2.1 Literatura Internacional

Los autores que han aportado en la construcción de metodologías no convencionales en la estimación del valor en riesgo (VaR) son los siguientes:

2.2 Literatura Nacional

En la literatura local los autores que han estudiado la estimación del riesgo de mercado son las siguientes:

A continuación, se exponen los métodos no clásicos de estimación del valor en riesgo a nivel teórico:

3.1 Estimación del VaR usando la Teoría de Valor Extremo (EVT)

Esta metodología, parte de asumir dependencia en el cálculo del VaR, tomando en cuenta eventos extremos como son la dependencia en las colas de distribución. Este método es uno de los más acertados para estimar el VaR, al contar con soluciones para generar decaimientos en la heterocedasticidad, y correlación serial dada por modelos de tipo GARCH multivariado (^{Mariño, D Melo, L, 2016}).

La teoría del valor extremo nació como uno de las disciplinas más grandes en la estadística aplicada en los últimos 50 años, por su capacidad para cuantificar la conducta de procesos a niveles grandes o pequeños. (^{Cardozo, 2004})

Los indicios de la estimación del valor en riesgo a través del EVT buscan de algún modo, cuantificar el comportamiento de las pérdidas a través de la probabilidad mediante el análisis del comportamiento de las colas de la distribución de los retornos dados por un portafolio de inversión. Este método semiparamétrico, proporciona medidas más fuertes en cuanto a las colas de la distribución de los retornos obtenidos mediante comportamientos extremos en los datos, que no solucionan las medidas paramétricas y no paramétricas.

La EVT ofrece un buen modelado de los datos utilizando el comportamiento extremo de las colas de las distribuciones de pérdidas asociadas a las observaciones a través de estimaciones con asociaciones paramétricas que permiten encontrar la cola de la distribución.

Según (^{Fernandez, 2003}) el comportamiento actual de la EVT está basado en el identificar momentos estadísticos de los retornos de un portafolio de inversión, así como el cálculo de la distribución de los retornos financieros; sin embargo, para este trabajo se centrará en el cálculo de aplicaciones multivariadas en la estimación del valor en riesgo.

La teoría del valor extremo parte de los siguientes supuestos y condiciones:

Sea FX(x) la función de distribución acumulada desconocida para los retornos negativos del portafolio de inversión seleccionado. Se le dice evento extremo a las pérdidas generadas por la cola derecha de la distribución de pérdidas, y  ​​Φ​​ n al máximo de los retornos negativos conocidos como riesgos; este último conocido como el peor caso de pérdidas en la muestra aleatoria de n riesgos

La distribución de  ​​Φ​​ n según (^{Fernandez, 2003}) se escribe de la siguiente manera⁴:

Para el cálculo del valor en riesgo, a través de esta metodología se deben tener en cuenta los siguientes supuestos sobre la teoría del valor extremo:

1. Para límites muy altos la cola de la distribución de los datos converge a la distribución generalizada de Pareto⁵.

2. Se posee una distribución de excesos o extremos por encima del umbral θ generando la siguiente probabilidad condicional:

Lo que permite que para valores grandes de θ exista una función β(θ) que garantice el limite

Donde X0 corresponde a la pérdida máxima en la distribución.

Lo anterior implica, que a largas distribuciones el dominio máximo de atracción sea de tipo: normal, log normal, chi-cuadrado, t, gamma, f, etc.

Asumiendo los anteriores aspectos, es necesario el cálculo de las colas de la distribución de pérdida, teniendo en cuenta como se mencionó antes, que a cantidades de umbral θ la distribución de excesos F(δ) converge a la distribución Pareto generalizada Gρ , β .

Siguiendo lo anterior, se puede encontrar la aproximación para la distribución FX(x) como:

Donde la función del umbral θ se puede estimar de manera no paramétrica usando la distribución empírica 1-r/n, donde r representa las realizaciones hechas por encima del umbral θ .

La estimación de la distribución se escribe de la siguiente manera:

(^{Mariño, D Melo, L, 2016}) indica que los parámetros para encontrar esta distribución se estiman vía máxima verosimilitud.

En lo que concierne a la estimación del VaR después de tener la distribución de los retornos negativos se selecciona un nivel de confianza entre 0<conf<1, y se calcula la siguiente fórmula (^{Hao Li, Xiao Fan, Yu Li, Yue Zhou, Ze Jin Zhao Liu, 2014})

3.2 Estimación del VaR usando Cuasi-verosimilitud

La volatilidad es el comportamiento principal en el modelado de activos financieros; se puede observar en la práctica usualmente que ésta se aglomera y está autocorrelacionada a lo largo del tiempo. Los modelos GARCH son la mejor aproximación para explicar el comportamiento de explosión y calma en los activos, convirtiéndose en una herramienta muy útil en el manejo del riesgo financiero.

