3.1. PARTICIPANTES

En esta investigación participan doce estudiantes chilenos de dos instituciones de distinto nivel educativo: secundaria y universitaria. Los casos de estudio se justifican en la necesidad de delimitar con precisión las construcciones mentales previas que los participantes ponen en juego cuando trabajan con conocimientos asociados a los valores y vectores propios en R2. Además, se busca analizar las estructuras y mecanismos mentales que los participantes construyen cuando abordan situaciones que involucran el concepto de valor y vector propio en R2. Los casos de estudio permiten explicitar y describir las estructuras y los mecanismos mentales identificados mediante los instrumentos de investigación aplicados. Además, la heterogeneidad en la formación de los estudiantes de distintos niveles de formación permite explicitar las construcciones y los mecanismos mentales que son comunes y disimiles en la construcción de valores y vectores propios desde una perspectiva geométrica.

El procedimiento seguido en la selección de los casos de estudio se basó en la consideración de las siguientes categorías.

Caso 1: Corresponde a seis estudiantes de secundaria (14 - 16 años, etiquetados como E1, E2, E3, E4, E5, E6), que durante un trimestre y una vez por semana se han reunido voluntariamente para dar respuesta a 12 actividades, entre ellas las preguntas del cuestionario que se reportan en este escrito. En los cursos de matemáticas, que han llevado estos estudiantes, se incluyen el estudio de transformaciones isométricas.

Caso 2: Corresponden a seis estudiantes de Pedagogía en Matemáticas etiquetados como E7, E8, E9, E10, E11 y E12 que han finalizado y aprobado un primer curso de álgebra lineal. En este curso se abordaron los conceptos de espacio vectorial, transformación lineal, valor y vector propio con un enfoque algebraico.

3.2. CICLO DE INVESTIGACIÓN

El ciclo de investigación inicia con un análisis teórico sobre los conceptos básicos ligados a los valores y vectores propios en R2. Este análisis permite mediante la descripción de las construcciones mentales, modelar la epistemología y cognición de los conceptos matemáticos a estudiar a través de dos DG’s: una DG₀ para modelar los conocimientos previos a la construcción de valores y vectores propios en R2 y otra DG₁, con la finalidad de modelar su construcción en R2para estudiantes universitarios.

En la segunda etapa de la investigación una vez constituidas las DG’s hipotéticas es necesario documentarlas. Es decir, tener alguna certeza de la viabilidad de los caminos señalados en ellas. Para esto se diseñan y aplican instrumentos que permitan validar las estructuras mencionadas en las DG’s (ver Tabla I) o bien incorporar aquellas estructuras que no hayan sido consideradas en las DG’s hipotéticas. El carácter cualitativo y descriptivo de esta investigación, permite analizar las concepciones de los estudiantes como elemento de primordial importancia ya que se busca hacerlas lo más explícitas posible.

En la tercera etapa Análisis y verificación de datos, los resultados obtenidos con la aplicación de los instrumentos son analizados desde las DG`s hipotéticas, detectando qué elementos no han sido considerados o cuáles de las construcciones dadas hipotéticamente no se evidencian en el trabajo de los estudiantes. En general el análisis tiene que ser realizado con nitidez, es decir, ejemplos de estudiantes quienes parecen comprender esto y otros que no lo hacen, y luego discutir que la diferencia radica en la presencia o falta de una construcción o mecanismo mental en particular que aparece en las DG`s. Solamente entonces se puede llegar a la conclusión de que los datos soportan esta construcción mental particular en las DG`s. Esto es realizado para todas las estructuras mentales específicas que se explicitan en el Análisis teórico.

3.3. ANÁLISIS TEÓRICO

El análisis teórico en esta investigación se materializa en el diseño de dos DG`s validadas o refinadas a través de dos casos de estudio. Para la primera DG0 hemos situado su validación o refinación en la enseñanza secundaria -Caso 1-; y en educación superior -Caso 2- para DG1.

3.3.1. Modelo cognitivo hipotético de los conocimientos geométricos previos para la construcción de los valores y vectores propios desde una perspectiva geométrica en R2: DG₀

El modelo cognitivo hipotético de los conocimientos previos y sus relaciones para la construcción de los conceptos de valor y vector propio en R2 toma como estructuras iniciales: el múltiplo escalar y la rotación de 180º alrededor del origen, como Acciones. Como se presenta en la Figura 2, el múltiplo escalar inicia su construcción con la aplicación de las Acciones 1 y 2 sobre formas geométricas o algebraicas de los vectores. La transformación de vectores específicos en R2 mediante escalares c en R, determinados por la función fa,b=ca,cbpuede generar la reflexión de los estudiantes sobre el múltiplo escalar y dar paso a la construcción del Proceso 1.

