Modelo de sistema de ecuaciones simultáneas

Las ecuaciones que integran los sistemas de ecuaciones simultáneas se conocen como ecuaciones estructurales y muestran la estructura de un modelo económico, una economía o el comportamiento de un agente económico.

Los coeficientes β_i y π_i que deben estimarse se denominan parámetros o coeficientes estructurales.

Donde Y y X₁ son variables endógenas, X₂ y Z son variables exógenas y Z es un instrumento.

Cuando se tienen variables endógenas en un modelo de regresión existe una probable correlación entre estas variables y el término de error de la ecuación en la cual aparecen como explicativas, lo cual viola uno de los supuestos de método de Mínimos Cuadrados, provocando estimadores sesgados e inconsistentes.

El método de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) es usado para dar solución a los sistemas de ecuaciones simultáneas proporcionando estimadores sesgados pero consistentes. Esencialmente MC2E consiste en sustituir las variables endógenas por variables “representantes” (con valores cercanos), que sirven como instrumentos en la estimación de la primera etapa, esto proporciona una solución al problema típico en los sistemas de ecuaciones debido a la endogeneidad: la correlación entre la variable explicativa y el término de error estocástico.

Instrumentos válidos

Para que las variables sean consideradas instrumentos válidos, es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

La primera condición se denomina de “exógeneidad”, e implica que el instrumento seleccionado no esté correlacionado con el término de error de la ecuación en donde la variable endógena aparece como explicativa.

La segunda condición se denomina “relevancia del instrumento”; se requiere que la correlación entre X₁ y Z sea diferente de cero. Dado que π1=Covz,xVar(Z), la condición se cumple si y solo si π₁ ≠ 0.

Un ejemplo práctico de la importancia de estas condiciones en la construcción de instrumentos puede verse en ^{Frankel y Romer (1999)}, donde se analiza el impacto del comercio internacional en los estándares de vida.

En MC2E se establece la ecuación poniendo la variable endógena en función de las variables exógenas que sirven como instrumentos. En este caso es necesario verificar que dicho conjunto cumpla con la condición de correlación entre instrumentos y variable endógena diferente de cero.

^{Shea (1997)} menciona que el uso instrumentos débiles aumenta la inconsistencia del estimador resultante aun si los instrumentos no son perfectamente exógenos [Cov(Z, u) = 0] . Cuando los instrumentos son perfectamente exógenos, la baja correlación con la variable endógena aumenta los errores estándar asintóticos y por lo tanto reduce la potencia de las pruebas de hipótesis. Poca correlación puede causar que la distribución del estimador difiera considerablemente de la distribución normal asintótica.

Se han propuesto algunas pruebas para detectar instrumentos débiles como la R² parcial (^{Shea, 1997}), el estadístico F de la primera etapa (^{Staiger & Stock, 1997}; ^{Stock, Wright & Yogo, 2002}), y el estadístico F de la primera etapa basado en el sesgo relativo de MC2E, dependiendo del número de instrumentos y variables endógenas (^{Stock & Yogo, 2001}). ^{Miguel, Satyanath & Sergenti (2004)} es un ejemplo de la utilización de este criterio en la verificación de la debilidad de los instrumentos en un estudio que analiza el impacto de las condiciones económicas en la posibilidad de conflictos civiles.

Métodos de selección de instrumentos

^{Staiger y Stock (1997)} señalan que cuando se tienen instrumentos “débiles” los resultados asintóticos convencionales fallan incluso si el tamaño de muestra es grande, los estimadores de MC2E (β^iMC2E) son inconsistentes pueden ser gravemente sesgados y pueden producir intervalos de confianza con cobertura distorsionada. Además, se tiene un incremento en la varianza del estimador y su estadístico t no está bien aproximado por una distribución normal.

^{Stock y Watson (2011)} recomiendan que si se tienen muchos instrumentos, algunos estarán más correlacionados con la variable endógena; por lo tanto, una alternativa es seleccionar variables con el fin de encontrar el conjunto de instrumentos que más se correlacione con la variable endógena y eliminar los débiles.

