2.1. El vídeo en la enseñanza de la Matemática

Aprender de la enseñanza de la matemática y sus efectos en el aprendizaje de los alumnos y alumnas significa reflexionar, interpretar, valorar observar lo que hace un docente cuando enseña matemáticas por parte de un futuro profesor de matemática. Este futuro profesor le ayuda a notar aspectos como las actividades que realizan docentes, alumnos y las relaciones que se establecen con la matemática, las interacciones entre alumnos, alumno docente, el proceso de aprendizaje, el aprendizaje logrado y sin lograr, la relación entre las estrategias didácticas empleadas por los docentes y los aprendizajes logrados; además de promover en ellos el planteamiento de nuevas estrategias y formas de presentar el contenido matemático a sus alumnos y el discurso elaborado en el aula.

Algunos autores (^{Borko, Jacobs, Eiteljorg y Pittman, 2008}; ^{Borko, Koellner, Jacobs y Seago, 2011}; ^{Coles, 2012}; ^{Kang y van Es, 2019}; ^{Kersting, Givvin, Sotelo y Stigler, 2010}; ^{Llinares y Sánchez, 1998}; ^{Males, 2017)} plantean el desarrollo de estas capacidades mediante los vídeos como contexto en el que se puede representar la enseñanza de la matemática, lo cual tiene la ventaja de poder observar con detalle los eventos de enseñanza allí representados, pero la desventaja de que esas situaciones de enseñanza de la matemática no son en “vivo”. Otros autores (^{Goos y Benninson, 2008}; ^{Penalva, Rey y Llinares, 2011)} incorporan los entornos de aprendizaje para incentivar a los estudiantes para profesor de matemática a dialogar sobre las formas de enseñar y aprender matemáticas.

En este sentido la investigación desarrollada por ^{Santagata y Guarino (2011)} tenia como propóstio de su investigación el uso del video para enseñar al futuro profesor a aprender desde la enseñanza. Esta investigación proporcionaba a los futuros profesores la oportunidad de aprender a reflexionar sobre la enseñanza de una manera disciplinada y estructurada para desarrollar habilidades relacionadas con la reflexión y el aprendizaje desde la enseñanza como: atender elementos importantes de la instrucción, razonar sobre esos elementos de forma integral y proponer estrategias de enseñanza alternativas.

Por otra parte, Van Es y Sherin (2010) desarrollaron una investigación para ayudar a los profesores a que aprendan a notar e interpretar los rasgos significativos de las interacciones que se dan en el aula de clases. Estos autores proponen que la habilidad de darse cuenta de la enseñanza se compone de tres aspectos principales: (a) determinar lo que es importante en una situación de enseñanza, (b) con lo que se sabe sobre el contexto razonar acerca de una situación, y (c) establecer las conexiones entre los eventos específicos y principios más amplios de la enseñanza y el aprendizaje.

De igual forma ^{Van Es, Tekkumru-Kisa y Seago (2020)} desde una perspectiva situada proponen un marco teórico para integrar el video en la formación de profesores de matemática. Para estos autores el video es un instrumento central dentro de la formación de profesores que permite capturar la enseñanza para ser reflexionada tanto por los estudiantes para profesor de matemática como por los profesores en formación permanente y a desarrollar un lenguaje que sea común con respecto a la enseñanza. Para ello propone el uso del video como un sistema de actividad que sirve de marco para articular las prácticas docentes de los formadores de profesores. Este sistema tiene las siguientes dimensiones: objetivos, audiencia, selección del video, diseño de las tareas, planificación y facilitación, y evaluación del aprendizaje. Esta forma de concebir el uso de los videos como un sistema de actividad puede contribuir a una aplicación sistemática y estructurada y en consecuencia al diseño de entornos de aprendizaje basados ​​en videos para la formación y mejora docente.

De esta forma hay pocas investigaciones realizadas sobre el análisis de la enseñanza de las matemáticas en contextos de formación inicial de profesores de matemática (^{Alsawaie y Alghazo, 2010}) que utilicen entornos de aprendizaje, los cuales integren:

2.2. Perspectiva sociocultural del aprendizaje del estudiante para profesor de matemática

Tomando en consideración los argumentos anteriores, la perspectiva sociocultural del aprendizaje puede ayudar a la comprensión de cómo aprenden a convertirse los estudiantes para profesor en profesores de matemática. Esto es, cómo aprenden los estudiantes para profesor de matemática en el contexto de la enseñanza de la matemática y a resolver problemas profesionales propios de un profesor que enseña matemática. Es decir, los estudiantes deben aprender a usar instrumentos conceptuales/técnicos y a participar en espacios de interacción social como los debates virtuales (^{Llinares, 2012}) para interpretar eventos de enseñanza registrados en los videos.