Figura 2  DG0 hipotética de los conceptos previos para la construcción de valor y vector propio en R2: Interiorización de Acciones y coordinación de Procesos.  

Por otra parte, analizando la Figura 2 por la derecha, se tienen el Proceso de rotación de 180° con centro en el origen. Dicho Proceso resulta de la interiorización de la Acción de seleccionar vectores específicos y graficarlos con sus respectivas rotaciones. La estructura Proceso se caracteriza por anticipar la relación geométrica entre un vector y su rotación ya sea de forma geométrica o algebraica. La coordinación entre el Proceso de la función fx,y=(λx, λy) (Proceso 2) con el Proceso de rotación de 180° con centro en el origen permite la construcción del Proceso múltiplo escalar de un vector como se muestra en la Figura 2. Esta estructura permite describir la transformación que se aplica a cualquier vector al ser multiplicado por un escalar, es decir, es posible establecer intervalos para los valores del escalar donde el efecto geométrico que se aplica a cualquier vector es él mismo. En relación con esto último es posible definir para cada vector v∈R2, la función gvλ=λv, en donde si λ>0, se mantiene el sentido del vector, mientras que si λ<0, el sentido del vector es opuesto, generando una rotación en 180°.

3.3.2. Modelo cognitivo hipotético para la construcción de los valores y vectores propios desde una perspectiva geométrica en R2: DG₁

En esencia el concepto protagónico a nivel universitario para el aprendizaje de valores y vectores propios es el concepto de transformación lineal. La Figura 3 en la parte derecha muestra las Acciones que debe realizar un estudiante, y que se han considerado esenciales para iniciar la construcción de valor y vector propio. La Acción 3 corresponde al producto matriz-vector, su interiorización se evidencia al reconocer tal producto como una transformación de vectores, de manera que sin realizar cálculos es posible imaginar el efecto geométrico que produce la matriz en el vector. Las Acción 4 y 5 están relacionadas con las propiedades de linealidad de la transformación lineal. Sobre la interiorización de las Acciones 4 y 5 y la coordinación de los Procesos relacionados a dichas Acciones (Procesos 4 y 5) se muestran más detalles en ^{Roa-Fuentes y Oktaç (2010)}. La coordinación del Proceso 3 con el Proceso de transformación lineal es producto de la comparación de igualdad entre T(v) y ATv considerando la matriz AT=&#091;Te1   Te2&#093;, llamada matriz asociada a la transformación T respecto de la base B=e1,e2. ^{González y Roa-Fuentes (2017)} consideran que la interpretación matricial de la transformación lineal involucra la elección de una base, que para este caso es la canónica de R2. Finalmente, la comparación mediante la igualdad entre T(v) o ATv con λv permite reconocer que se produce un mismo efecto en el vector, aunque sean operaciones diferentes. De esta manera se puede rotular al vector y al escalar como valor y vector propio, respectivamente.

Figura 3  DG1hipotética de los conceptos de valor y vector propio en R2: Interiorización de Acciones y Coordinación de Procesos. 

Con base en los dos modelos cognitivos descritos, se da paso a la de recolección y análisis de datos. En esta etapa se pueden evidenciar o refinar las estructuras y mecanismos planteados en DG₀ y en DG₁ o bien, pueden emerger producto del análisis nuevas construcciones y mecanismos, como resultado del trabajo real de los estudiantes derivado de la aplicación de los instrumentos de investigación diseñados.

3.4. INSTRUMENTO

Una vez diseñados los análisis teóricos para DG0 y DG1 fue necesario validarlos, esto es, tener certeza de su viabilidad como modelo de construcción de las estructuras previas (conocimientos previos) situadas en enseñanza secundaria y del concepto de valor y vector propio en R2 situados en enseñanza universitaria, respectivamente. Para ello se diseñaron dos cuestionarios uno para cada Caso de estudio. Para cada una de las preguntas de los cuestionarios se realizó un análisis a priori y otro a posteriori. Ambos análisis fueron profusamente discutidos entre los investigadores y las discrepancias se negociaron, hasta alcanzar un acuerdo que se presenta más adelante como el análisis a priori de las preguntas, y posteriormente como el análisis de los datos obtenidos en la investigación.

