1. Introducción

En el mundo de los derivados financieros, uno de los productos más demandados en el mercado son las opciones, que tienen la característica en ser contratos que dan el derecho a su propietario de comprar o vender un activo denominado subyacente en un tiempo determinado.

En el ejercicio de valorar las opciones, la literatura ha contado con diferentes modelos entre los que se destacan: B&S (1973), Heston (1993), Duan (1995), Binomial (1979) y el modelo de Difusión con saltos de Merton (1975).

B&S es uno de los modelos más utilizados por el mercado; sin embargo, este se caracteriza por ser un proceso determinista, es decir, no tiene la particularidad de explicar el precio de las opciones a explosiones abruptas generadas por una volatilidad ininterrumpida. Ante esta situación, surge el modelo Merton, el cual se caracteriza en explicitar los cambios abruptos denominados “saltos” que se pueden presentar en un momento determinado, originado o causado por la volatilidad vía escenarios de comportamiento mixto vías caídas y subidas repentinas. Usualmente este modelo descrito es usado, cuando los rendimientos subyacentes son discontinuos (^{Merton, 1976}); y por esta razón, es también es considerado en la literatura y en el mercado, como un instrumento para resolver problemas cuando se presentan “colas pesadas” en las distribuciones de los rendimientos.

En general, los modelos de difusión con saltos han sido una herramienta con gran aplicabilidad por parte del sistema financiero; en estos modelos, el proceso que siguen los precios resulta ser un movimiento browniano, y la probabilidad de movimientos en las acciones en grandes intervalos en el corto plazo resulta ser pequeña, debido a que los precios a corto plazo en las opciones “out of the money” son mucho más pequeños de lo que se observa en los mercados. Asimismo, si los precios de las opciones en acciones se les permite un salto incluso cuando el vencimiento de estas se da en el corto plazo, existe una probabilidad que después de este cambio las opciones estén “in the money”.

En cuanto a las operaciones de derivados, se pueden incluir uno o más instrumentos con el fin de realizar operaciones de cubrimiento en todo el mercado; sin embargo, es necesario identificar que la presencia de saltos en los precios en el mercado no permite un perfecto cubrimiento, y las opciones permiten de alguna manera a los agentes cubrirse frente a situaciones adversas mitigando el riesgo, que no puede ser cubierto con un solo activo subyacente (^{Venegas-Martínez, 2008}).

Desde una perspectiva de la gestión de riesgo, se ha corroborado que el uso de modelos de saltos es importante, ya que, su uso permite observar el riesgo del precio de los movimientos accionarios en pequeños intervalos de tiempo, los cuales no son previsibles en la llamada difusión (^{Tankov & Voltchkova, 1992}); por lo tanto, teniendo en cuenta el método de preservación del capital (CPPI) se observa que, al tomar desde el punto de vista matemático una proporción xt del riesgo del activo en el portafolio como xt=mVt-FtVt , siendo Vt el valor del portafolio, Ft el valor mínimo que puede tener este m un multiplicador, si el valor del portafolio tiende al valor mínimo Ft el riesgo se minimiza. En ese sentido, teniendo un modelo continuo, los portafolios nunca tenderán a este valor mínimo representado, y al tener una constante de multiplicación amplia se puede minimizar el riesgo; sin embargo, el riesgo en la mayoría de las situaciones se expresa con saltos esporádicos que aumentan la probabilidad que el inversionista ante un cambio brusco vía la tendencia baja para el activo no pueda tener la oportunidad de diversificar sus inversiones antes de llegar al valor mínimo de la cartera.

De acuerdo con lo anterior, MDSM en la literatura es considerado como una de las metodologías de estimación más precisa para identificar y representar la dinámica estocástica de los precios cuando se presentan variaciones bruscas en los rendimientos (^{Castillo, 2009}).

Desde el punto de vista de la estimación clásica para MDSM su ejecución resulta como una mixtura de normales producto de la distribución de los rendimientos de los activos. En ese sentido, cuando se examina el mercado que se caracteriza en muchas ocasiones por contar con casos de mayor complejidad, se requiere en la lectura de MDSM un número considerable de saltos lo que dificulta la estimación debido a la función de verosimilitud cuya característica principal es ser multimodal. Bajo esa óptica desde la lectura clásica, la magnitud de los saltos es tratada como una constante en el modelo.

