2.1. Bits cuánticos

En el modelo de computación clásica la unidad básica de información es el bit, el cual asume uno de dos posibles valores, ya sea 0 o 1. Análogamente, el modelo de computación cuántica tiene como unidad básica el qubit, que puede asumir una superposición de dos valores, o estados, distintos, digamos |0⟩ o |1⟩, los cuales representan los dos valores de un bit clásico.

Los vectores 0=[1 0]T y 1=[0 1]T forman la base canónica en C2. Los covectores, o funcionales lineales⟨x|=|x⟩H (el superíndice ^H denota transposición conjugada), con x∈{0,1}, forman la base del espacio dual (C2)*, que al ser de Hilbert, es isomorfo a C2 mismo.

Esta notación tiene la ventaja de poder especificar las transformaciones cuánticas (ver Sec. 2.4) sobre estados cuánticos en términos de la base canónica. Por ejemplo, la transformación que intercambia los estados |0⟩ y |1⟩ está dada por la matriz X=|0⟩⟨1|+|1⟩⟨0|.

Un qubit es una superposición de bits clásicos, es decir, es una combinación lineal a|0⟩+b|1⟩, donde a y b son números complejos tales que |a| + |b| = 1. El espacio de Hilbert complejo de dimensión 2, con base ortonormal E=[|0⟩,|1⟩], contiene a los qubits como sus vectores unitarios.

El mecanismo de medición (ver Sec. 2.3) de qubits se hace con respecto a una base ortonormal, en este caso E, la probabilidad de que el valor medido sea |0⟩ es |a| y la probabilidad de que el valor medido sea |1⟩ es |b|.

Aunque un qubit puede variar de manera continua entre un conjunto de estados cuánticos, después de su medición es posible que asuma un único estado determinista, es decir, extrae un simple bit clásico. La medición de qubits es un proceso que solamente puede ser aplicada una vez, ya que un qubit al ser medido pierde su estado de superposición.

2.2. Registros cuánticos

Dado un entero k≥1, sea n =2 ^k . Un sistema cuántico de k-qubits varía en un espacio de estados de n dimensiones. Cualquier vector de la forma

donde μi∈C y ∑i=0n-1|μi|2=1, es un vector unitario en Cn. De hecho, al representar cada índice en base 2, i = (i _k-1 … i ₁ i ₀)₂ se podría escribir

Tal vector unitario 𝜓 es un quregistro.

La relación entre k y n es lo que determina el poder real de la computación cuántica: un quregistro puede asumir, al aplicar un operador de medición, un número exponencial, en términos de k, de estados deterministas. Así, la concatenación de k qubits, produce vectores de dimension 2 ^k . Desde el punto de vista algebraico, los estados cuánticos se combinan mediante el producto tensorial (⊗): el producto tensorial de k qubits es un k-quregistro.

Recordamos brevemente: sean V y W dos espacios complejos de Hilbert, de dimensión finita, con bases ortonormales respectivas vii=0n-1 y wjj=0m-1. El producto tensorialV⊗W tiene como base vi⊗wji=0,…,n-1j=0,…,m-1. Por tanto, dim(V⊗W)=dim(V)⋅dim(W).

En la potencia tensorial C2⊗k≈C2k, se suele escribir

También se tiene que en la esfera unitaria del espacio C2k existen vectores que no son productos tensoriales de vectores de dimensión menor. Estos son llamados entrelazados.

El origen del poder del cómputo cuántico se deriva de la posibilidad de codificar procesos como la evolución de estados cuánticos.

2.3. Toma de mediciones

La medición de qubits constituye otra gran diferencia entre el modelo clásico y el modelo cuántico, puesto que se puede medir (leer) el valor que tiene un bit. Sin embargo, no se puede leer el valor de un qubit sin alterarlo, ya que éste se convierte en un estado determinista. Dado un qubit

donde μ₀, μ₁∈C, |μ0|2+|μ1|2=1, su medición proporcionará |0⟩ con probabilidad |μ ₀|² o |1⟩ con probabilidad |μ ₁|².

De manera similar, al tener un k-quregistro 𝜓 como en la ec. (1), para cada i = 0, …, 2 ^k -1, la probabilidad de que tras la medición el estado 𝜓 asuma el estado determinista |i2⟩=|ik-1⋯i1i0⟩ es |μi|2=|μik-1⋯i1i0|2 (véase la Ec. (2)).