Se han propuesto metodologías de selección, como el uso de regresión LASSO (^{Belloni, Chernozhukov & Hansen, 2011}; ^{Belloni, Chen, Chernozhukov & Hansen, 2012}), uso de estimadores encogidos (^{Okui, 2010}), componentes principales, selección mediante el método boosting (^{Bai & Ng, 2009}), y minimización del MSE asintótico (^{Donald & Newey, 2001}).

^{Okui (2010)} subraya que la existencia de muchos instrumentos puede ocasionar que el estimador de variables instrumentales tenga propiedades pobres, por lo que plantea la selección de instrumentos con el uso estimadores encogidos en MC2E y LIML para la reducción de un subconjunto de variables instrumentales, sin dejar de lado que el uso de un pequeño número de instrumentos, provoca pérdida de eficiencia, lo que resulta en errores estándar relativamente grandes.

El procedimiento en los métodos de encogimiento consiste en dos etapas; la contracción de algunos de los coeficientes de MCO en la regresión de las variables endógenas con los instrumentos, y a continuación, la utilización de los valores predichos de las variables endógenas (basados en las estimaciones de los coeficientes encogidos) como instrumentos.

Concluye que los métodos de encogimiento para selección pueden mejorar los estimadores de variables instrumentales y son recomendables cuando la fortaleza de los instrumentos es clara.

^{Bai y Ng (2009)} consideran dos formas de reducir el número de instrumentos seleccionados; en primer lugar, proponen el uso de componentes principales de los instrumentos observados y en segundo lugar hacer una selección mediante el método de boosting. Concluyen que los principales componentes son a menudo mejores instrumentos que los datos observados, exceptuando cuando el número de instrumentos es pequeño.

^{Bai y Ng (2009)} mencionan la idea de utilizar LASSO como método de selección de instrumentos; sin embargo, centraron su análisis en el método de boosting. Mostraron a través de ejemplos de simulación que la selección de instrumentos a través de boosting funciona bien en los ejemplos que consideran.

^{Donald y Newey (2001)} consideran un procedimiento de selección de variables que minimiza el MSE asintótico; sin embargo, se basa en un orden de la fortaleza de los instrumentos por lo que se requiere un conocimiento a priori sobre la fortaleza de estos.

Tal criterio es usado en los métodos de mínimos cuadrados (MC2E), máxima verosimilitud con información limitada (LIML) y el estimador Jacknife IV (JIVE).

LASSO como método de selección de instrumentos

En ^{Belloni, Chernozhukov y Hansen (2011)} se analizan modelos econométricos en los que se tienen muchos regresores disponibles, no obstante la función de regresión está bien aproximada por un conjunto reducido de regresores aún con identidad desconocida. Se discuten algunos métodos para identificar este conjunto de variables explicativas y la estimación de sus coeficientes utilizando regresión restringida con norma de penalización⁵ ℓ1.

^{Belloni, Chen, Chernozhukov y Hansen (2012)} proponen el uso de regresión LASSO para seleccionar instrumentos y estimar los coeficientes de regresión en la primera etapa. De la misma forma se propone el uso del método post-LASSO que consiste en utilizar el conjunto de datos de los instrumentos seleccionados por LASSO y reajustar el modelo de regresión en la primera etapa, estimando los coeficientes mediante MCO, con el fin de mitigar el sesgo de la contracción de LASSO. De esta manera si se seleccionan exactamente los instrumentos “relevantes”, el estimador post-LASSO resultante es simplemente el estimador MCO estándar utilizando únicamente las variables pertinentes.