Cabe de igual manera resaltar, que, a pesar de la volatilidad del mercado, así como las restricciones que se pueden generar, las estimaciones de MDSM logran superar las estimaciones de B&S; no obstante, la estimación bayesiana por medio de los algoritmos de “Markov Chain Monte Carlo (MCMC)” puede ser una solución mediática a estos problemas.

Conforme a lo explicitado, la construcción de los algoritmos de simulación vía Markov Chain Monte Carlo (MCMC) permite generar muestras de una distribución a posteriori a partir de una a priori y una verosimilitud dada. La noción de las cadenas de Markov se fundamenta en que cada valor generado depende del valor simulado inmediatamente anterior (^{Conchi, 2012}), y, por otro lado, Monte Carlo se caracteriza por aproximar expresiones que se dificultan calcular analíticamente recolectando muestras, para el cómputo de aproximaciones, por medio de estimadores empíricos como lo son: la media de los datos.

La ventaja de estas técnicas de estimación descritas es poder expresar el precio final de una opción en términos de la expectativa del precio generado por el modelo sobre las distribuciones de los parámetros. Algunos autores como Gupta y Reisinger (²⁰¹²) asumen que los modelos financieros pueden ser calibrados mediante la estimación bayesiana para los modelos de valoración de opciones, la cual, la convierte en una herramienta para generar una metodología consistente en la obtención de distribuciones a posteriori de los precios de ellas en el mercado. Asimismo, es necesario circunscribir que el comportamiento de los precios y rendimientos de los activos financieros subyacentes de las opciones se da por la hipótesis del mercado eficiente.

Es importante de igual manera resaltar que, el mercado es afectado por diferentes fundamentales que influyen necesariamente en el precio de los activos, los cuales en muchas ocasiones son externalidades que inciden en el comportamiento numérico de los mismos. Ante esta realidad, el modelamiento matemático y estadístico surge como respuesta para comprender y entender la volatilidad como los saltos, y dar una aproximación de lo que está sucediendo en el mercado con supuestos que simplifiquen las influencias exógenas a las series financieras propiamente dichas. Se puede entender en este contexto, que la aleatoriedad de un activo financiero se debe al comportamiento histórico reflejado en el tiempo presente, y a la respuesta que puede generar el mercado nuevas informaciones sobre el comportamiento del activo.

En general MDSM es una extensión de B&S; y por lo tanto, se considera que los procesos difusos capturan la volatilidad generada por distintas actividades de trading, y que los saltos capturan los componentes más significativos en los cambios de los precios de los activos debido a nueva información; estos saltos generan asimetría y curtosis en los rendimientos de los precios (^{Tunaru & Zheng, 2017}).

Lo explicitado anteriormente, de alguna manera reafirma que, las propiedades markovianas de las series financieras al no contar con ningún tipo de memoria, permiten la implementación de modelos independientes al comportamiento pasado, y al modelamiento de nuevas informaciones que afecte el precio del activo (^{Fathaleden Asiri, 2018}).

Adicionalmente, el presente trabajo evidencia e ilustra los supuestos y consideraciones sobre la evolución del precio de los activos subyacentes con base en los modelos B&S y MDSM, utilizando metodologías de carácter bayesiano, así como propuestas sobre las distribuciones a priori asociadas al espacio de parámetros sobre la distribución de los procesos estocásticos vinculados a ambos modelos.

Finalmente, para la realización de los cálculos se utilizó el software R y la base de datos de Bloomberg. Las acciones que fueron objeto de estudio pertenecen al índice accionario NASDAQ, y el marco temporal de estudio fue el 23 de mayo de 2014 al 23 de junio de 2021.

2. Definición teórica de MDSM

Para hablar sobre el MDSM es necesario tener en cuenta algunas consideraciones matemáticas para su definición; en ese aspecto, la parte de difusión hace referencia al proceso estocástico de movimiento browniano que siguen los precios de las opciones. En este sentido, un proceso estocástico, es un modelo matemático que permite capturar el comportamiento ininterrumpido en un tiempo de determinado suceso o magnitud aleatoria con determinado espacio muestral.