En este sentido, ^{Llinares (2008)}, ^{Monaghan, Trouche y Borwein (2016)}, ^{Verillon y Rabardel (1995)} plantean la relación entre la actividad cognitiva del aprendiz y los instrumentos que utilizan para apropiarse del conocimiento. En particular Monaghan, Trouche y Borwein (2016) sostienen que en la actividad instrumental los sujetos usan herramientas y desarrollan instrumentos los cuales tienen una doble naturaleza: materiales e ideales por lo que demandan de sus usuarios una actividad física e intelectual. Esa naturaleza dual de los instrumentos permite una clasificación no solo en términos de objetos físico o materiales sino también de conceptos y constructos teóricos que han sido desarrollados por la investigación en Educación Matemática.

De esta forma ^{Llinares (1998)} plantea que los instrumentos median las acciones y actividades que realizan los estudiantes para profesor de matemática al darles significado y usarlos en el desarrollo de las mismas. Este autor clasifica los instrumentos en técnicos y conceptuales. Los primeros se refieren a materiales y recursos didácticos (geoplanos, software didáctico, videos), y los segundos son aquellas construcciones teóricas que se han desarrollado producto de las investigaciones realizadas en el campo disciplinar de la Educación Matemática.

De igual manera, recientes investigaciones en la formación del profesor de matemática han focalizado su atención hacia aspectos sociales, culturales e institucionales sobre el aprendizaje del estudiante para profesor y del profesor de matemática (^{Lerman, 2010}; ^{Llinares, 2009}; ^{Llinares, 2008}; ^{Llinares, y Krainer, 2006}). Estas investigaciones han puesto de manifiesto que el aprendizaje es producto de la interacción de la gente con los instrumentos que les ofrece el medio ambiente y la cultura. Bajo esta perspectiva, el aprendizaje, por lo tanto, no se considera solo la adquisición de conocimientos por los individuos, sino como un proceso de participación social. Al respecto, ^{Peressini, Borko, Romagnano, Knuth y Willis (2004)} consideran dos aspectos relacionados que son consecuencia de estas investigaciones. Primero, el aprendizaje es situado al considerar cómo una persona aprende un determinado conjunto de conocimientos y habilidades, y la situación en la que una persona aprende, son una parte fundamental de lo que se aprende. Segundo, los conocimientos y creencias de los docentes interactúan con los contextos históricos, sociales y políticos para crear las situaciones en las cuales el aprender a enseñar se produce. Desde esta perspectiva sociocultural, el aprendizaje del estudiante para profesor de matemática se considera como un proceso de participación creciente en la práctica de la enseñanza de la matemática, y a través de esta participación, se da el proceso de llegar a “ser profesor de matemática”.

Así mismo, ^{Lave y Wenger (1991)} plantean el aprendizaje como una actividad situada, e introducen el concepto de “participación periférica legitima” (Legitimate peripheral participation)

Con esto queremos destacar el hecho de que los principiantes participan inevitablemente en comunidades de profesionales y que el dominio del conocimiento y de la práctica les exige que participen cada vez más plenamente en las prácticas socioculturales de una comunidad. La expresión “participación periférica legítima” proporciona una manera de hablar sobre las actividades, las identidades, los artefactos y las comunidades de conocimiento y de práctica. Se refiere al proceso por el que los principiantes pasan a formar parte de una comunidad de práctica. Mediante el proceso de llegar a participar plenamente en una práctica sociocultural, se activan las intenciones de aprender de una persona y se configura el significado del aprendizaje. Este proceso social incluye, y en realidad subsume, el aprendizaje de capacidades avanzadas. (^{Lave y Wenger, 1991, p. 29}).