^{Belloni, Chernozhukov y Hansen, (2011)} y ^{Belloni, Chen, Chernozhukov y Hansen (2012)} demuestran mediante simulación y en ejemplos con datos reales que los métodos basados en LASSO producen predicciones de la primera etapa que proporcionan buenas aproximaciones a los instrumentos óptimos incluso cuando el número de instrumentos disponibles es mucho más grande que el tamaño de la muestra. Concluyen que en la práctica estos métodos permiten obtener mayor eficiencia en el uso de losinstrumentos óptimos mientras amortiguan los problemas asociados con muchos instrumentos.

Regresión LASSO

El método de estimación en modelos lineales LASSO fue propuesto por ^{Tibshirani (1996)}. Consiste en la estimación por mínimos cuadrados ordinarios, restringiendo la suma absoluta de los coeficientes de regresión.

Sean x₁, x₂, ... x_m vectores de tamaño nxm que representan el conjunto de covariables, y sea el vector de la variable respuesta de dimensión nx1.

Sin pérdida de generalidad las variables han sido estandarizadas para tener media cero y varianza 1 y la variable respuesta tiene media cero.

Sea el vector de coeficientes de regresión,

dado el vector de predicción

y la suma de los residuos al cuadrado

además, sea la norma absoluta de β^,

LASSO selecciona β^ que minimiza S(β^) sujeto a T(β^)≤t.

Donde t ≥ 0 es un parámetro de ajuste que controla el nivel de restricción o encogimiento aplicado a la estimación.

El problema se resuelve mediante programación cuadrática usando multiplicadores de lagrange, y queda planteado de la siguiente manera:

donde λ ≥ 0 tiene una correspondencia uno a uno con el parámetro t.

^{Lockhar, Taylor, Tibshirani y Tibshirani (2014)} destacan las siguientes propiedades de LASSO:

Una de las ventajas de la regresión LASSO es que simultáneamente obtiene la estimación de los parámetros y la selección de variables. En la trayectoria de la estimación LASSO los coeficientes de regresión son encogidos hasta que algunos son eliminados y solo un conjunto de ellos son diferentes de cero, de modo que los coeficientes que quedan en el modelo están restringidos, y se supone que son los predictores que más influyen en la variable respuesta. De esta forma se permite eliminar e incluir en el modelo solo las variables más importantes, además de eliminar variables redundantes en presencia de multicolinealidad.

La solución LASSO puede obtenerse utilizando el algoritmo LARS, ^{Efron, Johnstone y Tibshirani (2004)} que ha sido descrito como una versión del método tradicional de selección de variables forward. Este algoritmo calcula todas las posibles estimaciones LASSO para un problema dado, actualizando las estimaciones de los coeficientes hasta obtener el ajuste por mínimos cuadrados.

Elección del parámetro de penalización. El parámetro de penalización o de regularización es considerado una medida de complejidad del modelo, y es frecuentemente seleccionado mediante validación cruzada (^{Hastie, Tibshirani & Friedman, 2008}).

El conjunto de datos se divide en k partes, con k - 1 partes se estiman los parámetros del modelo, se predice la parte que no fue usada en la estimación y se estima el error de predicción, el proceso se repite en cada una de las k partes.

En nuestro caso se utilizó k = n también conocida como validación “dejando uno fuera” por lo que la parte removida es la observación i donde i = 1, ..., n y se tienen k_j partes con j = 1, ..., n.

Se obtiene CV definido como el error de predicción de la validación cruzada y se calcula por:

Donde Y^i(j)=xiβ^i es el valor predicho de la observación i cuando la parte j a la que pertenece i no fue usada en la estimación.

La función CV proporciona una curva del promedio del error de predicción estimado al cuadrado y el parámetro t que lo minimiza.

Este procedimiento se realizó mediante el algoritmo LARS (^{Efron, Johnstone y Tibshirani, 2004}) del paquete LARS (Hastie, Tibshirani & Friedman, 2013) implementado en el software R (versión 3.1.0).