En general, una sucesión de eventos aleatorios que se desarrolla en un transcurso de tiempo se le denomina proceso estocástico, es decir, la evolución de una variable aleatoria en determinado tiempo, inclusive en lapsos reducidos y de manera continua. La expresión matemática de los eventos aleatorios se puede explicitar de la siguiente manera:

donde X es una colección de variables aleatorias, lo que quiere decir que para cada t en el índice T existe Xt es una variable aleatoria. A menudo se expresa t como la periodicidad y Xt como el estado del proceso en el tiempo t (^{Ross, 1996}). En el caso de que el estado Xt+1 dependa de Xt , se le conoce como un proceso de Markov, y se usa en períodos sucesivos donde no hay certeza del estado en un momento cualquiera.

En el caso del precio de las opciones, estas se caracterizan por seguir un proceso estocástico llamado “Movimiento Geométrico Browniano (MGB)”, el cual consiste, en mostrar la relación entre los precios actuales para el activo, y los posibles valores que pueden tomar en el futuro. El movimiento browniano es un objeto familiar para cada operador de opciones desde la aparición de B&S (^{Tankov & Voltchkova, 1992}).

Siguiendo con el MDSM en lo que concierne a los “saltos”, hace referencia al proceso Poisson, el cual, se puede definir como una secuencia de variables exponenciales independientes θii≥1 con un parámetro μ y Tn= ∑i=1nθi , entonces el proceso

Se le considera como un proceso Poisson con parámetro μ . En general las trayectorias del proceso Poisson son constantes a trozos y con saltos de uno en los tiempos Ti , y cada espacio entre los tiempos se distribuye de manera exponencial. Lo anterior, implica que, para cada t>0 la variable aleatoria Nt se distribuya Poisson con parámetro μt . Este proceso guarda con el MGB la particularidad de estacionariedad en los incrementos, es decir que, para cada tiempo mayor a otro, el incremento en la variable aleatoria Nt en ambos tiempos es independiente de la historia del proceso hasta el tiempo mayor a t . Los procesos con intendencia y estacionariedad se les considera como procesos de Lévy.

En la aplicación financiera usualmente es raro encontrar un solo salto posible en procesos que se tienen; por lo tanto, se debe utilizar una generalización del proceso Poisson llamado “Proceso Poisson Compuesto (PPC)”, en el cual, los intervalos entre los saltos periódicos se componen exponencialmente, y cada salto puede tener una distribución arbitraria.

Sea A un proceso Poisson con un parámetro μ , entonces:

donde Yii≥1 es una secuencia de variables aleatorias; a Xt se le conoce como PPC donde sus saltos son aleatorios y sus incrementos son independientes y estacionarios. La ley que gobierna el proceso en el tiempo t no es explícita, pero su función característica tiene la siguiente forma:

donde la función característica tiene un rol importante en los procesos de difusión y saltos por su forma explícita del proceso.

En cuanto a los procesos de difusión con saltos y Lévy se puede afirmar lo siguiente: al combinar el MGB con una parte de los procesos de Poisson, se genera un proceso, donde los saltos tienen una evolución aleatoria entre los intervalos de tiempo como se muestra a continuación:

Y en donde, el modelo mejor conocido es el de Merton, en el cual, cada precio se puede expresar como St=S0eXt con saltos Yt normales. Al final la forma general para representar los procesos de levy Xt=αt+σBt+Zt , donde Zt es el proceso encargado de provocar los saltos.

Al ser los rendimientos de los precios de las opciones calculados como rt=ln⁡PtPt-1 , los precios de los subyacentes son tratados con procesos de levy exponenciales para asegurar independencia y estacionaridad en los rendimientos. En este caso los saltos difusos corresponden a la siguiente expresión:

En donde los procesos tienden a ser un MGB después de cada salto, al ser valoración de opción se añade la tasa de interés en la definición del modelo de levy como St=S0⋅exp⁡rt+Xt . Según Tankov & Voltchkova (¹⁹⁹²) este modelo puede ser considerado como una generalización de B&S teniendo en cuenta la siguiente diferenciación:

Donde It es un proceso Poisson compuesto y StJ corresponde donde el salto fue realizado. Una serie de anotaciones realizadas por Tankov & Voltchkova (¹⁹⁹²) describen que los modelos conformados por los procesos de levy resultan insuficientes en algunos casos debido a los incrementos estacionarios de los rendimientos de los activos al tener un horizonte de precios estático y a su vez la dependencia de los estados de Xt dado el horizonte de tiempo con momentos previamente definidos, los cuales en ocasiones no coinciden con la dependencia temporal de las observaciones. Una solución ilustrada es la combinación de modelos con saltos que guarden la volatilidad estocástica.