La estimación del VaR con supuestos normales, evidencian en la aplicación, una presencia amplia de sesgo y curtosis, lo que resulta en poca o mucha cobertura de las estimaciones calculadas. Por lo que asumir otro tipo de distribuciones y realizar modelos para el manejo de riesgo, resulta en muchas ocasiones un factor óptimo en la estimación oportuna del VaR (^{Embrechts, 2016}).

En la práctica es bastante común utilizar modelos auto-regresivos de heterocedasticidad condicional (ARCH) y generalizados (GARCH) ya que estos, capturan los movimientos no constantes de la varianza a través del tiempo, luchando contra los constantes cambios en la volatilidad. En la práctica los modelos más utilizados de esta clase son los ARCH (1), GARCH (1,1) y EGARCH(1,1); en el caso de este documento se estimará el VaR por medio del modelo GARCH(1,1)

Sea ϕt=ln(PtPt−1) los continuos cambios en los retornos desde el período empezado en t-1 hasta t, y Pt como el precio de los activos financieros al tiempo t; la desagregación de ϕt se puede escribir de la siguiente manera:

Donde ρt−1 corresponde a la información en el tiempo propuesto menos una unidad y εt los errores de dicha desagregación considerados como valores no predictivos; el valor esperado para el i−ésimo proceso de auto-regresión se escribe como:

Los valores no predictivos se pueden escribir como procesos de tipo ARCH εt=mtσt , donde mt corresponde a un vector de medias de 0, varianza 1 y la varianza condicional de εt es σt (^{Embrechts, P Hoing, A, 2006}).

Con lo anterior, la varianza condicional del modelo ARCH(q) se escribe como:

Donde ci≥0  ∀i=1,…,q y corresponde a la reacción a los nuevos comportamientos en el mercado; a través de la anterior definición, se logra generalizar el modelo ARCH convirtiéndolo en un GARCH(p,q) con la siguiente varianza condicional:

Donde si c+β<1 , el proceso se considerará estacionario, y a su vez βi sostiene la persistencia de la heterocedasticidad en el tiempo. Para el caso del modelo GARCH (1,1) la varianza condicional se escribe de la siguiente manera:

El modelo GARCH(p,q), según (^{Lei, Fan J Xiu D, 2014}) propone una solución bastante buena frente a problemas con la volatilidad, y las colas pesadas de la distribución de los retornos, por lo que genera estimaciones confiables al incluir este factor difícil de modelar y pronosticar.

Por otro lado, este modelo carece de eficiencia por las limitaciones que posee, en cuanto a la varianza dependiente de la magnitud y no de los εt ; lo que no es evidente en el comportamiento de los precios donde se encuentra un factor de apalancamiento en los cuales, los activos presentan correlaciones negativas entre ellos, y en repercusión logran cambios en la volatilidad (^{Fan J Gu J, 2003}).

En el caso, de la estimación de los parámetros de los modelos GARCH (p,q) es frecuente usar la estimación por máxima verosimilitud (MLE), asumiendo normalidad en la distribución de los errores εit del modelo ARMA previamente realizado antes de modelar la volatilidad. Por otro lado, se pueden asumir distribuciones para los errores como la t de student centrada o no, distribución generalizada del error, inversa gaussiana o la distribución de Johnson’s; sin embargo, estos métodos carecen de consistencia en las estimaciones de los parámetros. En este caso la estimación por máxima cuasi-verosimilitud (QMLE) puede ser consistente y asintoticamente normal bajo condiciones que respectan al cuarto momento del proceso ARCH. La robustez en las estimaciones siempre va acompañada de eficiencia en los estimadores, por lo que la estimación por verosimilitud gaussiana asintótica en las innovaciones de los errores aumenta de varianza significativamente en las estimaciones de los parámetros por lo que el estimador se vuelve ineficiente por MLE. Sin embargo, aplicando algunas técnicas semi paramétricas por simulación de montecarlo es posible ganar eficiencia en los estimadores por medio de QMLE gaussianos (^{Fernandez, 2003}).

