a. Aplicación del Modelo Logit

La elección de un modelo econométrico resulta relativamente clara tanto por la restricción impuesta por el hecho de que la probabilidad de incumplimiento se encuentra entre 0 y 1, como por la practica tradicional de elegir un modelo Logit para este análisis, el cual parte del supuesto de un proceso estocástico iid como una variable logística de la forma:

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Para mayores detalles sobre este modelo, véase (^{Hosmer, Lemeshow, & Sturdi-vant, 2013}), (^{King & Zeng, 2001}) o (^{Peng, Lee, & Ingersoll, 2002}). En estos textos se resalta que los signos del modelo indican la dirección de movimiento de la probabilidad ante cambios en la variable independiente, aunque el valor del parámetro no coincide con la magnitud de la variación en la probabilidad. Para conocer esta sensibilidad es necesario construir el factor de sensibilidad (valuar la función de densidad en los parámetros promedio) y luego multiplicar por el valor del parámetro.

Con la finalidad de evitar (en la medida de lo posible) un sesgo por variable omitida, se inició el análisis del modelo con todo el conjunto de variables de la base de datos, para luego ir descartando la de mayor probabilidad de ser estadísticamente cero hasta que el modelo pasara todas las pruebas econométricas convencionales, las cuales fueron realizadas en el paquete R (^{R Core Team, 2015}).⁴

En la siguiente tabla (Tabla 2) se muestran los resultados de la regresión Logística aplicada a toda la base de datos.⁵

En la Tabla 2 es llamativo el hecho de que el signo asociado a todas las variables independientes es contrario al esperado aún y cuando el parámetro es estadísticamente significativo, sin mencionar que los residuales de la regresión son claramente no normales, esto se puede notar en la Gráfica 2, donde se aprecian valores de cola en los residuales, lo que puede explicar el signo no esperado en el parámetro.

Fuente: Elaboración propia con datos del BOLETIN: Evolución del Producto Interno Bruto (^{CEFP, 2015}).

Gráfica 2 Gráfico de ajuste y residuales del modelo Logit aplicado a la muestra completa. 

En la siguiente grafica (Gráfica 3) se muestra la evolución de las probabilidades de incumplimiento estimadas a lo largo de los valores de las variables independientes. De estos gráficos se desprende que el modelo Logit predice probabilidades de incumplimiento similares a diferentes niveles de todas las variables independientes, excepto el cociente de endeudamiento sobre la inversión (R_END_INVERSI.N), el cual es decreciente.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Grafica 3 Evolución de las probabilidades estimadas por el modelo Poisson para toda la muestra a lo largo de las variables significativas del modelo. 

Con la finalidad de evaluar si el modelo es robusto y buscando examinar si los valores extremos que afectan al modelo están asociados con la estacionalidad de los datos, se ha dividido la muestra en trimestres. A cada una de estas sub muestras se le ha aplicado el mismo modelo logístico partiendo de la totalidad de las variables de la muestra y depurándolo al eliminar la variable independiente con mayor probabilidad de ser cero. Como resultado de este ejercicio, se obtuvieron distintas variables explicativas para cada trimestre,⁶ cuyos resúmenes del análisis de regresión logística se muestran en la Tabla 3.

En la Tabla 3 se muestra que la regresión logística no es estable a lo largo de los trimestres. Esta inestabilidad resulta problemática para una empresa otorgante de crédito pues implicaría que las variables determinantes de la capacidad de pago de las empresas mineras cambian con cada trimestre, lo cual resulta ilógico.

Adicionalmente se muestran en la Gráfica 4 las comparaciones del cuantil normal versus el cuantil empírico de los cuatro trimestres. En esta grafica se muestra el mismo problema de ajuste para los valores extremos de cada sub muestra trimestral.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 4 Gráficas de cuantiles normales versus cuantiles empíricos para los residuales de las regresiones logísticas trimestrales 

Algunos de los signos parecieran ser contrarios a lo que indica la teoría financiera, como son el ROA (relación directa) y el cociente de endeudamiento e inversión (relación inversa). Con la finalidad de hacer el modelo comparable con otros en la literatura, se construyeron las variables de la Z⁷ de (^{Altman E. I., 1968}) para los datos de empresas mineras, incluyendo la Z propuesta para empresas pequeñas en (^{Altman & Sabato, 2007}), aunque estas no resultaron estadísticamente significativas en todos los casos. El caso más llamativo es el de T2 (Ingresos Retenidos / Activo Total) con un signo negativo que podría estar asociado con el que las firmas usan los recursos para crecer y no para liquidar pasivos. Lamentablemente, la inestabilidad de la regresión impide hacer mayores análisis como el practicado en (^{Eidleman, 1995}) o (^{Diakomihalis, 2012}).