3. Estudio de simulación para la estimación

Conforme al objetivo propuesto en este trabajó, que se focaliza en encontrar forma de implementar la estimación bayesiana para los parámetros para el comportamiento asociado a los procesos estocásticos de MDSM y B&S.

En este orden de ideas, durante los siguientes procedimientos se buscará explicitar una comparación entre distintos modelos para el ajuste y modelamiento del logaritmo de los rendimientos, con el objetivo de realizar un análisis sobre las estimaciones e intervalos de credibilidad de los parámetros, y posteriormente resaltar la importancia de la estimación bayesiana sobre MDSM tradicional y B&S. En ese sentido, se buscará evidenciar de una manera óptima la estimación de los parámetros diferente a la selección arbitraria de estos mismos en la simulación de los procesos asociados a ambos modelos.

Para realizar las simulaciones de los procesos anteriormente mencionados se tomaron las acciones de Apple, Nvidia y Tesla los últimos 252 días de precios de negociación (hasta el 23 de junio de 2021) con el objetivo de ilustrar como la inclusión de los componentes aleatorios en forma de saltos, resulta ser más apropiada para el modelamiento del precio de los rendimientos, y a su vez mostrar por qué vía la estadística bayesiana sobre los parámetros, puede ser recomendada en las estimaciones de los parámetros asociados a los procesos estocásticos de los modelos anteriormente mencionados.

A continuación, se muestra el comportamiento histórico del precio de la acción de Apple, Nvidia y Tesla en el período del 23 de mayo de 2014 al 23 de junio de 2021.

Fuente: Pantallazo tomado de la Plataforma Bloomberg el 23 de junio de 2021

Gráfica 1 Precio acción Apple, Nvidia y Tesla  

Se puede evidenciar en el pantallazo de la plataforma Bloomberg que la acción de Apple ha presentado un comportamiento mixto durante el tiempo descrito no solamente por la situación generada por el COVID-19, sino también de alguna manera por la escasez de silicio que ha afectado las ventas de iPhone.

Cabe de igual manera resaltar, que los precios de las acciones tecnológicas sufrieron al igual que el mercado de renta variable, los efectos de la pandemia producida por el COVID-19; sin embargo, a pesar de esta coyuntura internacional, se ha evidenciado en el mercado mayor rentabilidad en las acciones de Tesla y Nvidia, como se puede observar en la siguiente gráfica:

Fuente: Pantallazo tomado de la Plataforma Bloomberg el 23 de junio de 2021

Gráfica 2 Rentabilidad acción Apple, Nvidia y Tesla (período 23/mayo/2014 al 23/junio/2021)  

En el marco temporal descrito, se puede observar que la mayor rentabilidad en el período del 23 de mayo de 2014 al 23 de junio de 2021 la obtuvo la acción de Nvidia con un 4122% como consecuencia de la decisión de lanzamiento de una nueva línea de tarjetas gráficas que cuentan con la característica de potencializar los juegos electrónicos y sus transmisiones en línea.

Finalmente, los movimientos en las empresas de tecnología ha sido de naturaleza hacia al alza con excepción de marzo de 2020, que fue el pronunciamiento a nivel mundial de la Organización Mundial de la Salud, la cual manifestó que el mundo se encontraba amenazada por el COVID-19, el cual generó el desplome la mayoría de todos los activos del mercado de renta variable a nivel global y un apetito refugio en los bonos del tesoro americano correspondiente a los bonos de 10 años; no obstante, el auge de las tecnologías vía inteligencia artificial así como el desarrollo del comercio electrónico, ha propiciado el incrementó del precio de las acciones de empresas vinculadas al sector tecnológico.

