Enseñanza

The elastic rod

M.E. Pacheco Q.ª and E. Piña^b

ª Departamento de Física, Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional, U.P. Adolfo López Mateos, Zacatenco, México, D.F., 07738 México, e–mail: mario@esfm.ipn.mx

^b Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana – Iztapalapa Apartado postal 55 534, México, D. F., 09340 México, e–mail: pge@xanum.uam.mx

Recibido el 12 de enero de 2007
Aceptado el 4 de mayo de 2007

Abstract

The form of an elastic rod in equilibrium subject to a buckling by the action of two opposite forces at its ends is explicitly calculated and drawn. The full expression for the radius of curvature in the equation of the beam is considered. It is known that the differential equation describing the form of the rod, written in terms of the arc length and the angle that forms the tangent line to the curve with the horizontal axis of coordinates, is exactly the same one finds in describing the dynamics of great amplitude oscillations of a simple pendulum. This equation is solved exactly in terms of Jacobi's elliptic functions. The solutions are drawn by using in iterated form the addition formulas of those functions. Useful relations among the physical constants of the system and the geometric parameters of the rod are also obtained.

Keywords: Elastic rod; Jacobian functions; iterated drawing

Resumen

Se calcula explícitamente y se dibuja la forma que toma el pandeo de una varilla elástica sujeta a la acción de dos fuerzas opuestas en sus extremos. Se considera la expresión completa del radio de curvatura en la ecuación de la vigueta. Se sabe que la ecuación diferencial que describe la forma de la varilla elástica, escrita en función de la longitud de arco y del ángulo que forma la línea tangente a la curva con el eje horizontal es exactamente la misma que se encuentra en la descripción de la dinámica de grandes oscilaciones del péndulo simple. Dicha ecuación se resuelve en términos de funciones elípticas de Jacobi. Las soluciones se dibujan mediante el uso iterado de las formulas de adicion de esas funciones. Se encuentran también relaciones útiles entre las constantes físicas del problema y los parámetros geométricos de la varilla.

Descriptores: Varilla elástica; funciones jacobianas.

PACS: 46.25.–y 46.70.Lk 02.30.Gp 02.40. Yy

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References

1. R. Feynman and R.B. Leighton, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, Addison Wesley, (1964).        [ Links ]

2. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Theory of Elasticity, 2nd ed., Pergamon Press, (1970).        [ Links ]

3. S.P Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, 2nd ed., Mc Graw–Hill, (New York, 1951);         [ Links ] A.E.H. Love, A treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Cambridge University Press, (1944);         [ Links ]R.L. Bisplinghoff, J.W. Mar, and T.H.H. Pian, Statics of Deformable Solids (Dover, 1990).        [ Links ]

4. E.T. Whittaker and G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, 4th ed., Cambridge University Press, (1965).        [ Links ]

5. M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, 1965).        [ Links ]