades, KS Challagulla y AL Kalamkarov. En éste se presenta la homogeneización de un material inteligente que es una lámina compuesta por una rejilla de fibras ortotrópicas inmersa en una matriz. Este trabajo se divide en dos partes, la primera es un estudio teórico (Challagulla et al., 2010) y en la segunda se presentan algunas aplicaciones de este material (Georgiades et al., 2010). Por otra parte, DA Hadjiloizi, AV Georgiades y AL Kalamkarov, desarrollan un modelo de homogeneización asintótica a múltiple escala para compuestos termo-magneto-electro-elásticos (Hadjiloizi et al., 2012). En 2013, JA Otero, presenta un método semi-analítico de homogeneización para la obtención de coeficientes efectivos elásticos en un compuesto con contacto imperfecto (Otero et al., 2013). MRE Nasution y otros, en 2014, presentan un nuevo modelo de homogeneización asintótica, para trabajar propiedades termodinámicas en compuestos 3D con espesor finito, donde toman en cuenta las bondades de la homogeneización 2D (Nasution et al., 2014).
En otro orden de importancia, relacionado con el método de homogeneización asintótica, el trabajo de U Gabbert, se vincula el método de elementos finitos con la homogeneización para la resolución del problema inverso de buscar la distribución a microescala que optimice, a nivel de macroescala, las propiedades deseadas para una aplicación (Gabbert et al., 2010). Aunque el trabajo que más destaca es el de AL Kalamkarov, IV Andrianov y VV Danishevs'kyy, donde se hace una revisión del estado del arte en los métodos de homogeneización, así como un estudio de cuales son más convenientes utilizar en dependencia del caso de estudio, además de la presentación de nuevas aproximaciones (Kalamkarov et al., 2009).
El presente trabajo presenta el método semianalítico de homogeneización asintótica para compuestos tridimensionales. Éste se basa en el empleo del método de homogenización asintótica con resolución numérica de los problemas locales mediante el método de elementos finitos. Se calculan los coeficientes efectivos de un compuesto de inclusiones elipsoidales de aluminio embebidas periódicamente en distribución ortoédrica en una matriz de carburo de silicio. Al ser los elementos constituyentes materiales isotrópicos y la geometría del compuesto tener una dirección diferenciada, es de esperar que el compuesto resultante pierda esta propiedad. Se presentan algunos de los resultados numéricos obtenidos, que muestran la variación de sus coeficientes efectivos al variar la fracción volumétrica de las inclusiones para distintas razones de aspecto de los elipsoides, además de mostrar que el compuesto pierde la isotropía.
Modelación del problema en compuestos 3D
Se considera un medio heterogéneo que ocupa un volumen 
con fronteras 
y consistente en un material de dos fases, donde las inclusiones elipsoidales y la matriz son materiales isotrópicos. Las inclusiones elipsoidales tienen una distribución periódica a lo largo de los ejes 
, 
y 
, como se puede apreciar en la sección del compuesto que se muestra en la Figura 1(a). Dichas inclusiones son elipsoides de revolución sobre un eje paralelo al eje por lo que presentan dos ejes de igual longitud 
y otro menor que estos en el eje de longitud 
tal y como muestra la Figura 1(b). La razón de aspecto de estos elipsoides se calcula por la relación entre el eje menor y el eje mayor 
.
Las ecuaciones que gobiernan el problema elástico heterogéneo son
donde 
y 
, 
, 
son las componentes del tensor de esfuerzos, del vector desplazamiento y del vector unitario normal a 
, respectivamente. Las ecuaciones constitutivas y las componentes del vector deformación 
están dadas por
Los coeficientes de elasticidad 
(
) son funciones periódicas. La celda periódica 
se toma como un ortoedro tal que 
con 
, donde el dominio 
está ocupado por la matriz y su complemento 
es la inclusión elipsoidal de revolución sobre el eje 
y centro en el origen 
. La interfase de contacto entre el elipsoide y la matriz es denotada por 
Los valores asociados a la matriz y la inclusión serán señalados mediante superíndices en paréntesis (2) y (1) respectivamente. Asumiendo contacto ideal entre las fases, se puede expresar dicha condición mediante
Método
Método de Homogeneización Asintótica
El método de homogeneización asintótica a doble escala se basa en el empleo de dos variables, una global o lenta 
sobre el compuesto y otra local o rápida 
sobre la celda. La relación entre éstas es 
, donde 
es un parámetro lo suficientemente pequeño que expresa la relación entre las dimensiones de la celda periódica y las dimensiones características del compuesto. La otra característica de este método es plantear un desarrollo asintótico de la variable involucrada en el problema para a partir de éste, y utilizando la periodicidad del problema, obtener las soluciones mediante integración. Es posible encontrar expresiones homogeneizadas de las ecuaciones involucradas en el problema a resolver.