De otro lado, se puede evidenciar que con un p-valor arrojado, y un nivel de confianza del 95%, se demuestra que los rendimientos de cada una de las acciones citadas contaron con la característica de ser estacionarios ( P-valor ≤0,01) .

Con base en lo anterior, se calcularon los correlogramas de autocorrelación y autocorrelación parcial con un máximo de 30 rezagos en el tiempo para cada una de las acciones.

De conformidad con los correlogramas de cada una de las acciones se escogió el siguiente modelo:

De acuerdo con, el p-valor arrojado para cada una de las acciones, con un nivel de confianza del 95%, se puede afirmar que el modelo Arima(0,1,1) es significativo.

En lo que corresponde a la prueba de normalidad a continuación se muestra la prueba de normalidad Jar-Quebera, que tiene como objetivo conocer, si los residuales derivados del mejor modelo en cada una de las acciones (Apple, Nvidia y Tesla) se distribuyen con respecto a la distribución de probabilidad normal para los residuales.

De acuerdo con el p-valor arrojado para cada uno de los instrumentos financieros, con un nivel de confianza del 95%, se puede afirmar que los residuales del mejor modelo no se distribuyen con respecto a la distribución de probabilidad normal.

En lo que atañe a la prueba de heterocedasticidad de McLeod-Li que tiene como objetivo conocer si las varianzas de los residuales del mejor modelo en cada una de las acciones, si son iguales o diferentes a lo largo del tiempo (Esta prueba se realizó teniendo en cuenta un rezago en el tiempo) arrojó los siguientes resultados:

De conformidad con el cuadro 3, el p-valor arrojado con un nivel de confianza del 95%, se puede afirmar que, los residuales del mejor modelo no poseen diferentes varianzas a lo largo del tiempo. Lo anterior quiere decir, que las varianzas de los residuales son iguales; por lo tanto, los rendimientos de la acción de Apple y Tesla no son volátiles.

En lo que concierne a la acción de Nvidia con el p-valor arrojado, con un nivel del 95%, se puede afirmar que los residuales del mejor modelo poseen diferentes varianzas a lo largo del tiempo. Lo explicitado quiere decir, que las varianzas de los residuales no son iguales; por lo tanto, los rendimientos de cada una de las acciones son volátiles.

Para analizar el MDSM es necesario realizar distintas simulaciones con diversas combinaciones de parámetros, con el objetivo de encontrar y explicar de que manera óptima puede comportarse el mercado en el futuro; para esto, utilizando métodos implementados por (^{Khaldi, Djeddour, & Meddahi, 2014}), se realizó una simulación inicial sobre la asunción de los supuestos en B&S y MDSM; para tal efecto, se comparan los procesos simulados del B&S en la gráfica 3 y los caminos simulados por el modelo MDSM en la gráfica 4 para el histórico de precios de la acción Nvidia hasta el 2018. Este período en específico se tomó en el caso de la acción Nvidia, como consecuencia del auge de nuevas tecnologías relacionadas al hito de la inteligencia artificial.

De acuerdo con lo anterior, se procedió a recortar la serie con el objetivo de presentar los saltos de los procesos simulados en este período por el modelo MDSM, ya que, desde 2016 (ultimo 25% del total de los precios, 2016-2018) se presentó el efecto de “salto“ o “alza”, el cual, el modelo MDSM explica mejor el comportamiento de los precios; por lo tanto, se graficó el espejo de la serie original por objetivos de visualización.

Fuente: Elaboración propia

Gráfica 3 Simulación proceso B&S en la acción de Nvidia 

Fuente: Elaboración propia

Gráfica 4 Simulación modelo de difusión con saltos en la acción de Nvidia 

Como se puede observar en la gráfica 3 y 4, en el caso de B&S al no contar con una diferenciación entre los saltos a manera de un proceso Poisson, no detecta de manera amplia los cambios en el precio de la acción, debido a que, la composición que presenta arroja un MGB ; En el caso de la inclusión de saltos, los cambios son más marcados y volátiles.

Los parámetros relacionados al parámetro de tendencia, y a la parte estocástica de los procesos simulados suelen ser determinados de manera empírica, como se puede observar en las gráficas 3 y 4.