b. Aplicación del Modelo Poisson

Ante la poca robustez del modelo Logístico tradicionalmente usado en la medición de las probabilidades de incumplimiento de las empresas, se decidió explorar la posibilidad de que la distribución usada no fuese la adecuada, dado el tamaño de las colas visto en los residuales de las regresiones logísticas. Para enfrentar este problema se recurrió al supuesto de una distribución Poisson (dada su plasticidad) para dichas probabilidades. Ejemplos de su uso en análisis de riesgo crédito se encuentran en (^{Nelson, Lust, Story, & Ehlinger, 2008}) o (^{Löeffler & Posch, 2011}). En particular la distribución Poisson está dada por:

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dónde el parámetro de la distribución λ es igual a la media y a la varianza de la variable.

Al igual que en el caso de las regresiones logísticas, se inició la depuración del modelo con el conjunto completo de variables, para después eliminar la variable independiente con mayor probabilidad de ser estadísticamente cero hasta que todas las variables del modelo fueron significativas y se obtuviera el menor criterio de Akaike posible.⁸

En la Tabla 4, se muestra la regresión Poisson aplicada a toda la muestra. En ella se sigue encontrando un problema de signo en la variable del cociente de liquidez (R Liquidez), aunque las probabilidades de ser estadísticamente cero mejoran, así como el ajuste en los residuales mostrados en la Gráfica 4.

En la Gráfica 5 se aprecia la forma en que la distribución Poisson captura de mejor manera los efectos de cola de la muestra, aunque su ajuste no es el mejor en el intervalo de 0.5 a 1.5 desviaciones estándar de los errores, lo que provoca los problemas antes señalados.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 5 Gráfica de cuantiles normales versus cuantiles empíricos para los residuales de la regresión Poisson para la muestra total. 

Con la finalidad de analizar el comportamiento de la probabilidad de incumplimiento ante cambios en las variables independientes, se muestra en la Gráfica 6 la evolución de la probabilidad estimada por el modelo respecto a los movimientos de las variables estadísticamente significativas del modelo Poisson. Es necesario hacer notar la tendencia decreciente en las gráficas de las variables Z y cociente del endeudamiento sobre inversión y las pendientes positivas aunque pequeñas en el resto de las variables; también se hace notar la existencia de valores aberrantes en los extremos de las gráficas, los cuales ocasionan los problemas de bondad de ajuste.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 6 Evolución de las probabilidades estimadas por el modelo Poisson para toda la muestra a lo largo de las variables significativas del modelo. 

Es posible que los problemas de signo presentados en la regresión Poisson aplicada a toda la muestra (Tabla 4) se deban al ajuste forzado en el intervalo de la muestra donde ésta se aleja del cuantil teórico normal (0.5 a 1.5 desviaciones estándar), por lo que es preciso subdividir la muestra para probar esta hipótesis. Por tanto, también se ha aplicado una regresión Poisson a cada uno de los trimestres de la misma. Los resultados de este ejercicio se muestran en la Tabla 5.

En la Tabla 5 se observa que el uso de regresiones Poisson estabiliza significativamente tanto los regresores como sus valores, aunque aún se tiene el problema de signos no esperados, pues la regresión Poisson implica que a mayor cociente de endeudamiento,⁹ menor es la probabilidad de incumplimiento. Este problema se mantiene a lo largo de los tres primeros trimestres con estimadores estadísticamente significativos que también son estadísticamente iguales.

En la Gráfica 7, se muestran los análisis de cuantil normal versus cuantil empírico de los residuales de las regresiones Poisson de los cuatro trimestres. En estas gráficas es posible apreciar que, al igual que en los intentos anteriores, los signos contrarios a los esperados están relacionados con separaciones importantes de los residuales respecto a la distribución normal, lo que indica que no se ha logrado aislar la característica de la muestra que causa estos valores extremos:

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 7 Gráficas de cuantiles normales versus cuantiles empíricos para los residuales de las regresiones Poisson trimestrales. 