4.1. Caso 1: estructuras y mecanismos evidenciados por estudiantes de enseñanza secundaria respecto a los conceptos previos

Multiplicación por un escalar como una transformación que estira y contrae vectores: en las respuestas de algunos estudiantes aparecen con frecuencia los términos: estirar, alargar, aumenta su longitud, encoger, achicar y disminuir su longitud, como una interpretación del múltiplo escalar. En la pregunta 1, E2 hace el dibujo presentado en la Figura 4 y escribe “Es el doble del vector original, es como estirar sobre la misma recta una vez más”. Lo anterior aparece como argumento, cuando E2 trata de explicar lo que sucede para el caso de λ=2 en la pregunta 1.

Figura 4 E2 interpretando el múltiplo escalar de un vector v. 

En la pregunta 2, E4 se refiere al múltiplo escalar de un vector (x,y) de R2 como: “En algunos casos aumenta la longitud, también puede disminuir o cambiar de sentido”. Esta forma de pensar de E4, le permite centrar su atención en ciertos intervalos, de tal manera, que pueden precisar condiciones parciales de λ asociadas a efectos geométricos de estirar o encoger. La Figura 5 muestra evidencia de un establecimiento parcial de las condiciones relacionadas con el múltiplo escalar. E4 reconoce que al tomar un vector y aplicarle diferentes valores de λ en la multiplicación por un escalar, los vectores resultantes están sobre la misma recta que pasa por el origen. Aunque E4, piensa en valores negativos para el escalar, no menciona explícitamente que la transformación múltiplo escalar en este caso cambia el sentido del vector resultante. Sin embargo, E4 puede establecer explícitamente los intervalos para valores de λ>0 tal que los vectores resultantes “achica(n) su magnitud” o “aumenta(n) su magnitud”.

Figura 5 E4 estableciendo condiciones sobre el múltiplo escalar de un vector v de R2.  

Concepción Proceso de la Rotación 180º con centro en el origen: la aplicación de la Acción rotar 180° con centro en el origen sobre la interpretación geométrica, permite que los estudiantes reflexionen sobre las características generales de la Rotación 180º. Por ejemplo, E3 escribe: “En los planos se observa que los vectores cambian de cuadrante y cambia su sentido. Esto es como aplicar una rotación 180º ”. La concepción Proceso de la rotación 180º, permite que E3 le asigne a un vector v el vector -v y lo rotule para que describa una relación funcional desde la interpretación geométrica presentada. E3 escribe: “Si el vector que se rota es de la formax,yeste al ser rotado 180º quedará de la forma(-x,-y)”. La conclusión general es que E3 construye y evidencia la estructura Proceso de Rotación, que se muestra en la Figura 6.

Figura 6 E3 determinando vectores a través de una Rotación en 180º. 

Algunos de los estudiantes muestran no haber construido el Proceso de rotación y la razón de esto parece estar asociada con no poder relacionar a (x,y) con su inverso aditivo, lo que implicaba la construcción de una relación funcional de correspondencia.

Concepción Proceso de la funciónfx,y=λx,λyvectores que se estiran y contraen (Proceso P2): la construcción de este Proceso implica que los estudiantes logren construir una relación funcional asociada al múltiplo escalar, es decir, deben ser consciente de todos los valores reales que puede tomar el escalar λ y que puede ser multiplicada por cualquier vector v=x,y de R2. La reflexión sobre la correspondencia entre un escalar y un vector con el vector resultante, generan la construcción del Proceso como una función de R2 en R2.

Figura 7 E3 generando la construcción de vectores que se estiran y contraen, como una función. 

Las Acciones que realiza el estudiante E3 en la Figura 7 están asociadas con la pregunta 1. Después de analizar y resolver la pregunta 4 plantea la siguiente reflexión:

E3: Si consideramos un vector s→,donde sus coordenadas son x,y. Entonces:

Donde λ multiplica a cada coordenada y pude disminuir o aumentar la magnitud del vector.

El trabajo realizado por el estudiante E3, muestra la relación que establece entre las diferentes interpretaciones de la construcción de la función f, la concepción Proceso de dicha función le permite a E3 dar paso a la construcción Proceso de múltiplo escalar.

Coordinación entre Proceso P2 y Proceso de rotación de180°con centro en el origen: E5 al igual que E3 muestra haber construido el Proceso de la función f, sin embargo, adicionalmente evidencia una estructura Proceso de rotación de 180° y la coordinación entre dichos Procesos. En relación con esto último, las reflexiones presentadas por E5 en la pregunta 4, muestran que puede coordinar esos Procesos y describir de forma más clara el múltiplo escalar. A continuación, se muestra lo que escribe E5 en sus conclusiones.