En general, la técnica de estimación frecuentemente utilizada en los modelos GARCH por medio de QMLE es la Cuasi-verosimilitud Gaussiana (GQMLE) la cual garantiza la mejora en eficiencia de las estimaciones (^{Timotheos A, Benos A Degiannakis S, 2003})

Método de Cuasi-verosimilitud

Sea el siguiente vector aleatorio y_t que satisface la siguiente ecuación:

donde ϵt es una secuencia marginal diferenciada con respecto a Ft , donde Ft la sigma álgebra comprendida por las observaciones de yt para t>1 tal que E(ϵt|Ft−1)=Et−1(ϵt) y gt(θ) corresponde a un Ft−1 medible siendo función de un vector de parámetros de interes θ .

Se tiene que Et−1(ϵtϵt')=At conocida, por lo que una función lineal para la estimación se escribe como:

con la siguiente función de quasi-verosimilitud

donde Wt es una matriz medible en Ft−1 . Seguido a ello, la estimación para θ es la solución de la anterior ecuación cuando esta es igual a 0. Si sub estimación de los espacios de GT(θ) es Gt=Wt(yt−gt(θ)) entonces la función de cuasi-verosimilitud estimada es la siguiente:

y la estimación de θ es la solución de GT(θ)=0

Para el uso del método de cuasi-verosimilitud en el caso del proceso GARCH (p,q), se tienen que tener en cuenta algunas consideraciones. Sea un proceso GARCH (p,q) definido de la siguiente manera:

y

donde εt son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d) con Et−1(εt)=0 y VARt−1(εt)=σt2 ;

ζt(i.i.d)conEt−1(ζt)=0yVARt−1(ζt)=σζ2. En este caso para la siguiente diferencia:

permite la estimación por (QL) para σt2 como:

Entonces dando el valor de 0 en el tiempo 0 para εt , es decir ε0^=0 , unos valores iniciales para la la estimación de los parámetros del modelo ψ0=(μ0,c00,c10,…,cp0,β10,…,βq0,σζ02) , a estimación de los errores al cuadrado ε^t−i2=(yt−i−μ0)2 , σ^t−j2 es la estimación por cuasi-verosimilitud de la parte de heterocedasticidad del modelo. Entonces la estimación por QL para σt2 es la solucion de G(t)(σt2)=0 .

El estimador QL usando la estimación para σt2 y el vector de información yt , para la estimación de θ=(μ,c0,c1,…,cq,β1,…,βq) esta dada por:

El estimador para θ corresponde a la solución de GT(θ)=0 . Donde ζt^ y σ^ζ2 son:

Entonces la estimación de los parámetros por cuasi-verosimilitud ψ^=(μ^,c0^,c1^,…,cp^,β1^,…,βp^,σ^ζ2) corresponde a una iteración de las anteriores funciones a partir del valor inicial para ψ0 .

En el caso del modelo GARCH(1,1) se tiene en cuenta la siguiente forma para la varianza σt2 .

donde εt(i.i.d) ; Et−1(εt)=0 , VARt−1(εt)=σt2 y ζt (i.i.d) con Et−1(ζt)=0 y VARt−1(ζt)=σζ2 . . En este caso la diferencia

Y el estimador de cuasi-verosimilitud para σt2 esta dado por:

En este caso dando valores iniciales para ε0^=0,ψ0=(μ0,c00,c10,β10,σζ02),ε^t−12=(yt−1−μ0)2 y σ^t−12 es el estimador por cuasi-verosimilitud para σt−12 , por lo que la solución de G(t)(σt2)=0 resulta ser el estimador GT(θ) para la varianza σ^t2 con la forma:

la solución GT(μ,c0,c1,β1)=0 , permite la estimación de los parámetros con la siguiente forma (^{Alzghool, 2017}):

y

donde:

Las estimaciones se obtienen con el anterior procedimiento iterativo tomando en consideración los valores iniciales para ψ0=(μ0,c00,c10,β10,σζ02) .

Al considerar la anterior estimación de la varianza para el modelo GARCH se encuentra el cuantil (1−α) teniendo en cuenta la siguiente fomra:

En donde S=1 , σ^t2 la varianza estimada del modelo, Zα el cuantil de la normal a un α y r^t los rendimientos estimados por el modelo en el tiempo t.

3.3 Estimación del VaR con el uso de Cópulas

Teniendo en cuenta la volatilidad de las series financieras, en la mayoría de los casos se asume normalidad sobre los retornos, con estos supuestos se realizan los modelos GARCH; sin embargo, es clave entender la relación de dependencia no lineal existente entre los retornos por medio de la teoría de cópulas. Una cópula es entendida como la relación entre dos o mas funciones, la cual denota un vínculo entre la distribución de probabilidad de un vector aleatorio y las distribuciones marginales asociadas a este. En términos multivariados una cópula se puede expresar como:

donde C denota esta relación y puede ser escrita como:

En finanzas, la aplicación de las cópulas ha ido creciendo en los últimos años, debido a su uso en proceso matemáticos de gran complejidad.