Se plantea el desarrollo asintótico de la componente del vector desplazamiento de la siguiente forma
donde 
. Sustituyendo (6) en (3) y (4) se obtienen
donde
Usando entonces (6) y (7) en (1), y reagrupando términos según el exponente de , se tiene para 
y 
respectivamente
Sustituyendo (9) en (13) se tiene
donde la función 
puede ser expresada mediante
siendo 
las componentes Y-periódicas de los seudo-desplazamientos locales.
Los problemas locales 
en la celda periódica pueden obtenerse mediante la sustitución de (16) en (15). Obteniendo de esta forma
donde las componentes del tensor de los esfuerzos locales están dadas por
Sustituyendo (16) en las ecuaciones (9) y (11) se obtienen
Se define el operador promedio sobre la celda como
donde 
es el volumen de la celda. Promediando la expresión (10) y utilizando la periodicidad de 
, el problema estático homogéneo es obtenido en la forma
siendo entonces las ecuaciones constitutivas del problema homogéneo
son los coeficientes elásticos efectivos. Aplicando el operador promedio en la expresión (20) y usando la periodicidad de
, el tensor de deformaciones homogéneo es
Asimismo las condiciones de contorno dadas en (2) son transformadas en
El problema de la obtención de los coeficientes efectivos radica en la obtención de soluciones periódicas en , de seis problemas locales 
, en términos de la variable local , donde 
. Cada problema se desacopla en un conjunto independiente de ecuaciones. En la Tabla 1 se muestra la correspondencia entre los coeficientes efectivos y los problemas locales.
Los problemas locales se pueden plantear de la siguiente forma:
-Problemas 
, con 
y 
-Problemas 
, con 
-Problema 
En el presente problema, la celda unitaria presenta las simetrías propias del grupo puntual 
, según la teoría de grupos (Landau et al., 1977), por lo que presenta simetría respecto a los planos coordenados. Además, los coeficientes elásticos 
son funciones pares respecto a 
, 
y 
, por lo que satisfacen las condiciones
donde 
, 
siendo 
la semi-longitud de la celda en la dirección 
y
Utilizando las condiciones (30) y (31) los problemas locales 
sobre la celda unitaria pueden ser transformados en problemas de contorno sobre 
de la celda periódica (Bakhvalov et al., 1989), esta sección de la celda se presenta en la Figura 2. Se pasan ahora los problemas locales a la nueva variable 
según
donde 
. La ecuación (18) puede ser escrita como
Para esto se ha denotado
y las ecuaciones (17) y (24) se transforman en
Figura 2 Sobre la octava parte de la celda los problemas locales pueden convertirse en problemas de contorno.
Finalmente, los problemas locales pueden ser escritos en esta forma, utilizando la notación abreviada para los coeficientes elásticos 
. Se tiene que el problema local sobre 1/8 de la celda se expresa por
Donde
siendo 
y 
.
Las condiciones de contorno se expresan, con , de las siguientes maneras:
-Problema 
-Problema 
-Problema-Problema 
-Problema 
-Problema 
Los coeficientes efectivos se pueden calcular mediante (37), quedando de la forma:
-Problema 
-Problema
-Problema
-Problema
-Problema
-Problema
Resolución de los problemas locales por el método de elementos finitos
En muchas ocasiones, la solución exacta de los problemas locales del método de homogeneización es imposible de obtener mediante métodos analíticos. Solamente para geometrías muy específicas de las inclusiones es posible obtener las soluciones analíticas. Una solución alternativa es el empleo de métodos numéricos aproximados como el método de las diferencias finitas y el método de elementos finitos. Por esta razón se utiliza el método de elementos finitos a partir del principio de mínima energía potencial. La energía potencial para un sólido elástico puede ser expresada mediante
En esta expresión se encuentran relacionadas la energía de deformación por unidad de volumen del cuerpo, la energía potencial asociada a las fuerzas sobre el cuerpo 
, a las fuerzas de tracción 
y a las cargas puntuales 
respectivamente. En el caso presente se tiene que 
.
Las relaciones (38 - 42) pueden expresarse en forma matricial como
Donde
)
La región de estudio que sería en este caso 
de la celda unitaria es dividida en un número finito de elementos tetraédricos. Cada uno de estos elementos se define mediante 4 nodos ubicados en sus vértices. Los seudo-desplazamientos, para cada punto del elemento, pueden expresarse en función de los valores de éstos en los nodos, a través de las funciones de interpolación, como
Donde
siendo
es la i -ésima componente del seudo-desplazamiento en el j-ésimo nodo y las funciones 
son las funciones de interpolación del elemento dadas en coordenadas naturales
La relación entre las deformaciones y los seudo-desplazamiento (64) puede ser escrita de la forma
donde 
son los coeficientes de la matriz inversa del Jacobiano 
de la transformación
Utilizando las relaciones (66) y (70) las deformaciones se pueden escribir en forma matricial como sigue
donde 
es la matriz de la relación entre las deformaciones y los seudo-desplazamientos del elemento
Al ser las funciones de interpolación 
tan sencillas y sus derivadas son 1 o -1, al desarrollar 
se obtiene una matriz que toma valores 1, 0 o -1, por lo que la matriz B quedaría explícitamente como
donde 
, para .
