Introducción

En otro lugar hemos propuesto una unión del sistema Term Functor Logic (^{Sommers, 1967}, ¹⁹⁸⁴; Sommers y Englebretsen, 2000; ^{Englebretsen, 1987}, ¹⁹⁹⁶; ^{Englebretsen y Sayward, 2011}) con la silogística intermedia (^{Peterson, 1979}; ^{Thompson, 1982}). Dicha unión estaba motivada porque la lógica de términos functoriales (TFL, por Term Functor Logic) ofrece una aproximación algebraica para la silogística que, desafortunadamente, no modela casos de razonamiento en lenguaje natural con cuantificadores no-clásicos como “muchos,” “la mayoría,” o “pocos;” mientras que, por otro lado, la silogística intermedia extiende el alcance de la silogística mediante la adición de cuantificadores no-clásicos pero carece de un tratamiento algebraico. De la unión de estos sistemas resultó la lógica de términos functoriales intermedia (TFL⁺, por Intermediate Term Functor Logic), un sistema capaz de modelar inferencia silogística con las ventajas de un enfoque algebraico (i.e., la reducción de conjunto de reglas complejas a un sistema simple, formal y unificado) y las ventajas de una teoría silogística con cuantificadores no-clásicos (i.e., la evaluación de una amplia gama de patrones inferenciales en lenguaje natural que extiende las capacidades de la silogística apodíctica tradicional).

Adicionalmente, en otro trabajo hemos propuesto un método analítico de árboles para el sistema TFL (^{Castro-Manzano y Reyes-Cárdenas, 2018}). Este método de árboles estaba motivado porque no existía un sistema de árboles para TFL capaz de preservar la riqueza expresiva y el poder inferencial del álgebra de Sommers y Englebretsen (cf. ^{D’Agostino, 2011}; Sommers y Englebretsen, 2000, p. 183ss; ^{Priest, 2008}). Esta propuesta resultó en un método de prueba que reduce el número de reglas de inferencia y preserva las capacidades expresivas e inferenciales de TFL para la silogística apodíctica, la silogística relacional y la lógica proposicional. Aprovechando estos resultados, en otro trabajo hemos desarrollado, a modo de síntesis, un método de árboles para la silogística intermedia usando las nociones del álgebra de TFL. El resultado fue un método analítico de árboles para el sistema TFL⁺ capaz modelar inferencia en lógica proposicional, silogística apodíctica, relacional e intermedia.

Pues bien, al reconsiderar los resultados anteriores y las propiedades de la lógica de términos numérica (NTL, por Numerical Term Logic) de ^{Murphree (1998)} observamos una conexión natural entre los trabajos mencionados previamente y NTL en la medida en que TFL y TFL⁺, como veremos, son sublógicas de NTL. Así pues, basados en esta conexión y en los avances previamente mencionados, en este trabajo ofrecemos un método analítico de árboles para el sistema NTL. El resultado, así, es un método analítico de árboles para la lógica proposicional, la silogística apodíctica, la silogística relacional, la silogística intermedia y, por supuesto, la silogística numérica. Para alcanzar este resultado procedemos de la siguiente manera: primero presentamos, de manera breve, los sistemas TFL y NTL (con especial énfasis en la silogística), posteriormente introducimos nuestra contribución y, al final, mencionamos algunos posibles usos de este método.

Los sistemas SYLL, TFL y NTL

Árboles para NTL

Como es usual, y siguiendo a (^{D’Agostino 2011}; ^{Priest, 2008}), decimos que un árbol es un grafo conectado acíclico definido por nodos y vértices. El nodo superior es la raíz. Los nodos inferiores son puntas u hojas. Cualquier camino desde la raíz hasta una punta es una rama. Para probar la validez de una inferencia se construye un árbol que comienza con una única rama cuyos nodos son premisas y la negación de la conclusión: esta es la lista inicial. Entonces se aplican las reglas que nos permiten extender la lista inicial:

El Diagrama 1 ilustra la regla para las proposiciones de tipo universal (i.e., aquellas cuyo primer término es “-”); el Diagrama 2, la regla para las proposiciones de tipo particular (i.e., aquellas cuyo primer término es “+”). Después de aplicar cada regla introducimos un índice i∈{1, 2, 3, …} y generamos un vector de valores v con el número n del término asociado. Para las proposiciones de tipo universal, el índice puede ser cualquier natural; para las proposiciones de tipo particular, el índice tiene que ser un nuevo natural si dichas proposiciones no tienen ya un índice asociado. El Diagrama 3 es una regla de ordenamiento para términos atómicos con signo “+”. Adicionalmente, y siguiendo los principios de TFL, asumimos las siguientes reglas de negación: −(±A) =∓A, −(±A±B)= ∓A∓B y −(−−A−−A)=+(−A)+(−A).