E5: En conclusión, tenemos que cuando ponderamos, modificamos las magnitudes del vector, -o sea sus coordenadas-. Esto se expresa como una función: si tenemos un vector v→ como coordenadas (x,y) entonces fv→=λx,λy.

Donde si el valor de λ está entre 0<λ<1 el vector disminuye su magnitud.

Donde si el valor de λ es mayor a 1 el vector aumenta su magnitud.

Donde si el valor de λ es negativo el vector rota en 180º y puede aumentar o disminuir su magnitud.

Se puede concluir que la ponderación nos entrega los múltiplos de un vector.

El mecanismo de coordinación que evidencia E5 en sus conclusiones pone juntos los Procesos P2 y la rotación de 180° en uno Proceso único, definido como el Proceso múltiplo escalar de un vector.

En general el trabajo realizado por los estudiantes del Caso 1, muestra la importancia del mecanismo de coordinación para evidenciar características geométricas, analíticas y algebraicas del múltiplo escalar como Proceso. En algunas respuestas de los estudiantes no se identificaron evidencias de una concepción Proceso de múltiplo escalar y esto parece estar relacionado con el dominio de conjuntos numéricos. En la medida que los estudiantes piensen y reflexionen en escalares más allá de los números enteros, pondrán estructurar cómo actúa la función múltiplo escalar para valores en el conjunto de los números reales. Desde la enseñanza secundaria, esto último lo hemos considerado un avance hacia la comprensión integral de los conceptos de valor y vector propio en R2 en el primer año de universidad.

4.2. Caso 2: Estructuras y mecanismos evidenciados por estudiantes de primer año de universidad

Concepción Proceso de multiplicación por un escalar como “generador” de rectas con parámetroλ: En general, la ecuación vectorial de la recta en el plano que pasa por el punto P0 y tiene la dirección del vector v, se puede escribir r=P0+tv, t∈R. En particular, si consideramos una recta que pasa por el punto P0=(0,0), la ecuación se reduce a r=tv. Esto último desde el punto de vista del Álgebra Lineal es un tipo de combinación lineal (con v≠0), en la cual el conjunto tv: t∈R representa el conjunto de combinaciones lineales del vector v, conocido como espacio generado por v, que en este caso corresponde a una recta. En este escenario la construcción del producto de un valor propio λ por un vector propio v se interpreta entonces, como la generación de una recta con vector director v, siendo asimilada como copias re-escaladas del mismo vector v.

Esta interpretación se destaca en el trabajo realizado por los estudiantes universitarios. De hecho, en las conclusiones de la pregunta 4, E7 (ver Figura 8) relaciona el múltiplo escalar con la idea de “generador” de una recta. Mediante la imagen presentada en la Figura 8, E7 evidencia al escalar λ como un parámetro, que al asignarle distintos valores reales multiplica cierto vector v generando una recta que pasa por el origen y coincide con ambos sentidos del vector. E7 al ubicar el vector inicial v en el primer cuadrante, encuentra una semirrecta con valores positivos de λ cuyo sentido está dado por el vector v y para los negativos y una semirrecta con valores negativos de λ, cuyo sentido está dado por una rotación de 180° del vector v. Como se muestra en la Figura 8, E7 a estos los define como “Recta” en el primer y tercer cuadrante, E7 explica: “estos vectores generan una recta”. Esta explicación dada por E7 permite reconocer que su forma de pensamiento es dinámica, esto es, E7 puede imaginar que cualquier múltiplo escalar de un vector v está contenido en una misma recta.

Figura 8 E7 generando una recta a partir de un vector. 

Coordinación del Proceso multiplicación por un escalar y Proceso de producto de una matriz-vector (Proceso 3): las respuestas de la pregunta 5 y 6 solo provienen de los estudiantes de primer año de universidad y sus explicaciones permitieron identificar otros conceptos característicos de un primer curso de álgebra lineal. En relación con esto último, E8 muestra haber construido el Proceso de la función múltiplo escalar, como se muestra en la primera línea de la Figura 9, E8 puede expresar el efecto de transformación para cualquier vector v. E8 muestra la relación que ha estructurado entre la forma funcional de la transformación múltiplo escalar y la matriz que describe dicho efecto. En la línea 2 de la Figura 9, E8 continua su desarrollo lógico de izquierda-derecha y de arriba-abajo. E8 reconoce que la transformación identidad tiene asociada la matriz identidad, λx,y=λ1001xy. Al finalizar sus procedimientos escribe: “La forma matricial estará dada por la matriz λ00λ”. Todo esto evidencia que E8 ha construido el Proceso producto matriz-vector dado que puede pensar en dicha operación como una transformación de vectores. Gracias al mecanismo de coordinación bajo la relación de igualdad, E8 puede expresar (en figura 9) la equivalencia del efecto de transformación entre el producto matriz-vector y el múltiplo escalar.

