On the Weight Distribution of the Dual of some Cyclic Codes with Two Non Conjugated Zeros*

C.A. Vázquez–Fernández*¹, G. Vega–Hernández²

¹ Posgrado en Ciencia e Ingeniería de la Computación, Universidad Nacional Autónoma de México, 04510 México D.F., México *E–mail: cvazquez@uxrncc2.iirnas.unarri.rrix

² Dirección General de Cómputo y de Tecnologías de Información y Comunicación, Universidad Nacional Autónoma de México, 04510 México D.F., México. E–mail: gerardov@servidor.unam.mx

ABSTRACT

An important family of codes for error control in digital communications are the so–called cyclic codes; therefore, finding the weight distribution of a q–ary cyclic code C is not only a problem of theoretical interest, but also of practical importance. Typically, when the finite field _q is a prime field, the problem is handled by expressing the Hamming weight of each codeword in C by means of certain combination of exponential sums. In this work, we will present a new method for computing the weight distribution of the dual of some cyclic codes with two non conjugated zeros. As we will see, such distribution is also given by means of the evaluation of certain exponential sums, however, such evaluation is only needed to be done over a subset. Moreover, this method has the advantage of flexibility, in the sense that it can also be applied to cyclic codes over finite fields of non prime order.

Keywords: Coding theory, cyclic codes, weight distribution, linear recurring sequences, exponential sums.

RESUMEN

Una familia importante de códigos para el control de errores en comunicaciones digitales son los llamados códigos cíclicos; por lo tanto, encontrar la distribución de pesos de un código cíclico q–ario C, no sólo es un problema de interés teórico sino también tiene una importancia práctica. Típicamente, cuando el campo finito _q es un campo primo, el problema es manejado expresando el peso de Hamming de cada palabra de código en C por medio de cierta combinación de sumas exponenciales. En este trabajo, presentaremos un nuevo método para calcular la distribución de pesos del dual de algunos códigos cíclicos con dos ceros no conjugados. Como veremos, tal distribución esta dada también en términos de la evaluación de ciertas sumas exponenciales, sin embargo, tal evaluación será solamente necesaria sobre un subconjunto. Por otra parte, este método tiene la ventaja de la flexibilidad, en el sentido que puede también ser aplicado a códigos cíclicos sobre campos finitos de orden no primo.

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Nota

* Partially supported by PAPIIT–UNAM IN105611