Como es costumbre, decimos que un árbol es completo si y sólo si toda regla que puede ser aplicada ha sido aplicada. Una rama es cerrada si y sólo si hay términos de la forma ±ⁿAⁱ y ∓ⁿAⁱ en dos de sus nodos; de otro modo es abierta. Una rama cerrada se indica escribiendo ⊥ en su punta; una rama abierta se indica escribiendo ∞. Un árbol es cerrado si y sólo si todas sus ramas son cerradas; de otro modo es abierta. Y por último, diremos que A es una consecuencia lógica de un conjunto de premisas Γ (i.e., Γ⊢A) si y sólo si existe un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye a Γ, la negación de A (i.e., Γ∪{−A}⊢⊥) y la sumatoria del vector de valores v=0. De acuerdo con esta propuesta, a continuación mostramos que el método funciona probando algunas de las inferencias válidas previamente mencionadas (Diags. 5, 6, 7 y 8).

Por último, bosquejamos en qué sentido este método de árboles es confiable.

Proposición 1. Toda inferencia NTL válida produce un árbol completo y cerrado con v=0.

Para justificar esta proposición consideremos que la estructura de una inferencia NTL válida puede ser de dos formas alternativas (Cuadro 14).

Ahora bien, además de estas dos Alternativas, tenemos que considerar dos casos, uno básico y uno inductivo. Para el caso base consideremos ambas Alternativas. Cuando en la Alternativa 1 tomamos n=m=0 y en la Alternativa 2 tomamos n=0 y m=1, NTL colapsa con TFL, en cuyo caso obtenemos simplemente árboles completos y cerrados de TFL.

Para el caso inductivo hay que considerar el caso cuando n=k y m=j. En tal caso, las Alternativas obtienen la siguiente estructura (Cuadro 15):

Es fácil ver que las alternativas 1’ y 2’ son NTL válidas: en ambos casos i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, ii) el número de conclusiones con cantidad particular (viz., cero o uno) es igual al número de premisas con cantidad particular y iii) o bien (a) el valor de una conclusión universal resulta de sumar los valores de las premisas universales (Alternativa 1’); o bien (b) el valor de una conclusión particular resulta de restar el valor de la premisa universal del valor de la premisa particular (Alternativa 2’). Ahora supongamos que estas alternativas también son válidas para n=k+1 y m=j+1 para números arbitrarios k, j>0. Entonces los árboles respectivos lucirían de la siguiente manera (Diagramas 9 y 10):

Proposición 2. Toda inferencia que produce un árbol completo y cerrado con v=0 es una inferencia NTL válida.

Para justificar esta proposición supongamos que existe una inferencia que produce un árbol completo y cerrado con v=0 pero que no es una inferencia NTL válida. Entonces existe un árbol completo y cerrado con v=0 cuya lista inicial incluye un conjunto de términos, digamos Γ, y la negación de la conclusión y v=0, pero de Γ no podemos construir una prueba de la conclusión usando las condiciones de validez de NTL, es decir, a partir de Γ, o bien la suma de las premisas no es algebraicamente igual a la conclusión, o el número de conclusiones con cantidad particular no es igual al número de premisas con cantidad particular, o bien el valor de una conclusión universal no es igual a la suma de los valores de las premisas universales y el valor de una conclusión particular no es igual a la diferencia de restar el valor de la premisa universal del valor de la premisa particular.

Sin pérdida de generalidad, consideremos las inferencias NTL válidas del Cuadro 14. Entonces tenemos dos Alternativas cuyas conclusiones son, respectivamente, -_n+m^Z±_e^{Y y +}_m^Z±_eY. Ahora, como el árbol es completo, las reglas para generar dicho árbol deben haber sido aplicadas; y como el árbol es cerrado y v=0, cada árbol debe ser de una de las siguientes siguientes formas (Diags. 11 y 12):