Por ello, la presente investigación está relacionada con el aprendizaje del profesor. Así mismo, la caracterización de la problemática (problemática) es el aprendizaje del profesor del conocimiento necesario para enseñar, la forma en que se conceptúa tanto el conocimiento, el proceso de generación, los mecanismos que se conjeturan y organizan dicho proceso y las variables que influyen. Considerando esta problemática, el contexto general es el aprendizaje, los referentes previos de los aprendices, mecanismos que intervienen en la generación de nuevo conocimiento, diseño de entornos de aprendizaje específicos para facilitar un determinado aprendizaje. Por ello, ¿Cómo se concibe “aprender a enseñar? Se concibe como un proceso activo en el que el individuo construye su conocimiento tomando como referencia su conocimiento previo y el contexto en el que está, siendo este supuesto el que ayuda a definir algunas interrogantes de investigación específicas planteadas, los mecanismos de cambio, fases en el desarrollo, procesos característicos del aprendizaje.

Todo lo anterior hace que la construcción del conocimiento suponga del estudiante para profesor de matemática desarrolle una postura activa e integradora al dedicarse a la elaboración y comprensión de significados con los demás por medio de la interpretación de vídeos para la construcción, la utilización y la mejora progresiva de artefactos de representación al participar en entornos de aprendizaje que se centran en el análisis de la enseñanza de la matemática.

4.1 Forma de Participación en los debates luego de visualizar el vídeo

El número de aportaciones que realizaron los estudiantes para profesor de matemática en el Debate D1: CM-E1: Sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo, fue de 88. En los primeros siete días no hubo aportaciones al debate, estas comenzaron a partir del octavo día. El 91 % (80) de las contribuciones se realizaron en los tres últimos días el período establecido en el debate en línea 1, mientras que el resto (9 %) se repartió entre los días 8 y 13 (Tabla II)

En el debate 2: CM-E2 sobre la gestión de las interacciones en gran grupo, hubo 89. En los primeros cinco días no hubo participaciones, estas comenzaron a partir del sexto día. El 71 % (63) de las aportaciones se realizaron en los días doce (26 %), trece (21%) y catorce (24 %), mientras que el resto (29 %) se realizaron los días ocho, diez y once con 6 % (5) cada uno, y los días sexto y decimoquinto con 4 % (4) cada uno. Los días siete y nueve, fue de 1 % (1) y 2 % (2) de participaciones, respectivamente (Tabla III).

La tabla IV muestra las formas de participación entre los veintitrés estudiantes para profesor de matemática en los dos Debates. En el debate D1 sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo, 19 participaciones (21 % del total) no hicieron referencia a otra contribución realizada por sus compañeros. Lo que indica que más de las tres cuartas partes (79%) de todas las contribuciones a la discusión hicieron referencia explícita a alguna aportación hecha por otro estudiante. Este resultado es un indicador del esfuerzo realizado por los estudiantes durante la discusión en línea para llegar a una comprensión recíproca de los aspectos de la enseñanza que promuevan el desarrollo de la competencia matemática.

El hecho de que el 59 % de las participaciones se correspondan a las categorías “Concuerda”, “Concuerda y Amplia”, “Discrepa” y “Discrepa y Amplia”, indican el grado de implicación cognitiva con cada una de las contribuciones que realizaron los demás estudiantes en el debate. Esto parece indicar que los estudiantes además de expresar sus propias ideas y opiniones intentaban contraponerlas o complementarlas con las de sus compañeros animando algunas veces a la yuxtaposición de diferentes puntos de vista. De las 54 aportaciones que reflejan interacción con otros estudiantes, el 63 % fueron “Concuerda” (34) y 37 % del tipo “Discrepa” (20). Es decir, más de la mitad de las aportaciones en este debate (54 de 91), muestran que los estudiantes contrastaron sus propias ideas con las de los demás y fueron capaces de ilustrar las diferencias o coincidencias ampliando sus argumentos.

