Enseñanza

Solución de la ecuación de onda como un problema de valores iniciales usando diferencias finitas

F.S. Guzmán

Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Edificio C–3, Cd. Universitaria, 58040 Morelia, Michoacán, México.

Recibido el 25 de junio de 2009
Aceptado el 13 de abril de 2010

Resumen

Se presenta la solución de la ecuación de onda como ejemplo paradigmático de la solución de problemas de valores iniciales con condiciones de frontera usando la aproximación de diferencias finitas. Primero se desarrolla una solución elemental y una discretización directa a manera de introducción. Posteriormente se resuelve la ecuación de onda como un sistema de primer orden, se estudia la hiperbolicidad del sistema de ecuaciones resultante, se calculan los modos y velocidades características del sistema y se imponen condiciones de frontera en términos de las variables características. Se adopta el método de líneas como esquema de evolución. Además se hace especial énfasis en que los resultados numéricos necesitan un criterio de validez. En el caso de la aproximación con diferencias finitas de una ecuación diferencial parcial se presenta la convergencia a una solución correcta en el límite continuo. Finalmente, se espera que este trabajo sirva de guía para la correcta solución de problemas de valores iniciales con condiciones de frontera en general.

Descriptores: Métodos de diferencias finitas; técnicas computacionales; ecuación de onda.

Abstract

The solution of the wave equation is presented as the paradigm of the solution of initial value problems with boundary conditions using the finite differences approximation. First, it is developed an elementary solution and a direct discretization in order to introduce the method. Second, the wave equation is solved as a system of first order, the hyperbolicity properties of the resulting system of equations is studied, the characteristic variables and characteristic speeds of the system are calculated and boundary conditions are imposed in terms of the characteristic variables. In this case the method of lines is used as the evolution scheme. Special attention is devoted to the fact that numerical calculations require a criterion to be valid. In the case of the approximation using finite differences of a partial differential equation, the convergence to a correct solution in the continuum limit is presented as such criterion. Finally, it is expected that this manuscript serves as a guide to solve correctly other initial value problems with boundary conditions.

Keywords: Finite differences method; computing techniques; wave equation.

PACS: 02.60.Bf; 02.70.–c

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Agradecimientos

El autor agradece a Alejandro Cruz Osorio, Fabio D. Lora Clavijo y a Jesús M. Rueda Becerril por haber hecho observaciones importantes que mejoraron el texto. Este trabajo recibe apoyo parcial de los proyectos CIC–UMSNH–4.9 y CONACyT 106466.

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