Supongamos, entonces, que tenemos una instancia del árbol del Diagrama 11 pero que su correspondiente inferencia no es válida, es decir, donde Γ⁺=Γ∪{+_n+mX∓_eY}, Γ⁺⊢⊥, pero la aplicación de las condiciones de inferencia de NTL a Γ no nos permite producir -_n+mX±_eY. Ahora bien, como el árbol del Diagrama 11 es completo, las puntas están cerradas, por lo que en nodos previos el árbol tiene que incluir algo de la forma -_m+nX±_eY o algo de la forma −_mZ±_eY y −_nX+_eZ, es decir, Γ={-_m+nX±_eY} o bien Γ={...,−_mZ±_eY, −_nX+_eZ, ...}. Pero si esto es así, en cualquiera de los dos casos, si aplicamos la condición i) a Γ obtenemos algo de la forma -X±_eY, y no al revés, por la condición ii); y por último, por la condición iii) (a), la conclusión tiene que ser algo de la forma -_m+nX±_eY para que la suma de los valores numéricos sea igual a 0. Pero esto contradice la suposición de que no podemos construir una prueba de tal conclusión usando las condiciones de inferencia de NTL. Lo mismo ocurre, mutatis mutandis, para el árbol del Diagrama 12. Así, Γ={+_mX±_eY} o bien Γ={...,−_nZ±_eY, +_m+nX+_eZ, …}. En cualquiera de los dos casos, si aplicamos la condición i) a Γ obtenemos algo de la forma +_mX±_eY, y no al revés, por la condición ii); y por último, por la condición iii) (b), la conclusión tiene que ser algo de la forma +_mX±_eY. Pero esto contradice la suposición de que no podemos construir una prueba de tal conclusión usando las condiciones de inferencia de NTL.

Conclusiones

En esta contribución hemos intentado ofrecer un método analítico de árboles para el sistema NTL de Murphree. Como consecuencia de esta meta podemos extraer las siguientes observaciones: a) el método de árboles que hemos propuesto evita la condición ii) de la regla de Sommers para de la silogística básica, a saber, que el número de premisas particulares debe ser igual al número de conclusiones particulares. Esto posibilita la aplicación general del método para cualquier número de premisas mayor o igual a dos. b) El método preserva el poder de TFL con respecto a inferencias relacionales, transformaciones de voz activa-pasiva, cambios asociativos y simplificaciones poliádicas, lo cual le da a este procedimiento una ventaja competitiva sobre (los árboles de) la lógica clásica de primer orden. c) El método preserva, además, el poder de TFL⁺ para lidiar con inferencias con cuantificadores no-clásicos subjetivos, lo cual le da una ventaja competitiva no sólo sobre (los árboles de) la lógica clásica de primer orden, sino sobre (los árboles de) TFL y TFL⁺. d) Debido a la peculiar álgebra de TFL, no necesitamos usar reglas de cuantificación ni skolemización, lo cual puede ser útil en relación con la programación lógica y la resolución (^{Castro-Manzano y Lozano-Cobos, 2018}; ^{Castro-Manzano, Lozano-Cobos y Reyes-Cárdenas, 2018}). e) El número de reglas de inferencia se reduce a un conjunto más pequeño, simple y uniforme de reglas que preserva las capacidades expresivas de TFL, TFL⁺ y NTL en diferentes contextos inferenciales⁹.

Por estas razones, creemos que este método no sólo es novedoso, sino también prometedor, no nada más como otra herramienta didáctica, sino como un dispositivo de investigación. Por ejemplo, consideramos que, por su naturaleza terminista, puede ser útil para modelar razonamiento modal en la medida que puede ser usado para representar la silogística modal, ya que esta es también una lógica de términos (cf. ^{Englebretsen, 1988}; ^{Thom, 2012}; ^{Rini, 1998}; ^{Malink, 2013}). También, por su naturaleza numérica, pensamos que puede servir para producir un modelo terminista de la silogística probabilística (cf. ^{Thompson, 1986}). Adicionalmente, en tanto que el método es visual, pensamos que encuentra un lugar natural dentro de un proyecto de razonamiento diagramático (cf. ^{Englebretsen, 1991}; ^{Englebretsen, 1996}).

Por otro lado, consideramos que este método nos podría ayudar a explorar nexos con la psicología, la inteligencia artificial y, por supuesto, la historia y la filosofía de la lógica. Con la psicología, en la medida en que el método puede usarse para aproximar una descripción psicológica más rica del razonamiento en lenguaje natural (cf. ^{Keil, 2005}; ^{Khemlani y Johnson-Laird, 2012}); con la inteligencia artificial, porque puede utilizarse para adaptar o modificar motores inferenciales para bases de datos aristotélicas (cf. ^{Mozes, 1989}; ^{Castro-Manzano y Lozano-Cobos, 2018}; ^{Castro-Manzano, Lozano-Cobos y Reyes-Cárdenas, 2018}); y con la historia y la filosofía de la lógica en tanto que promueve una revisión de las lógicas de términos (cf. ^{Veatch, 1970}; ^{Sommers, 1984}; ^{Englebretsen, 1996}; ^{Englebretsen y Sayward, 2011}) como herramientas que pueden ser más interesantes y poderosas de lo que originalmente podríamos creer (cf. ^{Carnap, 1930}; ^{Geach, 1962}; ^{Geach, 1980}).

Agradecemos a las y los árbitros anónimos por sus precisas correcciones y útiles comentarios, y al Fondo de Investigación UPAEP.