Enseñanza

Fractional Brownian motion in DNA sequences of bacterial chromosomes: a renormalization group approach

M.V. José, T. Govezensky, and J.R. Bobadilla

Theoretical Biology Group, Instituto de Investigaciones Biomédicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, 04510, D.F., México, Tel.:/Fax: 01–52–55–5622–3894, e–mail: marcojose@biomedicas.unam.mx

Recibido el 29 de junio de 2009
Aceptado el 2 de febrero de 2010

Abstract

A renormalization group (RG) approach shows that the relative dispersion of the distance series of a triplet for each half of most bacterial chromosomes follows an inverse power–law as a function of the window size in a log–log plot. These straight lines indicate that when each half of the bacterial chromosome is analysed a random monofractal is obtained. With this approach, inverse bilateral symmetry of some triplets in the 4 bacterial chromosomes analyzed is also illustrated. Thus, DNA sequences of whole bacterial genomes contain both long–range correlations and random components. In particular the RG approach captures a harmonic modulation of the underlying inverse power–law. The frequency distributions of distances of triplets are also analyzed and they exhibit an oscillatory decaying pattern that displays the well–known 3–base periodicity. It is concluded that the DNA fluctuations of the distance series of triplets are not completely random, like Brownian motion, nor are they the result of processes with short–term correlations. Instead, the inverse power–law reveals that the DNA distance series at any position is influenced by fluctuations that occurred hundreds or thousands of bases apart. This behavior is a consequence of the fractional Brownian nature of the distance series of DNA.

Keywords: Frequency distributions of distances of triplets; bacterial chromosomes; statistical properties of DNA distance series; renormalization group approach; scaling exponents; Hurst exponent.

Resumen

El enfoque del grupo de renormalización (RG) muestra que la dispersión relativa de una serie de distancias de tripletes para cada mitad de los cromosomas bacterianos sigue una ley de potencia inversa en función del tamaño de la ventana en una grafica log–log. Estas líneas rectas indican que cuando la mitad de cada cromosoma bacteriano es analizado se obtiene un monofractal. Con este método se ilustra que ciertos pares de tripletes exhiben una simetría bilateral inversa en las 4 bacterias estudiadas. Asimismo, las secuencias de ADN de los genomas de bacterias en su conjunto contienen correlaciones de largo alcance y componentes aleatorios. En particular, el enfoque RG captura una modulación armónica de las leyes de potencia inversa. Se analizan también las distribuciones de frecuencias de las distancias de tripletes y se presenta un patrón oscilatorio que muestra la conocida periodicidad de 3. Se concluye que las fluctuaciones de las series de distancia de tripletes del ADN no son al azar, como en el movimiento Browniano, ni son el resultado de correlaciones de procesos a corto plazo. Por el contrario, la forma de las leyes de potencia inversa revela que la serie de distancias en cualquier posición se ve influida por fluctuaciones que tuvieron lugar a cientos o miles de bases de separación. Este comportamiento es consecuencia de la naturaleza fractal browniana de las series de distancias de tripletes en las secuencias de ADN.

Descriptores: Distribución de frecuencias de distancias de tripletes; cromosomas bacterianos; propiedades estadísticas de series de distancias de ADN; renormalización de grupos; exponentes de escalamiento; exponentes de Hurst.

PACS: 87.10.+e; 05.40.+J

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Acknowledgments

M.V. José was financially supported by PAPIIT IN205307, UNAM, México and by the Macroproyecto de Tecnologías para la Universidad de la Información y la Computación (MTUIC).

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