Enseñanza

El oscilador repulsivo

Kurt Bernardo Wolf

Instituto de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 48—3 Cuernavaca, 62251 Morelos, México.

Recibido el 26 de agosto de 2009
Aceptado el 1 de diciembre de 2009

Resumen

El oscilador repulsivo se caracteriza por tener un potencial que actúa como barrera; es de los pocos sistemas cuánticos cuya solución es explícita. Muestra varios aspectos interesantes debido a que la barrera de potencial separa sus estados en aquellos que clásicamente libran la barrera por tener energía positiva, de aquellos con energía negativa, los cuales parcialmente se reflejan y parcialmente se trasmiten a través de ella. El espectro de energías es doble, pues los estados se pueden mover a la derecha o la izquierda. Aquí analizamos este sistema en su espacio fase cuántico mediante la función de Wigner y con la estrategia de usar matrices de 2 × 2 para encontrar su evolución en el tiempo, factorizándola en una transformación geométrica y una dinámica.

Descriptores: Oscilador repulsivo; transformadas canónicas; función de Wigner.

Abstract

The repulsive oscillator is characterized for having a potential that acts as a barrier; it is one of the few quantum systems whose solution is explicit. It shows several interesting aspects due to the potential barrier which separates its states into those that classically surmounts the barrier for having positive energy, from those with negative energy, which partially reflect and partially transmit through it. The energy spectrum is double, since the states can move to the right or to the left. Here we analyze this system in quantum phase space through the Wigner function, with the strategy of using 2 × 2 matrices to find the time evolution, factorizing it into a geometric and a dynamical transformation.

Keywords: Repulsive oscillator; inverted oscillator; canonical transforms; Wigner function.

PACS: 02.30.Qy; 03.65.Fd

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Agradecimientos

Agradezco al Quím. Guillermo Krötzsch (ICF–UNAM, Cuernavaca) por su apoyo imprescindible con las figuras, y el apoyo recibido de los proyectos Óptica Matemática PAPIIT–UNAM IN–105008 y SEP–CONACYT 79899.

Referencias

1. L.D. Landau y E.M. Lifshits, Quantum Mechanics (Pergamon Press, Londres, 1958).        [ Links ]

2. E.G. Kalnins y W. Miller Jr., J. Math. Phys. 15 (1974) 1728.        [ Links ]

3. W. Miller Jr., Symmetry Groups and Separation of Variables Vol. 4, Ed. por G.–C. Rota (Addison–Wesley, Reading, Mass., 1977).        [ Links ]

4. N. Ja. Vilenkin y A.U. Klimyk, Representation of Lie Groups and Special Functions / (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991).        [ Links ]

5. K.B. Wolf, J. Math. Phys 17 (1976) 601.        [ Links ]

6. K.B. Wolf, J. Math. Phys. 18 (1977) 1046.        [ Links ]

7. D. Basu y K.B. Wolf, J. Math. Phys. 23 (1982) 189.        [ Links ]

8. G. Barton, Ann. Phys. 166 (1986) 322.        [ Links ]

9. N.L. Balazs y A. Voros, Ann. Phys. 199 (1990) 123.        [ Links ]

10. S. Baskoutas, A. Jannussis, R. Mignani y V. Papatheou, J. Phys. A 26 (1993) L819.        [ Links ]

11. E.J. Heller, J. Chem. Phys. A 103 (1999) 10433.        [ Links ]

12. I.A. Pedrosa y I. Guedes, Int. J. Mod. Phys. B 18 (2004) 1379.        [ Links ]

13. H.J.W. Müller–Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics (World Scientific, Singapur, 2006).        [ Links ]

14. C. Yuce, A. Kilic y A. Coruh, Phys. Scr. 74 (2006) 114.        [ Links ]

15. K.B. Wolf, Integral Transforms in Science and Engineering (Plenum Publ. Corp., Nueva York, 1979).        [ Links ]

16. R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Wiley, Nueva York, 1974).        [ Links ]

17. M. Moshinsky y C. Quesne, J. Math. Phys. 12 (1971) 1772.        [ Links ]

18. K.B. Wolf, J. Math. Phys. 15 (1974) 1295.        [ Links ]

19. B. Mielnik y J. Plebanski, Ann. Inst. H. Poincaré A 12 (1970) 215.        [ Links ]

20. I.M. Gel'fand et al., Generalized Functions (5 volúmenes) (Academic Press, Nueva York, 1964).        [ Links ]

21. I.S. Gradshteyn y I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products 6ª Ed. (Academic Press, San Diego, 2000).        [ Links ]

22. M. Abramowitz y I.A. Stegun Eds., Handbook of Mathematical Functions (National Bureau of Standards, 1964).        [ Links ]

23. E.P. Wigner, Phys. Rev. 40 (1932) 749.        [ Links ]

24. M. Hillery, R.F. O'Connell, M.O. Scully y E.P. Wigner, Phys. Rep. 259 (1995) 147.        [ Links ]

25. G. García Calderón y M. Moshinsky, J. Phys. A 13 (1980) L185.        [ Links ]