Sistema de ecuaciones simultáneas para el mercado de carne de bovino en México

La carne de bovino es uno de los productos alimenticios más importantes, principalmente por su aporte de proteína, además de la generación de empleos y materia prima (^{Callejas, Aranda, Rebollar & De la Fuente, 2014}). Para el año 2011, ^{Cruz y García (2014)} menciona que la carne de bovino es la mayor cantidad producida en México, después de la de ave. Para 2015, la producción de carne de ganado bovino en México fue de 1.9 millones de toneladas, ocupando con esta producción la sexta posición mundial (^{Puebla, Rebollar, Gómez, Hernández & Guzmán, 2018}). Respecto del consumo ^{FIRA (2017)} menciona que el consumo per cápita de carne de bovino en México en 2007 se estimó en 18 kilogramos por persona por año y se ha reducido en los últimos años con un promedio de 14.8 kilogramos para el año 2016.

Ante la importancia de este producto, se analizó el sistema de ecuaciones simultáneas para el mercado de carne de bovino en México propuesto en ^{Cruz (2013)} para el periodo 1972-2011.

Dicho sistema está compuesto por nueve ecuaciones: una ecuación de oferta, una ecuación de demanda, seis ecuaciones de transmisiones de precios y una identidad o cierre del sistema.

donde las variables se clasifican en:

Variables endógenas:

2. Variables exógenas:

Estimación de la primera etapa

Se realizó la estimación de cada variable endógena mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO) en la primera etapa utilizando como instrumentos todas las variables exógenas incluidas en el sistema.

Se reportan el coeficiente R² y el estadístico F como indicadores la variación explicada de cada variable endógena por los instrumentos utilizados y como indicador de la fortaleza de los instrumentos.

En la estimación de la primera etapa, usando todas las variables exógenas pertenecientes al sistema, se obtuvieron coeficientes R² relativamente altos, no obstante se tienen pocas o ninguna variable estadísticamente significativa con un valor de p menor a 0.05; esto de acuerdo con la literatura (^{Gujarati & Porter, 2010}) es un síntoma de multicolinealidad.

Diagnóstico en la primera etapa de la estimación de mínimos cuadrados en dos etapas

Prueba de instrumento débil a variables exógenas. De acuerdo con el criterio del estadístico F de la primera etapa propuesto en ^{Stock y Yogo (2001)}, el valor crítico de F para decir que el conjunto de instrumentos es fuerte es 10.99 y 10.47 para dos y tres variables endógenas en la ecuación respectivamente.

Con base en el criterio de ^{Stock y Yogo (2001)} únicamente la variable PPCBCR1 (Precio real al productor de carne de bovino en canal rezagado un periodo) tiene un estadístico F de la primera etapa (4.4) menor al valor crítico establecido, por lo que se concluye que el conjunto de variables exógenas es un conjunto débil para esta variable endógena.

De acuerdo con ^{Shea (1997)} una medida de la fortaleza o relevancia de un instrumento es la correlación parcial con la variable endógena. Bajo este criterio se busca tener variables con correlaciones parciales cercanas a uno. Las Tablas 2a y 2b muestran que las variables exógenas y endógenas están poco correlacionadas; es decir, se tienen instrumentos débiles.

Estimación de la segunda etapa

En la Tabla 3 se muestran los coeficientes estimados mediante MC2E. Dichas estimaciones presentan los signos esperados de acuerdo con la teoría económica planteada en la construcción del sistema de ecuaciones, por lo que son consideradas estimaciones válidas para el modelo, no obstante se obtuvieron coeficientes R² relativamente bajos en algunas ecuaciones y variables estadísticamente no significativas con un valor p mayor a 0.05.

Selección de instrumentos con LASSO

Se aplicó regresión LASSO como método de selección de variables, para elegir un conjunto de instrumentos para las variables endógenas del sistema de ecuaciones, para lo cual se usó el paquete LARS (Hastie, Tibshirani & Friedman, 2013) implementado en el software R (versión 3.1.0).

Mediante el algoritmo LARS se obtiene la trayectoria de la solución LASSO para cada variable. La trayectoria de solución LASSO es calculada para un número finito de valores de λ, los cuales coinciden con los pasos marcados a lo largo de solución y señalan la entrada o la eliminación de alguna variable al modelo actual (conjunto activo).