Formalmente las cópulas son funciones multivariadas d-dimensionales con distribuciones marginales en el intervalo [0,1] ; éstas, son usadas para el modelado de la estructura de dependencia en datos multivariados, donde X=(X1,X2,…,Xd) corresponde a un vector d-dimensional con una distribución conjunta F(x1,…,xd) y distribuciones marginales Fi(xi),i=1,2,…,d. tal que:

En donde la anterior expresión satisface las siguientes propiedades (^{Alzghool, 2017}):

• Si F es una función continua d-variada con marginales univariadas F1,…,FdyF1−1,…,Fd−1 , entonces:

es única

• Si F es una función continua d-variada de variables discretas (generalmente mitad continua, mitad discreta), entonces la cópula es unica en el conjunto

Entonces, según (^{Joe, 2015}), para cualquier función de distribución cuyas marginales sean uniformes, es posible obtener una cópula asociada. En la función cópula C de un vector multivariado X se encuentra la función de distribución del vector U=(U1,U2,…,Ud)t donde, Fi es la distribución marginal de cada variable aleatoria, lo que implica que:

H(x1,x2,…,xd)=C(Fx1,Fx2,…,Fx3)

donde H es la función de distribución conjunta de x1,x2,…,xd en el cubo uniforme In . En probabilidad, una cópula C:[0,1]d→[0,1] es d-dimensional si C es una distribución de probabilidad conjunta de un vector d-dimensional dentro del cubo uniforme constituido por los intervalos [0,1]d con sus marginales uniformes.

1) Teorema de Sklar

De acuerdo con el teorema de Sklar, se establece que si en H(x1,x2,…,xd) las distribuciones Fi son continuas entonces cópula asociada C es única. Si no, entonces esta resulta ser en el producto cruzado entre los rangos de cada Fi y es unica para H .

2) Vine Cópulas

La implicación del teorema de Sklar muestra que las marginales uniformes pueden ser modeladas de manera separada del modelado de dependencia en términos de la cópula, mostrando algunos problemas de selección en la estructura de dependencia en altas dimensiones. Las cópulas multivariadas como la Gaussiana o t de student son definidas para cualquier dimension; sin embargo, sus propiedades de dependencia suelen presentar limitaciones y pueden presentar dificultades incluso en tres dimensiones. En el caso de las arquimedianas presentan poca flexibilidad en modelar la dependencia con dos o más variables (^{Brechmann & Schepsmeier, 2013}).

Este problema puede ser solucionado con el uso de Vine Cópulas; este método permite escribir una distribución conjunta en términos de una cópula bivariada y una condicional conforme a una estructura gráfica en forma de árbol, por medio de esta permite una medida más flexible para capturar la estructura de dependencia entre los activos financieros. Existen dos clases de Vine Cópulas, los C-Vinces (canonicos) & D-Vines. En estos, la diferencia se basa en la forma estructural del árbol en el que se representan las cópulas condicionales y bivariadas. Estas estructuras han sido utilizadas satisfactoriamente en distintas aplicaciones, siendo la mas usada el riesgo financiero. Las Vine Cópulas están conformadas por una estructura general hecha a partir de cópulas bivariadas o llamadas (Pair Cópulas Constructions PCC), esto permite que una cópula general pueda ser reescrita en un producto entre PCC usando las distribuciones multivariadas con unas marginales dadas.

Sea X un vector aleatorio multivariado con Fi distribuciones marginales, f(x1,x2,…,xd) una función de densidad d-dimensional y c(u1,u2,…,ud) la correspondiente densidad cópula. De acuerdo con lo mencionado por (^{Czado, C. Aleksey. M, 2010})., la función de distribución conjunta f(x1,x2,…,xd) puede ser expresada en términos de una distribución condicional como se presenta a continuación:

donde ci,  i+j|(i+j):(i+j−1) corresponden a las densidades de las cópulas bivariadas con los parametros θi,  i+j|(i+j):(i+j−1) . En este trabajo se hara el uso de la descomposición D-vine la cual es construida seleccionando un orden especifico de las variables. En esta estructura los órdenes de relación entre los activos financieros son escritos de tal manera en que cada par condicional encontrado permita hallar una nueva relación condicional entre las relaciones previamente calculadas.