Esto propicia comportamientos particulares entre los quregistros entrelazados y los que no lo son. Por ejemplo, en un k-quregistro de la forma ψ=(a0|0⟩+a1|1⟩)⊗ϕ, donde ϕ es un (k-1)-quregistro se tendría que, al tomar una medición en su primer qubit, éste transitaría a uno |ε⟩, con ε∈{0,1}, con probabilidad |aε|2. Luego 𝜓 transitaría a |ε⟩⊗ϕ, es decir, la medición del primer qubit no influye sobre las de los demás. En cambio, para un estado maximalmente entrelazado, digamos a0|0⋯0⟩+a1|1⋯1⟩, con |a0|2+|a1|2=1, al hacer una medición en su primer qubit, éste transitaría a uno |ε⟩, con ε∈{0,1}, con probabilidad |aε|2, y el quregistro completo transitará a |ε⋯ε⟩, es decir ¡al determinar el primer qubit, los demás quedarán determinados también y, en este caso, con el mismo valor! Esta es la célebre “acción escalofriante” (spooky action) que originó la llamada paradoja ERP (por Einstein, Rosen y Podolsky), de los estados entrelazados.

2.4. Compuertas cuánticas

Así como una computadora clásica utiliza circuitos lógicos que permiten la manipulación de información mediante compuertas, en el cómputo cuántico existen mecanismos para manipular quregistros. El análogo a los circuitos lógicos son las compuertas cuánticas o bien qucompuertas. Las compuertas cuánticas y las composiciones de ellas transforman linealmente un estado inicial 𝜓₁ en un estado final 𝜓₂, conservando siempre sus normas y ángulos, es decir, son transformaciones unitarias¹³. Cuando se fija una base del espacio, cualquier transformación unitaria queda descrita por una matriz. Sea A^† la conjugada transpuesta de la matriz A. Una matriz A es unitaria si se cumple que AA^† = I. Las compuertas son transformaciones unitarias en espacios de Hilbert ¹³. Dado este hecho, una de las consecuencias más importantes de las compuertas cuánticas es que son reversibles, véase ¹.

2.5. Algoritmos cuánticos

Un algoritmo cuántico consiste de la ejecución de una serie de compuertas cuánticas sobre entidades, que pueden ser qubits o quregistros, seguida de una toma de medición.

Para simular un algoritmo cuántico, luego de una inicialización de la máquina de estados y de sus qubits y quregistros, se aplican las transformaciones unitarias indicadas. Dado que la toma de mediciones es probabilista, se ha de disponer de un generador de números aleatorios. Dependiendo de la toma de mediciones se decide si acaso se concluye el proceso, o bien, se lo reinicia.

El poder de la computación cuántica lo ocasiona su paralelismo inherente y el entrelazamiento.

Es posible, por ejemplo, dada una función f, la evaluación simultánea de valores f(x) para muchos valores de x en la simple aplicación de una compuerta cuántica U_f .

En efecto, una forma cuántica de llevar a cabo esto es considerando una computadora de 2-quregistors que iniciando en el estado |x,y⟩, aplica U_f para llegar al estado |x,y⊕f(x)⟩, donde ⊕ es la adición módulo 2; el primer registro x denota al registro de datos de entrada, el segundo registro y es de salida. Nótese que si y = 0 la operación ⊕ deja el valor de f (x). Si el registro de entrada es inicializado en la superposición |h⟩=(|0⟩+|1⟩)/2, la cual es creada aplicando la compuerta de Hadamard al estado |0⟩, al aplicar U_f resulta

Este estado contiene información de ambos valores f(0) y f(1), pero no da uno determinado, y, al tomar una medición, se arribará a cualquiera de los estados deterministas |0,f(0)⟩, |1,f(1)⟩ con igual probabilidad.

4.1. El operador U_f

Como se aprecia en la Ec. (8), toda la información de la función a evaluar f se incluye en el quregistro |ψ2⟩ al aplicar el operador U_f . En esta sección veremos la manera de expresar a U_f en forma matricial, con el propósito de tener una representación que se pueda utilizar en la simulación.

Retomemos brevemente el comportamiento del algoritmo. Notemos que el qubit de función debe ser |1⟩, debido a que al aplicarle una compuerta de Hadamard a tal qubit aparece un signo negativo, como se aprecia en la Ec. (7). Este signo se distribuye hacia la mitad de los elementos del quregistro |ψ0⟩ durante la primera transformación. Este signo negativo es el que dispersa hacia los estados |x⟩ de la Ec.(8) al aplicarle el operador U _f al estado |ψ1⟩ y que en la operación de medición ayuda a determinar si la función f(x) es constante o equilibrada.