En el paso cero todos los coeficientes estimados son cero y λ toma el valor máximo. A medida que nos movemos de izquierda a derecha en la figura, λ disminuye y los coeficientes tienden a los estimados por mínimos cuadrados.

El parámetro de restricción se eligió mediante validación cruzada con k = 40 (n = 40)para cada variable endógena. Se graficó el error cuadrado medio (MSE) vs t (la norma L1) a escala entre cero y uno. Dado que t y λ tienen una correspondencia uno a uno, se seleccionó el parámetro t que minimiza el MSE.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Curva de CV para la variable PPCBCR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 2 Curva de CV para la variable PMCBCR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 3 Curva de CV para la variable PALBR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 4 Curva de CV para la variable PMSR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 5 Curva de CV para la variable PMMR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 6 Curva CV para la variable PCBR1 

Se usó el parámetro de restricción elegido para seleccionar las variables que fueron utilizadas como instrumentos. Para cada variable se muestra la trayectoria de regularización (Figuras 7 a 12) (8, 9, 10, 11), en la cual se puede observar la inclusión de variables en cada paso. El eje Y representa la magnitud de los coeficientes de regresión y el eje X representa el valor t (la norma L₁) del vector de coeficientes estimados a escala entre cero y uno.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 7 Trayectoria de regularización para la variable PPCBCR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 8 Trayectoria de regularización para la variable PMCBCR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 9 Trayectoria de regularización para la variable PALBR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 10 Trayectoria de regularización para la variable PMSR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 11 Trayectoria de regularización para la variable PMMR1 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 12 Trayectoria de regularización para la variable PCBR1 

El conjunto de instrumentos seleccionado mediante este método en adelante se denominó “instrumentos LASSO”.

Estimación de la primera etapa con instrumentos LASSO

En la estimación de la primera etapa utilizando como instrumentos los seleccionados mediante regresión LASSO, se obtuvo para cada variable endógena un coeficiente R² relativamente alto y tomando como criterio un valor p menor a 0.05, el número de variables estadísticamente significativas aumentó en cada modelo.

Diagnóstico en la primera etapa de la estimación de mínimos cuadrados en dos etapas

Prueba de instrumento débil a instrumentos LASSO. En las Tablas 6a y 6b se muestran las correlaciones parciales como indicadores de la fortaleza de los instrumentos seleccionados mediante regresión LASSO. Es preciso señalar que LASSO seleccionó en la mayoría de los casos los instrumentos que en el conjunto de exógenas tuvieron mayores correlaciones parciales. Así mismo, se nota que algunos de los instrumentos seleccionados incrementaron sus correlaciones parciales con las variables endógenas en cuestión, por lo que se consideran instrumentos “más fuertes”.

Con base en el criterio del estadístico F de la primera etapa únicamente la variable endógena PPCBCR1 tiene un estadístico menor al valor crítico establecido (valor F = 9.09) en ^{Stock y Yogo (2001)}, por lo que se considera que el conjunto de variables seleccionadas como instrumentos es “débil”; sin embargo, se tiene evidencia de mayor fortaleza que los obtenidos en estimación de mínimos cuadrados en dos etapas. Cabe destacar que el valor obtenido es muy cercano al valor crítico.

Estimación de la segunda etapa con instrumentos LASSO

En la estimación de la segunda etapa se sustituyeron las variables endógenas en las ecuaciones estructurales por sus valores predichos estimados con los instrumentos seleccionados mediante regresión LASSO.

En esta etapa se obtuvieron coeficientes estimados acordes con el signo esperado en la teoría económica propuesta en la construcción del modelo.

En la ecuación OCB se obtuvieron tres variables no significativas (PPCBCR1, PALBR1 y PPHR1). En la estimación de MC2E se obtuvieron las mismas variables no significativas y adicionalmente la variable PPCPR.