Enseñanza

n–order perturbative solution of the inhomogeneous wave equation

H. Yépez–Martínezª, A. Porta^b and E. Yépez^b

ª Universidad Autónoma de la Ciudad de México, Prolongación San Isidro 151, Col. San Lorenzo Tezonco, Del. Iztapalapa, 09790 México D.F., Mexico.

^b Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 70–543, México 04510 D.F

Recibido el 11 de diciembre de 2007
Aceptado el 4 de julio de 2008

Abstract

The exact solution of the inhomogeneous wave equation in one dimension, when the square of the velocity is a linear function of the position, can be written in terms of Bessel functions of the first kind. We use this solution as the zero order approximation for a perturbation expansion and apply it to the case when the square of the velocity can be written as a polynomial in the position. The first and second order perturbation terms, corresponding to quadratic and cubic terms for the square of the velocity, are obtained. A closed formula for the n–order correction in terms of integrals of the Bessel functions of the first kind was also explicitly obtained, this expression can be solved analytically for the first and second order corrections and numerically for higher terms.

Keywords: Inhomogeneous media; perturbation theory; wave propagation.

Resumen

La solución exacta de la ecuación de onda inhomogénea en una dimensión, cuando el cuadrado de la velocidad es una función lineal de la posición, puede escribirse en términos de las funciones Bessel de primera especie. Usamos esta solución como la aproximación de orden cero de un desarrollo perturbativo y lo aplicamos al caso cuando el cuadrado de la velocidad puede escribirse como un polinomio de grado n. Obtuvimos explícitamente las perturbaciones de primer y segundo orden correspondientes a los términos cuadráticos y cúbicos para el cuadrado de la velocidad. También se encontró una expresión cerrada para la corrección a orden n en terminos de integrales de funciones Bessel de primera especie; esta puede resolverse analíticamente para el primer y segundo orden y numéricamente para ordenes superiores.

Descriptores: Medios inhomogéneos; teoría de perturbaciones; propagación de ondas.

PACS: 04.25.Nx; 42.25Bs; 41.20Jb

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References

1. K.F. Graff, Wave Motion in Elastic Solids (Dover, N.Y., 1991).        [ Links ]

2. J.W.S. Rayleigh, Proc. London Math. Soc. 11 (1880) 51.        [ Links ]

3. V.L. Ginzburg, Electromagnetic waves in a plasma (Pergamon, N.Y., 1967).        [ Links ]

4. A.B. Shvartsburg, G. Petite, and P.J .Hecquet, J. Opt. Coc. Am. A 17 (2000) 2267.        [ Links ]

5. S. Mehdi and M. Sahimi, Phys. Rev, Lett. 96 (2006) 075507.        [ Links ]

6. D. van Manen and J.O.A. Robertsson, Phys Rev Lett. 94 (2005) 164301.        [ Links ]

7. Y.L. Li, C.H. Liu, and S.J. Franke, J. Acoust. Soc. Am. 87 (1990) 2285.        [ Links ]

8. W.H. Southwell, Appl. Opt. 24 (1985) 457.        [ Links ]

9. S. Menon, Q. Su, and R. Grobe, Phys. Rev. E 67 (2003) 046619.        [ Links ]

10. B.J. McCartin, J. Acoust. Soc. Am. 102 (1997) 160.        [ Links ]

11. B.J. McCartin, IEEE Micro. Wave Guid Wav Lett. 6 (1996) 354.        [ Links ]

12. M. Broun, Differential Equations and Their Applications (Springer–Verlag, New York, 1983).        [ Links ]

13. M. Abramowitz and A.I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, N.Y., 1965).        [ Links ]