Enseñanza

Quantum confinement particle in a 2D quadrupole potential

A. Reyes^a, J. Adrián Reyes^b, G.J. Vázquez^b, and M. del Castillo–Mussot^b

^a Departamento de Recuperación de Hidrocarburos Eje Central Lázaro Cárdenas Norte 152, San Bartolo Atepehuacan, 07730, D.F.

^b Departamentos de Estado Sólido y Física–Química, Instituto de Física Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 20–364, México 01000 D.F. México.

Recibido el 30 de septiembre de 2009
Aceptado el 20 de abril de 2010

Abstract

We analytically solve the Hamiltonian for a quantum particle confined in a cylindrical hard–wall well, subject to the action of a two–dimensional quadrupolar potential at the well center. The angular part of the wavefunction is expressed by Mathieu functions whose angular eigenenergies take negative values when the quadrupolar momentum is above a certain threshold. We show that in this case, the radial part of the eigenfunctions is expressed in terms of Bessel functions of an imaginary order which are imaginary–value functions whose phases are not well defined at the origin. However, the density of probability is well defined everywhere and the wave function satisfies hard–wall boundary conditions for any value of the parameters involved. We discuss an alternative criterion for determining the eigenenergies of the system based on the expected value of the symmetrized radial momentum.

Keywords: Quadrupolar potential; quantum confinement.

Resumen

Se resuelve analíticamente el hamiltoniano para una partícula confinada en un pozo cilíndrico de paredes duras, sujeto a la acción de un potencial cuadrupolar bidimensional en el centro del pozo. La parte angular de la función de onda es escrita en términos de funciones de Mathieu cuyas energías propias toman valores negativos cuando el momento cuadrupolar está encima de cierto umbral. Se demuestra en este caso que la parte radial puede ser expresada en términos de las funciones de Bessel de orden complejo cuyas fases no están bien definidas en el origen. Sin embargo, la densidad de la probabilidad está bien definida en todos lados y la función de onda satisface las condiciones de frontera para cualquier valor de los parámetros involucrados. Se discute un criterio alternativo para determinar las energías propias del sistema basado en el valor esperado del momento radial simetrizado.

Descriptores: Potencial cuadrupolar; confinamiento cuántico.

PACS: 52.58.Qv

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