En el debate D2 sobre la gestión de las interacciones en gran grupo, 15 participaciones (16 % del total) no hicieron referencia a cualquier otra contribución realizada por sus compañeros. Este hecho muestra que más de las cuatro quintas partes de todas las aportaciones a la discusión hicieron referencia explícita a alguna aportación hecha por otro estudiante. El hecho de que la mayoría de las contribuciones de los estudiantes establecen relación con las aportaciones de otros estudiantes también evidencia el esfuerzo realizado por los estudiantes durante la discusión en línea para llegar a una comprensión recíproca de los aspectos de la enseñanza que promuevan el desarrollo de la competencia matemática. El hecho de que también en este debate el 59 % de las aportaciones que hicieron los estudiantes se relacionan a las categorías “Concuerda”, “Concuerda y Amplia”, “Discrepa” y “Discrepa y Amplia”, muestran el grado de implicación cognitiva con cada una de las aportaciones que realizaron los demás estudiantes en el debate. De las 55 contribuciones que reflejan la interacción con otros estudiantes, el 35% fue de la forma de participación “Concuerda” (19) y 65 % del tipo “Discrepa” (36). Es decir, más de la mitad de las contribuciones en este debate (55 de 93), evidencian que los estudiantes compararon sus propias ideas con las de sus compañeros y fueron capaces de ilustrar las diferencias o coincidencias ampliando sus argumentos. La existencia de un gran número de contribuciones de este tipo muestra que los estudiantes interactuaron juntos en la realización de las tareas profesionales establecidas en el debate sobre la gestión de las interacciones en gran grupo.

Considerando los resultados anteriores en conjunto, los hallazgos sugieren que cuanto mayor es el número de participaciones correspondiente a las categorías relativas al reconocimiento de tener en cuenta lo que ha dicho el otro mayor es la indicación de que los estudiantes para profesor de matemática estaban tratando, durante el debate en línea, de comprender a los demás puntos de vista y de concordar o discrepar conclusiones diferentes. Los aportes en esta dimensión pueden ser interpretados en el sentido de que indican intentos de negociación de significados, y de conseguir la comprensión recíproca de otros puntos de vista relacionados con la enseñanza de la matemática.

4.2 Cadenas conversacionales: negociando significados

En el debate 1 sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo pudimos identificar 8 cadenas conversacionales (Tabla V). Los contenidos de las cadenas conversacionales fueron: C1: Dimensiones de la competencia matemática; C2: Aspectos de la enseñanza que influyen en el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática; C3: Influencia de la tarea en la competencia matemática; C4: Algunas características que potencian la competencia matemática; C5: Desafíos de un profesor de matemática en secundaria; C6: Sara, ¿matemáticamente competente?; C7: La metodología de Sara; C8: El contenido del ejercicio.

Cada estudiante para profesor de matemática contribuyó en más de una cadena conversacional y lo hizo más de una vez en el debate D1 sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo. La participación en el debate D1 se focalizó en ciertas cadenas conversacionales, lo que parece indicar que los estudiantes para profesor identificaron tópicos o temas que son de su interés. En el debate D1, 70 aportaciones (77 %) se realizaron solo en cuatro cadenas: C2 (19), C4 (12), C5 (13) y C6 (26). Estas cadenas conversacionales trataban los tópicos: C2: Aspectos de la enseñanza que influyen en el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática; C4: Algunas características que potencian la competencia matemática; C5: Desafíos de un profesor de matemática en secundaria; C6: Sara, ¿matemáticamente competente?) en las que se desarrollaron la mayoría de aportaciones (70 de 91).

Mientras que en el debate D2 (Ver Tabla VI), 73 contribuciones (casi el 80 %) se realizaron en cuatro cadenas conversacionales: C1 (43), C3 (14), C5 (8) y C7 (8); cuyos tópicos eran C1: Objetivos de la clase; C3: El papel del profesor; C5: Aspectos del rol del profesor; C7: Contexto curricular del video.

La Tabla V, muestra la forma de participar en cada cadena conversacional en el Debate 1 sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo, evidenció un número desigual de aportaciones y de participantes en cada cadena conversacional. En estas cadenas, básicamente los estudiantes para profesor compartieron con sus compañeros sus opiniones de acuerdo o desacuerdo, tal y como se presenta en la C2 (14 de 19), C4 (7 de 12), C5 (6 de 13) y C6 (18 de 26)

De igual manera, la forma de interacción en la que los estudiantes para profesor manifiestan que concuerdan o discrepan de otras opiniones, o amplían sus argumentos de acuerdo o desacuerdo (54 de 91) sugiere que los participantes en el debate D1 sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo generaron como temas de interés aspectos de la enseñanza que influyen en el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática; algunas características que potencian la competencia matemática; desafíos de un profesor de matemática en secundaria; Sara, ¿matemáticamente competente? alrededor de los cuales ocurrió la negociación de significados.

