Enseñanza

An alternative solution to the general tautochrone problem

R. Gómezª, V. Marquinaª and S. Gómez–Aíza^b

ª Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, Av. Universidad 3000. México D.F., 04510, México, e–mail: rgomez@servidor.unam.mx, marquina@servidor.unam.mx

^b Escuela Nacional Preparatoria 6, Antonio Caso, Universidad Nacional Autónoma de México, Corina 3, México, D.F., 04100 México, e–mail: sandrajosa@yahoo.com

Recibido el 3 de julio de 2008
Aceptado el 2 de septiembre de 2008

Abstract

In 1658, Blaise Pascal put forward a challenge for solving the area under a segment of a cycloid and also its center of gravity. In 1659, motivated by Pascal challenge, Huygens showed experimentally that the cycloid is the solution to the tautochrone problem, namely that of finding a curve such that the time taken by a particle sliding down to its lowest point, under uniform gravity, is independent of its starting point. Ever since, this problem has appeared in many books and papers that show different solutions. In particular, the fractional derivative formalism has been used to solve the problem for an arbitrary potential and also to put forward the inverse problem: what potential is needed in order for a particular trajectory to be a tautochrone? Unfortunately, the fractional derivative formalism is not a regular subject in the mathematics curricula for physics at most of the Universities we know. In this work we develop an approach that uses the well–known Laplace transform formalism together with the convolution theorem to arrive at similar results.

Keywords: Tautochrone; Laplace transform; convolution theorem.

Resumen

En 1658, Blaise Pascal lanzó el reto de determinar el área debajo de la curva de un segmento de cicloide, así como su centro de gravedad. En 1659, motivado por el reto de Pascal, Huygens demuestra experimentalmente que la cicloide es la solución al problema de la tautócrona, es decir, al problema de encontrar una curva tal que, si una partícula engarzada en ella se mueve por la acción del campo gravitacional uniforme, su tiempo de descenso es independiente de la posición inicial. Desde entonces, este problema ha sido tratado en muchos libros y artículos con diferentes soluciones. En particular, el formalismo de derivadas fraccionales ha sido utilizado para resolver el problema en el caso de un potencial arbitrario así como el problema inverso: ¿qué potencial se requiere para que una trayectoria, en particular, sea una tautócrona? Desafortunadamente, el formalismo de derivadas fraccionales no forma parte de la curricula de la carrera de Física de muchas de las Universidades que conocemos. En este trabajo desarrollamos un cálculo que utiliza el bien conocido formalismo de la transformada de Laplace, que junto con el teorema de convolución, nos lleva a resultados similares.

Descriptores: Tautócrona; transformada de Laplace; teorema de convolución.

PACS: 45.20.–d; 02.30.Uu

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References

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