Educación

 

Poincaré, la mecánica clásica y el teorema de la recurrencia

 

H. N. Núnez-Yepez* y A. L. Salas-Brito**

 

* Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, Apartado Postal 55-534, Iztapalapa, D.F. México, 09340, México, e-mail: nyhn@xanum.uam.mx.

** Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, Apartado Postal 21-267, Coyoacan D. F. México, 04000, México, e-mail: asb@correo.azc.uam.mx.

 

Received 28 May 2013
Accepted 18 June 2013

 

Resumen

En conmemoración de los 101 años de la muerte de Henri Poincaré hacemos un recuento de algunas de sus aportaciones a la mecánica clásica aderezándolo con un esbozo de su biografía académica. Usamos de un péndulo para ilustrar la técnica cualitativa para analizar las soluciones a una ecuación dinámica; lo empleamos también, pero suponiéndolo extensible, para ilustrar el uso de los mapeos de Poincaré para diferenciar las soluciones regulares de las caóticas, un tipo de soluciones que el mismo descubrió al estudiar el famoso problema de los tres cuerpos. Demostramos su resultado sobre la recurrencia de las soluciones en un sistema dinámico según el cual toda solución a la que se le exija ser tanto confinada como que conserve la energía deberá de regresar despúes de un tiempo, T_r, a estar tan cerca como se quiera de sus condiciones iniciales. Este es un resultado fundamental que debiera ser más conocido por los estudiantes de física.

Descriptores: Poincaré y la mecánica clásica; métodos cualitativos; teorema de la recurrencia.

 

Abstract

This work commemorates the 101^th anniversary of Henri Poincaré's death. We pinpoint his main contributions to classical mechanics while enlivening the discussion with a brief remembrance of his academic career. We employ a physical pendulum for illustrating his techniques for analysing properties of solutions to differential equations without actually solving them. We next use an elastic pendulum for exhibiting how Poincaré maps allow us to distiguish the periodic from the chaotic solutions, a type of solutions which Poincaré himself discovered while studying the famous three body problem. We also give a heuristic proof of his extraordinary recurrence theorem according to which every bound solution of a conservative dynamical system should return, after a time, T_r, to be as close as we like to its initial conditions. We regard this as a very important result that ought to be known by all physics students.

Keywords: Poincaré and classical mechanics; qualitative methods; recurrence theorem.

PACS: 01.65.+g; 01.55.+b

 

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