Finalmente, en la cadena C2 (4) y cadena C6 (6) sobre Aspectos de la enseñanza que influyen en el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática y Sara, ¿matemáticamente competente? se aprecia una fuerte presencia de la dimensión “Clarifica”, lo cual hace suponer la necesidad que sentían los participantes en ampliar y/o refinar algún aspecto de alguna aportación anterior, propia o de otro participante, mediante el uso de nueva información, describiendo experiencias propias o para presentar información relevante en relación a la comunicación como la dimensión de la competencia matemática que más se potencia y el ambiente de la clase, la motivación e interés como focos de interés de las cadenas conversacionales mencionadas.

La tabla VI muestra la forma de interacción por cada cadena conversacional en el debate D2 sobre la gestión de las interacciones en gran grupo. En este debate identificamos cuatro cadenas principales (C1: Objetivos de la clase; C3: El papel del profesor; C5: Aspectos del rol del profesor; C7: Contexto curricular del video) en las que se generaron la mayoría de contribuciones (73 de 93) y en las que básicamente los estudiantes para profesor compartieron con sus compañeros sus opiniones de ampliar o refinar alguna aportación anterior o de acuerdo o desacuerdo. El que los estudiantes para profesor se centraran en estos tópicos parece indicar que sentían la necesidad de ampliar o refinar alguna participación anterior, argumentar sus comentarios y opiniones bien sea a favor o en desacuerdo con ideas de otras participaciones hechas por sus compañeros del debate virtual.

Así mismo, la forma de interacción en la que los estudiantes para profesor manifiestan sus acuerdos o desacuerdos o ampliación de sus argumentos de acuerdo o desacuerdo (55 de 93) sugiere que en las interacciones virtuales en el debate D2 sobre la gestión de las interacciones en gran grupo, se desarrollaron como tópicos de interés los objetivos de la clase; el papel del profesor; aspectos del rol del profesor; contexto curricular del video) alrededor de los cuales ocurrió la negociación de significados.

Finalmente, en relación al tópico "los objetivos de la clase" (C1) se observa con mayor frecuencia la dimensión “Clarifica” (8) lo que de alguna manera evidencia como los estudiantes para profesor intentan explicar su opinión, o la de otro, sobre lo que sucede en la clase registrada en el video a sus otros compañeros.

La fuerte presencia de las dimensiones relacionadas con la forma de interactuar (C, C+A, D, D+A) en los dos debates hace suponer la necesidad de los estudiantes para profesor de matemática de compartir sus opiniones y expresar sus propios puntos de vista relacionados con tópicos como: Aspectos de la enseñanza que influyen en el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática; algunas características que potencian la competencia matemática; desafíos de un profesor de matemática en secundaria; Sara, ¿matemáticamente competente?; Objetivos de la clase; El papel del profesor; Aspectos del rol del profesor; Contexto curricular del video; en los que negociaban significados relacionados con el desarrollo de las dimensiones de la competencia matemática y la enseñanza de la matemática.

4.3 Niveles de construcción de conocimiento

La manera como los estudiantes para profesor utilizaron los instrumentos conceptuales para interpretar y analizar la enseñanza de la matemática fue diferente (Ver Tabla VII). En el debate sobre la gestión de las interacciones en pequeño grupo (D1), un poco más de las tres cuartas partes (76 %) de las aportaciones muestra indicios de que los estudiantes comenzaron a interpretar la enseñanza de la matemática mediante el uso de las ideas teóricas. Es decir, en los niveles N3 y N4.

En relación con el debate sobre la gestión de las interacciones en gran grupo (D2), 61 % de las participaciones se ubicaron en los niveles de uso instrumental de la información (N3) y teorizar (N4); mientras que un 39 % de las contribuciones se corresponden a los niveles narrativo- descriptivo (N1) y retórico (N2). Esto parece indicar que el uso de los instrumentos teóricos para analizar e interpretar la enseñanza de la matemática no es fácil.

Finalmente, los resultados anteriores pueden interpretarse como un indicio de que la implicación cognitiva con los demás ayuda a los estudiantes a generar argumentos en un mayor nivel cognitivo. Los datos parecen mostrar que el contexto mediado por los debates de discusión en línea alienta a los estudiantes para mejorar el discurso generado con el fin de llegar a una comprensión compartida de la enseñanza de la matemática relacionada con la competencia matemática.