Enseñanza

On second–order mimetic and conservative finite–difference discretization schemes

S. Rojasª and J.M. Guevara–Jordan^b

ª Departamento de Física, Universidad Simón Bolívar, Venezuela e–mail: srojas@usb.ve

^b Departamento de Matemáticas, Universidad Central de Venezuela, Venezuela e–mail: juan.guevara@ciens.ucv.ve

Recibido el 24 de agosto de 2007
Aceptado el 30 de enero de 2008

Abstract

Although the scheme could be derived on the grounds of a relatively new numerical discretization methodology known as Mimetic Finite–Difference Approach, the derivation of a second–order mimetic finite difference discretization scheme will be presented in a more intuitive way, using Taylor expansions. Since students become familiar with Taylor expansions in earlier calculus and mathematical methods for physicist courses, one finds this approach of presenting this new discretization scheme to be more easily handled in courses on numerical computations of both undergraduate and graduated programs. The robustness of the resulting discretized equations will be illustrated by finding the numerical solution of an essentially hard–to–solve, one–dimensional, boundary–layer–like problem, based on the steady diffusion equation. Moreover, given that the presented mimetic discretization scheme attains second–order accuracy in the entire computational domain (including the boundaries), as a comparative exercise the discretized equations can be readily applied in solving examples commonly found in texbooks on applied numerical methods and solved numerically via other discretization schemes (including some of the standard finite–diffence discretization schemes).

Keywords: Mimetic discretizations; finite difference; partial differential equations; diffusion equation; Taylor expansions; boundary layer.

Resumen

Aunque la derivación del esquema se puede realizar usando la reciente metodología de discretización numérica conocida como Diferencias Finitas Miméticas, estaremos presentando la derivación de un esquema de discretización mimético en diferencias finitas de segundo orden en una forma mas intuitiva, mediante el uso de expansiones de Taylor. Considerando que los estudiantes se familiarizan con expansiones de Taylor en los primeros cursos de cálculo y métodos matemáticos para físicos, pensamos que la presente alternativa de presentar este nuevo esquema de discretización es más favorable de ser asimilada en cursos de computación numérica tanto de pregrado como de postgrado. La robusticidad del esquema será ilustrada encontrando la solución numérica de un problema unidimensional del tipo capa límite difícil de resolver en forma numérica y que se basa en la ecuación de difusión estacionaria. Más aun, dado que el esquema de discretización alcanza segundo orden de precisión en todo el dominio computacional (incluyendo las fronteras), como ejercicio comparativo el mismo puede ser rápidamente aplicado para resolver ejemplos comúnmente encontrados en textos sobre métodos numéricos aplicados y que se resuelven usando otras metodologías numéricas (incluyendo algunos esquemas de discretización en diferencias finitas).

Descriptores: Discretizaciones miméticas; diferencias finitas; ecuaciones diferenciales parciales; ecuación de difusión; expansiones de Taylor; capa límite (boundary layer).

PACS: 02.50.Ey; 82.20.Wt; 83.10.Pp; 83.10.Rs

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References

1. S. Steinberg, Comput. Meth. Appl. Math. 4 (2004) 228.        [ Links ]

2. F. Gibou and R. Fedkiw, J. Comput. Phys. 202 (2005) 577.        [ Links ]

3. M. Shashkov, Conservative Finite–Difference Methods on General Grids (CRC Press, 2001).        [ Links ]

4. J.E. Castillo, J.M. Hyman, M.J. Shashkov, and S. Steinberg, Appl. Numer. Math. 37 (2001) 171.        [ Links ]

5. M. Lipnikov Shashkov and D. Svyatskiy, J. Comput. Phys. 211 (2006) 473.        [ Links ]

6. J.E. Castillo and R.D. Grone, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 252 (2003) 128.        [ Links ]

7. J.M. Guevara–Jordan, S. Rojas, M. Freites–Villegas, and J.E. Castillo, Divulgaciones Matemáticas 13 (2005) 107.        [ Links ]

8. J.M. Guevara–Jordan, S. Rojas, M. Freites–Villegas, and J.E. Castillo, Advances in Difference Equations (2007) 12303:1–12, www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/2007/12303        [ Links ]

9. N. Robidoux, Numerical Solution of the Steady Diffusion Equation with Discontinuous Coefficients, Ph.D. Dissertation, University of New Mexico, Albuquerque, NM, 2002.        [ Links ]

10. W.F. Ames, Numerical Methods for Partial Differential Equations, Third edition, 1993.        [ Links ]

11. O. Montilla, C. Cadenas, and J.E. Castillo, To appear in IMACS J. of Appl. Num. Math.        [ Links ]