Enseñanza

Brownian motion in a magnetic field and in the presence of additional external forces

J.I. Jiménez–Aquinoª, M. Romero–Bastida^b, and A.C. Pérez–Guerrero Noyolaª

ª Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Apartado Postal 55–534, C.P. 09340, México, D.F., México, e–mail: ines@xanum.uam.mx, apgn@xanum.uam.mx

^b Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de Morelos, Avenida Universidad 1001, Chamilpa, Cuernavaca Morelos 62209, México, e–mail: rbm@xanum.uam.mx

Recibido el 14 de agosto de 2007
Aceptado el 12 de febrero de 2008

Abstract

Our purpose in this paper is to solve exactly the Fokker–Planck–Kramers equation of a charged particle (heavy–ion) embedded in a fluid and under the influence of mechanical and electromagnetic forces. In this work the magnetic field is assumed to be constant and pointing along any direction of a Cartesian reference frame; the mechanical and electrical forces are both space–independent, but in general time–dependent. Our proposal relies upon two transformations of the Langevin equation associated with the charged particle's phase–space (r, u). The first one is a fixed rotation which transforms the (r, u)–coordinates into other (r', u')–coordinates, and makes it possible to re–orientate the magnetic field along an appropriate direction (say along the z'–axis). The second one is a time–dependent rotation which transforms the (r', u')–coordinates into other (r", u")–coordinates, in which the resulting Langevin equation strongly resembles that of ordinary Brownian motion in the presence of external forces. Under these circumstances, the Fokker–Planck–Kramers equation can immediately be solved in the (r", u") phase–space, following our methodology developed in Ref. [Phys. Rev. E 76 (2007) 021106].

Keywords: (FP) Fokker–Planck; (FPK) Fokker–Planck–Kramers.

Resumen

Nuestro proposito en este artículo consiste en resolver de manera exacta la ecuacion Fokker–Planck–Kramers de una partícula con carga eléctrica (ion pesado) inmersa en un fluido y bajo la influencia de fuerzas mecánica y electromagnética. En este trabajo se supone que el campo magnético constante apunta en cualquier dirección de un sistema de referencia Cartesiano; las fuerzas mecánica y eléctrica son ambas independientes de la posición pero en general dependientes del tiempo. Nuestra propuesta se basa en dos transformaciones de la ecuación de Langevin asociada al espacio fase (r, u) de la partícula cargada. La primera, es una rotación fija que transforma las coordenadas (r, u) en otro sistema de coordenadas (r', u'), la cual permite una re–orientación del campo magnético a lo largo de una dirección apropiada (digamos a lo largo del eje z'). La segunda, es una rotación que depende del tiempo, la cual transforma las coordenadas (r', u)' en otro sistema de coordenadas (r", u") donde la ecuacion de langevin resultante es muy semejante a la del movimiento Browniano ordinario en presencia de fuerzas externas. En estas circunstancias, la ecuación de Fokker–Planck–Kramers se puede resolver de forma inmediata en el espacio fase (r", u"), siguiendo nuestra metodología desarrollada en la Ref. [Phys. Rev. E 76 (2007) 021106].

Descriptores: (FP) Fokker–Planck; (FPK) Fokker–Planck–Kramers.

PACS: 05.40.–a; 02.50.–r

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Acknowledgments

Financial support from PROMEP under grant No. UAM–I–CA–45 is gratefully acknowledged.

References

1. J.I. Jiménez–Aquino and M. Romero–Bastida, Phys. Rev. E 76 (2007) 021106.        [ Links ]

2. T.P. Simões and R.E. Lagos, Physica A 355 (2005) 274.        [ Links ]

3. R. Czopnik and P. Garbaczewski, Phys. Rev. E 63 (2001) 021105.        [ Links ]

4. L. Ferrari, J. Chem. Phys. 118 (2003) 11092.        [ Links ]

5. I. Holod, A. Zagorodny, and J. Weiland, Phys. Rev. E 71 (2005) 046401.        [ Links ]

6. J. I. Jiménez–Aquino and M. Romero–Bastida, Rev. Mex. Fís. E 52 (2) (2006) 182.        [ Links ]

7. S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943).        [ Links ]

8. L. Ferrari, Physica A 163 596–614 (1990).        [ Links ]

9. H. Risken, The Fokker–Planck equation: Methods of solution and Applications (Springer–Verlag, Berlin, 1984).        [ Links ]