Siguiendo con los delineamientos de este trabajo, se tienen tres dimensiones conformadas por los activos con mayor peso en el portafolio, por lo que una posible descomposición para la densidad f(x1,x2,…,xd) puede ser:

lo que implica que

por lo que la descomposición para d=3 es:

esto implica que la estructura gráfica del árbol D-vine tiene la siguiente forma:

Lo que significa que la cópula general para esta estructura resulta del producto entre las PCC como se muestra a continuación:

Familia de cópulas

A continuación, se muestran las posibles cópulas que pueden obtenerse en el modelado de los activos financieros (Nicole ^{Krämer Ulf Schepsmeier, 2011}):

Cópula Gaussiana

Se define a la cópula gaussiana como la distribución sobre el espacio medible en el cubo [0,  1]d construida a partir de la Normal multivariada y dada una matriz de correlación Σ∈  ℝd donde la relación d-dimensional se escribe de la siguiente manera:

donde Φ−1 es la inversa de la distribución normal estándar ΦΣ ; en términos matemáticos la densidad de la cópula se puede escribir como:

Cópula t

En términos generales la cópula t puede ser escrita como:

donde fv,P es la densidad de un vector distribuido td(v,0,P) con v grados de libertad y P como matriz de correlaciones, y fv como densidad univariada estándar t con v grados de libertad (^{Nelsen, 2006})

Cópulas arquimedianas

Las cópulas arquimedianas son una clase asociativa de cópulas cuya expresion admite una fórmula explícita; estas son populares por permitir modelar la dependencia en dimensiones altas con un solo parámetro. En general, una cópula se dice arquimediana si se expresa como:

donde ψ es una función decreciente, continua y convexa perteneciente al intervalo [0,1]×  Θ→  [0,∞),  θ es el parámetro de la cópula con un espacio de parámetros Θyψ[−1] es considerado como pseudo inversa de ψ tal que:

En general las cópulas arquimedianas más importantes son las siguientes:

Estimación de los parámetros

En general un modelo con la inclusión de una estructura de dependencia (Vine Cópula) posee la siguiente forma:

La selección de la estructura es utilizada por medio de el cálculo del τ de kendall, el ρ de spearman, p valores significativos en las pruebas de bondad y ajuste o distancias, en donde el árbol es seleccionado como una estructura canónica C-vine, D-vine o R-vine en general.

Los métodos de selección para la cópula a utilizar se basan en test de bondad y ajuste, independencia, criterios como Akaike Information Criterion (AIC) o Bayesian Information Criterion (BIC), o gráficos de contorno que permitan identificar una posible estructura.

En cuanto a la última parte del modelo, la estimación de los parámetros se puede realizar por tres métodos en concreto (^{Triana, Torres Aponte, Alba, Pineda-Ríos, 2017}):

En el caso de este trabajo la estimación de los parámetros se realizó por máxima verosimilitud por medio del paquete VineCópula del software R.

3.4 Valor en Riesgo Condicional (Expected Shortfall)

El VaR condicional (CVaR), déficit esperado o llamado expected shortfall es una medida del valor en riesgo que responde a la pregunta de “Si las cosas van mal que pérdidas se obtendrían”. Desde un punto de vista estadístico en el CVaR se asume cada dia t=1,…,T , un Yt como las pérdidas y ganancias distribuidas a lo largo de una distribución real (incognoscible) Ft pronosticada a partir de la distribución predictiva del modelo Pt condicionada en la información previa para calcular el VaR. El valor en riesgo condicional puede ser definido como:

Para las variables aleatorias Y=Yt se establece el supuesto de independencia más no el de ser idénticamente distribuidas (i.i.d), no se restringe la variabilidad de Ft y Pt en el tiempo y se asume que las distribuciones son continuas y crecientes, por lo que el el valor en riesgo condicional se puede escribir como (^{Alzghool, 2017}):

En términos generales el valor en riesgo condicional se expresa como el promedio de los α peores escenarios y puede ser calculado como el promedio de los días que se excede el VaR con un determinado nivel de confianza.

donde U es el extremo inferior de los rendimientos y tanto f como F son funciones de densidad de la distribución de los rendimientos. Para el cálculo es necesario tomar en cuenta la siguiente expresión:

donde μ,σ,ϕ(Zα) y Φ(Zα) corresponden a la media, desviación estándar, valor en densidad y valor en distribución normal en el cuantil 1−α de los rendimientos respectivamente.

4.1 Estimación del Valor en Riesgo bajo metodologías semiparamétricas en el Mercado accionario colombiano período 2008-2016

A continuación, se toman las acciones que mayor peso tienen el índice de COLCAP, las cuales representan el 34% del volumen de negociación en una jornada