Ante esta evidencia, se dividió la muestra en cuartiles siguiendo la distribución empírica del cociente de endeudamiento (la variable es significativa en las regresiones Poisson de tres de los cuatro trimestres y en la regresión Poisson para toda la muestra). Con esta nueva forma de partición de la muestra, se pretenden separar los valores de cola inferior y superior que afectan los ajustes alrededor de la media. En la Tabla 6 se muestran los resultados de las regresiones Poisson practicadas para cada uno de los cuatro cuartiles de la muestra.

Para este grupo de regresiones, se tienen los signos teóricos esperados en todos los cuartiles (directamente proporcional para el capital de trabajo neto sobre deudas¹⁰ e inversamente proporcional para el cociente de liquidez¹¹) con parámetros estimados estadísticamente significativos a menos del 1%, los cuales son estadísticamente diferentes entre sí (cada cuartil tiene su propio estimador, distinto del resto, aun cuando las variables explicativas sean las mismas).

Resulta llamativo el hecho de que en este grupo de regresiones sean indicadores financieros de corto plazo (el capital de trabajo dedicado a los pasivos de corto plazo y el cociente de liquidez) los que conduzcan la probabilidad de incumplimiento de las empresas del ramo minero. Esto parece indicar que en general, estas empresas no tienen una planeación financiera de largo plazo y pagan sus créditos con los flujos de efectivo de corto plazo.

También es necesario hacer notar el que los criterios de Akaike (bondad de ajuste) son mejores para los dos primeros cuartiles que para el tercero y cuarto (donde todas las regresiones anteriores perdían su ajuste y generaban cambios en los signos). Con la finalidad de revisar el ajuste del modelo, se muestra en la Gráfica 8 el ajuste de los cuantiles teóricos de la normal contra los empíricos de los residuales de las regresiones Poisson aplicada a cada uno de los cuartiles de la muestra.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 8 Gráficas de cuantiles normales versus cuantiles empíricos para los residuales de las regresiones Poisson por cuantiles. 

En la Gráfica 8 se muestra que aunque siguen existiendo algunos valores aberrantes al interior de los cuantiles, estos son menores en cantidad en la probabilidad, lo que termina por validar los estimadores obtenidos en los cuantiles.

Con la finalidad de medir el desempeño de los modelos propuestos, se realizaron pruebas de efectividad predictiva. Estas pruebas toman como umbrales de conteo el 20%, 50% y 80% de probabilidad, cualquier probabilidad superior es considerada un incumplimiento, mientras que cualquier probabilidad menor como cumplimiento, los resultados de estas pruebas de efectividad se muestran en la Tabla 7.

En la Tabla 7 se muestran los mejores modelos para cada umbral de probabilidad. Es posible observar que, aunque la diferencia en efectividad entre los modelos Logit para la muestra entera y los Poisson aplicados a los cuantiles no son muy diferentes (menos de 2% en algunos casos), el ajuste de los modelos, su interpretación y por tanto recomendaciones de política de asignación de créditos pueden llegar a ser muy diferente.

En efecto, aunque el modelo Logit para la muestra entera es casi tan efectivo como el Poisson por cuantiles, sus problemas con los signos de las variables independientes y la no normalidad de sus residuales hacen difícil tanto su interpretación como su uso para determinar la asignación de créditos. Todo esto se puede observar mejor en la Gráfica 9, donde se muestran las probabilidades generadas por cada uno de los modelos propuestos a lo largo de los cuatro cuartiles de la muestra.

Fuente: Elaboración propia con R Statistical Package, con datos del FIFOMI, trimestres II-2012 al III-2013.

Gráfica 9. Probabilidad de los distintos modelos propuestos, por cuartiles. 

En la Gráfica 9 se puede ver que las probabilidades obtenidas mediante los modelos Poisson por cuantiles son las más estables de todas las obtenidas a lo largo de la investigación. También se puede observar que las probabilidades basadas en modelos logísticos tienen una gran dispersión, aunque casi siempre se sitúan por encima de las probabilidades Poisson.

Es de notarse el hecho de que las probabilidades de los distintos modelos parecen agruparse en estratos. Estos estratos parecen ser más compactos para los modelos Poisson por cuantiles y más dispersos para los Logísticos. Queda como posible línea de investigación el análisis de la distribución Weibull u otras de la familia de Pareto.