Cabe resaltar que, el objetivo del presente trabajo es proporcionar soluciones a la estimación de los parámetros para B&S y MDSM de manera bayesiana generando intervalos de credibilidad asociados a los parámetros, con el fin de generar simulaciones del proceso, más cercanas al comportamiento del logaritmo natural de los rendimientos para cada una de las acciones: Apple, Nvidia y Tesla.

4. Conclusión

Se logró con el desarrollo de esta investigación proponer distintas medidas en cuanto a las distribuciones a priori sobre el espacio de parámetros de los estimados en los procesos característicos de los modelos propuestos, y como consecuente intervalos de más alta densidad envolviendo de manera significativa las estimaciones. Por lo anteriormente expuesto, se logró encontrar de manera convergente un valor adecuado en estimación para los parámetros.

En lo que atañe a la serie de los rendimientos de NVIDIA el comportamiento de los procesos simulados por MDSM, describió casi de manera exacta la dinámica estocástica de la serie estudiada en comparación al B&S, el cual cuenta con mayor varianza en los valores simulados y comportamiento platicúrtico.

En la acción de Tesla, los caminos simulados basados en el modelo MDSM mostraron menor volatilidad comparados a la serie de rendimientos originales (serie negra) lo cual indica un comportamiento leptocúrtico en las estimaciones y menor ajuste en yuxtaposición a los modelos estimados para la acción de Apple; este comportamiento se verificó con las distribuciones ilustradas en el cuadro 19, en donde valores simulados por MDSM presentaron un acotamiento más cerrado en los valores de la distribución comparado con el B&S.

En cuanto a la estimación bayesiana, solamente teniendo en cuenta el comportamiento previo de los parámetros o supuestos frente a la aleatoriedad de estos mismos, se pudo observar una fluctuación sobre las posibilidades en asignación de distribuciones a priori logrando así encontrar valores óptimos para la estimación de los parámetros. En ese sentido, esto quiere decir que no se requiere asignar directamente unos posibles valores para los parámetros, (se requieren menos arranques con el objetivo de encontrar caminos simulados para los procesos); sino más bien, se necesita una asignación aleatoria a ellos por medio de supuestos en términos de distribuciones. Las distribuciones a priori propuestas mostraron como los resultados empíricos obtenidos vía técnicas bayesianas de estimación como el muestreador de Gibbs pueden llegar a ser de gran beneficio para ajustar de manera apropiada modelos en series de tiempo.

En lo que concierne a la comparación entre modelos, MDSM en la literatura clásica suele ser sinónimo de mejor desempeño en el modelamiento de los rendimientos como se comentó anteriormente, ya que, se adapta con los saltos a los distintos cambios del mercado, y se ajusta más a la distribución de los rendimientos. En cuanto a la situación bayesiana esta afirmación se logra reafirmar con las simulaciones obtenidas.

A través de los cuadros 10 y 19 se pudo observar el ajuste de las estimaciones sobre el comportamiento de los logaritmos natural de los rendimientos para cada acción, encontrando un grado de ajuste más amplio usando el MDSM. En general se pudo observar cómo MDSM se adapta al comportamiento leptocúrtico y simula el comportamiento de colas pesadas de la distribución de los log rendimientos, característica general presente en este tipo de datos que conforma el mercado de renta variable tecnológico (NASDAQ); de igual manera, se observó el nivel de exactitud de las distintas propuestas prior sobre el MGB en B&S. Asimismo este último, conserva la ventaja frente a Merton en cuanto a la simplicidad, ya que requiere menos supuestos para la asignación de valores para los parámetros en su forma de estimación estándar y bayesiana.

Finalmente, durante la investigación se logró obtener convergencia en las estimaciones e intervalos de credibilidad validando las propuestas prior para ambos modelos. Estas propuestas fueron reevaluadas posteriormente sobre las distintas cadenas estimadas, presentando al final ningún tipo de problemas relacionados a autocorrelación sobre estas mismas. Una vez estimadas las distribuciones posteriores de los parámetros se pudo evidenciar por un ejercicio de simulación como los caminos aleatorios generados con MDSM se ajustan de mejor manera a la dinámica estocástica de las acciones analizadas.