Figura 9 Razonamiento de E8 para describir el efecto de la multiplicación por un escalar mediante una matriz. 

Coordinación del Proceso rotación 180º y el Proceso matriz-vector (Proceso 3): Ahora E8 muestra evidencia de haber construido el Proceso de rotación de 180° dado que puede pensar en dicha transformación mediante su representación funcional, como se muestra en la primera línea de la Figura 10.

Figura 10 E8 identifica el Proceso rotación en 180º con una matriz. 

El razonamiento de E8 en sus respuestas a P5 y P6 evidencia que ha interiorizado la Acción de multiplicar una matriz por un vector y asociar este Proceso con representaciones funcionales de transformaciones lineales. Aunque el estudiante E8 no hace uso del concepto de base, muestra indicios de relacionar las transformaciones geométricas con las matrices. Los estudiantes del Caso 2, evidencian la construcción de Procesos asociados a los conceptos de valor y vector propio de R2 desde la interpretación de transformación lineal como función y como matriz. La reflexión sobre las Acciones múltiplo escalar y producto matriz-vector son fundamentales en la construcción del concepto de valor propio de R2. En la medida que los estudiantes construyan los Procesos asociados a estas Acciones, pueden comparar mediante la igualdad las transformaciones generadas y entender que, aunque son transformaciones de diferente naturaleza existen casos en los cuales la transformación realizada a un vector es la misma.

Un aspecto para destacar en esta investigación es el rol articulador que muestra ser la geometría en un acercamiento a la construcción de los valores y vectores propios. Como se modela en las DG`s propuestas, ellas inician la construcción con la aplicación de Acciones sobre Objetos geométricos, y en los casos de estudio analizados, los estudiantes con base en esas construcciones geométricas iniciales muestran desarrollar construcciones más complejas.

5.1. DG₀ REFINADA: DGR0

Los conocimientos previos para iniciar la construcción de los conceptos de valor y vector propio de R2 en la enseñanza secundaria son: la rotación de 180° con centro en el origen, la multiplicación por un escalar de vectores y su efecto geométrico para vectores en R2. Las estructuras y los mecanismos que los estudiantes en educación secundaria deben desarrollar sobre dichos conceptos, se muestran en la Figura 11 y se describen sintéticamente en la misma.

Figura 11  DGR0de los conocimientos previos para la construcción del concepto valor y vector propio en R2: Interiorización de Acciones y coordinación de Procesos. 

La construcción de los conceptos previos comienza con la Acción encontrar múltiplos escalares de vectores específicos, sin embargo, la reflexión sobre dicha Acción acompañada de una noción estable de número real permite la interiorización en el Proceso 1. Esta estructura se evidencia cuando se establece una correspondencia entre intervalos de valores para el escalar y el efecto geométrico que sufren. Por otra parte, la Acción 2 interiorizada (Proceso 2) de rotar un vector vde R2 en 180° respecto al origen, implica reconocer dicho efecto como una transformación que asocia a cada vector su inverso aditivo, esto es v→(-1)v como una función Rot180:R2→R2 tal que Rot180(v)=(-1)v.

En la figura 11 se muestra que el Proceso múltiplo escalar resulta de la coordinación entre el Proceso 1 y el Proceso rotación 180° con centro en el origen (Proceso 2). Dicha coordinación permite entender todos los casos en los cuales el múltiplo escalar de un vector tiene una transformación particular, es decir, reconocer que λ está condicionado: si λ=1 el vector se mantiene igual; si λ=-1 el vector rota un ángulo de 180º grados; si 0<λ<1 el vector se contrae un valor λ; si -1<λ<0 el vector se contrae un valor λ y gira un ángulo de 180º; si λ>1el vector se estira; y si λ<-1el vector se estira y rota 180º. Con base en las evidencias mostradas por los Casos de estudio, la interiorización de las Acciones 1 y 2, permite que los estudiantes estructuren la ponderación por un escalar de un vectorv como un parámetro λ que determina una recta y que contiene al vector v que pasa por el origen. En relación con esto último, una recta en R2 que pasa por el origen puede ser entendida como el espacio generado por un vector v∈R2.