Cuando el operador U_f se aplica al estado

se tiene

Y podemos ver que el signo negativo, para cada estado |x⟩, depende del valor de f(x).

Para expresar matricialmente el operador U_f , es necesario definirlo en términos de submatrices U_f(x) . Podemos escribir a la matriz U_f(x) de tamaño 2 × 2 como:

La forma general al operador U_f como una matriz 2n⁺¹ × 2n⁺¹ es definida como

Entonces otra forma de escribir la Ec. (8) es: U_f (2ⁿ - 1)

Para el caso de n = 2, la matriz U_f se escribe como

donde

Se puede ver en las matrices (11) y (13) que si la función f es constante, entonces se tiene a la matriz unitaria 2ⁿ⁺¹ × 2ⁿ⁺¹ o a una matriz con submatrices U_f(x) antidiagonales en su diagonal principal. Por lo que al aplicar esta matriz a |ψ1⟩ se obtendrá a ±|ψ1⟩, y al aplicar la compuerta de Hadamard, del último paso del algoritmo de Deutsch y Jozsa se tiene ±|0⟩⊗n⊗|1⟩. Entonces al realizar la medición sobre los primeros n-qbuits obtenemos que la amplitud del estado |0⟩⊗n es uno.

Si la función es equilibrada, entonces U_f se expresa como una combinación de matrices U_f(x) diagonales y antidiagonales. De esta forma, el estado resultante |ψ3⟩=|z⟩⊗H|1⟩ contiene al elemento |z⟩, el cual es cualquier estado distinto de |0⟩⊗n. Así, la medición final dará como resultado que la amplitud de |0⟩⊗n es 0.

4.2. Método experimental

Como plataforma experimental utilizamos GAMA, el cual es un lenguaje de programación para simular la ejecución de algoritmos cuánticos en una computadora clásica ¹². Este lenguaje es de tipo imperativo, estructurado y de propósito específico. GAMA cuenta con un módulo de depuración que permite llevar la secuencia de los diferentes cambios de los estados de las variables en las diferentes entidades de un algoritmo cuántico, incluyendo qubits, quregisters, qugates, asi como las operaciones entre ellas: mediciones, producto interior (·) y productor exterior ( ⊗).

5.1. Pseudocódigo

Ahora explicaremos el pseudocódigo del algoritmo cuando n = 2 con el fin de ilustrarlo, implementarlo y probarlo en nuestro simulador de algoritmos cuánticos. El estado inicial |ψ0⟩ se expresa como: |ψ0⟩=|00⟩⊗|1⟩ y el estado final |ψ3⟩ se obtiene, como hemos mencionado, después de la aplicación de una serie de transformaciones de la compuerta de Hadamard y U _f a dicho estado inicial como |ψ3⟩=H⊗3UfH⊗3|ψ0⟩ donde H⊗3=H⊗H⊗H y U_f está definido como en la Ec.(13).

El algoritmo 1 muestra el pseudocódigo de los pasos necesarios para resolver este ejemplo. Primero, se lleva a cabo la inicialización del operador U_f con la función Initialize() descrita en el algoritmo 2. Como hemos mencionado el operador U_f está conformado de evaluaciones de la función f(x₁, x₂). Para demostrar el funcionamiento del algoritmo, seleccionamos una de las funciones presentadas anteriormente en el Cuadro 3. En este caso, la función equilibrada f₃ del Cuadro 3 fue implementada y su pseudocódigo se muestra en el algoritmo 3. Los siguientes pasos corresponden a las transformaciones hechas al estado inicial 𝜓₀. La primera equivale a aplicarle la compuerta H⊗3. La segunda consiste en la aplicación del operador U_f y finalmente la tercera en aplicarle la compuerta H⊗3 nuevamente.

Algoritmo 1. Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa para la función f(x ₁, x ₂). 

(aquí, z%2 denota “z módulo 2”, es decir el residuo de z al ser dividido entre 2.)

Algoritmo 2. Función Initialize(). 

Algoritmo 3. Función f(x ₁; x ₂). 

Finalmente, el estado 𝜓 es el estado resultante, al cual se le realizará una toma de medición, haciéndolo por cualquier qubit que corresponda al quregistro de control, que en este caso tomamos el qubit 0 para medirlo.