Ahora es necesario calcular las tensiones para cada uno de los elementos. Usando las relaciones (64) y (72) se obtiene
La energía de deformación asociada a un elemento e se obtiene
Sustituyendo (64) y (63) en (76) se obtiene la energía de deformación en la forma
)donde 
es la matriz de rigidez del elemento
Tomando en consideración la contribución de todos los elementos a la energía potencial de deformación del sistema se obtiene
donde 
es la matriz de rigidez global y Q es el vector seudo-desplazamiento global.
La sustitución de los 
correspondientes, (66) y (70) en (49-50) se obtiene la contribución del elemento e en el coeficiente efectivo del material como
siendo en cada caso:
-Problemas
-Problema
-Problema
-Problema
Tomando en consideración las aportaciones de cada elemento al coeficiente efectivo, éste queda de la forma
Resultados
Para la obtención de los resultados se utilizan las propiedades de los constituyentes obtenidas por Sabina y otros colaboradores en 1993, mostradas en la Tabla 2 (Sabina et al., 1993). En el caso del cálculo mediante el uso del método de elementos finitos, se hace una discretización del espacio en elementos tetraédricos definidos por 4 nodos ubicados en los vértices de los elementos. En la Figura 3 se muestra un ejemplo de esta discretización.
Se realizaron cálculos para diferentes valores de la fracción volumétrica en varias razones de aspecto de las inclusiones de aluminio y se comprobó que los resultados obtenidos en los compuestos perdían la propiedad isotrópica de los materiales constituyentes. Los resultados obtenidos muestran en todos los casos que los compuestos presentan isotropía solo en las direcciones de los ejes 
y 
, siendo posible apreciarlo en los valores que se muestran a modo de ejemplo en la Tabla 3. En ésta se comprueba que los coeficientes 
, 
y 
se diferencian de los coeficientes a los que son iguales en el caso de los materiales isotrópicos, mientras que el resto de las igualdades se mantiene, con lo cual se puede verificar dicha pérdida de isotropía, principalmente con la diferenciación de 
y 
con 
.
La variación de los coeficientes efectivos, y la pérdida de la propiedad de isotropía se pueden apreciar al comparar las gráficas de los valores de los coeficientes que son iguales en un material isotrópico. En las Figuras 4 y 5 pueden verse estas gráficas para la comparación de los coeficientes -, 
-
y 
- en las subFiguras (a), (b) y (c) respectivamente en cada una. Se aprecia que los coeficientes , y se hacen menores al perder la isotropía por ser el eje menor del elipsoide de revolución coincidente con la dirección del eje 
. La variación de los coeficientes que provoca la pérdida de la isotropía de los constituyentes en el compuesto, es mediante la diferenciación de los coeficientes que involucran la dirección diferenciada, en este caso justamente los tres coeficientes mencionados más los que por la simetría del compuesto son iguales a éstos como el 
, 
y los simétricos a ellos.
Figura 4 Variación de los coeficientes efectivos dependiendo de la fracción volumétrica para una razón de aspecto de 
Figura 5 Variación de los coeficientes efectivos dependiendo de la fracción volumétrica para una razón de aspecto de 
En la Figura 6 se muestran los gráficos de los coeficientes efectivos obtenidos en función de la variación de la fracción volumétrica. En cada subFigura se graficaron estos valores para cada una de las razones de aspecto trabajadas en curvas diferentes para su comparación. Es apreciable, salvo en el caso del coeficiente , que los valores de éstos varían al variar la razón de aspecto a pesar de que no haya una coincidencia en las fracciones volumétricas utilizadas para el cálculo en cada curva. De esta forma es posible ver que al aumentar la deformación de los elipsoides, los coeficientes y aumenten también, Figuras 6(a) y 6(f), mientras que , y disminuyen su valor, Figuras 6(c), 6(d) y 6(e). Esto enfatiza aún más la diferencia descrita anteriormente en la Tabla 2 y las Figuras 4 y 5, donde se mostraba que los coeficientes que involucran la dirección diferenciada disminuían con respecto a los otros, que como muestran los gráficos, tienden a aumentar marcando aún más esta diferencia.
Conclusiones
En el presente trabajo queda mostrado explícitamente el método semianalítico de homogeneización asintótica, desde su formulación hasta el desarrollo de su solución. Se muestra que, si los componentes son materiales isotrópicos y la geometría del compuesto presenta una dirección diferencial manteniendo las otras dos iguales entre sí, el compuesto resultante pasará de tener un comportamiento isotrópico a tener solamente isotropía en las direcciones de los ejes y . Además, se muestra cómo van variando los coeficientes efectivos del compuesto de inclusiones elipsoidales periódicas al variar la fracción volumétrica y la razón de aspecto de las inclusiones. Se aprecia cómo se diferencian los coeficientes efectivos provocando la pérdida de la propiedad de isotropía y cómo disminuyen o aumentan al variar la razón de aspecto, según se relacionen con la dirección diferenciada o no.
