Enseñanza

Animaciones en Matlab y maple de ecuaciones diferenciales parciales de la física–matemática

G.M. Ortigoza Capetillo

Facultad de Matemáticas, Universidad Veracruzana, Zona Universitaria, Apartado Postal 270, 91090 Xalapa, Ver. e–mail: gortigoza@uv.mx

Recibido el 22 de mayo de 2006
Aceptado el 23 de agosto de 2006

Resumen

En este trabajo se presentan soluciones exactas de ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo; estas soluciones son de la forma u(x, t), con x Rⁿ, n = 1,2,3. Las gráficas de las soluciones a diferentes tiempos permiten la creación de animaciones de las soluciones. Se muestra de manera general la forma de crear animaciones en Maple y Matlab. Estas animaciones pueden utilizarse como herramienta didáctica para presentar fenómenos físicos como son: la propagación de ondas de un medio a otro, superposición de ondas, difusión, etc; así mismo pueden usarse para despertar el interés de los estudiantes por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones. Para las animaciones se eligió un subconjunto importante de ecuaciones de la física matemática, entre las que se cuentan: la ecuación del transporte, la ecuación de ondas (vibración de cuerdas y membranas, problema de transmisión), las ecuaciones de Klein Gordon, Korteweg de Vries (no lineal), del calor y de Maxwell. Brevemente se describen algunas de las técnicas de solución analítica de edps como son: escalamiento, método de características, separación de variables, etc. Más aun, el contar con soluciones analíticas puede ser útil para la verificación de implementaciones numéricas.

Descriptores: Enseñanza de la física; herramientas didácticas; ecuaciones diferenciales parciales.

Abstract

In this work we present some exact solutions of time dependent partial differential equations (pdes); these solutions have the general form u(x, t), with x Rⁿ, n = 1, 2, 3. The plots of the solutions at different times allow us to create animations of the solutions. We show in a general framework how to make animations in Maple and Matlab. These animations can be used as a didactic tool in order to introduce some physical phenomena such as: wave propagation, superposition, transmission from one medium to another, diffusion, etc. They can also be used to motive the students to the study of partial differential equations and its applications. A representative subset of differential equations of mathematical physics was chosen that includes: the transport equation, wave equation, heat equation and equations of Klein Gordon, Korteweg de Vries, and Maxwell. We briefly present some of the analytical methods for the solutions of pdes: scaling, characteristics and separation of variables. Finally exact solutions can be very useful for code testing in numerical implementations.

Keywords: Physics education; education aids; partial differential equations.

PACS: 02.30Jr; 01.40Fk; 01.50Fr; 01.50Ht

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Agradecimientos

Trabajo realizado con apoyo de proyecto Promep 103.5/05/1955.

Referencias

1. L.C. Evans, Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 1998).        [ Links ]

2. J D. Logan, Applied Partial Differential Equations (Springer–Verlag, Undergradute Texts in Mathematics, 1998).        [ Links ]

3. J. Cooper, Introduction to Partial Differential Equations with Matlab (Birkhauser, 1998).        [ Links ]

4. S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and engineers (Dover, 1993).        [ Links ]

5. P. Duchateau and D.W. Zachmann, Partial Differential Equations (Schaum's Outline series, McGraw–Hill,1986).        [ Links ]

6. I.P. Stavroulakis and S.A. Tersian, Partial Differential Equations: An Introduction with Mathematica and Maple (World Scientific Publishing Company, 2004).        [ Links ]

7. L. Elden, L. Wittmeyer–Koch, and H.B. Neilsen, Introduction to Numerical Computation – Analysis and MATLAB Illustrations (Studentlitteratur, 2004).        [ Links ]

8. M.L. Abell and J.P Braselton, Differential Equations with Mathematica (Elsevier Science & Technology Books, 2004).        [ Links ]

9. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, 1999).        [ Links ]

10. G. Ortigoza, The Runge–Kutta Discontinuous Galerkin method for Maxwell equations, Ph. D. thesis, 2003.        [ Links ]

11. K.A. Lonngren and Sava Savov Fundamentals of Electromagnetics with MATLAB (SciTech Publishing, Incorporated, 2005).        [ Links ]

12. F. Wang, Physics with MAPLE: The Computer Algebra Resource for Mathematical Methods in Physics (Wiley, John and Sons Incorporated, 2006).        [ Links ]

13. Gerd Baumann , Mathematica for Theoretical Physics: Classical Mechanics and Nonlinear Dynamics (Springer–Verlag New York, 2005).        [ Links ]

14. Maple 10 , user manual, maplesoft, 2005.        [ Links ]

15. J. Putz, Maple Animation (CRC Press, May 2003).        [ Links ]

16. D. Hanselman and B. Littlefield, Mastering Matlab 7, (Pearson/Prentice Hall, 2005).        [ Links ]