5.2. Simulación en GAMA

Presentamos el código GAMA para llevar a cabo la simulación del algoritmo. Por ahora, estamos interesados únicamente en obtener el resultado de la simulación y no en el de estados intermedios durante una depuración. De tal manera que el estado resultante de cada una de las variables involucradas se puede observar en la pestaña inferior Configurations, en donde el quregistro psi contiene la información de si acaso la función se trata de una constante o bien de una equilibrada. En la Sec. 5.3 veremos la interpretación al resultado del algoritmo dado un tal quregistro.

5.3. Resultados

Como resultado de la simulación anterior, para el caso n=2 y la función equilibrada f₃ del Cuadro 3, obtuvimos que la medición del quregistro 𝜓₃ generó el quregistro 𝜓 = (1.0 + 0.0i)|111>. Considerando que el valor del quregistro 𝜓₀ de entrada es |001⟩, diremos por un lado que si el quregistro resultante arroja el mismo valor del quregistro inicial se trata de una función constante y por otro lado, si se trata de cualquier otro estado sabemos que es una función equilibrada. Bajo esta premisa observamos que el quregistro ψ=|111⟩ indica que la función f(x₁, x₂) es equilibrada.

En este trabajo hemos realizado la simulación del algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en el lenguaje GAMA. Para ello, hemos establecido un mecanismo para construir la compuerta cuántica U_f en forma matricial, que ayuda a obtener la simulación de su comportamiento. Se puede apreciar que el qubit de función |1⟩ de entrada se utiliza para inducción la secuencia de signos negativos, necesarios para que el algoritmo funcione, y para que el registro de control alcance la dimensión apropiada para operarse con la compuerta cuántica U_f . Por otro lado, y tal vez más delicado, es el hecho de que la compuerta U_f debe inicializarse para cada una de las funciones que el algoritmo de Deutsch y Jozsa tenga de entrada, y si la inicialización no es tomada en cuenta en la complejidad el algoritmo cuántico resulta ser más eficiente que el clásico. Sin embargo, si este mecanismo de inicialización se toma como parte de la ejecución del algoritmo, la complejidad podría ser igual o mayor a la del algortimo clásico ya que GAMA lleva a cabo una simulación de cómputo cuántico dentro de una computadora clásica.

Además, también implementamos el algoritmo de Deutsch y Jozsa para los siguientes valores n = 3, 4, 5. El objetivo de este experimento es conocer su comportamiento y sus implicaciones. Al incrementar el número de qubits, la dimensión de la compuerta U_f aumenta de acuerdo a los detalles mostrados en el Cuadro 5.3. En general, la dimensión de la compuerta U_f para resolver un problema de n qubits es 2^n-1 × 2^n-1 . Para cualquier tamaño de quregistro, el algoritmo de Deutsch y Jozsa aplica una vez la compuerta Hadamard al registro inicial, una vez la compuerta U_f y finalmente una compuerta Hadamard. Aplicar una compuerta cuántica a un quregistro equivale a la multiplicación de una matriz por un vector. Lo que implica que la complejidad del algoritmo en una computadora clásica es 3 veces O(m²), donde m es la dimensión de la matriz y del vector. En el algoritmo cuántico, la dimensión de las compuertas es de m = 2^n-1 , y su complejidad después de simularlo en una computadora clásica es de O((2^n-1 )2). Esto ocasiona que la inicialización de la compuerta cuántica U_f consuma mayor tiempo debido a que el número de funciones a evaluar crece también. Sin embargo, no solo el tiempo de procesamiento tiene un impacto sino también la capacidad de almacenamiento de la máquina puede llegar a ser crucial si se trata de una simulación con un número de qubits muy alto.

Table II. Tamaño de las compuertas cuánticas en el algoritmo de Deutsch y Jozsa. 

La Fig. 3 muestra la gráfica de tiempos de las corridas del algoritmo de Deustch-Jozsa, utilizando una computadora de 32-bits para funciones de dos a cinco qubits de entrada, de lo que podemos apreciar un crecimiento exponencial. Como mencionamos anteriormente esto se debe al tiempo que consume la inicialización de la compuerta U_f . Una de las limitantes del simulador es que el número máximo de qubits que se pueden utilizar en un algoritmo está limitado al número de matrices que se puedan crear dentro del tamaño de la memoria de la computadora.

Figura 3. Gráfica de tiempos del algoritmo Deutsch y Jozsa con respecto al número de qubits.